86 Normat 51:2, 86–87 (2003)

Bøker

Vagn Lund sgaard Hansen:

Matematikkens uendelige univers.

Den Private Ingeniørfond, Danmarks

Tekniske Universitet, Lyngby 2002.

ISBN 87–7381–085–1.

Geometriske former og topologiske

strukturer har alltid spilt en vesentlig

rolle i utviklingen av den menneskelige

kultur og sivilisasjon. Behovet for å ut-

føre beregninger ledet til utviklingen av

algebra. Etter hvert vokste matematik-

ken fram s om et generelt formspråk for

menneskets forståelse av omverdenen.

I dagens matematikkundervisning er

mye av det kulturelle og historiske bak-

grunnstoﬀ blitt borte. Dette gjelder på

alle nivåer fra grunnskolen til universi-

tetene. Især har mye av den klassiske

geometri forsvunnet fra dagens lærebø-

ker. Det er derfor særdeles gledelig å lese

gjennom den foreliggende bok Mate-

matikkens uendelige univers av Vagn

Lundsgaard Hansen som er professor i

matematikk ved DTU i Lyngby. For i

denne boken er det nettopp de glemte

kulturelle aspekter av geometri, geome-

triske former og uendelighetsbegrepet

som gjennomgås på en mod erne måte.

I det første kapitlet gir forfatteren

en fortrinnlig beskrivelse av forskjelli-

ge geometriske former i matematikken,

i naturen og i kunsten. Bl.a. påpeker

han nyttige ting som at de eneste verdi-

er av n, for hvilke man kan ﬂislegge et

plant areal med ens regulære n-kanter,

er n =3, 4 og 6.

Hva er et rom? Dette er et funda-

mentalt spørsmål i matematikk, fysikk

og ﬁlosoﬁ. Det er et spørsmål som i stor

grad har påvirket utviklingen av moder-

ne geometri og topologi. Det ﬁns ikke

noe entydig svar på dette sp ørsmålet

– det vil avhenge i stor grad av kon-

teksten. I boken gis det en bred og fyl-

dig beskrivelse av rombegrepets utvik-

ling. Overgangen fra euklidisk til ikke-

euklidisk geometri diskuteres samt nø d-

vendigheten av å innføre ikke-euklidiske

romformer og deres plass i moderne fy-

sikk.

Studiet av ﬂater er på mange må-

ter inngangsporten til både geometri og

topologi. I bokens tredj e kapittel berø-

res en rekke fundamentale resultater om

ﬂater. Hovedpunktet er uniformiserings-

setningen til Koebe og Poincaré som po-

pulært sier at en lukket ﬂate kan pakkes

glatt inn i en sirkelskive, et plan eller en

kuleﬂate!

Straks en har innført et rombegrep

reiser spørsmålet seg om hvilke sym-

metrier som ﬁnnes – både åpenbare og

mer skjulte. Gjennom en ﬁn innføring av

ﬂetninger innføres gruppebegrepet på

en naturlig måte, og dermed er grunn-

laget for generelle symmetrier lagt. En

topologisk forklaring på halvtallig spinn

gis, samt en diskusjon av at fulle dob-

beltrotasjoner kan deformeres tilbake

til utgangspunktet (Diracs strengepro-

blem).

Knuter har opptatt menneskene i

uminnelige tider, og studiet av knuter

representerer også begynnelsen av fag-

feltet topologi i matematikken. Boken

leder leseren elegant inn i knuteteoriens

forkammer samtidig som den gir en ﬁn

historisk oversikt og påpeker den senere

tids bruk av knuteteori både i matema-

tikk, fysikk og biologi.

Fra geometrien ledes leseren i de

tre siste kapitlene over i det uendeli-

ges verden. Hvordan skal en matematisk

behandle dette begrepet? Tallbegrepet

diskuteres, og leseren føres fram til kar-

dinaltall og kontinuum hypotesen. Den

sier at det ikke ﬁnnes mengder av stør-

relse mellom de hele tall og de reelle tall.

Paul Cohen viste i 1963 at innenfor det

bokspalte.tex,v 1.2

Normat 2/2003 Bøker 87

vanlige aksiomsystem for mengdelæren

kan dette verken vises eller motbevises.

Jeg har hermed gitt en liten smakebit

på bokens innhold. Boken er me get godt

skrevet med stor matematisk, kulturell

og pedagogisk innsikt. Layout og ﬁgu-

rer er førsteklasses. Hvem er så egentlig

målgruppen for denne boken? Stort sett

er boken ganske elementær og krever lite

av forkunnskaper, men på noen punkter

må nok den uinnvidde leser strekke seg

litt!

Boken vil være en gullmine for gym-

nasielærere – den vil kunne inspirere

både dem selv og deres undervisning.

I tillegg er det en glimrende bok å an-

befale til matematikkinteresserte elever.

Den vil virke pirrende på deres kunn-

skapstørst, og da vil også de mange re-

feranser være nyttige. Videre er det også

en ﬁn bok for begynnerstudenter på uni-

versitetene som vil orientere seg litt ut

i den matematiske kultur – og ikke bare

konsentrere seg om «calculus».

Boken bør ﬁnnes i alle biblioteker i

Norden, skolebiblioteker, universitetsbi-

blioteker etc. Jeg håper at den vil få stor

utbredelse – da den dekker et virkelig

behov i den matematiske litteratur!

Nils A. Baas

bokspalte.tex,v 1.2