2 Normat 51:1, 2–14 (2003)
Lineær uafhængighed i funktionsrum
Khadija Laghrida Christensen
†
og Ole Christensen
‡
†
Danmarksvej 15B
DK–2800 Kgs. Lyngby
‡
Institut for Matematik
Danmarks Tekniske Universitet
Bygning 303
DK–2800 Kgs. Lyngby
Ole.Christensen@mat.dtu.dk
1 Introduktion
Begrebet lineær uafhængighed spiller en central rolle i teorien for vektorrum, og
dets historie er lige så gammel som vektorrummene selv. Lineær uafhængighed er
den ene af de to betingelser der d efin erer en basis {v
k
}
n
k=1
for et vektorrum V :
mens den ene betingelse er at {v
k
}
n
k=1
udspænder V , d.v.s. at ethvert v V har en
fremstilling v =
n
k=1
c
k
v
k
for passende koefficienter {c
k
}
n
k=1
, så sikrer betingelsen
om lineær uafhængighed at fremstillingen er entydig.
I denne artikel betragter vi vektorrum frembragt af nogle specielle funktioner og
undersøger hvorvidt deres linearkombinationer har entydige fremstillinger. Vi be-
gynder med de mest elementære tilfælde, nemlig vektorrum bestående af henholds-
vis polynomier og trigonometriske funktioner. Herefter ser vi på komplekse ekspo-
nentialfunktioner og nogle mere komplicerede funktionssystemer, der har spillet en
stor rolle i såvel ren matematik som dens anvendelser i de seneste år. I forbindelse
med disse funktionssystemer nævner vi et åbent problem, der er nemt at formulere,
men tilsyneladen de meget svært at løse.
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 3
Lad os minde om de basale begreber fra lineær algebra, formuleret for vektorrum
bestående af funktioner. Vi begynder med en familie af funktioner {f
k
}
n
k=1
, der er
definerede på et interval I R. En linearkombination af {f
k
}
n
k=1
er e n funktion g
på I der kan skrives på formen
(1) g(x)=c
1
f
1
(x)+c
2
f
2
(x)+···+ c
n
f
n
(x)=
n
k=1
c
k
f
k
(x),x I,
for passende koefficienter {c
k
}
n
k=1
. Vi siger at g har en fremstilling eller repræsenta-
tion via funktionerne {f
k
}
n
k=1
. Det kan f orekomme at g har forskellige fremstillinger
via {f
k
}
n
k=1
, d.v.s. at forskellige valg af koefficienterne {c
k
}
n
k=1
i (1) er mulige. Be-
tragt for eksempel funktionerne
f
1
(x)=x, f
2
(x)=x
2
,f
3
(x)=2x + x
2
,x R.
Så har funktionen g(x)=3x + x
2
fremstillingerne
g =3f
1
+ f
2
= f
1
+ f
3
.
Vi ved fra lineær algebra at spørgsmålet om entydighed af fremstillingen kan for-
muleres via begrebet lineær uafhængighed:
Definition 1.1 Lad {f
k
}
n
k=1
være en familie af funktioner, definerede på interval-
let I. Hvis
n
k=1
c
k
f
n
(x)=0x I = c
1
= c
2
= ···= c
n
=0,
så siges funktionerne {f
k
}
n
k=1
at være lineært uafhængige; hvis ikke, er funktionerne
lineært afhængige.
Lemma 1.2 Lad g være en linearkombination af funktionerne {f
k
}
n
k=1
. Så har g
en entydig repræsentation via funktionerne {f
k
}
n
k=1
hvis og kun hvis funktionerne
{f
k
}
n
k=1
er lineært uafhængige.
Beviset for lemma 1.2 kan findes i enhver bog om lineær algebra.
Vi har allerede set at lineært afhængige familier af polynomier eksisterer. Der
findes imidlertid andre familier af polynomier som er lineært uafhængige. Vi vil nu
betragte de mest fundamentale polynomier, nemlig funktionerne
1, x, x
2
,...,x
n
,....
Ethvert polynomium er en linearkombination af disse specielle polynomier, og de
er lineært uafhængige p å et vilkårligt interval:
Lemma 1.3 Let I R være et vilkårligt egentligt interval. Hvis
(2) c
0
+ c
1
x + ···+ c
n
x
n
=0, x I,
så er c
0
= c
1
= ···= c
n
=0.
christensen.tex,v 1.10
4 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
Man kan bevise dette resultat ved at differentiere funktionen på venstreside af
(2) n gange: dette leder til et s æt ligninger, der kun h ar løsningen c
0
= c
1
= ···=
c
n
=0.
2 Sinusfunktioner og cosinusfunktioner
I dette afsnit betragter vi lineær uafhængighed for familier af trigonometriske funk-
tioner. Først betragter vi familier {f
k
}
n
k=1
af formen
f
k
(x) = cos
k
x,
k
R.
Et øjebliks eftertanke viser at vi må stille betingelser på tallene
k
for at sikre at
funktionerne {f
k
}
n
k=1
er lineært uafhængige:
Eksempel 2.1 Betragt nogle tal
1
,
2
...,
n
for hvilke
1
=
2
.Dacos x =
cos(x) for alle x R følger det at
1 · cos
1
x 1 · cos
2
x +0· cos
3
x + ···+0· cos
n
x =0.
Dette viser at funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
er lineært afhængige på et vilkårligt in-
terval.
Ovenstående eksempel viser at vi må antage at |
k
|= |
j
| for alle k = j hvis vi
ønsker at funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
er lineært uafhængige. Interessant nok viser
det sig at denne betingelse er tilstrækkelig for lineær uafhængighed på et vilkårligt
interval. Vi vil bevise dette resultat; af tekniske grunde betragter vi først et interval
der er symmetrisk omkring origo:
Lemma 2.2 Lad {
k
}
n
k=1
være en følge af reelle tal for hvilke |
k
|= |
j
| for
k = j. Så er funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
lineært uafhængige på ethvert interval
[a, a],a>0.
Bevis: Lad a>0 være givet, og lad {c
k
}
n
k=1
være nogle koefficienter for hvilke
(3)
n
k=1
c
k
cos
k
x =0, x [a, a];
vi vil vise at c
1
= c
2
= ··· = c
n
=0. Ideen er at differentiere funktionen på
venstresiden af (3) j gange, j =0, 1,...,2(n 1); ved herefter at sætte x =0
for j =0, 2,...,2(n 1) opnår vi et lineært ligningssystem med n ligninger og n
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 5
ubekendte,
n
k=1
c
k
=0,
n
k=1
c
k
2
k
=0,
.
.
.
n
k=1
c
k
2(n1)
k
=0.
På matrixform har ligningssystemet formen
11··· 1
2
1
2
2
···
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2(n1)
1
2(n1)
2
···
2(n1)
n
c
1
c
2
.
.
.
c
n
=
0
0
.
.
.
0
.
Systemmatricen er en Vandermonde matrix med determinant
=
1i<jn
(
2
i
2
j
) = 0;
derfor er c
1
= c
2
= ··· = c
n
=0. Altså er funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
lineært
uafhængige.
Vi udvider nu resultatet til et vilkårligt interval:
Lemma 2.3 Lad {
k
}
n
k=1
være en følge af reelle tal for hvilke |
k
|= |
j
| for
k = j. Så er funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
lineært uafhængige på et vilkårligt egentligt
interval.
Bevis: Det er nok at vise at {cos
k
x}
n
k=1
er lineært uafhængige, betragtet som
funktioner på et vilkårligt begrænset interval af formen ]a, b[, hvor a, b R, a < b.
Vi kan antage (eventuelt ved at vælge en mindre værdi for b) at
(4)
k
a + b
2
= h
2
, h Z
for alle k for hvilke
k
=0. Vi skal senere se grunden til dette valg. Antag nu at
der for nogle koefficienter {c
k
}
n
k=1
gælder at
n
k=1
c
k
cos
k
x =0, x ]a, b[.
christensen.tex,v 1.10
6 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
Når variablen x gennemløber intervallet ]
ab
2
,
ba
2
[ vil variablen x+
a+b
2
gennemløbe
]a, b[; det følger at
n
k=1
c
k
cos
k
x +
a + b
2
=0, x
a b
2
,
b a
2
.
Ved at bruge additionsformlen f or cosinus f år vi at
n
k=1
c
k
cos
k
x cos
k
a + b
2
sin
k
x sin
k
a + b
2
=0, x
a b
2
,
b a
2
.
For at simplificere notationen sætter vi nu
d
k
:= c
k
cos
k
a + b
2
og e
k
:= c
k
sin
k
a + b
2
.
Det følger at
(5)
n
k=1
d
k
cos
k
x
n
k=1
e
k
sin
k
x =0, x
a b
2
,
b a
2
.
Man kan nu gentage beviset for lemma 2.2, d.v.s. differentiere funktionen på ven-
stresiden og sætte x =0; det følger at d
1
= d
2
= ···= d
n
=0. Via valget af tallet
b i (4) ved vi at
cos
k
a + b
2
=0og sin
k
a + b
2
=0,
så vi slutter at c
1
= c
2
= ··· = c
n
=0. Så funktionerne {cos
k
x}
n
k=1
er lineært
uafhængige.
Med nogle få modifikationer gælder et tilsvarende resultat for sinusfunktioner. Be-
mærk dog sin(0 · x)=0for alle x: derfor bliver vi i det mindste nødt til at tilføje
antagelsen
k
=0for alle k hvis vi ønsker at opnå et lineært uafhængigt system.
Denne ekstra betingelse er tilstrækkelig, som læseren kan verificere ved at gentage
ovenstående argumenter:
Lemma 2.4 Lad {
k
}
n
k=1
være en følge af reelle tal for hvilke
k
=0for k =
1, 2,...,n og |
k
|= |
j
| for k = j. Så er funktionerne {sin
k
x}
n
k=1
lineært uaf-
hængige på ethvert egentligt interval.
Vi betragter nu det mere komplicerede tilfælde hvor vi har at gøre med en samling
af funktioner indeholdende både sinusfunktioner og cosinus fu nktioner. Det mest
generelle tilfælde er at betragte cosinusfunktioner med nogle parametre
k
, k =
1, 2,...,n og s inusfunktioner med parametre µ
k
, k =1,...,m, for passende m, n
N. Vi betragter altså funktionerne
(6)
cos
k
x
n
k=1
sin µ
k
x
m
k=1
.
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 7
Sætning 2.5 Lad {
k
}
n
k=1
og {µ
k
}
m
k=1
være følger af reelle tal for hvilke
µ
k
=0for alle k og |
k
|= |
j
|, |µ
k
|= |µ
j
| for k = j.
Så er funktionerne
cos
k
x
n
k=1
sin µ
k
x
m
k=1
lineært uafhængige på ethvert egentligt interval.
Sætning 2.5 bevises ved hjælp af de teknikker vi allerede har diskuteret. Vi be-
mærker at sætningen ikke indeholder ekstra antagelser sammenlignet med dem som
optræder allerede for systemer bestående af cosinus- og sinusfunktioner b etragtet
separat.
Lad os relatere dette resultat til teorien for Fourierrækker. Husk at Fourierræk-
ker er et redskab til at udvikle f.eks. 2-periodiske funktioner via trigonometriske
funktioner
(7) 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, . . . , sin x, sin 2x, . . . , sin nx, . . .
Som et specialtilfælde af vores resultat ser vi at enhver endelig familie af funktioner
fra (7) er lineært uafhængig. Vi vender tilbage til Fourierrækker på kompleks f orm
i det næste afsnit.
3 Komplekse eksponentialfunktioner
Dette afsnit kræver kendskab til komplekse tal og Fourierrækker. Vi betegner den
komplekse enhed med i. Husk at den komplekse eksponentialfunktion e
ix
, R,
er defin eret ved
e
ix
= cos x + i sin x.
De metoder vi har diskuteret indtil nu kan også bruges til at vise at en familie
af komplekse eksponentialfunktioner er lineært uafhængig hvis ingen -værdi er
gentaget:
Lemma 3.1 Lad {
k
}
n
k=1
være en følge af reelle tal for hvilke
k
=
j
for k = j.
Så er funktionerne {e
i
k
x
}
n
k=1
lineært uafhængige på et vilkårligt egentligt interval.
De komplekse eksponentialfunktioner optræder i Fourierrækker på kompleks form:
Fourierrækken for en 2-periodisk funktion kan skrives
f(x)
kZ
c
k
e
ikx
, hvor c
k
=
1
2
f(x)e
ikx
dx.
Et hovedresultat i Fourierrækketeorien er at funktionerne {1/
2e
ikx
}
kZ
udgør
en ortonormal basis for Hilbertrummet
L
2
(, )=
f :] , [ C:
|f(x)|
2
dx <
.
christensen.tex,v 1.10
8 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
De komplekse eksponentialfunktioner {e
ikx
}
kZ
er alle 2-periodiske. Men et ge-
nerelt s ystem af komplekse eksponentialfunktioner {e
i
k
x
}
kZ
,
k
R, behøver
ikke at have en fælles periode. Den matematiske disciplin der beskæftiger sig med
egenskaber for funktionerne {e
i
k
x
}
kZ
kaldes ikke-harmonisk Fourieranalyse. Ofte
kræves en dyb forståelse for kompleks analyse for at kunne begå sig her, og vi vil
ikke være i stand til at gå nærmere ind på dette fascinerende emne i denne arti-
kel (vi henviser til bogen [13] for en fremragende præsentation). Der er dog nogle
få tilfælde hvor interessante resultater kan opnås med forholdsvis enkle teknikker.
Dette er undertiden tilfældet hvis tallene
k
kan betragtes som små perturbationer
af k, d.v.s., hvis |k
k
| er lille for alle k Z. Et vigtigt eksempel på et sådant
resultat er den berømte Kadec’s 1/4-sætning: den siger at hvis sup |k
k
| < 1/4,
så er {e
i
k
x
}
kZ
en basis for L
2
(, ). Kadec viste dette resultat i 1963, og et
elementært bevis kan findes i [13].
4 Gaborsystemer og wavelets
I dette afsnit betragtes funktionsrummet
L
2
(R)=
f : R C :
|f(x)|
2
dx <
.
De komplekse eksponentialfunktioner betragtet i afsnit 3 tilhører ikke L
2
(R). For
et vilkårligt R har vi nemlig at
|e
ix
|
2
dx =
dx = .
Men hvis g L
2
(R), så vil funktionen x e
ix
g(x µ) tilhøre L
2
(R) for alle
, µ R fordi
|e
ix
g(x µ)|
2
dx =
|g(x µ)|
2
dx =
|g(x)|
2
dx < .
Bemærk at grafen for funktionen x g(x µ) fås ved at translatere grafen for
g(x) med µ enheder. Man kan vise at operationen »multiplikation med e
ix
« svarer
til at translatere den Fouriertransformerede af g, som er defineret ved
ˆg()=
g(x)e
2ix
dx.
Lad nu a, b > 0 være givne tal og g L
2
(R) en given funktion. Vi vil b etragte
familier af funktioner på formen
(8)
e
2imbx
g(x na)
|m|,|n|N
,
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 9
hvor N er et naturligt tal. Et system af funktioner på formen (8) kaldes et regulært
Gaborsystem. Hvis {(
m
,µ
n
)}
|m|,|n|N
er en vilkårlig samling punkter i R
2
siges
e
2i
m
x
g(x µ
n
)
|m|,|n|N
at være et irregulært Gaborsystem.
Spørgsmålet om lineært uafhængighed af Gaborsystemer er meget kompliceret.
Heil, Ramanathan and Topiwala betragtede det i 1994 og var i stand til at op-
stille betingelser der sikrer at et Gaborsystem er lineært uafhængigt. Baseret på de
opnåede resultater opstillede de tre forfattere følgende
Formodning: Et vilkårligt Gaborsystem {e
2i
m
x
g(x µ
n
)}
|m|,|n|N
med g =0
er lineært uafhængigt hvis punkterne {(
m
,µ
n
)}
|m|,|n|N
alle er forskellige.
Linnell var i 1996 i stand til at vise denne formodning f or regulære Gaborsystemer,
men hans metoder virker ikke i det irregulære tilfælde. Adskillige forskere har siden
da forsøgt at vise/modbevise formodningen, men det er endnu ikke lykkedes.
Gaborsystemer bruges hyppigt i forbindelse med signalanalyse. Et andet, og
endnu mere populært system i denne sammenhæng, er waveletsystemer. Givet en
funktion L
2
(R) og et naturligt tal N består det tilhørende waveletsystem af
funktionerne
(9)
2
j/2
(2
j
x k)
|j|,|k|N
.
For simpe lheds skyld skrives
j,k
(x)=2
j/2
(2
j
x k),j,k Z;
så kan waveletsystemet i (9) skrives på formen {
j,k
}
|j|,|k|N
.
Lineært afhængige waveletsystemer findes. Sæt for eksempel :=
[0,1[
, altså
den karakteristiske funktion for intervallet [0, 1[; så er
1,0
=
1
2
(
2,0
+
2,1
).
Et mere avanceret eksempel på en funktion der genererer et lineært afhængigt
waveletsystem er givet ved (vi springer beregningen over og henviser til [4])
(10) (x)=
1
2
x
2
+
3
2
x +
9
8
for x [
3
2
,
1
2
],
x
2
+
3
4
for x [
1
2
,
1
2
],
1
2
x
2
3
2
x +
9
8
for x [
1
2
,
3
2
],
0 ellers.
Se figur 1. Funktionen i (10) er et eksempel på en spline af grad 2, d.v.s. en funktion
der er stykkevist polynomial, og hvor den højeste grad af de indgående polynomier
er 2. Man kan vise at der findes lineært afhængige waveletsystemer frembragt af
splines af vilkårlig høj orden.
christensen.tex,v 1.10
10 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
–2 –1 1 2
Figur 1: Funktionen i (10).
5 Frames i L
2
(R)
Dette sidste afsnit er mere avanceret end de foregående, og skal forklare den rolle
som Gaborsystemer og wavelets har i forbindelse med repræsentationer af funktio-
ner. For at kunne gøre de tte er vi nø dt til at forlade rammen af endeligdimensionale
vektorrum og be tragte uendelige systemer af funktioner.
L
2
(R) er et meget stort funktionsrum, i den forstand at man kan finde vilkår-
ligt store familier af lineært uafhængige funktioner i L
2
(R). Betragt for eksempel
funktionerne {f
k
}
k=1
givet ved
f
k
(x)=
x
k
for |x| < 1,
0 ellers;
de tilhører alle L
2
(R), og ifølge lemma 1.3 er enhver endelig delfamilie lineært
uafhængig.
Størrelsen af vektorrummet L
2
(R) gør det kompliceret at arbejde med L
2
(R).
For eksempel kan vi ikke vælge en endelig samling af funktioner {f
k
}
n
k=1
således at
enhver funktion f L
2
(R) har en frems tilling på formen
f(x)=
n
k=1
c
k
f
k
(x).
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 11
Men der findes uendelige familier {f
k
}
k=1
således at ethvert f L
2
(R) har en
repræsentation
(11) f(x)=c
1
f
1
(x)+c
2
f
2
(x)+···+ c
n
f
n
(x)+···=
k=1
c
k
f
k
(x)
for passende valgte koefficienter {c
k
}
k=1
. Hvis f.eks. {f
k
}
k=1
er en ortonormal basis
for L
2
(R), så holder (11) i L
2
(R)-forstand me d
c
k
=
f(x)f
k
(x) dx.
Elementerne i en ortonormal basis er lineært uafhængige, men fremstillinger af
typ en (11) kan meget vel holde for lineært afhængige familier {f
k
}
k=1
. En general
måde at opnå sådanne repræsentationer på er at betragte frames:
Definition 5.1 En familie af funktioner {f
k
}
k=1
i L
2
(R) er en frame for L
2
(R)
hvis der findes konstanter A, B > 0 således at
(12) A
|f(x)|
2
dx
k=1
f(x)f
k
(x) dx
2
B
|f(x)|
2
dx
for alle f L
2
(R).
En ortonormal basis er automatisk en frame; på den anden side er en frame {f
k
}
k=1
en ortonormal basis hvis (12) holder med A = B =1og
|f
k
(x)|
2
dx =1, k.
Mere gene relt gælder at en f rame {f
k
}
k=1
er en basis hvis
(13)
k=1
c
k
f
k
=0 = c
k
=0, k N.
Bemærk at (13) kan betragtes som en uendeligdimensional udgave af betingelsen
for lineær uafhængighed.
Man kan vise at en frame {f
k
}
k=1
leder til en repræse ntation af typen (11), hvor
koe fficienterne {c
k
}
k=1
i udviklingen af f L
2
(R) har formen
c
k
=
f(x)h
k
(x) dx
for en vis familie af funktioner {h
k
}
k=1
in L
2
(R). Men i modsætning til situationen
for en basis kan der meget vel eksistere andre mulige valg af koefficienterne {c
k
}
k=1
.
Betragt f.eks. en ortonormal basis {f
k
}
k=1
: så er {f
k
}
k=1
{f
1
} en frame, og alle
f L
2
(R) has adskillige repræsentationer af type (11).
Vi er nu klar til at relatere Gaborsystemer og frames. Hvis et uendeligt Ga-
borsystem {e
2imbx
g(x na)}
m,nZ
er en frame kalder vi den simpelthen for en
Gaborframe.
christensen.tex,v 1.10
12 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
Eksempel 5.2 Lad
[0,1]
betegne den karakteristiske funktion for intervallet [0, 1].
Man kan vise at hvis b =1og a ]0, 1], så er
e
2imbx
[0,1[
(x na)
m,nZ
en Gaborframe for L
2
(R).
For en vilkårlig Gaborframe {e
2imbx
g(x na)}
m,nZ
fortæller den generelle fra-
meteori at enhver funktion f L
2
(R) har en fremstilling af typen (11). Der gælder
endda mere: man kan vise at der findes en funktion h L
2
(R) såled es at enhver
funktion f L
2
(R) har fremstillingen
(14) f(x)=
m,nZ
c
m,n
(f)e
2imbx
g(x na),
hvor
(15) c
m,n
(f)=
f(x)e
2imbx
h(x na) dx.
Et overraske nde resultat om Gaborframes siger at koefficienterne c
m,n
(f) in (14)
aldrig er entydige hvis ab < 1: vi kan altid vælge koefficienterne som i (15), men
der eksisterer andre valgmuligheder. Sammenlign dette med Linnell’s resultat, der
viser at en fu nktion f højst har een repræsentation som en endelig sum
f(x)=
|m|,|n|N
c
m,n
(f)e
2imbx
g(x na).
Der er således en fundamental forskel mellem endelige og uendelige Gaborsystemer.
Specielt garanterer den lineære uafhængighed af de endelige delsystemer altså ikke
entydigheden af repræsentationen i (14). Forklaringen er at det korrekte begreb for
lineær uafhængighed i L
2
(R) er givet ve d (13), som er en stærkere betingelse end
bare lineær uafhængighed af endelige delmængder {f
k
}
n
k=1
. Det vides hvorledes de
to begreber er relaterede for en generel frame {f
k
}
k=1
: (13) gælder hvis og kun hvis
{f
k
}
n
k=1
er lineært uafhængige f or alle n N og
inf
n
min
f
n
k=1
f(x)f
k
(x) dx
2
: f span{f
k
}
n
k=1
,
|f(x)|
2
dx =1
> 0.
Lad os for et øjeblik vende tilbage til eksempel 5.2. Man kan vise at det betrag-
tede Gaborsystem med g =
[0,1]
er en ortonormal basis hvis a = b =1. Det er
derfor ikke umiddelbart klart hvorfor vi har brug for det mere komplicerede fra-
mebegreb. Forklaringen er at frames er mere fleksible end ortonormalbaser: selvom
der eksisterer ortonormalbaser med Gaborstruktur kan vi ikke være sikre på at der
findes ortonormalbaser der tilfredsstiller ekstra krav der måtte være relevante i en
given sammenhæng. Men måske findes frames der tilfredsstiller dem! Dette er ikke
bare en tænkt situation, men forekommer i praksis. Et konkret eksempel optræder
christensen.tex,v 1.10
Normat 1/2003 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen 13
i forbindelse med den såkaldte Balian–Lows sætning: den siger, at hvis en funktion
g genererer en ortonormalbasis med Gaborstruktur, s å er
(16)
|xg(x)|
2
dx ·
|ˆg()|
2
d = .
I ord siger dette resultat at det er umuligt at både g og ˆg aftager hurtigt; dette
er meget ubekvemt i forbindelse med signalanalyse, og tvinger bl. a. computerba-
serede metoder til at arbejde med store intervaller. Den gode nyhed er at Gabor-
frames ikke lider under denne begrænsning: der findes funktioner g som genererer
en Gaborframe, og for hvilke produktet i (16) er endeligt. Et konkret eksempel er
funktionen g(x)=e
x
2
, som frembringer en frame hvis ab < 1. For denne funktion
er ˆg()=
e
2
2
, så produktet i (16) er endeligt. Læsere der vil vide mere om
Gaborsystemer henvises til bogen [8].
Visse uend elige waveletsystemer leder også til repræsentationer af alle funktioner
i L
2
(R). D.v.s., der findes funktioner L
2
(R) for hvilke ethvert f L
2
(R) har
en repræsentation
(17) f(x)=
j,kZ
c
j,k
2
j/2
(2
j
x k).
Eksistensen af lineært afhængige waveletsystemer er af fundamental betydning i
waveletteori: de fleste konstruktioner af funktioner for hvilke repræsentationer af
typ e (17) eksisterer for alle f L
2
(R), er baseret på en f unktion der tilfredsstiller
en ligning af f ormen
(18) (x)=
|k|N
c
k
(2x k).
Betingelsen (18) betyder at waveletsystemet {
j,k
}
|j|1,|k|N
er lineært afhængigt.
Waveletanalyse er i øjeblikket et af de mest aktive forskningsområder indenfor
matematikken, fordi emnet er matematisk fascineren de og vigtigt for anvendelser
på samme tid. En stor del af waveletteorien har som formål at konstruere funktio-
ner således at {
j,k
}
j,kZ
er en ortonormalbasis for L
2
(R). Disse undersøgelser
blev indledt af Mallat og Meyer i 1989, som udviklede den såkaldte multiresolution
analyse. Videre studier af Daubechies viste hvorledes man kan konstruere en or-
tonormalbasis {
j,k
}
j,kZ
baseret på en funktion der tilfredsstiller (18) samt et
par andre betingelser. Det er interessant at notere at de første framekonstruktioner
med wave letstruktur fandt sted tidligere, nemlig i 1985; forfatterne var Daubechies,
Grossmann og Meyer [6]. Frames er også attraktive i forbindelse med wavelets på
grund af deres fleksibilitet: man kan undertiden konstruere waveletframes med egen-
skaber som en ortonormalbasis ikke kan have. (Eksempel: man kan finde en frame
{
j,k
}
j,kZ
for hvilken er uendeligt ofte differentiabel og aftager eksponentielt.
Der findes ingen basis af denne type.) Mere information om wave lets kan findes i
bøgerne [5] af Daubechies (en klassiker indenfor området) og [12] af Walnut (der er
teknisk lettere tilgængelig). Mere intuitive fremstillinger beregnet for lægfolk findes
i [2] og [3].
christensen.tex,v 1.10
14 Khadija Laghrida Christensen og Ole Christensen Normat 1/2003
Framebegrebet blev faktisk introduceret meget tidligere, nemlig i artiklen [7]
af Duffin og Schaeffer, publiceret i 1952. Tilsyneladen de var denne artikel langt
forud for sin tid, og det tog næsten 30 år før frames optrådte på tryk igen. Duffin
og Schaeffer indførte frames som et redskab i forbindelse med ikke-harmoniske
Fourierrækker, men gav alligevel en framedefinition der er gyldig i et vilkårligt
separabelt Hilbertrum. For yderligere information om frames henvises til [4].
Acknowledgment: Khadija Laghrida Christensen takker Rejselegat for Matema-
tikere for støtte og Dr. Alexander Lindner for interessante diskussioner og forslag.
Begge forfattere takker en anonym referee for mange gode forslag til forbedring af
fremstillingen.
Bibliografi
1 Brislawn, C. M: Fingerprints go digital. Notices of the Amer. Math. Soc. 42,
1278–1283 (1995).
2 Hubbard, B. B.: The world according to wavelets: The story of a mathematical
technique in the making. AK Peters, Ltd, Wellesley, MA, 1996.
3 Christensen, K. L. and Christensen, O.: Fra Taylorpolynomier til wavelets. Den
Private Ingeniørfond ved Danmarks Tekniske Universitet, 2003.
4 Christensen, O.: An introduction to frames and Riesz bases. Birkhäuser 2003.
5 Daubechies, I.: Ten lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1992.
6 Daubechies, I., Grossmann, A. and Meyer, Y.: Painless nonorthogonal expansions.
J. Math. Phys. 27, 1271–1283 (1986).
7 Duffin, R.J. and Schaeffer, A.C.: A class of nonharmonic Fourier series. Trans.
Amer. Math. So c. 72, 341–366 (1952).
8 Gröchenig, K.: Foundations of time-frequency analysis. Birkhäuser, Boston, 2001.
9 Heil, C., Ramanathan, J. and Topiwala, P.: Linear independence of time-frequency
translates. Proc. Amer. Math. Soc. 124, 2787–2795 (1996).
10 Hirsch, M. and Smale, S.: Differential equations, dynamical systems, and linear
algebra. Academic Press, 1974.
11 Linnell, P.: Von Neumann algebras and linear independence of translates. Proc.
Amer. Math. So c. 127, 3269–3277 (1999).
12 Walnut, D.: An introduction to wavelet analysis. Birkhäuser, Boston, 2002.
13 Young, R. M.: An introduction to nonharmonic Fourier series. Academic Press,
New York, 1980 (revised first edition 2001).
christensen.tex,v 1.10
