Normat 51:2, 63–79 (2003) 63
Strängar i månsken II
Gert Almkvist
Matematikcentrum
Box 118
SE–22100 Lund
Inledning.
I denna andra del studeras först differentialekvationer av 4:e ordningen, där maxi-
mal degeneration råder, dvs det finns lösningar med log(x)-termer upp till log
3
(x).
Ett villkor på koefficienterna härleds, vilket är ekvivalent med en vanlig formel för
Yukawakopp lingen. Därefter ges en del exempel av högre ordning där spegelavbild-
ningen har heltalskoefficienter. I ett Appendix ges en katalog över de kända 4:e
ordningens differentialekvationer där spegelavbildningen (o ch märkligt nog även
Yukawakopp lingen har heltaliga n
d
) har heltalskoefficienter. Exempel 9 är nytt
men har oberoende också upptäckts av Doran och Morgan i New York.
1. Allmän teori för 4:e ordningens differentialekvationer.
Betrakta differentialekvationen
y
+ p
3
(x)y
+ p
2
(x)y
+ p
1
(x)y
+ p
0
(x)y =0
med lösningarna y
0
, y
1
, y
2
, y
3
. Sätt
t =
y
1
y
0
.
Låt
u
1
=
y
1
y
0
,u
2
=
y
2
y
0
,u
3
=
y
3
y
0
.
Del I av denna artikkel trycktes i förra numret.
almkvist.tex,v 1.12
64 Strängar i månsken II Normat 2/2003
Vi antar i fortsättningen att följande gäller
u
1
= log(x)+s
1
,
u
2
=
1
2
log
2
(x)+s
1
log(x)+s
2
,
u
3
=
1
6
log
3
(x)+
1
2
s
1
log
2
(x)+s
2
log(x)+s
3
.
där
s
1
= a
1
x + a
2
x
2
+ ··· ,
s
2
= b
1
x + b
2
x
2
+ ··· ,
s
3
= c
1
x + c
2
x
2
+ ··· .
Dessa ko e fficienter är inte ob e roende av varandra. Man kan visa att f öljand e gäller
c
1
= 2b
1
,
c
2
=
1
2
a
2
1
b
2
,
c
3
=
1
3
(2a
1
a
2
+ a
1
b
2
a
2
b
1
2b
3
),
c
4
=
1
4
(a
2
2
+2a
1
b
3
2b
4
+2a
1
a
3
2a
3
b
1
),
c
5
=
1
5
(a
2
b
3
2b
5
3a
4
b
1
a
3
b
2
+2a
2
a
3
+2a
1
a
4
+3a
1
b
4
).
Sats: Följande är ekvivalent
d
2
dt
2
y
2
y
0
=
exp
1
2
p
3
(x) dx
y
2
0
dt
dx
3
(a)
p
1
=
1
2
p
2
p
3
1
8
p
3
3
+ p
2
3
4
p
3
p
3
1
2
p
3
(b)
Bevis: Sätt
u
1
=
y
1
y
0
,u
2
=
y
2
y
0
,u
3
=
y
3
y
0
.
Då är u
1
, u
2
, u
3
lösningar till
u
+ q
3
u
+ q
2
y
+ q
1
u
=0
där
q
1
= p
1
+2p
2
y
0
y
0
+3p
3
y
0
y
0
+4
y
0
y
0
,
q
2
= p
2
+3p
3
y
0
y
0
+6
y
0
y
0
,
q
3
= p
3
+4
y
0
y
0
.
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 65
Vi har
d
dt
y
2
y
0
=
du
2
dt
= u
2
dx
dt
=
u
2
u
1
ty
t = u
1
och
d
2
dt
2
y
2
y
0
=
d
dt
u
2
u
1
=
u
2
u
1
u
2
u
1
(u
1
)
2
1
u
1
=
w
dt
dx
3
där
w = u
1
u
2
u
1
u
2
=
u
1
u
2
u
1
u
2
.
Vi härleder en differentialekvation för w
w
=
u
1
u
2
u
1
u
2
,
w
=
u
1
u
2
u
1
u
2
+
u
1
u
2
u
1
u
2
=
u
1
u
2
u
1
u
2
q
3
w
q
2
w,
w
=
u
1
u
2
u
1
u
2
(q
3
w
)
(q
2
w )
= q
3
u
1
u
2
u
1
u
2
+ q
1
w q
3
w
q
3
w
q
2
w
q
2
w
= q
3
(w
+ q
3
w
+ q
2
w )+q
1
w q
3
w
q
3
w
q
2
w
q
2
w.
Det följer
w
+ r
2
w
+ r
1
w
+ r
0
w =0
där
r
0
= q
2
q
3
q
1
+ q
2
,
r
1
= q
2
+ q
2
3
+ q
3
,
r
2
=2q
3
.
Vi visar att
w =
1
y
2
0
exp
1
2
p
3
(x) dx
satisfierar differentialekvationen för w. Vi deriverar
w
=
1
2
p
3
+2
y
0
y
0
w,
w
=
1
4
p
2
3
1
2
p
3
+2p
3
y
0
y
0
2
y
0
y
0
+6
(y
0
)
2
y
2
0
w,
w
=
3
4
p
3
p
3
1
2
p
3
1
8
p
3
3
+ 3(p
3
1
2
p
2
3
)
y
0
y
0
+3p
3
y
0
y
0
2
y
0
y
0
9p
3
y
0
y
0
2
+ 18
y
0
y
0
y
2
0
24
y
0
y
0
3
w.
almkvist.tex,v 1.12
66 Strängar i månsken II Normat 2/2003
Nu sätter vi in detta i
w
+ r
2
w
+ r
1
w
+ r
0
w =0.
Som genom ett under försvinner alla termer med y
0
och de ss derivator och vi får
kvar
1
2
p
2
p
3
1
8
p
3
3
+ p
2
3
4
p
3
p
3
p
1
w =0.
Så w och w satisfierar samma differentialekvation. Vi utvecklar nära x =0
w =
1
x
3
+
3a
1
+ b
1
x
2
+
6a
2
+4b
2
+ a
2
1
x
+ ···
w =
1
x
3
+
3a
1
+2b
1
+
1
2
c
1
x
2
+
4a
1
b
1
+6a
2
+4c
2
+8b
2
2a
1
c
1
3
2
b
2
1
a
2
1
1
8
b
1
c
1
c
2
1
x
+ ···
Använder vi relationerna mellan koefficienterna ser vi att w och w överensstämmer.
Följdsats 1: Under förutsättningarna i Satsen gäller
d
2
dt
2
y
3
y
0
= t
d
2
dt
2
y
2
y
0
.
Bevis: Påståendet är ekvivalent med
u
1
u
3
u
1
u
3
= u
1
u
1
u
2
u
1
u
2
= u
1
w.
Observera att vänsterledet är också (liksom w) en lösning till
w
+ r
2
w
+ r
1
w
+ r
0
w =0
om vi byter y
2
mot y
3
. Vi måste alltså visa att om w och uw är lösningar till denna
differentialekvation så är u lösning till
u
+ q
3
u
+ q
2
u
+ q
1
u
=0.
Vi får
u
w +3u
w
+3u
w
+ uw
+ r
2
(u
w +2u
w
+ uw
)
+ r
1
(u
w + uw
)+r
0
uw =0.
Det följer
u
+
3
w
w
+ r
2
u
+
3
w
w
+2r
2
w
w
+ r
1
u
=0
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 67
eller säg
u
+ s
2
u
+ s
1
u
=0.
Derivera
u
+ s
2
u
+(s
2
+ s
1
)u
+ s
1
u
=0,
s
2
u
+ s
2
2
u
+ s
2
s
1
u
=0.
Addera
u
+2s
2
u
+(s
2
2
+ s
2
+ s
1
)u
+(s
2
s
1
+ s
1
)u
=0.
Men
s
1
= r
1
+2r
2
w
w
+3
w
w
,
s
2
= r
2
+3
w
w
och vi har formler för w
/w och w
/w . Sätter vi in detta finner vi (Maple) att u
satisfierar
u
+ q
3
u
+ q
2
u
+ q
1
u
=0.
Anmärkning: Ur följdsatsen får man
1
2
d
3
dt
3
t
y
2
y
0
y
3
y
0
=
d
2
dt
2
y
2
y
0
Vänsterledet brukar användas som definition av Yukawakopplingen.
Följdsats 2: Differentialekvationen
4
x(a
4
+2a
3
+ b
2
+(b a) + c)
y =0,= x
d
dx
,
uppfyller villkoret i Satsen. Vidare gäller att Yukawakopplingen är
w =
d
2
dt
2
y
2
y
0
=
1
(1 ax)y
2
0
x
dt
dx
3
.
Bevis: Man visar lätt att differentialekvationen blir
y
+
6 8ax
x(1 ax)
y
+
7 13ax bx
x
2
(1 ax)
y
+
1 2ax 2bx
x
3
(1 ax)
y
c
x
3
(1 ax)
y =0.
Med h jälp av Maple kontrollerar man villkoret i Satsen. Vidare blir
1
2
p
3
(x) dx =
3 4ax
x(1 ax)
dx = 3 log(x) + log(1 ax)
almkvist.tex,v 1.12
68 Strängar i månsken II Normat 2/2003
och
exp
1
2
p
3
(x) dx
=
1
(1 ax)x
3
.
Något mera allmänt betraktar vi
4
ax(
4
+ s
1
3
+ s
2
2
+ s
3
+ c)
y =0.
Villkoret i Satsen är uppfyllt om och endast om
s
3
1
4s
1
s
2
+8s
3
=0,
4s
1
s
2
6s
2
1
+4s
1
+8s
2
16s
3
=0,
4s
1
8s
2
+8s
3
=0.
Eliminerar man s
2
och s
3
får man
s
3
1
s
2
1
+8s
1
=0
med lösningarna
(a) s
1
= s
2
= s
3
=0;
(b) s
1
=2ger s
3
= s
2
1 vilket är precis fallet med a, b, c som ger de 14
lösningarna i katalogen;
(c) s
1
=4, s
2
=6,s
3
=4, dvs
4
ax(( + 1)
4
+ c 1)
y =0.
Vi indikerar att fall (c) inte kan ge några heltalslösningar. Betrakta
x(q)=
n=1
h(n)q
n
.
Beräkna t.ex. h(14) för c =0, 1, 2,...,12 och faktorisera. Vi finner att nämnaren
alltid innehåller minst en faktor 13. Det följer att a är delbart med 13. På samma
sätt inses att andra primtal måste dela a.
Inspirerade av Lian–Yaus konstruktion för 3:e ordningens differentialekvationer
betraktar vi differentialoperatorn
4
m
j=1
j
x
j
f
j
() där f
j
()=
4
+ ···+ b
j
.
Vi tar m =2och finner att en lösning till
p
1
=
1
2
p
2
p
3
1
8
p
3
3
+ p
2
3
4
p
3
p
3
1
2
p
3
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 69
ges av
4
1
x
4
+2
3
+ a
1
2
+(a
1
1) + b
1
2
x
2
4
+4
3
+ a
2
2
+ (2a
2
8) + b
2
(där finns fler lösningar). Jag har gjort ett par försök att hitta heltalslösningar utan
att lyckas (se tillägget i slutet av artikeln där m =5).
2. Högre ordningens differentialekvationer.
Man obs erverar att för alla 14 fallen i Calabi–Yaukatalogen är y
0
av formen
y
0
=
n=0
(an)!(bn)! ···
(cn)!(dn)! ···(n!)
k
x
n
där
a + b + ···= c + d + ···+ k.
Man kan fråga sig om man kan få heltalskoefficienter i spegelavbildningen x(q) i
fler fall där vi har en högre ordnings differentialekvation. Det är oklart (åtminstone
för mig) hur man skall definiera Yukawakopplingen i dessa fall. Först finner vi
lösningen y
1
. Definiera
H(n)=
n
j=1
1
j
.
Då får vi y
1
= y
0
log(x)+u där
u =
n=1
(an)!(bn)! ···
(cn)!(dn)! ···(n!)
k
aH(an)+bH(n)+···cH(cn)
dH(dn) ···kH (n)
x
n
Nu får vi
q = x exp
u
y
0
och har q heltalskoefficienter så har inversa funktionen x = x(q) de t också. Vi inför
beteckningen
a, b, ···
c, d, ···
för y
0
ovan.
almkvist.tex,v 1.12
70 Strängar i månsken II Normat 2/2003
Exempel 5: Följande ger heltal (experimentellt. . . )
m
1
,(a)
a
c, d
om a 3c och d
3c
2
,(b)
a, b
c, d
om a 2c och b 2c
c
2
och d c +
c
2
.(c)
Exempel 6: Betrakta fallet
10
5, 3
.
Här får vi
y
0
=
n=0
(10n)!
(5n)!(3n)!(n!)
2
x
n
= 1 + 5040 x + 23279260 x
2
+ ···
och
y
1
= y
0
log(x) + 52280 x + 2556657164 x
2
+ ···
Vi får differentialekvationen av 5:e ordningen
3
1
3
2
3
20
5
3
3
x
+
1
10
+
3
10
+
5
10
+
7
10
+
9
10
med ytterligare lösningar
y
3
= y
0
log
2
(x) + 2 log(x)(52280 x + ···)+
52360
3
x +
18235676966
5
x
2
+ ··· ,
y
4
= x
1/3
1+
7082725
324
x + ···
,
y
5
= x
2/3
1+
71977304
2025
x + ···
.
Vi får
q = exp
y
1
y
0
= x + 52280 x
2
+ 3659765164 x
3
+ 293 959 429 567 160 x
4
+ ···
och
x = q 52280 q
2
+ 1806631636 q
3
517 548 774 560 q
4
···.
Exempel 7: Vi ger ett exempel till, som leder till en 6:e ordningens differentialekva-
tion
14
7, 2, 2, 2
.
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 71
Vi har alltså
y
0
=
n=0
(14n)!
(7n)!
(2n)!
3
n!
x
n
och
y
1
= y
0
log(x)+
n=1
(14n)!
(7n)!
(2n)!
3
n!
14H(14n) 7H(7n) 6H(2n) H(n)
x
n
med
x = x(q)=q 37 560 768 q
2
107 216 579 834 784 q
3
251 581 983 382 544 966 464 q
4
···.
Differentialekvationen blir
4
1
2
2
2 · 14
7
x
+
1
14
+
3
14
+
5
14
+
9
14
+
11
14
+
13
14
.
Genom att använda ett kriterium av Dwork [6], gör vi följande
Förmodan: x(q) har heltals koefficienter om och endast om
y
0
(x)u(x
p
) py
0
(x
p
)u(x) 0 mod p
för alla primtal p. Här betyder
a
b
0 mod p
att p | a och p b.
Referenser
Referenser av typen hep-th/9409029 kan laddas ner från arXivbasen
http://arXiv.org/abs/ (t.ex. http://arXiv.org/abs/hep-th/9409029).
[1] R. E. Borcherds, Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras. Invent.
Math. 109, 405–444 (1992).
[2] M. Cipu, Replicable functions: a computational approach. Computer Sci. J. of
Moldova 4, 342–359 (1996).
[3] M. Cipu, A conjecture by McKay via Gröbner bases. in Proc. 6
th
Rhein. Workshop
on Computer Algebra 1998.
[4] J. Conway and S. Norton, Monstrous moonshine. Bull. London Math. Soc. 11,
308–339 (1979).
[5] C. F. Doran, Picard-Fuchs uniformization: Modularity of the mirror map and
mirror-moonshine. math.AG/9812162.
almkvist.tex,v 1.12
72 Strängar i månsken II Normat 2/2003
[6] B. M. Dwork, On p-adic diff erential equations. IV. Generalized hypergeometric
functions as p-adic analytic functions in one variable. Ann. sci. l’École Norm. Sup.
6, 295–316 (1973).
[7] D. Ford, J. McKay and S. Norton, More on replicable functions. Commun. Alg. 22
5175–5193 (1994).
[8] P. Goddard, The work of R.E. Borcherds. math.QA/9808136, also in Proc. Intern.
Congr. Berlin. (1998).
[9] M. Jinzenji and M. Nagura, Mirror symmetry and an exact calculation of N 2
point correlation function on Calabi–Yau manifold embedded in CP
N 1
.
hep-th/9409029.
[10] A. Klemm and S. Theisen, Considerations of one-modulus Calabi–Yau
compactifications: Picard–Fuchs equations, Kähler potentials and mirror maps.
hep-th/9205041.
[11] A. Klemm, B. H Lian, S. S. Roan and S.-T. Yau, A note on ODEs from mirror
symmetry. hep-th/9407192.
[12] B. H. Lian and S.-T. Yau, Arithmetic properties of mirror map and quantum
coupling. hep-th/9411234.
[13] B. H. Lian and S.-T. Yau, Mirror maps, modular relations and hypergeometric
series I. hep-th/9507151.
[14] B. H. Lian, K. Liu and S.-T. Yau, Mirror principle I. alg-geom/9712011.
[15] A. Libgober and J. Teitelbaum, Lines on Calabi–Yau complete intersections, mirror
symmetry, and Picard–Fuchs equations. Int. Math. Research Notices 1, 29–39
(1993), alg-geom/9301001.
[16] J. McKay and H. Strauss, The q-series of monstrous moonshine and the
decomposition of the head characters. Commun. Alg. 18, 253–278 (1990).
[17] D. R. Morrison, Picard–Fuchs equations and mirror maps for hypersurfaces.
hep-th/9111025.
[18] M. Nagura and K. Sugiyama, Mirror symmetry of K3 and torus. hep-th/9312159.
[19] M. Noguchi, Mirror symmetry of Calabi–Yau manifolds and flat coordinates.
hep-th/9609163.
Appendix.
Katalog över kända differentialekvationer av formen
4
x(a
4
+2a
3
+ b
2
+(b a) + c)
y =0
där a, b, c är heltal och där spegelavbildningen och Yukawakopplingen har heltalsko-
efficienter. Referenser ges utom i exempel 9, som jag inte har lyckats finna i littera-
turen. Ett e-mail från C. Doran och J. Morgan (12.2.03) visar att de också funnit
denna ekvation men ännu inte vet om de n kommer från en Calabi–Yau-mångfald.
De be kräftar att det inte finns mer än 14 fall, med ”Hodgeindex h
1,1
=1”.
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 73
1. a = 3 125, b = 4375,c= 120:
4
5
5
x( +
1
5
)( +
2
5
)( +
3
5
)( +
4
5
)
x = q 770 q
2
+ 171 525 q
3
81623000 q
4
35423171250 q
5
···
n
1
= 2875 n
3
= 63441275
n
2
= 121850
y
0
=
n=0
(5n)!
(n!)
5
x
n
x
5
0
+ x
5
1
+ x
5
2
+ x
5
3
+ x
5
4
=0
Klemm–Theisen hep-th/9205041.
2. a = 800000, b = 1040000, c = 15 120:
4
800 000 x( +
1
10
)( +
3
10
)( +
7
10
)( +
9
10
)
x = q 179520 q
2
+ 6827618400 q
3
1265272725248 000 q
4
233438874774 349 890 000 q
5
···
n
1
= 231200 n
3
= 1700894366 474 400
n
2
= 12215785600
y
0
=
n=0
(10n)!
(5n)!(2n)!(n!)
3
x
n
x
2
0
+ x
5
1
+ x
10
2
+ x
10
3
+ x
10
4
=0
Klemm–Theisen hep-th/9205041, Morrison hep-th/9111025.
3. a = 256, b = 384, c = 16:
4
256 x( +
1
2
)
4
x = q 64 q
2
+ 1120 q
3
38912 q
4
1536464 q
5
···
n
1
= 32 n
4
= 1606496
n
2
= 608 n
5
= 122373984
n
3
= 26016
y
0
=
n=0
2n
n
4
x
n
V
2,2,2,2
Libgober–Teitelbaum [15].
almkvist.tex,v 1.12
74 Strängar i månsken II Normat 2/2003
4. a = 729, b = 1053, c = 36:
4
3
6
x( +
1
3
)
2
( +
2
3
)
2
x = q 180 q
2
+ 8910 q
3
948 840 q
4
106 787 835 q
5
···
n
1
= 117 n
4
= 126605376
n
2
= 5868 n
5
= 27754210287
n
3
= 713814
y
0
=
n=0
(3n)!
(n!)
3
2
x
n
V
3,3
Litgob e r–Teitelbaum [15].
5. a = 432, b = 636, c = 24:
4
432 x( +
1
2
)
2
( +
1
3
)
2
x = q 108 q
2
+ 3294 q
3
198 000 q
4
12287187 q
5
···
n
1
= 60 n
4
= 14016600
n
2
= 1869 n
5
= 1806410976
n
3
= 134292
y
0
=
n=0
2n
n
2
(3n)!
(n!)
3
x
n
V
2,2,3
Litgob e r–Teitelbaum [15].
6. a = 1 024, b = 1472, c = 48:
4
2
10
x( +
1
2
)
2
( +
1
4
)( +
3
4
)
x = q 256 q
2
+ 19296 q
3
2836480 q
4
378 262 992 q
5
···
n
1
= 160 n
4
= 485487816
n
2
= 11536 n
5
= 14865410272
n
3
= 1956896
y
0
=
n=0
2n
n
(4n)!
(n!)
4
x
n
V
2,4
Libgober–Teitelbaum [15].
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 75
7. a = 65 536, b = 88064, c = 1 680:
4
2
16
x( +
1
8
)( +
3
8
)( +
5
8
)( +
7
8
)
x = q 15808 q
2
+ 71416416 q
3
781 471 946 752 q
4
7530783115074 000 q
5
···
n
1
= 14752 n
4
= 11596528012 396 656
n
2
= 64417456 n
5
= 233938237 312 624 658 400
n
3
= 711860273 440
y
0
=
n=0
(8n)!
(4n)!(n!)
4
x
n
4x
2
0
+ x
8
1
+ x
8
2
+ x
8
3
+ x
8
4
=0
Klemm–Theisen hep-th/9205041.
8. a = 11 664, b = 15876, c = 360:
4
11664 x( +
1
6
)( +
5
6
)( +
1
3
)( +
2
3
)
x = q 2772 q
2
+ 1980126 q
3
4010268048 q
4
8360302475475 q
5
···
n
1
= 2628 n
4
= 11533584001 896
n
2
= 2009484 n
5
= 41531678111 043 360
n
3
= 3966805740
y
0
=
n=0
(6n)!
(2n)!(n!)
4
x
n
2x
3
0
+ x
6
1
+ x
6
2
+ x
6
3
+ x
6
4
=0
Klemm–Theisen hep-th/9205041.
9. a = 2 985 984, b = 3939840, c = 55 440:
4
12
6
x( +
1
12
)( +
5
12
)( +
7
12
)( +
11
12
)
x = q 732096 q
2
+ 170 505 085 536 q
3
83145856878680 064 q
4
27817433158336 224 803 280 q
5
···
n
1
= 678816 n
3
= 69080128815 414 048
n
2
= 137685060 720 n
4
= 51172489466 251 340 674 608
y
0
=
n=0
2n
n
(12n)!
(6n)!(4n)!(n!)
2
x
n
almkvist.tex,v 1.12
76 Strängar i månsken II Normat 2/2003
10. a = 4 096, b = 5632, c = 144:
4
2
12
x( +
1
4
)
2
( +
3
4
)
2
x = q 960 q
2
+ 213 600 q
3
160 471 040 q
4
136 981 068 240 q
5
···
n
1
= 928 n
4
= 174999877 936
n
2
= 245616 n
5
= 221984814 405 088
n
3
= 170869536
y
0
=
n=0
(4n)!
(2n)!(n!)
2
2
x
n
Klemm–Theisen hep-th/9304034.
11. a = 1 728, b = 2436, c = 72:
4
12
3
x( +
1
4
)( +
3
4
)( +
1
3
)( +
2
3
)
x = q 420 q
2
+ 47070 q
3
12722000 q
4
3647205075 q
5
···
n
1
= 324n
4
= 4580482284
n
2
= 37260n
5
= 2405245303 584
n
3
= 10792428
y
0
=
n=0
(3n)!(4n)!
(2n)!(n!)
5
x
n
Klemm–Theisen hep-th/9304034.
12. a = 27 648, b = 36672, c = 720:
4
2
10
3
3
x( +
1
4
)( +
3
4
)( +
1
6
)( +
5
6
)
x = q 6144 q
2
+ 6866784 q
3
48364795904 q
4
347 475 565 045 200 q
5
···
n
1
= 7776 n
4
= 475338414 733 416
n
2
= 13952088 n
5
= 4184555647 748 620 320
n
3
= 66942277344
y
0
=
n=0
4n
2n
(6n)!
(3n)!(n!)
3
x
n
Klemm–Theisen hep-th/9304034.
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 77
13. a = 186624, b = 238464, c = 3 600:
4
2
8
3
6
x( +
1
6
)
2
( +
5
6
)
2
x = q 37440 q
2
+ 84900960 q
3
15150231951360 q
4
968 512 019 592 810 960 q
5
···
n
1
= 67104 n
4
= 1431885139 218 997 920
n
2
= 847288224 n
5
= 88985016340 513 371 957 600
n
3
= 28583248229 280
y
0
=
n=0
(6n)!
(3n)!(2n)!n!
2
x
n
Klemm–Theisen hep-th/9304034.
14. a = 6 912, b = 9600, c = 240:
4
2
8
3
3
x( +
1
2
)
2
( +
1
6
)( +
5
6
)
x = q 1728 q
2
+ 933 984 q
3
967 108 608 q
4
744 650 899 920 q
5
···
n
1
= 1248 n
4
= 1149904141 056
n
2
= 597192 n
5
= 2394928461 766 560
n
3
= 683015008
y
0
=
n=0
2n
n
(6n)!
(3n)!(n!)
3
x
n
Klemm-Theisen hep-th/9304034
Tillagt i korrekturet
Det finns åtminstone ytterligare 14 differentialekvationer av ordning 4, som ger
heltaliga spegelavbildningar och n
d
. Se V.V. Batyrer, V. van Straten, ”Generalized
hyp e rgeometric functions and rational curves on Calabi–Yau complete intersections
in toric varieties”, Commun. Math. Phys. 168, 493–533 (1995) (kan även finns på
nätet alg-geom/9307010, men där finns tryckfel i 5 av differentialekvationerna) och
V.V. Batyrev, I. Ciocau-Fontaine, B. Kim, D. van Straten, ”Conifold transitions
and mirror symmetry for Calabi–Yau complete intersections in Grassmannians”,
alg-geom/9710022.
Dessa differentialekvationer är ganska komplicerade och vi nöje r oss med att
visa ett typiskt exempel.
Låt
y
0
=
n=0
a
n
x
n
där a
n
=
n
j=0
n
j
5
.
almkvist.tex,v 1.12
78 Strängar i månsken II Normat 2/2003
Så
y
0
=1+2x + 34 x
2
+ 488 x
3
+ 9826 x
4
+ 206 252 x
5
+ 4734304 x
6
+ 113 245 568 x
7
+ ··· .
Först finner man en differentialekvation, som a
n
satisfierar. Man ansätter
P
0
(n)a
n
+ P
1
(n + 1)a
n+1
+ P
2
(n + 2)a
n+2
+ P
3
(n + 3)a
n+3
+ P
4
(n + 4)a
n+4
+ aa
n+5
=0
där P
0
, P
1
, P
2
, P
3
, P
4
är 4.-gradspolynom med okända koeffic ienter. Man räknar ut
ett 30-tal värden på a
n
. Detta ger 5· 5+1 = 26 obekanta och löser ekvationssystemet.
Differensekvationen ovan är ekvivalent med differentialekvationen
x
5
P
0
()+x
4
P
1
()+x
3
P
2
()+x
2
P
3
()+xP
4
()+a
4
y =0 där = x
d
dx
.
Resultatet blir
49
4
7x(14 + 91 + 234
2
+ 286
3
+ 155
4
)
x
2
(15736 + 66094 + 102 261
2
+ 68044
2
+ 16105
4
)
+8x
3
(476 + 3759 + 9071
2
+ 8589
3
+ 2625
4
)
16 x
4
(184 + 806 + 1439
2
+ 1266
3
+ 465
4
)
+ 512 x
5
( + 1)
4
y =0
eller
x
4
(32 x 1)(x
2
11 x 1)(4x 7)
2
y
+2x
3
(4x 7)(640 x
4
6992 x
3
+ 12103 x
2
+ 596 x 21)y
+ x
2
(12800 x
5
135 872 x
4
+ 425 704 x
3
419 128 x
2
15239 x + 343)y
+ x(7680 x
5
63616 x
4
+ 192 352 x
3
252 504 x
2
5362 x + 49)y
+2x(256 x
4
1472 x
3
+ 1904 x
2
7868 x 49)y =0.
Vi låter Maple lösa differentialekvationen och får
y
1
= y
0
log x +5x +
175
2
x
2
+
4280
3
x
3
+
354205
12
x
4
+
3838131
6
x
5
+
44786261
3
x
6
+
7602987064
21
x
7
+ ··· .
Vi avstår från att ange y
2
och y
3
. Vi får
q = exp
y
1
y
0
= x +5x
2
+ 90 x
3
+ 1510 x
4
+ 31745 x
5
+ 697 971 x
6
+ ···
almkvist.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Strängar i månsken II 79
och
x = x 5q
2
40 q
3
+ 115 q
4
645 q
5
12846 q
5
177 350 q
7
···.
För att beräkna Yukawakopplingen behöver vi
exp
p
1
(x)
2p
0
(x)
dx
=
4x 7
x
3
(1 32 x)(1 + 11 x x
2
)
där vi har differentialekvationen
p
0
(x)y
+ p
1
(x)y
+ ···=0.
Vi får
K = 7 + 10 q + 530 q
2
+ 7975 q
3
+ 196 690 q
4
+ 3714385 q
5
+ 81465335 q
6
+ ···
och
n
1
= 10 n
6
= 377115
n
2
= 65 n
7
= 4862130
n
3
= 295 n
8
= 69723305
n
4
= 3065 n
9
= 1031662155
n
5
= 29715 n
10
= 16072078750.
Om man multiplicerar n
d
med 10 så förmodas 10n
d
räkna antal rationella kurvor
av grad d på en ”generisk fullständig skärning av 5 generiska hyperytor av grad
(1, 1) i P
4
P
4
”. T.ex. finns det 10 · 10 = 100 linjer (detta är bevisat!).
almkvist.tex,v 1.12
