Normat 51:3, 1001–1020 (2003) 1001
Carlemans olikhet –
historik, skärpningar och generaliseringar
Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig
Institutionen för Matematik
Luleå Tekniska Universitet
SE–971 87 Luleå
marjoh@sm.luth.se, larserik@sm.luth.se, annaw@sm.luth.se
1 Inledning
I denna uppsats skall vi diskutera följande anmärkningsvärda olikhet:
(1) a
1
+
√
a
1
a
2
+ ··· +
k
√
a
1
a
2
···a
k
< e(a
1
+ a
2
+ ···),
där a
1
, a
2
, . . . är positiva tal och
P
∞
i=1
a
i
är konvergent. Denna olikhet presentera-
des 1922 i [8] av den svenske matematikern Torsten Carleman (1892–1942) och den
har fått namnet Carlemans olikhet. Carleman upptäckte sin olikhet i samband med
sitt viktiga arbete om kvasianalytiska funktioner och han förstod knappast då att
denna upptäkt skulle bli föremål för så stort intresse. Den kontinuerliga varianten
av (1) lyder
(2)
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx < e
∞
Z
0
f(x) dx
där f(t) > 0 och den går ibland under namnet Knopps olikhet (se [31]). Men våra
undersökningar tyder på att det snarare var G. Pólya som först upptäckte denna
olikhet (se Anm. 3), så vi föredrar att kalla den Pólya–Knopps olikhet.
I avsnitt 2 av denna uppsats presenterar vi ett antal bevis av (1). I avsnitt 3 bevisar
vi att (2) implicerar (1) och presenterar några bevis av (2) (och därmed ytterligare
bevis av (1)).
carleman.tex,v 1.10
1002 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
I avsnitt 4 ger vi exempel på några nyligen presenterade skärpningar och ge-
neraliseringar av (1) och (2) och relaterade frågor. Ett antal historiska och andra
anmärkningar finns även inkluderade och i slutet av uppsatsen skriver vi ned några
fakta om Torsten Carleman, som vi funnit genom att studera skrifterna [60] o ch
[32] och som delvis kompletterar uppgifterna i Professor Lars Gårdings utmärkta
beskrivning i [19] (se Anm 26-27).
2 Några bevis av (1)
Bevis 1: (Skiss av Carlemans ursprungliga bevis)
Carleman noterade först att problemet kan lösas genom att bestämma maximum
av uttrycket
k
X
i=1
(a
1
a
2
···a
i
)
1/i
under bivillkoret
k
X
i=1
a
i
= 1.
Han gjorde sedan substitutionen a
i
= e
−x
i
och fick det räknetekniskt enklare pro-
blemet:
Bestäm för n = 1, 2, . . . maximum M
k
av
G =
k
X
i=1
e
−(x
1
+x
2
+···+x
i
)/i
under bivillkoret
H =
k
X
i=1
e
−x
i
= 1.
Detta problem kan lösas med Lagranges multiplikatormetod d.v.s vi skall minimera
funktionen
F = G + λH,
(λ är en parameter, den s.k. multiplikatorn). Tyvärr leder detta till relativt tekniska
räkningar som givetvis den skicklige Carleman genomförde på ett elegant sätt. Vi
utelämnar dock dessa räkningar här och hänvisar bara till Carlemans uppsats [8]
där alla detaljer finns redovisade. Resultatet blir att M
k
< e för alla k ∈ Z
+
.
Carleman visade sedan separat att olikheten är strikt när summan i högra ledet
konvergerar.
Anm 1: Carleman visade i samma uppsats [8] att olikheten (1) inte gäller i allmän-
het för någon konstant C < e, dvs att konstanten e är skarp.
Bevis 2: (via Hardys olikhet)
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1003
Den diskreta varianten av Hardys olikhet lyder (se [21], [23])
(3)
∞
X
k=1
1
k
k
X
i=1
a
i
p
<
p
p − 1
p
∞
X
k=1
a
p
k
, p > 1.
Ersätt a
i
med a
1/p
i
och notera att med hjälp av ”tricket” x = e
ln x
och derivatans
definition så gäller
1
k
k
X
i=1
a
1/p
i
p
= exp
ln
k
X
i=1
a
1/p
i
− ln
k
X
i=1
a
0
i
1
p
!
→ exp
D
ln
k
X
i=1
a
x
i
x=0
!
(när p → ∞)
= exp
k
X
i=1
a
x
i
ln a
i
.
k
X
i=1
a
x
i
x=0
!
= exp
1
k
k
X
i=1
ln a
i
=
k
Y
i=1
a
i
1/k
och vi ser att (3) medför den icke-strikta olikheten (1) eftersom
p/(p − 1)
p
→ e
när p → ∞. Observera att denna metod inte automatiskt bevisar att vi har strikt
olikhet i (2) u tan de tta får visas sep arat (se t.ex. våra senare bevis).
Anm 2: G.H. Hardy formulerade sin olikhet (3) 1920 i [20] och bevisade den 1925
i [21] men Carleman kände nog inte till olikheten (3) vid detta tillfälle eftersom
han inte refererar till det enkla samband som råder en ligt beviset ovan. Detta är
möjligen en aning anmärkningsvärt eftersom Carleman faktiskt samarbetade aktivt ”en aning” var
”lite”
med Hardy ungefär samtidigt, se t.ex. deras gemensamma uppsats [9].
Anm 3: Det ovanstående innebär att (1) kan betraktas som en gränsolikhet till
skalan (3) av Hardyska olikheter. Detta observerades redan 1925 av G.H. Hardy
i uppsatsen [21], sid 156, men han påpekade samtidigt att det var G. Pólya som
redan tidigare gjorde honom uppmärksam på detta intressanta faktum.
Vi skall nu presentera ett bevis som bygger på olikheten mellan aritmetiskt och
geometriskt m ede lvärde (AG-olikheten).
Bevis 3: På grund av AG-olikheten gäller för varje i = 1, 2, . . . , varje k och alla
c
i
> 0 att
(4)
k
Y
1
a
i
1/k
=
k
Y
1
c
i
−1/k
k
Y
1
c
i
a
i
1/k
≤
k
Y
1
c
i
−1/k
1
k
k
X
i=1
c
i
a
i.
Vi väljer nu c
i
=
1 + i
i
/i
i−1
, i = 1, 2, . . . , k. Speciellt gäller då att
(5)
k
Y
1
c
i
1/k
= k + 1
carleman.tex,v 1.10
1004 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
och (4) och (5) ger att
∞
X
k=1
k
√
a
1
a
2
···a
k
≤
∞
X
k=1
1
k(k + 1)
k
X
i=1
c
i
a
i
=
∞
X
i=1
c
i
a
i
∞
X
k=i
1
k(k + 1)
=
∞
X
i=1
c
i
a
i
i
=
∞
X
i=1
a
i
1 +
1
i
i
≤ e
∞
X
i=1
a
i
.
Den strikta olikheten gäller eftersom vi inte samtidigt kan ha likhet i alla termvisa
olikheterna. Detta kan ske endas t om c
i
a
i
= c för någon konstant c > 0 dvs
a
i
= c
i/(1 + i)
i
/i, i = 1, 2, . . ., men detta kan ej gälla eftersom
P
∞
i=1
a
i
är
konvergent (notera att
(1 + i)/i
i
→ e då i → ∞).
Anm 4: Detta bevis presenterades av G. Pólya (se [48], sid. 249) men vi har här
snarare följt den framställning som finns på sid. 24 i Professor Lars Hörmanders
bok [26].
Anm 5: Vi noterar att Bevis 3 visar att för ändliga summor så gäller Carlemans
olikhet (1) även för någon strikt mindre konstant än e. Mer precist så gäller, för
N = 1, 2, . . . ,
N
X
k=1
k
√
a
1
a
2
···a
k
≤
N
X
k=1
1 +
1
k
k
a
k
.
Bland annat av historiska skäl skall vi presentera följande variant av Bevis 3:
Bevis 4: Vi väljer c
i
= i , i = 1, 2, . . . k , i (4) och får
(6)
k
Y
i=1
a
i
1
k
≤ (k!)
−1/k
1
k
k
X
i=1
ia
i
.
Dessutom gäller att
(7)
(k + 1)
k
k!
=
1 +
1
1
1 +
1
2
2
···
1 +
1
k
k
< e
k
och genom att utnyttja denna olikhet och (6) så får vi
∞
X
k=1
k
√
a
1
a
2
···a
k
≤
∞
X
k=1
(k!)
−1/k
1
k
k
X
i=1
ia
i
≤
∞
X
k=1
e
k(k + 1)
k
X
i=1
ia
i
= e
∞
X
i=1
ia
i
∞
X
k=i
1
k(k + 1)
= e
∞
X
i=1
a
i
.
Den strikta olikheten kan konstateras på liknande sätt som i Bevis 3 (likhet kräver
att a
k
= c/k men detta motsäger att
P
∞
k=1
a
k
är konvergent).
Anm 6: I uppsatsen [22], sid. 77 redovisade G.H. Hardy väsentligen detta be vis
men han påpekade samtidigt att det var G. Knopp s om presenterade beviset för
honom.
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1005
Bevis 5: (L. Carlesons bevis)
Vi noterar först att vi kan antaga att a
1
≥ a
2
≥ ··· (summan i vänstra ledet
av (1) blir uppenbarligen störst om följden {a
i
} omordnas i icke-växande ordning
medan summan i h ögra ledet blir densamma för varje omordning). Låt m(x) vara
en polygon genom punkterna (0, 0) och (k,
P
k
1
log(1/a
i
)), k = 1, 2, . . . Funktionen
m(x) är uppenbarligen konvex och därför gäller för varje r > 1 att
(8)
m(rx) − m(x)
rx − x
≥ m
0
(x).
Dessutom gäller att
(9) m
0
(x) = log(1/a
k
), x ∈ (k − 1, k),
och eftersom m är konvex så gäller att m(x) ≤ (x/k)m(k) +
1 − (x/k)
m(0) för Endret
ordrekkefølge
for å unngå
linjedeling i
formelen.
x ≤ k, och eftersom dessutom m(0) = 0 så är
(10)
m(x)
x
=
m(x) − m(0)
x
≤
m(k) − m(0)
k
≤
m(k)
k
=
1
k
k
X
i=1
log(1/a
i
) för alla x ≤ k.
Vi gör en variab elsub stitution samt utnyttjar Hölders olikhet och (8) och får för
varje A > 0 och r > 1
A
Z
0
e
−m(x)/x
dx ≤
rA
Z
0
e
−m(x)/x
dx =
A
Z
0
e
−m(rx)/rx
r dx
≤
A
Z
0
e
−
(
m(x)+(rx−x)m
0
(x)
)/
rx
r dx
=
A
Z
0
e
−m(x)/rx−
(
(r−1)/r
)
m
0
(x)
r dx
≤
A
Z
0
e
−m(x)/x
r dx
!
1
r
A
Z
0
e
−m
0
(x)
r dx
!
(r−1)
r
så att
A
Z
0
e
−m(x)/x
dx ≤ r
r/(r−1)
A
Z
0
e
−m
0
(x)
dx.
Vi låter A → ∞, r → 1+ och noterar att då r
r/(r−1)
→ e så att
(11)
∞
Z
0
e
−m(x)/x
dx ≤ e
∞
Z
0
e
−m
0
(x)
dx.
carleman.tex,v 1.10
1006 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
Vi utnyttjar nu (9) och (10) och får
∞
Z
0
e
−m
0
(x)
dx =
∞
X
k=1
k
Z
k−1
e
−m
0
(x)
dx =
∞
X
k=1
e
− log(1/a
k
)
=
∞
X
k=1
a
k
resp.
e
−(1/k)
P
k
i=1
log(1/a
i
)
≤
k
Z
k−1
e
−m(x)/x
dx
så att
∞
X
k=1
k
Y
i=1
a
i
1/k
=
∞
X
k=1
e
−(1/k)
P
k
i=1
log(1/a
i
)
≤
∞
X
k=1
k
Z
k−1
e
−m(x)/x
dx =
∞
Z
0
e
−m(x)/x
dx.
Den icke-strikta olikheten (1) följer genom att utnyttja dessa upp skattningar o ch
(11). Den strikta olikheten följer genom att konstatera att vi inte kan ha likhet i
(10) samtidigt för alla x och k.
Anm 7: Detta är L. Carlesons bevis (se [10]) och i själva verket har han ju bevisat att
den allmännare olikheten (11) gäller för varje styckvis deriverbar konvex fun ktion
m(x) på [0, ∞] sådan att m(0) = 0. Carleson formulerade för övrigt sin olikhet på
följande något allmännare form:
(12)
∞
Z
0
x
p
e
−m(x)/x
dx ≤ e
p+1
∞
Z
0
x
p
e
−m
0
(x)
dx, p > −1.
Bevis 6: (via Red he ffers olikhet)
R.M. Redheffer bevisade 1967 följande intressanta olikhet (se [49] och även [50]):
(13) nG
n
+
n
X
k=1
k(b
k
− 1)G
k
≤
n
X
k=1
a
k
b
k
k
gäller för alla n = 1, 2, . . . och alla positiva följder {b
k
}; där G
k
=
Q
k
i=1
a
i
1/k
. Vi
ser speciellt att om
a) b
k
= 1, k = 1, 2, . . . så gäller G
n
≤ n
−1
P
n
k=1
a
k
= A
n
, dvs AG-olikheten,
b) b
k
= 1 + 1/k, k = 1, 2, . . . så gäller nG
n
+
P
n
k=1
G
k
≤
P
n
k=1
(1 + 1/k)
k
a
k
,
vilket speciellt implicerar att den icke-strikta olikheten (1) följer då n → ∞. Den
strikta olikheten kan konstateras genom att utnyttja argumenten i följande bevis
av (13): Vi använder den enkla olikheten
(14) 1 + a(x − 1) ≤ x
a
, x > 0, a ≥ 1,
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1007
som t.ex. fås genom att ersätta y med x−1 i den välkända olikheten 1+ay ≤ (1+y)
a
.
Vi använder nu (14) med a = k och x = (G
k
/G
k−1
)b
k
(k ≥ 2) och får
1 + k
G
k
G
k−1
b
k
− 1
≤
G
k
G
k−1
b
k
k
=
a
k
G
k−1
b
k
k
,
vilket kan skrivas som
(15) G
k−1
+ k(G
k
b
k
− G
k−1
) ≤ a
k
b
k
k
.
Vi kan nu bevisa (13) med e nkel induktion. Vi observerar först att G
1
= a
1
så att
G
1
+ (b
1
− 1)G
1
= a
1
b
1
,
dvs (13) gäller för n = 1. Antag att olikheten (13) gäller för n = N ∈ Z
+
. Vi
utnyttjar nu detta induktionsantagande och (15) med k = N + 1 och får
(N + 1)G
N+1
+
N+1
X
k=1
k(b
k
− 1)G
k
= (N + 1)b
N+1
G
N+1
+
N
X
k=1
k(b
k
− 1)G
k
= NG
N
+
N
X
k=1
k(b
k
− 1)G
k
+ (N + 1)b
N+1
G
N+1
− NG
N
≤
N
X
k=1
a
k
b
k
k
+ a
N+1
b
N+1
N+1
=
N+1
X
k=1
a
k
b
k
k
dvs (13) gäller även för n = N + 1 och enligt induktionsaxiomet gäller därför (13)
för varje n ∈ Z
+
.
Anm 8: Beviset ovan leder uppenbarligen till ett skarpare resultat. Faktum är att
detta sätt att bevisa olikheter bygger på en allmän princip som ibland kallas för
Redheffers rekursions princip (se [47]). Denna princip kan även användas för att
förbättra fl era andra klassiska olikheter.
Låt a
(n)
= {a
1
, a
2
, . . . , a
n
} vara en positiv talföljd (n = 1, 2, . . .). Vi definierar
potensmedelvärdena M
r,n
av a
(n)
på följande sätt
M
r,n
= M
r,n
a
(n)
=
1
n
n
X
k=1
a
r
k
1/r
, r 6= 0,
n
Y
k=1
a
k
1/r
, r = 0.
Notera att A
n
= M
1,n
, G
n
= M
0,n
och H
n
= M
−1,n
helt enkelt är de vanliga
aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena. Vi studerar även följden
carleman.tex,v 1.10
1008 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
av potensmedelvärdena:
M
r,n
= (M
r,1
, M
r,2
, . . . , M
r,n
).
År 1996 visade B. Mond och J. Pečarić (se [39]) följande intressanta olikhet (mellan
itererade potensmedelvärden):
(16) M
s,n
(M
r,n
) ≤ M
r,n
(M
s,n
),
för varje r ≤ s. Vi har likhet om och endast om a
1
= ··· = a
n
. Beviset i [39] är så
komplicerat att vi inte redovisar det här. Vi är dock övertygade om att det finns
ett mer elementärt bevis och ställer som ett öppet problem till läsaren att finna
ett sådant bevis. Vårt nästa bevis bygger på Mond–Pečarićs resultat.
Bevis 7: Vi använder (16) med s = 1 och r = 0 och får
(17)
1
n
n
X
k=1
G
k
≤
n
Y
k=1
1
k
k
X
i=1
a
i
1
n
.
Genom att använda denna olikhet och det självklara faktum att
k
X
i=1
a
i
≤
n
X
i=1
a
i
, k ≤ n,
så får vi att
(18)
n
X
k=1
G
k
≤
n
n
√
n!
n
X
k=1
a
k
.
Vi använder även vår tidigare uppskattning (7) med k = n − 1 och får
n
n
n!
=
n
n−1
(n − 1)!
< e
n−1
d.v.s.
n
n
√
n!
< e
1−1/n
.
Genom att kombinera denna olikhet med (17) får vi
(19)
n
X
k=1
k
Y
i=1
a
i
1
k
< e
1−1/n
n
X
k=1
a
k
.
Den icke-strikta olikheten (1) följer då vi låter n → ∞. Att olikheten faktiskt är
strikt följer ur det faktum att likhet i (18) endast kan inträffa då alla a
i
är lika
men detta kan inte gälla under vår förutsättning att
P
∞
k=1
a
k
är konvergent.
Anm 9: Mer information om hur (16) kan användas för att bevisa och förbättra
olikheter kan man läsa om i de relativt nya uppsatserna [11] och [12].
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1009
Anm 10: Vi noterar att om vi i beviset ovan kombinerar (17) med följande variant
av AG-olikheten
n
Y
k=1
1
k
k
X
i=1
a
i
1
n
=
1
n!
1
n
a
1
(a
1
+ a
2
) ···(a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
)
1/n
≤
1
n!
1
n
na
1
+ (n − 1)a
2
+ ··· + a
n
n
så får vi följande strikta förbättring av (19):
(20)
n
X
k=1
k
Y
i=1
a
i
1
k
< e
1−1/n
n
X
k=1
1 −
k − 1
n
a
k
.
3 Pólya–Knopps olikhet (2)
Vi börjar med att bevisa att (2) implicerar (1). Som tidigare konstaterar vi att det
räcker att visa (1) då {a
k
}
∞
1
är en avtagande följd. Applicera (2) med funktionen
f(x) = a
k
, x ∈ [k − 1, k), k = 1, 2, . . . . Då blir
(21)
∞
Z
0
f(x) dx =
∞
X
k=1
a
k
och
(22)
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx =
∞
X
k=0
k+1
Z
k
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx.
Vidare gäller
(23)
1
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx = a
1
och, för k = 1, 2, . . .,
(24)
k+1
Y
i=1
a
i
1
k+1
=
k+1
Z
k
exp
1
k + 1
k+1
X
i=1
ln a
i
dx
≤
k+1
Z
k
exp
1
x
k
X
i=1
ln a
i
+
x − k
x
ln a
k+1
dx =
k+1
Z
k
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t)dt
!
dx.
carleman.tex,v 1.10
1010 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
Den helt avgörande olikheten i (24) beror på det faktum att integranden är ett vik-
tat aritmetiskt medelvärde av talen ln a
i
, i = 1, 2, . . . , k+1, med vikter 1/x, . . . , 1/x
(k st) och (x − k)/k. Här är k ≤ x ≤ k + 1 o ch eftersom talföljden är avtagande
blir medelvärdet minst för x = k + 1 dvs när alla vikter = 1/(k + 1). (1) följer nu
genom att kombinera (21) – (24).
Vi skall nu presentera några enkla bevis av (2) (och därmed ytterligare bevis av
(1)).
Bevis 8: Vi noterar att funktionen m(x) = −
R
x
0
ln f
∗
(t)dt uppfyller förutsätt-
ningarna för att få använda Carlesons olikhet (12) (här är f
∗
(t) den avtagande
omordningen av funktionen f). Därför gäller enligt (12) att
(25)
∞
Z
0
x
p
exp
1
x
x
Z
0
ln f
∗
(t)dt
!
dx ≤ e
p+1
∞
Z
0
x
p
f
∗
(x)dx,
för varje p > −1. Carlesons argument visar att vi i själva verket har strikt olikhet
i (25) och speciellt för p = 0 får vi därför Pólya–Knopps olikhet (2).
Anm 11: Carleson noterade inte detta faktum explicit i sin uppsats [10] eftersom
han uppenbarligen främst var intresse rad av att ge ett elementärt bevis av olikheten
(1).
Vi skall nu presentera två andra bevis av (2) och därmed av (1) vilka liksom Car-”vilka” var
”som”
lesons bevis bara utnyttjar ett konvexitetsargument.
Bevis 9: Vi noterar att
(26) exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
= exp
1
x
x
Z
0
ln tf(t) dt −
1
x
x
Z
0
ln t dt
!
= exp
1
x
x
Z
0
ln tf(t) dt
!
exp
−
1
x
x
Z
0
ln t dt
!
.
Dessutom gäller att
(27) −
1
x
x
Z
0
ln tdt = −
1
x
h
t ln t − t
i
x
0
= −ln x + 1
och tack vare Jensens olikhet (eller AG-olikheten)
(28) exp
1
x
x
Z
0
ln tf(t)dt
!
≤
1
x
x
Z
0
tf(t)dt.
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1011
Vi integrerar, utnyttjar (26) – (28), kastar om integrationsordningen och får
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t)dt
!
dx ≤
∞
Z
0
e
− ln x+1
1
x
x
Z
0
tf(t)dt
!
dx
= e
∞
Z
0
1
x
2
x
Z
0
tf(t)dt
!
dx = e
∞
Z
0
tf(t)
∞
Z
t
1
x
2
dx = e
∞
Z
0
f(t) dt.
Den strikta olikheten följer eftersom likhet i Jensens olikhet kräver att tf(t) är
konstant (nästan överallt) men detta kan ej inträffa eftersom vi förutsätter att
R
∞
0
f(x)dx är konvergent.
Anm 12: Beviset ovan är i viss mån relaterat till Knopps idé (se [33], sid 211).
Knopp arbetade dock med intervallet [1, x] istället för [0, x] och därför kan Jensens
olikhet ej användas . Dessutom skrev aldrig Knopp explicit ut olikheten (2) även
om det ofta refereras som om detta gällde, se t.ex. [23] sid. 250 och [38] sid. 143. ”som om detta
gällde” var
”som att detta
gäller”
Anm 13: Genom att modifiera beviset kan vi lätt bevisa även viktade versioner av
(2), t.ex. följan de
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
x
p
dx <
e
1 − p
∞
Z
0
f(x)x
p
dx
för varje p < 1 som ju är mer allmän än (2). Jämför även med (25).
Bevis 10: Vi noterar först att om vi ersätter f(t) med f(t)/t i (2) så b lir vänstra
ledet i (2) lika med
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt −
x
Z
0
ln t dt
!
dx = e
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx
x
eftersom Omskrevet.
−
1
x
x
Z
0
ln t dt = −
1
x
h
t ln t − t
i
x
0
= −ln x + 1,
och (2) kan skrivas på (den enligt vår mening mer naturliga) formen
(29)
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx
x
<
∞
Z
0
f(x)
dx
x
.
carleman.tex,v 1.10
1012 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
För att be visa (29) utnyttjar vi det faktum att funktionen f(u) = e
u
är konvex
och Jensens olikhet :
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx
x
≤
∞
Z
0
1
x
2
x
Z
0
f(t) dt
!
dx
=
∞
Z
0
f(t)
∞
Z
t
1
x
2
dx
!
dt =
∞
Z
0
f(t)
dt
t
.
Den strikta olikheten följer på samma sätt som i Bevis 8.
Anm 14: Det finns stora likheter mellan Bevis 3 av Carlemans olikhet och Bevis
10 av Pólya–Knopps olikhet. Efter omkastning av summations- resp. integrations-
ordning i de avslutande räkningarna, så får vi
∞
X
k=i
1
k(k + 1)
=
1
i
resp.
∞
Z
t
1
x
2
dx =
1
t
,
vilket blir helt avgörande för bevisen. Notera även att (29) inte följer ur Carlesons
olikhet (12) ef tersom p = −1 (jämför även med Anm 13).
4 Några nya skärpningar och generaliseringar
Vi har redan tidigare gett exempel på skärpningar av Carlemans olikhet för ändliga
summor (se t.ex Anm 5, (13), (19) och (20)). I detta avsnitt skall vi ge exempel
på några nyare skärpningar och generaliseringar av Carlemans och Pólya–Knopps
olikheter. Vi börjar med att notera följand e:
Anm 15: Bevis 9 är givetvis likartat med Bevis 10 men det innehåller den viktiga
informationen att (1) kan skrivas på formen (29) med bästa konstant 1. Denna
observation och genom att modifiera beviset visar att i själva verket följande mer
allmänna Sats gäller:
Sats 1: Låt 0 < b ≤ ∞. Låt ϕ vara en positiv och strikt monoton konvex funktion
på (a, c), −∞ ≤ a < c ≤ ∞. Då gäller
(30)
b
Z
0
ϕ
1
x
x
Z
0
f(t) dt
!
dx
x
≤
b
Z
0
ϕ
f(x)
1 −
x
b
dx
x
för varje reell funktion på (0, b) sådan att a < f(x) < c.
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1013
Bevis 11: Vi utnyttjar Jensens olikhet, kastar om integrationsordningen och får
b
Z
0
ϕ
1
x
x
Z
0
ϕ
−1
f(t)dt
!
dx
x
≤
b
Z
0
x
Z
0
f(t) dt
!
1
x
2
dx =
b
Z
0
f(t)
b
Z
t
1
x
2
dx
!
dt
=
b
Z
0
f(t)
1
t
−
1
b
dt =
b
Z
0
f(t)
1 −
t
b
dt
t
.
Vi ersätter f(t) med ϕ
f(t)
och olikheten (30) är bevisad.
Anm 16: För b = ∞ är olikheten (30) strikt om man kräver att integralen i högra
ledet konvergerar och Sats 1 och dess bevis överensstämmer då väsentligen med
Sats 4.1 i [30]. Det fall som beskrivs i Sats 1 har nyligen behandlats mer generellt
i [13].
Anm 17: Genom att välja ϕ(u) = e
u
och ersätta f(x) med ln f(x) ser vi att (30)
övergår i följande skärpning av (29):
b
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx
x
≤
b
Z
0
f(x)
1 −
x
b
dx, 0 < b ≤ ∞.
Genom att här ersätta f(t) med f(t)/t får vi även följande skärpning av Pólya–
Knopps olikhet (2):
(31)
b
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t) dt
!
dx ≤ e
b
Z
0
f(x)
1 −
x
b
dx, 0 < b ≤ ∞.
Om vi istället väljer ϕ(u) = u
p
i (30) så ser vi att (30) övergår i en skärpning av
Hardys olikhet p å formen
(32)
b
Z
0
1
x
x
Z
0
f(t) dt
!
p
dx
x
≤
b
Z
0
f
p
(x)
1 −
x
b
dx
x
, 0 < b ≤ ∞, p ≥ 1.
som för fallet p > 1 (efter några substitutioner) kan skrivas om på formen
(33)
b
o
Z
0
1
x
x
Z
0
g(t)dt
!
p
dx ≤
p
p − 1
p
b
o
Z
0
g
p
(x)
1 −
x
b
o
p−1
p
dx,
där b
o
= b
p/(p−1)
och g(x) = f(x
(p−1)/p
)x
−1/p
.
Anm 18: Skärpningarna (31) och (33) av Pólya–Knopps och Hardys olikheter har
för övrigt nyligen bevisats i uppsatsen [11] (se även [12]) med en annan teknik
carleman.tex,v 1.10
1014 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
som bygger på olikheter mellan mixade medelvärden (se vårt Bevis 7). Notera även
att Hardys olikhet på formen (32) gäller även för p = 1 medan de n inte gäller på
formen (33) (även om
p/(p−1)
p
ersätts med en godtycklig positiv ändlig konstant
C). Vårt bevis visar att (30) gäller i omvänd riktning då ϕ är konkav. Detta ger
omvända olikheter till de som beskrivits i Anm 17. Se även [13].
Vi skall även ge följande exempel på ett relativt nytt resultat nämligen följande
skärpning av Carlemans ändliga olikhet (se [30], Sats 2.1):
Sats 2: Låt {a
k
}
∞
1
, vara en följd av positiva tal och sätt x
i
= ia
i
(1 + 1/i)
i
,
i = 1, 2, . . .. Då gäller med G
k
:=
k
√
a
1
a
2
···a
k
och l
k
:=
P
[x]
i=1
p
x
∗
k−i+1
−
p
x
∗
i
2
att
(34)
N
X
k=1
G
k
+
N
X
k=1
l
k
k(k + 1)
≤
N
X
k=1
1 −
k
N + 1
)
1 +
1
k
k
a
k
för varje N ∈ Z
+
.
Här betecknar [x] som vanligt heltalsdelen av x och {x
∗
k
} betecknar följden {x
k
}
omordnad i icke växande ordning (det största talet kommer först, det näst största
därefter etc.).
Anm 19: För tidigare resultat av denna typ refererar vi även till uppsatserna [2],
[3], [4], [45], [56], [58] och de referenser som givits där. Vi noterar att genom att
använda uppskattningarna l
k
≥ 0, (1 + 1/k)
k
< e och låta N → ∞ så får vi (1)
som ett specialfall av (34).
Anm 20: Förfiningar av Carlemans olikhet med e ersatt me d (1 + 1/k)
k
har varit
kända sedan åtminstone 1967 (se [49] och [50] och jämför med vårt Bevis 6). Fak-
torn (1 + 1/k)
k
har nyligen rönt oberoende intresse i uppsatsen [18] (se även [58]).
Dessutom noterar vi att faktorn 1 − k/(N + 1) i (34) betyder att den ”vanliga”
summan på högra sidan av olikheten har ersatts av motsvarande Cesàrosumma,
d.v.s. vi har beräknat det aritmetiska medelvärdet av partialsummorna. Detta me-
delvärde är givetvis strikt mindre än den ”vanliga” summan eftersom termerna är
positiva.
Anm 21: I en relativt ny uppsats [56] visade P. Yan och G. Sun att Carlemans
olikhet (1) kan förbättras på f öljande sätt:
(35)
∞
X
k=1
k
Y
i=1
a
i
1
k
< e
∞
X
k=1
1 +
1
k + 1/5
−
1
2
a
k
.
Detta resultat följer lätt ur (34) genom att up pskatta den viktiga faktorn (1+1/k)
k
på följande sätt:
(36)
1 +
1
k
k
≤ e
1 +
1
k + c
∗
−
1
2
där c
∗
= (8 − e
2
)/(e
2
− 4) ≈ 0,1802696 < 1/5. Olikheten (36) gäller inte för något
mindre tal än c
∗
. (Se [30], Anm 12). Detta betyder att med hjälp av (34) så ser vi
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1015
att (35) f aktiskt kan ersättas med den skarpare olikheten
(37)
∞
X
k=1
k
Y
i=1
a
i
1/k
+
∞
X
k=1
l
k
k(k + 1)
≤ e
∞
X
k=1
1 +
1
k + c
∗
−1/2
a
k
.
Vi noterar speciellt att (37) ger en skärpning och förfining av Carlemans olikhet
(1) även för det oändliga fallet.
Anm 22: Vi har tidigare noterat att Carlesons olikhet (12) direkt ger (1) och (2)
som specialfall. Det har nyligen visats en annan olikhet som har denna egenskap
nämligen följande: Var ulikhet på
formen
X ≤ Y ≤ Y .
B
Z
0
exp
(
1
M(x)
x
Z
0
ln f(t) dM(t)
)
dM(x) ≤ e
B
Z
0
1 −
M
∗
(x)
M(B)
f(x)dM(x).
se ([30], Sats 3.1). Här gäller att B ∈ R
+
, M(x) är en högerkontinuerlig och växande
funktion på (0, ∞) och M
∗
(x) är en speciellt definierad funktion med egenskapen
att M
∗
(x) ≤ M(x). Genom att utnyttja denna s ats med M (x) = x får vi (2) och
genom att utnyttja den med
M(x) =
(
1/2, 0 ≤ x ≤ 1
k, k ≤ x ≤ k + 1, k = 1, 2, . . .
får vi en förfining av (1).
En annan intressant fråga som nyligen studerats är att finna viktade versioner av
olikheten (2). Delvis guidade av utvecklingen beträffande Hardy typ olikheter (se
t.ex. böckerna [34] och [43]) har man frågat sig följande:
Låt 0 < p, q < ∞. Finns det nödvändiga och tillräckliga villkor på vikterna
(d.v.s. de positiva och mätbara funktionerna) u(x) och v(x) så att
(38)
∞
Z
0
exp
1
x
x
Z
0
ln f(t)dt
!
q
u(x)dx
1
q
≤ C
∞
Z
0
f
p
(x)v(x)dx
!
1
p
gäller med stabil uppskattning av operatornormen (=den minsta konstanten så att
(38) gäller).
Följande precisa resultat har nyligen visats:
Sats 3: Låt 0 < p ≤ q < ∞. Då gäller olikheten (38) om och endast om
D := sup
x>0
x
−1/p
x
Z
0
w(x)dx
!
1
q
< ∞,
carleman.tex,v 1.10
1016 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
där
w(x) =
exp
1
x
x
Z
0
ln
1
v (t)
dt
!
q
p
u(x)
och
D ≤ C ≤ e
1/p
D.
Anm 23: Detta resultat visade nyligen i uppsatsen [46], Sats 3. I samma uppsats
visades e n likartad sats även för fallet q < p. Ett första resultat i den riktningen
förefaller tillhöra G. Talenti [53], där ett tillräckligt villkor för fallet p = q = 1,
u(x) = v(x) är bevisat med en god uppskattning av den bästa konstanten C. Vi
refererar även till några tidigare resultat av denna typ som finns i uppsatserna [25],
[39] och [44]. En vidareutveckling av Sats 2 (och dess motsvarighet för fallet q < p)
finns redovisad i [41] och den nya doktorsavhandlingen av Maria Nassyrova [40].
Anm 24: Delvis inspirerade av vårt tidigare bevis av att (2) medför (1) så är det
frestande att tro att Sats 3 kan utnyttjas för att bevisa en motsvarande mycket all-
män generalisering av Carlemans olikhet. Detta visar sig vara korrekt och följande
har visats i den absolut nya uppsatsen [29]:
Sats 4: Antag att a
k
≥ 0, b
k
≥ 0 och d
k
> 0, k = 1, 2, . . . . Om 0 < p ≤ q < ∞ så
gäller oliketen
(39)
∞
X
k=1
k
√
a
1
a
2
···a
k
q
b
k
1
q
≤ C
∞
X
k=1
a
p
k
d
k
1
p
för någon positiv ändlig konstant C om och endast om
B
1
= sup
N∈Z
+
N
−1/p
N+1
X
k=1
k
Y
i=1
d
i
!
−
q
kp
b
k
1
q
< ∞.
Dessutom gäller att den m insta konstanten C så att (39) gäller är ekvivalent med
B
1
(dvs det finns positiva tal c
0
och c
1
oberoende av a
i
så att c
0
B
1
≤ C ≤ c
1
B
1
).
Anm 25: Vår huvudreferens för hela denna uppsats är för övrigt [29] där det finns
en del kompletterande information. Bland annat har detaljerna i beviset av Sats 4
redovisats där.
Vi skall nu avsluta denna lilla uppsats genom att kortfattat redovisa några fakta
om huvudpersonen själv, den berömde svenske matematikern Torsten Carleman.
Anm 26: En huvudreferens beträffande Torsten Carleman och hans matematik är
givetvis L. Gårdings bok ([19], sid 233–263). I denna bok beskrivs Carleman blandSidetall i den
svenske
utgaven.
annat på följande sätt: ”Med Torsten Carleman (1892–1949) fick Sverige sin dittills
främste matematiker.” Det är därför inte konstigt att Gårding sedan ägnade 30
sidor åt att beskriva Carleman och hans matematiska gärning o ch ingen annan
matematiker gavs tillnärmelsevis lika mycket utrymme i boken. Det är dock värt
att notera att (1) inte finns explicit omnämnd i Gårdings bok, vilket kan bero på att
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1017
han (liksom Carleman) nog bara betraktat denna olikhet som ett hjälpmedel f ör att
bevisa huvudresultaten om kvasianalytiska funktioner. Trots detta har Carlemans
olikhet och dess kontinuerliga variant (Pólya–Knopps olikhet) rönt mycket stort
intresse och finns t.o.m. omnämnda i titeln på ett stort antal uppsatser. Se vår
referenslista innehållande 59 referenser (varav överraskande många relativt nära i
tiden), Kapitel 4 i boken [38] (med 174 referenser), Kapitel 1 i boken [34] och den
nyligen publicerade översiktsartikeln [45] (med 53 referenser).
Anm 27: (Om personen Torsten Carleman). Det finns många intressanta u pp lys-
ningar i Gårdings bok [19] och en del kompletterande upplysningar finns i skriften
[60]. Det framgår bland annat att Tage Gillis Torsten Carleman föddes 8 Juli 1892
i Visseltofta församling i norra Skåne. Föräldrarna var kantorn och folkskolläraren
Karl Johan Carleman och Alma Linnéa Ljungbeck. Han tog stud entexamen vid
Växsjö HAL 30 maj 1910 och avlade sedan Filosofie ämbetsexamen i december
1912, Filosofie licentiatexamen den 29 Maj 1915 och disputerade den 20 Januari
1917 vid Uppsala Universitet. Han blev docent vid samma universitet 8 februari
1917 och professor vid Lunds Universitet den 31 December 1923. Kort därefter
kallades han (på inrådan av bl.a. Gösta Mittag-Leffler) som professor i matematik
vid Stockholms Högskola den 23 Maj 1924. Han var gift 1929–40 med Anna-Lisa
Lemming (dotter till den legendariske idrottsmannen Erik Lemming som bl.a. blev
guldmedaljör i spjutkastning vid olympiaderna i London 1908 och Stockholm 1912).
Carleman avled 1949. Det finns många historier om den märkliga personen Torsten
Carleman. Vi nöjer oss här med att citera följande från Professor Bo Kjellbergs
uppsats [32], sid 93: Som talare i matematiska föreningen var han flitigast av alla.
Han var en vältränad gymnast. När man efter sammanträdena skulle bege sig på
eftersits på näringsstället ”Rullan” så gick han inte till fots på bron över Fyrisån,
utan han gick istället på händer över broräcket.
Beträffande Carlemans viktigaste matematiska resultat hänvisar vi till Professor
Lars Gårdings gedigna bok [19]. Vi nöjer oss här med att notera att T. Carleman
även visade intresse för tillämpningar och undervisning. Han skrev bland annat
en lärobok om differential- och integralkalkyl jämte geometriska och mekaniska
tillämpningar, Stockholm 1929 (andra upplagan utgavs 1945).
Tack Sten: Vi tackar Professor Sten Kaijser, Uppsala, för hans noggranna genom-
läsning av vårt manuskript och för hans generösa råd som väsentligt har förbättrat
denna slutliga version.
Bibliografi
1 Ahiezer N. I., On weighted approximations of continuous functions by polynomials
on the entire number axis. (Russian) Uspeki Mat. Nauk (N. S.) 11 (1956), no.
4(70), 3–43.
2 Alzer, H., On Carleman’s inequality. Portugal. Math. 50 (1993), no. 3, 331–334.
3 Alzer, H., Refinement of a Carleman-type inequality. Studia Sci. Math. Hungar. 32
(1996), no. 3–4, 361–366.
4 Alzer, H., A refinement of Carleman’s inequality. J. Approx. Theory 95 (1998), no.
3, 497–499.
carleman.tex,v 1.10
1018 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
5 Beckenbach, E. F. and Bellman, R., Inequalities. Berlin, Springer-Verlag. (1983).
6 Bennett, G., Inequalities complimentary to Hardy. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)
49 (1998), no. 196, 395–432.
7 Bennett, G., Some elementary inequalities. III. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 42
(1991), no. 166, 149–174.
8 Carleman, T., Sur les fonctions quasi-analytiques. Comptes rendus du V
e
Congres
des Mathematiciens Scandinaves, Helsingfors, (1922), 181–196.
9 Carleman, T. and Hardy, G. H., Fourier series and analytic functions. Proc. Royal
Soc. A 101 (1922), 124–133.
10 Carleson L., A proof of an inequality of Carleman. Proc. Amer. Math. Soc. 5
(1954), 932–933.
11 Čižmešija, A. and Pečarić, J., Classical Hardy’s and Carleman’s inequalities and
mixed means. Survey on classical inequalities (Ed: T. M. Rassias), Kluwer Acad.
Publ., Dordrecht–Boston–London, 2000, 27–65.
12 Čižmešija, A. and Pečarić, J., Mixed means and Hardy’s inequality. Math. Inequal.
Appl. 1 (1998), no. 4, 491–506.
13 Čižmešija, A., Pečarić, J. and Persson, L. E., On strengthened Hardy and
Pólya–Knopp’s inequalities. Research report, Department of Mathematics, Luleå
University of Technology, 2002, submitted (12 pages).
14 Cohen, P. J., A simple proof of the Denjoy–Carleman theorem. Amer. Math.
Monthly 75 (1968), 26–31.
15 Cochran, J. A. and Lee C.-S., Inequalities related to Hardy’s and Heinig’s. Math.
Proc. Cambridge Philos. Soc. 96 (1984), no. 1, 1–7.
16 de Bruijn, N. G., Carleman’s inequality for finite series. Nederl. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 66 (= Indag. Math. 25, 1963, 505–514).
17 Godunova, E. K., Inequalities with convex functions. Am. Math. Soc., Transl., II.
Ser. 88, 57–66 (1970); translation from Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat. 1965, no.
4(47), (1965), 45–53.
18 Gyllenberg, M. and Yan, P., On a conjecture by Yang. J. Math. Anal. Appl. 264
(2001), no. 2, 687–690.
19 Gårding, L., Matematik och matematiker. Matematiken i Sverige för 1950. LundBest å sitere
den svenske
utgaven?
University Press, 1994.
20 Hardy, G. H., Notes on a theorem of Hilbert. Math. Z. 6 (1920), 314–317.
21 Hardy, G. H., Notes on some points in the integral calculus. LX, Messenger of
Mathematics 54 (1925), 150–156.
22 Hardy, G. H., Prolegomena to a chapter on inequalities. J. London Math. Soc. 4
(1929), 61–78.
23 Hardy, G. H., Littlewood, J. E. and Pólya, G. Inequalities. 2nd ed., Cambridge
University Press, 1952 (1934).
24 Heinig, H. P., Some extensions of Hardy’s inequality. SIAM J. Math. Anal. 6
(1975), 698–713.
25 Heinig, H. P., Kerman, R. and Krbec, M., Weighted exponential inequalities.
Georgian Math. J. 8 (2001), no. 1, 69–86.
26 Hörmander, L., The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. 2nd ed.,
Springer Verlag, 1989 (1983).
27 Jain, P., Persson, L. E. and Wedestig, A., From Hardy to Carleman and general
mean-type inequalities. In: Function Spaces and Applications, Narosa Publishing
House (New Delhi), 2000, 117–130.
28 Jain, P., Persson, L. E. and Wedestig, A., Carleman-Knopp type inequalities via
Hardy inequalities. Math. Inequal. Appl. 4 (2001), no. 3, 343–355.
carleman.tex,v 1.10
Normat 3/2003 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig 1019
29 Johansson, M., Persson, L. E. and Wedestig, A., Carleman’s inequality – history,
proofs and some new generalizations. Research report 7, Department of
Mathematics, Luleå University of Technology, 2003, submitted (29 pages).
30 Kaijser, S., Persson, L. E. and Öberg, A., On Carleman and Knopp’s inequalities. J.
Approx. Theory 117 (2002), no. 1, 140–151.
31 Kaluza, T. and Szegő, G., Üb er R eihen mit lauter positivern Gliedern. J. London
Math. Soc. 2 (1927), 266–272.
32 Kjellberg, B., Matematiker i Uppsala – Några minnen. Festschift in honour of
Lennart Carleson and Yngve Domar Proc. Conf. Dept. of Math. Uppsala Univ.
1993 (ed: A Vretblad), 1995, 87–95.
33 Knopp, K., Über Reihen mi t posi tivern Gliedern. J. London Math. Soc. 3 (1928),
205–211.
34 Kufner, A. and Persson L. E., Weighted Inequalities of Hardy Type. World Scientific,
(to app ear March 2003).
35 Love, E. R., Inequalities related to Carleman’s inequality. Inequalities
(Birmingham, 1987), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 129, Dekker, New
York, 1991, 135–141.
36 Levin, V., Two remarks on van der Corput’s generalisation of Knopp’s inequality.
Proc. Akad. Wet. Amsterdam 40 (1937), 429–431.
37 Mandelbrojt, S., Séries adhérentes. Régularisation des suites. Applications.
Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions. Paris: Gauthier-Villars
XIV, 1952.
38 Mitrinovic, D. S., Pečarić, J. and Fink, A. M., Inequalities Involving Functions and
their Integrals and Derivatives. Kluwer Academic Publishers. xvi, 1991.
39 Mond, B. and Pečarić, J., A mixed means inequality. Austral. Math. Soc. Gaz. 23
(1996), no. 2, 67–70.
40 Nassyrova, M., Weighted Inequalities Involving Hardy-type and Limiting Geometric
Mean Operators. PhD. Thesis, Department of Mathematics, Luleå University of
Technology (2002).
41 Nassyrova, M., Persson, L. E. and Stepanov, V. D., On weighted inequalities with
geometric mean operator by the Hardy-type integral transform. J. Inequal. Pure
Appl. Math. 48, vol 3, Issue 4, 2002.
42 Opic, B. and Gurka, P., Weighted inequalities for geometric means. Proc. Amer.
Math. Soc. 120 (1994), no. 3, 771–779.
43 Opic, B and Kufner, A., Hardy-type Inequalities. Pitman Research Notes in
Mathematics, 219. Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990.
44 Ostrowski, A., Über quasi-analytische Funktionen und Bestimmtheit
asymptotischer Entwicklungen. Acta Math. 53 (1929), 181–266.
45 Pečarić, J. and Stolarsky, K. B., Carleman’s inequality: History and new
generalizations. Aequationes Math. 61 (2001), no. 1–2, 49–62.
46 Persson, L. E. and Stepanov, V. D., Weighted integral inequalities with the
geometric mean operator. J. Inequal. Appl. 7 (2002), no. 5, 727–746. (An
abbreviated version can also be foound in Russian Akad. Sci. Dokl. Math. 63
(2001), 201–202).
47 Pick, L. and Opic, B., On the geometric mean operator. J. Math. Anal. Appl. 183
(1994), no. 3, 652–662.
48 Pólya, G., Proof of an inequality. Proc. London Math. Soc. (2) 24 (1926), lvii.
49 Redheffer, R. M., Recurrent inequalities. Proc. London Math. Soc. (3) 17 (1967),
683–699.
50 Redheffer, R. M., Easy proofs of hard inequalities. General inequalities 3
(Ob erwolfach, 1981), 123–140.
carleman.tex,v 1.10
1020 Maria Johansson, Lars-Erik Persson och Anna Wedestig Normat 3/2003
51 Rudin, W., Real and Complex Analysis. New York, McGraw-Hill, 1966.
52 Sunouchi, G. and Takagi, N., A generalization of the Carleman’s inequality
theorem. Proc. Phys. Math. Soc. Japan, III. Ser. 16 (1934), 164–166.
53 Talenti, G., Sopra una diseguaglianza integrale. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 21
(1967), 167–188.
54 van der Corput, J. G., Generalisations of Carleman’s i nequality. Proc. Akad. Wet.
Amsterdam 39 (1936), 906–911.
55 van der Corput, J. G., Generalization of an inequality of Knopp. Proc. Akad. Wet.
Amsterdam 39 (1936), 1053–1055.
56 Yan, P. and Sun, G., A strengthened Carleman inequality. J. Math. Anal. Appl.
240 (1999), no. 1, 290–293.
57 Yang, B. and Debnath, L., Some inequalities involving the constant e, and an
application to Carleman’s inequality. J. Math. Anal. Appl. 223 (1998), no. 1,
347–353.
58 Yang, X., On Carleman’s inequality. J. Math. Anal. Appl. 253 (2001), no. 2,
691–694.
59 Yang, X., Approximations for constant e and their applications. J. Math. Anal.
Appl. 262 (2001), no. 2, 651–659.
60 Svenskt Biografiskt Lexikon. Sjunde bandet, 1927, Bonniers förlag, 389–390.
carleman.tex,v 1.10
