Normat 51:2, 41–49 (2003) 41
Summations- og integralformler
for (3) og beslægtede konstanter
Ernst E. Scheufens
Institut for Matematik
Danmarks Tekniske Universitet
DK–2800 Lyngby
E.E.Scheufens@mat.dtu.dk
1. Indledning
Riemanns z etafun ktion (s) er for Re s>1 defineret ved [1, p. 807]
(1) (s)=
n=1
1
n
s
.
Euler studerede ovenstående række for naturlige tal, dvs. for s N, og beviste
at rækken var divergent for s =1og konvergent for s>1. En af Eulers største
opdagelser var, at han bestemte summen af rækken for s =2. Eulers bemærkels es-
værdige resultat
n=1
1
n
2
=
2
6
blev senere fulgt op af eksakte værdier for summen af rækken, når s =4, 6, 8, osv.
for lige værdier helt op til s = 26 i en publikation fra 1744, se [5, p. 54].
I dag kendes eksakte formler for (2p) når p er positiv og hel, n emlig [1, p. 807]
(2) (2p)=(1)
p1
B
2p
2(2p)!
(2)
2p
,p N,
hvor B
n
er Bernoullitallene fastlagt ved
B
0
=1,
n
k=0
B
k
n +1
k
=0,n=1, 2, 3,....
scheufens.tex,v 1.5
42 Ernst E . Scheufens Normat 2/2003
Efter succes med at bestemme summen af rækken (1) for flere lige værdier af s
gik Euler i gang med de ulige værdier større end 2, men selv det simpleste tilfælde
s =3fandt han ikke nogen eksakt værdi for, selv om han prøvede flere forskellige
angrebsvinkler. Det bedste han kunne gøre i en artikel fra 1735 var at bestemme
summen af en beslægtet række, nemlig
k=0
(1)
k
(2k + 1)
3
=
3
32
.
På et senere tidspunkt fremkom han med en formodning om at
n=1
1
n
3
= (ln 2)
2
+
2
6
ln 2
for rationale tal og , [5, p . 60].
Hvad ved vi så i dag om (s) for ulige værdier af s større end 2? Svaret er
overraskend e lidt. Der kendes ingen eksakte formler for (2p + 1), p N analogt
med (2). Dog fin de s der integralformler med visse lighedspunkter, fx [1, p. 807]
(3) (2p + 1) = (1)
p+1
(2)
2p+1
2(2p + 1)!
1
0
B
2p+1
(x) cot(x) dx, p N,
hvor B
n
(x) er Bernoullipolynomierne d efin eret ved
te
tx
e
t
1
=
n=0
B
n
(x)
t
n
n!
, |t| < 2.
Længe var kun lidt kendt om (2p + 1), p N, men i 1978 beviste Roger Apéry,
at (3) er et irrationalt tal [7], hvilket førte til navnet Apérys konstant. Siden har
man bevist, at (2p + 1), p N kan udtrykkes op til rationale konstanter ved
Borel-regulatoren fra den algebraiske K-gruppe K
4k+1
(Z). Denne er inkorporeret
i de såkaldte Be˘ılinson-formodninger [6], og det relevante rationale multiplum er
beskrevet af Bloch og Kato ved hjælp af såkaldte Tamagawa-mål [3]. Det tyder
således på at den mest naturlige beskrivelse af zetafunktionens værdier for natur-
lige tal er givet ved algebraisk K-teori af de hele tal, snarere end ved elementære
funktioner. Denne sammenhæng mellem (2p + 1) og algebraisk K-teori er på et
meget avanceret niveau, der fører for vidt til en videre diskussion i denne artikel.
Interesserede kan finde flere henvisninger i [3] og [6].
Nært beslægtet med zetafunktionen er Dirichlets etafunktion, der for Re s>0
er defin eret ved [1, p. 807]
(4) (s)=
n=1
(1)
n1
n
s
og Dirichlets lambdafunktion, der for Re s>1 er defineret ved [1, p. 807]
(5) (s)=
n=0
1
(2n + 1)
s
.
scheufens.tex,v 1.5
Normat 2/2003 Ernst E. Scheufens 43
Etafunktionen kan fortsættes analytisk til hele den komplekse plan, medens zeta-
funktionen og lambdafunktionen kan fortsættes analytisk til hele den komplekse
plan på nær s =1. Sammenhængen mellem funktionerne er
(6) (s) = (1 2
1s
)(s),s C, dog s =1
og
(7) (s) = (1 2
s
)(s),s C, dog s =1.
Formålet med denne artikel er ved hjælp af Fourierrækker for ulige potensfunk-
tioner at udlede nye summationsformler for (3), (3) og (3). Ved hjælp af disse
udledes dernæst integralformler, der sammenlignes med velkendte formler i littera-
turen. Hovedresultatet (22) kan være en ny angrebsvinkel til at finde sammenhænge
mellem Apé rys konstant (3) og andre matematiske konstanter.
2. Summationsformler for etafunktionen
udledt vha. Fourierrækker
Den perio diske funktion f
p
givet ved f
p
(x +2)=f
p
(x), x R og
f
p
(x)=x
2p+1
, <x
kan for p =0, 1, 2,... udvikles i en Fourierrække
n=1
b
n,p
sin nx,
hvor
(8) b
n,0
=
2
0
x sin nx dx =
2(1)
n1
n
,n=1, 2, 3,...
og
(9)
b
n,p
=
2
0
x
2p+1
sin nx dx
=
2
2p
(1)
n1
n
4p(2p + 1)
n
2
0
x
2p1
sin nx dx
=
2
2p
(1)
n1
n
2p(2p + 1)
n
2
b
n,p1
,
n =1, 2, 3,..., p =1, 2, 3,....
Fourierrækkens sum er (x 2k )
2p+1
for (2k 1)<x<(2k + 1), k Z
og 0 for x =0, ±, ±2,. ... Da integration og summation kan ombyttes [9, p. 30]
er
0
1
x
n=1
b
n,p
sin nx dx =
n=1
b
n,p
0
sin nx
x
dx =
2
n=1
b
n,p
,
scheufens.tex,v 1.5
44 Ernst E . Scheufens Normat 2/2003
hvoraf følger
2
n=1
b
n,p
=
0
x
2p
dx +
3
(x 2)
2p+1
x
dx +
5
3
(x 4)
2p+1
x
dx + ···
=
2p+1
2p +1
+
t
2p+1
t +2
dt +
t
2p+1
t +4
dt + ···
=
2p+1
2p +1
+
k=1
t
2p+1
t +2k
dt
eller
(10)
1
2
n=1
b
n,p
=
2p
2p +1
+
1
k=1
t
2p+1
t +2k
dt.
Sættes p =0i (10) fås
n=1
(1)
n1
n
=1+
1
k=1
t
t +2k
dt =1+
1
k=1
t 2k ln(t +2k)
.
Idet rækken på venstre side er (1) = ln 2 og grænserne under summationstegnet
på højre side indsættes, fås
(11) (1) = ln 2 = 1 + 2
k=1
1 k ln
2k +1
2k 1
eller
(12)
k=1
k ln
2k +1
2k 1
1
=
1
2
(1 ln 2).
Dette resultat kan også findes i [8, p.748].
Sættes p =1i (10) fås
(13)
1
2
n=1
b
n,1
=
3
3
+
1
k=1
t
3
t +2k
=
3
3
+
1
k=1
1
3
t
3
1
2
t
2
· 2k + t · (2k)
2
(2k)
3
ln(t +2k)
=
3
3
+2
2
k=1
1
3
+4k
2
4k
3
ln
2k +1
2k 1
.
scheufens.tex,v 1.5
Normat 2/2003 Ernst E. Scheufens 45
Af rekursionsformlen (9) for b
n,p
fås
(14)
b
n,1
=
2
2
(1)
n1
n
6
n
2
b
n,0
=
2
2
(1)
n1
n
12(1)
n1
n
3
,n=1, 2, 3,....
Af (13) og (14) fås
n=1
2
(1)
n1
n
6(1)
n1
n
3
=
2
3
+2
2
k=1
1
3
+4k
2
4k
3
ln
2k +1
2k 1
og da rækken på venstre side er
2
ln 2 6(3) fås
(15) (3) =
2
6
ln 2
2
18
+
2
3
k=1
4k
3
ln
2k +1
2k 1
4k
2
1
3
.
Ved at b enytte rekursionsformlen (9) kan man udlede tilsvarende summationsform-
ler for (5), (7), osv.
3. Integralformler for etafunktionen
Ved at benytte Laurentrækken for ln
2k +1
2k 1
gældende for k>
1
2
finder man
4k
3
ln
2k +1
2k 1
4k
2
1
3
=4k
3
n=1
2
(2n 1)(2k)
2n1
4k
2
1
3
=
n=3
1
(2n 1)(2k)
2n4
eller
(16) 4k
3
ln
2k +1
2k 1
4k
2
1
3
=
p=1
1
(2p + 3)2
2p
k
2p
,k>
1
2
.
Af (15) og (16) fås
(3) =
2
6
ln 2
2
18
+
2
3
k=1
p=1
1
(2p + 3)2
2p
k
2p
=
2
6
ln 2
2
18
+
2
3
p=1
1
(2p + 3)2
2p
k=1
1
k
2p
=
2
6
ln 2
2
18
+
2
3
p=1
(2p)
(2p + 3)2
2p
.
scheufens.tex,v 1.5
46 Ernst E . Scheufens Normat 2/2003
Ved at benytte (2) fås
(17)
(3) =
2
6
ln 2
2
18
+
2
3
p=1
(1)
p1
B
2p
2(2p + 3)(2p)!
2p
=
2
6
ln 2 +
2
3
p=0
(1)
p1
B
2p
2(2p + 3)(2p)!
2p
.
For at omskrive summen til et integral b etragtes funktionen
(18) f(x)=
p=0
(1)
p1
B
2p
2(2p + 3)(2p)!
x
2p+3
, 2<x<2
med de n afledede
f
(x)=
p=0
(1)
p1
B
2p
2(2p)!
x
2p+2
=
1
2
x
2
p=0
(1)
p
B
2p
(2p)!
x
2p
, 2<x<2.
Vi genkender her Taylorrækken
(19)
1
2
x cot
x
2
=
p=0
(1)
p
B
2p
(2p)!
x
2p
2<x<2,
altså er
(20) f
(x)=
1
4
x
3
cot
x
2
, 2<x<2.
Af (17) og (18) fås
(3) =
2
6
ln 2 +
2
3
·
f()
3
=
2
6
ln 2 +
1
3
0
f
(x) dx
og endelig ved benyttelse af (20)
(21) (3) =
2
6
ln 2
1
12
0
x
3
cot
x
2
dx.
Ved at benytte passende substitutioner kan (21) omskrives til integralformler, hvor
cotangens h ar argumentet x eller x.
4. Summations- og integralformler for zetafunktionen
Af (6) følger, at (3) =
4
3
(3). Ved hjælp af (15) fås summationsformlen
(22) (3) =
2
2
9
ln 2
2
2
27
+
4
2
9
k=1
4k
3
ln
2k +1
2k 1
4k
2
1
3
scheufens.tex,v 1.5
Normat 2/2003 Ernst E. Scheufens 47
og ved hjælp af (21) fås integralformlen
(23) (3) =
2
2
9
ln 2
1
9
0
x
3
cot
x
2
dx.
Summationsformlerne (15) og (22) har det ikke været muligt at finde n ogen steder.
Euler brugte divergente rækker indeholdende logaritmeled til at bestemme e n inte-
gralformel for (3), se næste afsnit. I [8, p.747, 5.5.1, ligning 9] er angivet en formel
for poten srækken
k=1
1
k
x
k
ln
k + a
k + b
,
som efter nogle differentiationer kunne bruges til en omskrivning af summen til et
kompliceret integral. Formlen i [8] er i øvrigt forkert og bør retmæssigt være
k=1
1
k
x
k
ln
k + a
k + b
=
1
0
(t
b1
t
a1
) ln(1 xt)
dt
ln t
, |x| < 1.
Det skal nu bevises, at integralformlen (23) stem mer overens med (3) for p =1.
Idet B
3
(x) cot(x) er symmetrisk om x =
1
2
fås af (3) for p =1
(24) (3) =
(2)
3
2 · 3!
1
0
B
3
(x) cot(x) dx =
(2)
3
3!
1/2
0
B
3
(x) cot(x) dx.
Indsættes B
3
(x) og substitueres x = t fås
(3) =
4
3
3
1/2
0
(x
3
3
2
x
2
+
1
2
x) cot(x) dx
=
4
3
/2
0
t
3
cot t dt 2
/2
0
t
2
cot t dt +
2
3
/2
0
t cot t dt,
som ved benyttelse af matematikprogrammet Maple giver
(3) =
4
3
/2
0
t
3
cot t dt 2
2
4
ln 2
7
8
(3)
+
2
3
·
2
ln 2.
og efter en lille omskrivning
(25) (3) =
2
2
9
ln 2
16
9
/2
0
t
3
cot t dt.
Ved at substituere t =
1
2
x i integralet fås (23).
scheufens.tex,v 1.5
48 Ernst E . Scheufens Normat 2/2003
5. Sammenligning med Eulers formel for (3)
Euler har i 1772 givet et kompliceret bevis for, at
(26) (3) =
2
4
ln 2 + 2
/2
0
x ln sin xdx.
Beviset, der bygger på anvend else af divergente rækker og løsning af en differens-
differentialligning, er i store træk gengivet i [2]. Det skal her vises hvorledes inte-
gralformlen for (3) også fører til (26). Af (7) følger, at (3) =
7
8
(3) og dermed
ved hjælp af (25) med x som integrationsvariabel i stedet for t
(27) (3) =
7
2
36
ln 2
14
9
/2
0
x
3
cot xdx.
Ved at benytte partiel integration fås
2
/2
0
x ln sin xdx=
/2
0
x
2
cot xdx
og dernæst ved hjælp af Maple og (25)
/2
0
x
2
cot xdx=
2
4
ln 2
7
8
(3) =
2
4
ln 2
7
8
2
2
9
ln 2
16
9
/2
0
x
3
cot xdx
Altså er
2
4
ln 2 + 2
/2
0
x ln sin xdx=
2
4
ln 2
/2
0
x
2
cot xdx
=
7
2
36
ln 2
14
9
/2
0
x
3
cot xdx
og det er dermed bevist, at (26) og (27) stemmer overens.
6. Konklusion
Det er velkendt, at Fourierrækker for x
2p
, <x<kan bruges til at bestemme
eksakte værdier for (2p), p N, fordi Fourierrækkerne er cosinus-rækker, se fx
[10]. Da Fourierrækker for x
2p+1
, <x<er sinus-rækker, kan man ikke på
samme måde bestemme eksakte værdier for (2p + 1), p N. I denne artikel er
vist hvorledes man kan arbejde videre med sinus-rækkerne ved at dividere med x
og dernæst integrere fra nul til uen delig. Herved opnås, at man får en konstant
multipliceret med summen af Fourierkoefficienterne, som så kan udtrykkes ved
(2p + 1), p N. Der er på denne måde fundet nye rækker for (3) og beslægtede
konstanter, som kan være en ny angrebsvinkel til at finde sammenhænge mellem
Apérys konstant (3) og andre matematiske konstanter. Ved hjælp af de fundne
rækker er udledt integralformler, der kan sammenlignes med velkendte formler fra
litteraturen.
scheufens.tex,v 1.5
Normat 2/2003 Ernst E. Scheufens 49
Litteratur
[1] M. Abramowitz, I. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions / With
Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover Publications, New York, 1972.
[2] R. Ayoub, Euler and the Zeta Function. Amer. Math. Monthly 81, 1067–1086
(1974).
[3] S. Bloch and K . K ato, L-functions and Tamagawa numbers of motives.
The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Prog. Math. 86, 333–400 (1990).
[4] D. Cvijović, J. Klinowski, Integral representations of the Riemann zeta function for
odd-integer arguments. J. Comput. App. Math. 142, 435–439 (2002).
[5] William Dunham, Euler: The master of us all. The Dolciani Mathematical
Exposi tions 22, MAA 1999.
[6] J. Nekovář, Be˘ılinson’s conjectures. In Motives (Seattle, WA 1991).
Proc. Symp. Pure Math. 55/I, 537–570 (1994).
Kan findes på nettet: http://www.math.jussieu.fr/~nekovar/pu/.
[7] A. van der Poorten, A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality
of (3). Math. Intelligencer 1, 196–203 (1979).
[8] A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, O. I. Marichev, Integrals and Series, Vol. 1.
Gordon and Breach, New York, 1990.
[9] N. M. Temme, Special Functions. An Introduction to the Classical Functions of
Mathematical Physics. John Wiley, New York, 1996.
[10] G. P. Tolstov, Fourier Series, Prentice-Hall, New Jersey, 1962.
scheufens.tex,v 1.5
