22 Normat 51:1, 22–33 (2003)
Strängar i månsken I
Gert Almkvist
Matematikcentrum
Box 118
SE–22100 Lund
Inledning
En verklig höjdpunkt inom matematiken är då man upptäcker att två helt olika
områden har med varandra att göra. Vi skall här berätta om två sådana tillfällen.
Det första var då John Mc Kay 1978 upptäckte att
196884 = 196883 + 1.
Detta verkar kanske inte så sensationellt men 196884 är en koefficient i
J(q)=
1
q
+ 744 + 196 884 q + 21 493 760 q
2
+ ··· ,
en talteoretisk funktion känd sedan 150 år (J står för Jacobi).
Vidare är 196883 dimensionen för den minsta (icke-triviala) matrisrepresenta-
tionen av monstergruppen M (även känd som ”the friendly giant”), den största av
de sporadiska enkla grupperna. Monstrets existens var ännu inte bevisad 1978 men
man kände dimensionerna för dess representationer.
Snart upptäckte man att fler koefficienter av J(q) var enkla linjärkombinatio-
ner av dimensioner för representationer av M. Detta ledde till en hel industri som
kallades ”Moonshine” (detta uttryck för suspekt verksamhet kan ledas tillbaka till
illegal wh isky under förbudstiden i USA). Fenomenet f örklarades slutligen av Fi-
eldsmedaljören Richard Borcherds, varvid han använde en modul konstruerad av
bland and ra svensken Arne Meurman.
Del II av denna artikkel kommer i nästa nummer.
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 23
Vårt andra exempel kommer från fysiken, närmare bestämt från strängteorin.
År 1991 fann Candelas, Green, de la Ossa och Parkes följande formel för ”Yukawa-
kopplingen”
K = 5 + 2875
q
1 q
+ 609 250
2
3
q
2
1 q
2
+ 317 206 375
3
3
q
3
1 q
3
+ 24 246 753 000
4
3
q
4
1 q
4
+ ···
(serier av denna typ kallas Lambertserier och förekommer inom talteorin). Här är
2875 antalet linjer i 3-mångfalden (i P
4
) W
x
5
0
+ x
5
1
+ x
5
2
+ x
5
3
+ x
5
4
=0,
vilket var känt sedan slutet på 1800-talet. Likaså är 609250 antalet andragradskur-
vor i W . Norrmännen Ellingsrud och Strømme visade att formeln även räknade
rationella 3:egradskurvor och Konts evich gjorde samma för grad fyra. Givental vi-
sade f ormelns giltighet upp till grad 10.
Här kommer vi att undvika fysik, talteori och algebraisk geometri. Vi vill istäl-
let visa hur de räknande funktionerna kan beskrivas med hjälp av lösningar till
hyp e rgeometriska differentialekvationer.
2:a ordningens differentialekvationer
Exempel 1: Låt oss starta med den elliptiska integralen
y = y(x)=
1
0
dt
(1 t
2
)(1 xt
2
)
.
Deriverar vi under integraltecknet får vi
x(1 x)y
+ (1 2x)y
y
4
=
1
4
1
0
1 2(1 x)t
2
xt
4
1 t
2
(1 xt
2
)
5/2
dt
=
1
4
t
(1 t
2
)(1 xt
2
)
(1 xt
2
)
2
1
0
=0.
Denna differentialekvation har de två linjärt oberoen de lösningarna
y
0
=
n=0
2n
n
2
x
n
16
n
=1+
x
4
+
9
16
x
2
+
25
256
x
3
+
1225
16384
x
4
+
3969
65536
x
5
+ ··· ,
y
1
= y
0
log(x)+
x
2
+
21
64
x
2
+
185
768
x
3
+
18655
98304
x
4
+
102501
655360
x
5
+ ··· .
almkvist.tex,v 1.11
24 Strängar i månsken I Normat 1/2003
Kvoten
t =
y
1
y
0
kan tolkas som 1/elektriska motståndet av en rektangulär platta (se Tord Nilsson,
En användning av elliptiska integraler inom mikro e lektroniken, Examensarbete vid
LTH, Lund 1985). Vi får
q = exp(t)=x +
1
2
x
2
+
21
64
x
3
+
31
128
x
4
+
6257
32768
x
5
+ ···
med de n inversa funktionen (”spegelavbildningen”)
x = x(q)=q
1
2
q
2
+
11
64
q
3
3
64
q
4
+
359
32768
q
5
+ ··· .
Sätt
z(q)=
(1 x + x
2
)
3
x
2
(1 x)
2
=
1
q
2
+
93
32
+
49221
16384
q
2
+ ··· .
Då följer
J(q) = 256 z(16
q)=
1
q
+ 744 + 196 884 q + ···
vilket visar samban det mellan J-funktionen och elliptiska integraler.
Exempel 2: Betrakta differentialekvationen
x(1 x)y
+ (1
3x
2
)y
5
144
y =0
med lösningarna
y
0
=1+
5
144
x +
1105
82944
x
2
+
801125
107495424
x
3
+ ··· ,
y
1
= y
0
log(x)+
31
72
x +
4799
27648
x
2
+
31859345
322486272
x
3
+ ··· .
Vi får
q = exp(
y
1
y
0
)=x +
31
72
x
2
+
20845
27648
x
3
+
27274051
161243136
x
4
+ ···
med inve rsen
x = x(q)=q
31
72
q
2
+
9907
82944
q
3
2193143
80621568
q
4
+ ··· .
Nu får vi direkt
J(q)=
1728
x(1728 q)
=
1
q
+ 744 + 196 884 q + 21 493 760 q
2
+ 864 299 970 q
3
+ ··· .
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 25
Inom talteorin definieras J(q) vanligen genom formeln
J(q)=
1 + 240
n=1
3
(n)q
n
3
q
n=1
(1 q
n
)
24
där
3
(n)=
d|n
d
3
.
Genom q = exp(2i ) betraktas J() som funktion på övre halvplanet
H = { : Im() > 0}.
Då blir J() invariant under transformationerna
J
a + b
c + d
= J()
där a, b, c, d är heltal och ad bc =1. Man kan visa att varje meromorf invariant
funktion på H är en rationell funktion av J().
Exempel 3: Betrakta differentialekvationen
x(1 432 x)y
+ (1 864 x)y
60 y =0
med lösningarna
y
0
= 1 + 60 x + 13860 x
2
+ 4 048 080 x
3
+ ··· ,
y
1
= y
0
log(x) + 312 x + 77652 x
2
+ 23 485 136 x
3
+ ··· .
Nu har
q = exp
y
1
y
0
= x + 312 x
2
+ ···
inversen
x = x(q)=q 312 q
2
+ 87 084 q
3
23 067 968 q
4
+ ··· .
Man får
J(q)=
1
x(1 432 x)
.
Koe fficienterna c(n) i j(q)=J(q) 744 har intressanta egenskaper. Sätt
j(q)=
1
q
+
n=1
c(n)q
n
.
almkvist.tex,v 1.11
26 Strängar i månsken I Normat 1/2003
Borcherds fann identiteten
m,n=1
(1 p
m
q
n
)
c(mn)
=1
j=1
c(j)
p
j
q
j
p q
.
Utvecklar man denna identitet får man en mängd icke-linjära identiteter som ko-
efficienterna c(n) måste satisfiera.
Genom att jämföra koe fficienterna på båda sidor kan vi uttrycka alla c(n), där
n är sammansatt, som polynom i c(p) där p är primtal. T. ex. får vi
c(4) = c(3) +
c(1)
2
c(1)
2
,
c(6) = c(4) + c(1)c(2),
c(8) = c(5) + c(1)c(3) +
c(2)
2
c(2)
2
,
c(9) = c(5) + c(1)c(4) + c(2)
2
c(1)
3
6
+
c(1)
2
2
c(1)
3
,
c(10) = c(6) + c(2)c(3) + c(1)c(4).
Men d et finns fler identiteter. Man kan visa att
u = j(q) och v = j(q
p
)
för varje primtal p satisfierar en ”modulär ekvation” av formen
g
p
(u, v)=u
p+1
+ v
p+1
+
p
i,j=1
b
ij
u
i
v
j
=0
där b
ij
är vissa heltal som satisfierar
b
ji
= b
ij
och b
pp
= 1.
Genom att betrakta g
2
och g
3
kan man visa att alla c(n) är polynom i
c(1), c(2), c(3) och c(5).
Man får även ett oändligt antal ekvationer som c(1), c(2), c(3), c(5) måste satisfiera.
Den enklaste är
24c(3)c(5) 24c(1)
2
c(5) + 24c(5) 12c(1)c(3)
2
12c(3)
2
+ 24c(1)c(2)c(3) + 12c(1)
2
c(3) 48c(2)c(3) + 24c(1)c(3) 36c(3)
24c(1)c(2)
2
+ 24c(2)
2
+ 12c(1)
2
c(2) + 12c(1)
3
c(2) 24c(1)c(2)
+9c(1)
4
10c(1)
3
9c(1)
2
+ 10c(1) = 0.
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 27
Mihai Cipu [3] har funnit 28 funktioner (förutom j(q)) som satisfierar 15 identiteter,
som kommer från g
2
och g
3
. T. ex. är
f
1
(q)=
1
q
+ 134 q + 760 q
2
+ 3 345 q
3
+ 12 256 q
4
+ 39 350 q
5
+ ··· ,
f
2
(q)=
1
q
+ 52 q + 204 q
2
+ 681 q
3
+ 1956 q
4
+ 5135 q
5
+ ··· ,
···
f
10
(q)=
1
q
+3q +4q
2
+7q
3
+ 10q
4
+ 17q
5
+ ···
lösningar. Alla dessa funktioner är specialfall av replikabla funktioner, som stude-
rats av McKay, Norton, Cummins, Ufnarovski et al. Dessa funktioner ger också
upphov till ”månsken” med avseende på andra grupper än monstret.
3:e ordningens differentialekvationer
Vi skall endast stu dera
y
+ s
2
(x)y
+ s
1
(x)y
+ s
0
(x)y =0
då differentialekvationen är ”kvadraten” på en 2:a ordningens differentialekvation,
dvs det finns linjärt oberoende lösningar
y
0
= u
2
0
y
1
= u
0
u
1
y
2
= u
2
1
där u
0
och u
1
är lösningar till
u
+ p
1
u
+ p
0
u =0.
Sats:
y
+ s
2
y
+ s
1
y
+ s
0
y =0
är en ”kvadrat” om och endast om
s
0
=
s
1
s
2
3
2
27
s
3
2
+
s
1
2
s
2
6
s
2
s
2
3
.
Bevis: Antag att
y = u
2
där
u
= (p
1
u
+ p
0
u).
almkvist.tex,v 1.11
28 Strängar i månsken I Normat 1/2003
Det följer
y
=2uu
,
y
= 2(u
)
2
2p
0
y p
1
y
och efter en del räkningar
y
+3p
1
y
+ (2p
2
1
+4p
0
+ p
1
)y
+ (4p
1
p
0
+2p
0
)=y =0
dvs
s
2
=3p
1
,
s
1
=2p
2
1
+4p
0
+ p
1
,
s
0
=4p
0
p
1
+2p
0
.
Eliminerar vi p
0
och p
1
får vi
s
0
=
s
1
s
2
3
2
27
s
3
2
+
s
1
2
s
2
6
s
2
s
2
3
.
Omvänt givna s
0
,s
1
,s
2
som satisfierar denna relation, kan vi finna p
0
och p
1
. Om
y = u
0
u
1
så får vi samma differentialekvation för y.
Anmärkning: Villkoret i satsen är uppfyllt om och endast om
d
3
dt
3
y
2
y
0
=0
där
t =
y
1
y
0
(se Forsyth , Theory of ordinary differential equations, vol 4, s. 212).
Låt
= x
d
dx
.
Lian–Yau [13] studerade följande differentialekvation
3
m
j=1
j
x
j
+
j
2
2
+ +
j
2
4
2
j
y =0
som är ”kvadraten” på
2
m
j=1
j
x
j
2
+
2
+
j
2
16
2
j
u =0
Vi räknar igenom ett av deras många exempel (som alla leder till replikabla funk-
tioner).
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 29
Exempel 4: Betrakta
3
x(2 + 1)(7
2
+7 + 4) + x
2
( + 1)(53
2
+ 106 + 72)
14x
3
( + 1)( + 2)(2 + 3) 24x
4
( + 2)(2 + 3)(2 + 5)
y =0
som är ”kvadraten” på
x(1 14 x + 53 x
2
28 x
3
96 x
4
)u
+ (1 2 x + 106 x
2
70 x
3
288 x
4
)u
(2 18 x + 14 x
2
+ 90 x
3
)u =0
med lösningarna
u
0
=1+2x +7x
2
+ 30 x
3
+
297
2
x
4
+ 813 x
5
+
9573
2
x
6
+ 29 697 x
7
+ ··· ,
u
1
= u
0
log(x)+3x +
29
2
x
2
+ 73 x
3
+
1583
4
x
4
+
11443
5
x
5
+
418081
30
x
6
+ ··· .
Vi får
q = exp
y
1
y
0
= exp
u
1
u
0
= x + ···
med inve rsen
x = x(q)=q 3 q
2
+5q
3
5 q
4
5 q
5
+ 33 q
6
84 q
7
+ 137 q
8
119 q
9
105 q
10
+ 704 q
11
+ ··· .
Vidare är
1
x(q)
=
1
q
+3+4q +2q
2
+6q
3
+ 10 q
4
+ 15 q
5
+ 18 q
6
+ 37 q
7
+ 30 q
8
+ 87 q
9
+ ···
en replikabel funktion, betecknad med 30B i McKays katalog [16]. Tyvärr ger Lian–
Yau ingen antydan om hur de fan n denna märkvärdiga differentialekvation.
4:e ordningens differentialekvationer
Den första differentialekvation, som uppkom vid studiet av Calabi–Yau mångfalde r
var
4
5
5
x
+
1
5
+
2
5
+
3
5
+
4
5
y =0
där
= x
d
dx
almkvist.tex,v 1.11
30 Strängar i månsken I Normat 1/2003
dvs
x
3
(1 3125 x)y
+ (6 x
2
25 000 x
3
)y
+ (7 x 450 000 x
2
)y
+ (1 15 000 x)y
120 y =0.
Vi får lösningarna
y
0
=
n=0
(5n)!
(n!)
5
x
n
= 1 + 120 x + 113400 x
2
+ 168 168 000 x
3
+ ··· ,
y
1
= y
0
log(x)+5
n=1
(5n)!
(n!)
5
5n
j=n+1
1
j
x
n
= y
0
log(x) + 770 x + 810 225 x
2
+
3745679000
3
x
3
+ ··· ,
y
2
= y
0
log
2
x
2
+ log(x)(770 x + ···)+
1150
2
x +
4208175
4
x
2
+ ··· ,
y
3
= y
0
log
3
x
6
+
log
2
x
2
(770 x + ···) + log(x)
1150
2
x + ···
6900 x
9895125
2
x
2
+ ··· .
Det följer
t =
y
1
y
0
= log(x) + 770 x + 717 825 x
2
+
3225308
3
x
3
+ ···
och
q = exp(t)=x + 770 x
2
+ 1 014 275 x
3
+ 1 703 916 750 x
4
+ ···
med inve rsen
x = x(q)=q 770 q
2
+ 171 525 q
3
81 623 000 q
4
35 423 171 250 q
5
54 572 818 340 154 q
6
+ ··· .
Den så kallade Yukawakopplingen kan definieras av
K(q)=
5
(1 3125 x)y
2
0
x
dt
dx
3
= 5 + 2875 x + 7090625 x
2
+ 18 991 003 125 x
3
+ ···
= 5 + 2875 q + 4876875 q
2
+ 8 564 575 000 q
3
+ 1 551 796 875 q
4
+ ···
=
k=0
c
k
q
k
=5+
d=1
n
d
d
3
q
d
1 q
d
.
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 31
Då gäller
n
d
=
1
d
3
k|d
µ
d
k
c
k
där µ är Möbiusfunktionen, dvs
µ(n)=
1 om n =1
0 om n innehåller en kvadrat
(1)
r
om n är produkt av r olika primtal
Det märkvärdiga är nu att alla n
d
blir heltal
n
1
= 2875,
n
2
= 609250,
n
3
= 317206 375,
n
4
= 242467 530 000,
n
5
= 229305 888 887 625,
···
och att de räknar rationella kurvor av grad d på mångfalden
x
5
0
+ x
5
1
+ x
5
2
+ x
5
3
+ x
5
4
=0.
Man kan fråga sig om det finns fler exempel där man får heltal som ovan. Vi be-
traktar 4:e ordningens differentialekvationer där lösningarna ser ut som i exemplet
ovan, dvs
y
0
=1+··· ,
y
1
= y
0
log(x)+··· ,
y
2
=
log
2
x
2
y
0
+ ··· ,
y
3
=
log
3
x
6
y
0
+ ···
med
t =
y
1
y
0
och q = exp(t)=x + ··· med spegelavbildningen x = x(q)=q + ··· . Vi definierar
Yukawakopplingen
w =
d
2
dt
2
y
2
y
0
=
k=0
c
k
q
k
=1+
d=1
n
d
d
3
q
d
1 q
d
(i exemplet ovan är K =5w). Mera precist studerar vi egenskaperna:
almkvist.tex,v 1.11
32 Strängar i månsken I Normat 1/2003
E
1
: x(q)=q + ···· har heltalskoefficienter.
E
2
: Alla n
d
är heltal.
Det verkar finnas 14 fall där E
1
gäller och där gäller även E
2
, vilket är ganska
överraskande . Vi ger i slutet av del II katalogen av dessa 14 fall. Alla differential-
ekvationerna är av typen
4
x(a
4
+2a
3
+ b
2
+(b a) + c)
y =0
där a, b, c är heltal. Maple löser snällt denna differentialekvation och man får spe-
gelavbildningen
x(q)=q +(a b +4c)q
2
+
13
8
a
2
+
11
8
b
2
+
163
8
c
2
3 ab +
45
4
ac
21
2
bc
q
3
+ ···
och Yukawakopplingen
w = 1 + (4a 3b + 10c)q
+
59
4
a
2
+
33
4
b
2
+
745
8
c
2
22 ab +
293
4
ac
221
4
bc
q
2
+ ··· .
Att n
d
skall vara heltal leder till oändligt många kongruenser för polynom i a, b, c.
De två första, n
2
och n
3
ger
32a + 24b + 48c + 54a
2
+2b
2
+ 41c
2
+ 16ab + 10ac +6bc 0 mo d 64
och
1863 a + 243 b + 1377 c + 945 a
3
+ 702 b
3
+ 814 c
3
+ 1098 abc + 1566 ab
2
+ 1242 a
2
b + 186 a
2
c + 209 ac
2
+ 210 b
2
c + 2057 bc
2
0 mod 3
7
.
Tyvärr har dessa kongruenser hundratals lösningar, så de är oanvändbara. I ett
Appendix till del II av detta arbete ges en katalog över de 14 exempel som jag har
funnit med referenser. Konvergenta serier med heltalskoefficienter har egenskapen
att antingen är de rationella funktioner eller också har de konvergenscirkeln som
en naturlig gräns (Fritz Carlsson, Math. Ann. 9, 1–13 (1921))
Referenser
Referenser av typen hep-th/9409029 kan laddas ner från arXivbasen
http://arXiv.org/abs/ (t.ex. http://arXiv.org/abs/hep-th/9409029).
[1] R. E. Borcherds, Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras, Invent.
Math. 109, 405–444 (1992).
almkvist.tex,v 1.11
Normat 1/2003 Strängar i månsken I 33
[2] M. Cipu, Replicable functions: a computational approach, Computer Sci. J. of
Moldova 4, 342–359 (1996).
[3] M. Cipu, A conjecture by McKay via Gröbner bases, in Proc. 6
th
Rhein. Workshop
on Computer Al gebra 1998.
[4] J. Conway and S. Norton, Monstrous moonshine, Bull. London Math. Soc. 11,
308–339 (1979).
[5] C. F. Doran, Picard-Fuchs uniformization: Modularity of the mirror map and
mirror-moonshine, math.AG/9812162.
[6] B. M. Dwork, On p-adic diff erential equations. IV. Generalized hypergeometric
functions as p-adic analytic functions in one variable. Ann. sci. l’École Norm. Sup.
6, 295–316 (1973).
[7] D. Ford, J. McKay and S. Norton, More on replicable functions, Commun. Alg. 22
5175–5193 (1994).
[8] P. Goddard, The work of R.E. Borcherds, math.QA/9808136, also in Proc. Intern.
Congr. Berlin. (1998).
[9] M. Jinzenji and M. Nagura, Mirror symmetry and an exact calculation of N 2
point correlation function on Calabi–Yau manifold embedded in CP
N 1
,
hep-th/9409029.
[10] A. Klemm and S. Theisen, Considerations of one-modulus Calabi–Yau
compactifications: Picard–Fuchs equations, Kähler potentials and mirror maps,
hep-th/9205041.
[11] A. Klemm, B.H Lian, S. S. Roan and S.-T. Yau, A note on ODEs from mirror
symmetry, hep-th/9407192.
[12] B. H. Lian and S.-T. Yau, Arithmetic prop erties of mirror map and quantum
coupling, hep-th/9411234.
[13] B. H. Lian and S.-T. Yau, Mirror maps, modular relations and hypergeometric
series I, hep-th/9507151.
[14] B. H. Lian, K. Liu and S.-T. Yau, Mirror principle I, alg-geom/9712011.
[15] A. Libgober and J. Teitelbaum, Lines on Calabi–Yau complete intersections, mirror
symmetry, and Picard–Fuchs equations, Int. Math. Research Notices 1, 29–39
(1993), alg-geom/9301001.
[16] J. McKay and H. Strauss, The q-series of monstrous moonshine and the
decomposition of the head characters, Commun. Alg. 18, 253–278 (1990).
[17] D. R. Morrison, Picard–Fuchs equations and mirror maps for hypersurfaces,
hep-th/9111025.
[18] M. Nagura and K. Sugiyama, Mirror symmetry of K3 and torus, hep-th/9312159.
[19] M. Noguchi, Mirror symmetry of Calabi–Yau manifolds and flat coordinates,
hep-th/9609163.
almkvist.tex,v 1.11
