80 Normat 51:2, 80–82 (2003)
Når har fjerdegradsligningen
konstruerbare røtter?
Tilleggskommentar om Galois-gruppen
Kent Holing
Statoil Forskningssenter
Arkitekt Ebbels veg 10
NO–7005 Trondheim
kho@statoil.com
Jeg ønsker å knytte en kommentar til artikkelen [1] av undertegnede i Normat nylig.
På slutten av artikkelen omtales en metode for å bestemme Galois-gruppen til
en monisk fjerdegradsligning med heltallskoeffisienter når ligningen er irredusibel.
Artikke len gir (på side 21) et kanskje noe feilaktig inntrykk av at redusible tilfeller
er mer komplekse enn irredusible tilfeller. For polynomligninger kan dette gene-
relt være tilfelle, men ikke for fjerdegradsligningen.
1
Vi demonstrerer dette ved
vise hvordan Galois-gruppe n lett kan be stemme s til en red usibel monisk fjerde-
gradsligning med heltallskoeffisienter. Sammen med metoden i [1] gir da dette en
komplett metode for å bestemme Galois-gruppen til en generell fjerdegradsligning
med rasjon ale koeffisienter.
2
1
Mer presist: La den redusible ligningen være f (x)=p(x)q(x)=0med rotkropper for p(x)=0
og q(x)=0henholdsvis E
1
og E
2
. Hvis E
1
E
2
= Q vil Galois-gruppen til f (x)=0være G
1
G
2
der G
1
og G
2
er henholdsvis Galois-gruppene til p(x)=0og q(x)=0. Er derimot E
1
E
2
større
enn Q vil det generelt ikke være lett å bestemme Galois-gruppen til f (x)=0uten eksplisitt
kjennskap til sammenhenger mellom røttene til p(x)=0og q(x)=0. Det som gjør det redusible
tilfelle av fjerdegradsligningen enkelt er at der vi trenger det (tilfelle 4 i setningen nedenfor) er
enten E
1
E
2
= Q eller E
1
= E
2
.
2
Det kan nevnes at Maple har en rutine galois(poly) som gir Galoi s-gruppen til irredusible
polynomer poly med rasjonale koeffi sienter med grad opp til og med 7. Også Mathematica kan bru-
kes til å bestemme Galois-grupper, se internettlenken http://library.wolfram.com/infocente r/
Articles/2872/ for detaljer og programmer. Forfatteren har selv laget en Mathematica-rutine for
bestemmelse av Galois-gruppen til polynomligninger med rasjonale koeffisienter med grad opp til
og med 4. Interesserte lesere kan på forespørsel få denne rutinen tilsendt på epost.
holing.tex,v 1.12
Normat 2/2003 Kent Holing 81
La, som i [1], Q(x)=0være en monisk fjerdegradsligning med heltallskoeffisi-
enter, R(t)=0dens kubiske resolvent, D diskriminanten til Q(x)=0og n antall
klassisk konstruerbare røtter av Q(x)=0(røttene telles med multiplisitet og inklu-
derer komplekse røtter). La videre m være antall heltallsrøtter av Q(x)=0(som
også telles med multiplisitet).
I det tilfelle at Q(x)=0er redusibel over Z er n =1eller n =4. Videre er
m =1hvis (og b are hvis) n =1. Hvis n =4, er m =0, 2 eller 4.
Vi viser nå at Galois-gruppen til ligningen Q(x)=0lett kan b e stemme s med
høyst kjennskap til kun m og D.
Setning. Med standard gruppenotasjon, og m og D som ovenfor er Galois-gruppen
G til en monisk redusibel fjerdegradsligning med heltallskoeffisenter Q(x)=0som
følger:
1) Når m =4er G = {e}.
2) Når m =2er G = Z
2
.
3) Når m =1er G = A
3
hvis D er kvadrattall; ellers er G = S
3
.
4) Når m =0er G = Z
2
hvis D er kvadrattall; ellers er G = Z
2
Z
2
= V .
Bevis: Vi skisserer hovedtrekkene i beviset for setningen. All nødvendig teori fi nn es
i [1] eller i dennes referanser.
Bevis for 1): Rotkroppen til ligningen Q(x)=0er her lik Q.
Bevis for 2): Q(x) er her produktet av to lineære faktorer og en irredusibel annen-
gradsfaktor.
Bevis for 3): Q(x) er her lik produktet av en lineær faktor x r og en irredusibel
tredjegradsfaktor q(x). G er lik Galois-gruppen til q(x)=0. Med d lik diskrimi-
nanten til q(x)=0er D = q(r)
2
d (vis det!), så D er kvadrattall hvis og bare
hvis d er kvadrattall. Galois-gruppen til Q(x)=0er altså lik Galois-gruppen til
resolventen R(t)=0siden resolventen er irredusibel (hvorfor?). Tilfellet m =1er
derfor overført til et irredusibelt tilfelle av en grad lavere.
Bevis for 4): Her er Q(x)=p(x)q(x) der faktorene p(x) og q(x) er irredusible
annengradsfaktorer.
La d
1
og d
2
være diskriminantene til henholdsvis p(x)=0og q(x)=0. Vi kan
vise at D = d
1
d
2
t
2
for t heltallig,
3
som viser at D er kvadrattall hvis og bare hvis
d
1
d
2
er kvadrattall. (Om t =0er D =0og d
1
= d
2
.)
La rotkroppene til p(x)=0og q(x)=0være henholdsvis E
1
og E
2
. Merk
at
d
1
og
d
2
er enten irrasjonale eller rent imaginære tall og E
1
= Q[
d
1
] og
E
2
= Q[
d
2
].
Det er lett å vise at enten er E
1
= E
2
eller så er E
1
E
2
= Q, og at E
1
= E
2
hvis og bare hvis d
1
d
2
er kvadrattall (g jør det!). Q.E.D.
3
Med Q(x)=(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) er d
1
= a
2
4b og d
2
= c
2
4d. Ved hjelp av
Mathematica oppdaget jeg følgende sammenheng mellom D og d
1
d
2
: D =[b
2
+(c
2
ac 2d)b +
(a
2
ac +d)d]
2
d
1
d
2
. Det viser seg at faktisk er t = R (p, q)=(b d)
2
( c a)(ad cb), resultanten
til p(x) og q(x). Fra proposisjon 2 på side 286 i [2] har vi at D = d
1
d
2
R(p, q)
2
.
holing.tex,v 1.12
82 Kent Holing Normat 2/2003
Vi avslutter med å utfordre leseren til å løse noen oppgaver.
Oppgave 1. Bestem Galois-gruppen til de sju ligningene som er gitt som eksempler
i [1, side 19].
4
Oppgave 2. Hva er Galois-gruppen til ligningene x
10
1=0og
2
3
x
4
2
3
x+
1
2
=0?
5
Oppgave 3. Hvor mange av røttene til ligningen x
8
3x
6
+ x
5
x
3
+3x 1=0
er konstruerbare? Vis at Galois-gruppen til ligningen er syklisk.
6
Oppgave 4. La to moniske fjerde gradsligninger med heltallskoeffisienter p(x)=0
og q(x)=0være gitt. La Q(x)=p(x)q(x) og R(t)=r(t)s(t) med r(t)=0og
s(t)=0lik de kubiske resolventene til henholdsvis p(x)=0og q(x)=0. Anta
videre at p(x) er irredusibel over Z, q(x) redusibel over Z og at Galois-gruppene til
ligningene p(x)=0og q(x)=0er isomorfe.
a) Hva kan vi si om heltallsrøtter til ligningen Q(x)=0?
7
b) Hva kan vi si om konstruerbare røtter til ligningen Q(x)=0?
8
c) Samme spørsmål som i a) og b), men for ligningen R(t)=0.
9
d) Undersøk om diskriminantene til ligningene Q(x)=0og R(t)=0noen
gang kan være kvadrattall.
10
e) Hva er Galois-gruppen til ligningen R(t)=0?
11
Litteratur
[1] Kent Holing: Når har fjerdegradsligningen konstruerbare røtter? Normat 51,
15–21 (2003).
[2] Lindsay Childs: A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer 1979.
Rettelse
No e ned en for midten av side 19 i [1] skulle det stå «Setningen gir da at resiproke
fjerdegradsligninger har røtter som alle er konstruerbare».
4
I samme rekkefølge som ligningene er gitt i [1] er Galois-gruppene til ligningene isomorfe med
henholdsvis A
4
, S
4
, S
3
, D
4
, D
4
, Z
4
og V .
5
Galois-gruppene er isomorfe med henholdsvis Z
4
og A
4
.
6
Ligningen faktoriserer som (x 1)(x
3
3x+1)(x
4
+x
3
+x
2
+x+1) = 0. Antall konstruerbare
røtter er 5 (av disse er én og bare én rot heltallig). Galois-gruppen til ligningen er isomorf med
Z
12
.
7
Ligningen Q(x)=0har ingen heltallsrøtter.
8
Ligningen Q(x)=0har røtter som alle er konstruerbare.
9
Ligningen R(t)=0har 4 heltallsrøtter (høyst én slik rot er dobbelrot) og alle røtter er
konstruerbare.
10
Produktet av diskriminantene D og d til ligningene Q(x)=0og R(t)=0er alltid kvadrattall
så enten er D og d begge kvadrattall eller så er ingen det (unntatt er eventuelle tilfeller med D
eller d lik 0). Det viser seg at bare d kan være lik 0 (hvorfor?) og at d =0hvis og bare hvis (den
eneste) heltallsroten til s(t)=0også er en rot til r(t)=0. Et eksempel på det siste tilfellet er
p(x)=x
4
5x
2
+1=0 og q(x)=x
4
5x
2
+6=0.
11
Galois-gruppen til R(t)=0er isomorf med Z
2
.
holing.tex,v 1.12
