Normat 51:4, 145–154 (2003) 145
Morleys hjerte –
lek med et geometrisk teorem – del 1
Signe Holm Knudtzon
†
og Johan F. Aarnes
‡
†
Avdeling for lærerutdanning
Høgskolen i Vestfold
Boks 2243
NO–3103 Tønsberg
Signe.H.Knudtzon@hive.no
‡
Institutt for matematiske fag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
NO–7491 Trondheim
johana@math.ntnu.no
Innledning
For vel hundre år siden oppdaget F. Morley det som er blitt kalt «en av de mest
forbausende setninger i elementær geometri» (Coxeter [1]).
Morleys teorem. Hvis hver av vinklene i en vilkårlig trekant tredeles, vil de del-
ingslinjene som ligger nærmest sidene i trekanten parvis møtes i tre punkt som
danner hjørnene i en likesidet trekant.
Figur 1. Morleys teorem
knudtzon.tex,v 1.17
146 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 4/2003
Like forbausende som selve setningen er kans kje at den ikke ble oppdaget meget
tidligere. Noe av grunnen kan være en viss forsiktighet hos matematikere med
å omgås tredeling av vinkler, som hadde et dårlig rykte. Setningen har likevel
etterhvert blitt grundig bevist, noe av historikken kan finnes i [2]. I en interessant
artikkel i Normat nr. 50, 1 (2002) [4] gir Oddvar Iden et vakkert bevis som ikke gjør
bruk av trigonometri. En mer inngående diskusjon av setningen og dens opprinnelse
finnes i en annen Normat-artikkel av Christian Skau [5]. Også Alain Connes, en av
vår tids fremste matematikere, har interessert seg for Morleys teorem. I et elegant
lite arbeid [1] gir han et strukturelt bevis som også prøver å forklare hvorfor et slikt
resultat er riktig.
Å bevise Morleys teorem på nytt er derfor ikke noe hovedanliggende for dette
arbeidet, teoremet er vårt utgangspunkt. Det er for eksempel nokså enkelt å se at
setningen har flere naturlige generaliseringer, som vi skal ta for oss. Vi vil deretter
stille noen spørsmål av litt ulik matematisk karakter, og forsøke å vise at geometrisk
tenkning som metode kan ha sine fortrinn fremfor analytisk regning og trigonometri.
Vi starter med Morleys teorem. Et så enkelt, la oss si universelt faktum bør ha en
enkel, nesten innlysende begrunnelse. Etter en tids betraktning og fundering åpnet
det seg en innsikt såpas s klar at vi følte det var berettiget å ta den med her, og
som vi ikke kan se har vært kjent tidligere.
Vårt annet hovedmoment er å illustrere samspillet mellom dynamisk program-
vare, i dette tilfelle et geometrisk program, og matematisk resonne ment. Poenget
her er at programmet åpner for spørsmål og problemstillinger som kanskje ellers
ikke så lett ville bli tatt opp. Og som vi skal se gir det også indikasj oner på nye
sammenhenger. De av les erne som har tilgang til et slikt program vil finne at det gir
en utvidet forståelse av de problemene vi diskuterer i denne artikkelen. En interak-
tiv versjon av dette arbeidet, som ikke krever at man selv har et geometriprogram,
finnes på nettstedet http://shk.ans.hive.no/. I denne artikkelen har vi tatt med
ganske mange figurer, som forhåpentlig vil gi en klar nok innsikt, også for de som
vil greie seg uten dataskjerm.
Vi takker referenten for et grundig arbeid som har bidratt til å gjøre artikkelen
vesentlig bedre og mer oversiktlig.
Morleys teorem
Geometriens store force er dens visuelle, umiddelbare karakter, og best er det når
et argument kan presenteres gjennom e t bilde, uten formler og utregninger. Det
finner vi for eksempel i noen av de mest slående bevisene for Pytagoras setning.
Leseren får selv dømme hvor nær dette målet vi har kommet. Prøver man et direkte
angrep «utenfra», dvs. fra den gitte trekant og inn mot den indre, kommer man
fort i vanskeligheter. Nøkkelen ligger i at man starter med en likesidet trekant, som
vi heretter skal kalle for Morley-trekanten, og bygger opp en trekant ABC med
vilkårlige vinkler A, B og C, som ved tredeling produserer Morley-trekanten man
startet med. Det er ideen i de fleste bevis for setningen.
Bevis for Morleys teorem. Beviset består av to deler, en konstruksjon og et argu-
ment. Konstruksjonen f remgår av figur 2. Vi starter med en likesidet trekant abc
knudtzon.tex,v 1.17
Normat 4/2003 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 147
som speiles om hver av sine tre sider, slik at det fremkommer en ny, større like-
sidet trekant som vist på figuren. Vi velger så tre vilkårlige vinkler , , hvor
+ + = 60
. Vinklene plasseres fra de tre hjørnene a, b, c som angitt på figuren.
Legg merke til at da blir bAc = og cBa = . Vinkelbenas skjæringspunkt gir
trekanten ABC.
Figur 2.
Påstand: A =3 , B =3, C =3.
Ved symmetri er det nok å vise at cAB = og cBA = . Nå er Acd cBd
,
slik at Ac/cB = cd/Bd
= d
c/Bd
fordi cd = d
c. Da må ABc cBd
siden
AcB = 180
= cd
B. Påstanden følger.
Tredeling av utvendige vinkler
Forlenger vi siden e i en gitt trekant ABC kan vi også tredele ytre vinkler, som vist
på figur 3.
Figur 3.
knudtzon.tex,v 1.17
148 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 4/2003
Tar vi for eksempel utgangspunkt i siden BC , kan vi tredele de to ytre vinkler
med toppunkt i henholdsvis B og C som har denne siden som sitt ene vinkelben,
og den indre vinkel A, og forlenge delelinjene gjennom siden BC . Tar vi nå igjen
skjæringspunkt mellom par av delelinjer som ligger nærmest sidene (eller deres
forlengelse), bestemmer de en trekant. Utføres denne kons truksjonen i CABRI (som
kan tredele vinkler), se r det ut som om denne trekanten er likesidet.
Utfører vi det samme med utgangspunkt i de to andre sidene AB og CA får vi
ytterligere to trekanter som også ser likesidete ut.
Teorem 2 De ytre trekantene som konstruert er likesidete.
Bevis. Det er nok å se på ett av tilfellene. Ideen er den samme som i beviset for
Morleys teorem, men detaljene blir litt annerledes. Konstruksjonsdelen fremgår av
figur 4, hvor vi igjen starter med en gitt likesidet trekant abc, og plasserer vinkler
, , som vist på figuren. Trekanten ABC defineres igjen ved skjæringspunkt
mellom vinkelbena.
Figur 4.
Vi viser først at Bb og Ba gir en tredeling av den ytre vinkel B. Ved å se på
vinklene i trekanten Bda fin ne r vi at Bda = 120
, daB = 60
slik at
aBd = + = 60
.
Analogt finner vi i trekanten Cad
at ad
C = 120
, d
Ca = 60
og Cad
= 60
. Vi får da at Bda ad
C, siden vinklene er parvis
like. Vi påstår at disse trekantene også er formlike med BaC . Dette følger av at
BaC = 180
(60
) (60
) = 120
, og at
aB
aC
=
da
d
C
=
d
a
d
C
hvor vi har benyttet oss av at da = ad
. Dermed blir CBa = abd = 60
=
1
3
ytre vinkel ved B. Helt analogt får vi tredeling av den ytre vinkel ved C.
knudtzon.tex,v 1.17
Normat 4/2003 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 149
Det gjenstår å vise at vi har indre tredeling av A. Av konstruksjonen fremgår
at bAc = . Det er derfor nok å vise at cAC = . Det følger av at i cAC er
cAC = 180
AcC cCA = 180
180
(60
)
= 60
= .
Det er også mulig å tredele alle de tre ytre vinkler:
Teorem 3 Trekanten som fremkommer ved tre ytre tredelinger er likesidet.
Bevis. Vinklene , , avsettes fra hjørnene i den likesidete trekant abc som vist
på figur 5. Vi vil vise at vinkelen ved B er tredelt utvendig av linjene Bc og Bd
.Av
konstruksjonen følger at cBd
= 60
. Vi påstår at cBd
Acd ABc.
Som i beviset oven for ser vi at de to første trekantene har parvis like vinkler, og er
derfor formlike. Videre er
AcB = Adc = cd
B = 120
Ac
Bc
=
dc
d
B
=
d
c
d
B
som gir påstanden. Det følger at ABc = cBd
= 60
. Setningen følger.
Figur 5.
Merknad. Man kan også spørre hva som skjer hvis vi tredeler to indre vinkler og
en ytre. Litt forbausende kanskje, etter suksessene ovenfor, viser det seg at de
fremkomne trekanter ikke blir likesidete. Av Connes arbeid [1] kan man få innsikt
i nettopp hvorfor setningen holder i noen situasjoner og bryter sammen i andre.
knudtzon.tex,v 1.17
150 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 4/2003
Mønster og symmetri
Det virker på fi gur 6 som om de ytre trekantene inngår i et mønster det kan være
interessant å undersøke.
Figur 6.
Teorem 4 Forlenges sidene i de ytre trekantene parvis vil de møtes, og hjørnene
som vender innover er hjørner i den likesidete trekant som fremkom ved tre ytre
tredelinger.
Bevis. Dette resultatet får vi nå nesten gratis, se figur 7. Her er abc den likesidete
trekant som oppstår ved tre ytre tredelinger av ABC, og ab
c
er den likesidete
trekant som produseres ved innvendig tredeling av vinkel A, og utvendig tredeling
av de to andre. Punkt a er dermed et felles punkt, fremkommet ved tredeling av
de ytre vinkler ved B og C. Vi trenger derfor bare å vise at b, a og b
ligger på en
rett linje. Fra figur 4 får vi at aC danner negativ vinkel med ab
, og fra figur 5
får vi at aC danner negativ vinkel med ab. Påstanden følger.
Figur 7.
knudtzon.tex,v 1.17
Normat 4/2003 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 151
Figur 8.
Det er velkjent at for å bestemme et kjegle-
snitt kreves fem punkter (se for eksempel
[2], 14.7). Velger vi fem av hjørnene som
ligger lengst ute i de tre ytre trekantene vil
altså de bestemme et kjeglesnitt, se figur 8.
Vi kan da spørre geometriprogrammet om
det siste hjørnepunktet også ligger p å dette
kjeglesnittet. CABRI besvarer dette spørs-
målet med «ja». Det er selvsagt ikke et be-
vis, men sannsynliggjør at vi har en korrekt
hypotese.
Teorem 5 De seks hjørnene lengst ute på
de ytre trekantene ligger på et kjeglesnitt.
Det er mulig å gi et analytisk regnebevis for denne setningen. Metoden krever
imidlertid ganske mye regning, og i tråd med vår idé for denne artikkelen skal vi
gi et rent geometrisk argument. Beviset vårt baserer seg på to resultater av gamle
mestere. Det første er en karakterisering av kjeglesnitt som tilskrives Braikenridge
og Maclaurin fra 1700-tallet.
La P
1
, P
2
,...,P
6
være seks punkter i planet. Et polygontrekk er en suksesjon
av trukne linjer slik at hvert punkt gjennomløpes en gang, og vender tilbake til
utgangspunktet, se figur 9. Et slikt polygontrekk kan angis ved å spesifisere en
rekkefølge på punktene. Her gir P
1
P
3
P
6
P
4
P
2
P
5
et polygontrekk. Vi bestemmer
skjæringspunkt L, M, N mellom par av linjene som forbinder punktene etter føl-
gende skjema (symbolet angir skjæringspunktet mellom to linjer):
L = P
1
P
3
P
4
P
2
,M= P
3
P
6
P
2
P
5
,N= P
6
P
4
P
5
P
1
.
Figur 9.
Teorem 6 (Braikenridge, Maclaurin) Punktene P
1
, P
2
,...,P
6
ligger på et kjegle-
snitt hvis og bare hvis L, M og N ligger på en rett linje.
knudtzon.tex,v 1.17
152 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 4/2003
Bevis. Se Coxeter [3].
Det andre resultatet vi skal be nytte oss av kalles Menelaus teorem, men setningen
var nok kjent før Menelaus som levde fra ca. 70 til 130 e.Kr. Menelaus regnes
imidlertid som grunnleggeren av sfærisk geometri (hvor setningen holder, og spiller
en viktig rolle).
Teorem 7 (Menelaus) La L, M og N være punkter på hver av sidene (eller deres
forlengelser) i en trekant, som deler sidene i forholdene l, m og n respektive. Da
ligger L, M og N på en rett linje hvis og bare hvis lmn =1.
Bevis. Se Coxeter [2].
Væpnet med disse to klassiske resultatene kan vi nå vise en setning som er atskillig
mer generell enn Teorem 5, og som kanskje ikke er særlig kjent (se figur 10).
Figur 10.
Teorem 8 La a
1
, a
2
, a
3
, b
1
, b
2
, b
3
være seks linjer i planet slik at a
i
og b
i
er
parallelle, i =1, 2, 3, mens ingen av linjene a
i
er parallelle. Da ligger de seks
skjæringspunktene a
i
b
j
, i = j på et kjeglesnitt (eller på to rette linjer).
Bevis. De seks linjene i setningen kan ligge plassert på en rekke ulike måter i
forhold til hverandre, slik at i et geometrisk bevis er det nødvendig å diskutere disse
tilfellene hver for seg. Vi skal nøye oss med å behandle det tilfellet som er relevant
for vår situasjon, og gjengitt på figur 10. Her gir P
1
P
3
P
6
P
4
P
2
P
5
et polygontrekk
hvor linjene skjærer hverandre parvis i punktene L, M, N. Av Teorem 6 får vi at de t
er nok å vise at disse ligger på en rett linje. For å bruke Menelaus teorem trenger vi
derfor å regne ut delingsforholdene. Men aller først skal vi gjøre en forenkling. Hvis
vi parallellforskyver linjen b
1
oppover på en slik måte at P
2
P
5
bevarer retningen,
og P
3
P
6
likeså, vil P
1
P
5
og P
4
P
6
forandre retning. Skjæringspunktet N mellom
dem vil bevege seg langs en rett linje som går gjennom L og M . I grensestillingen
knudtzon.tex,v 1.17
Normat 4/2003 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 153
hvor b
1
er uendelig langt borte, vil MP
3
og NP
4
bli parallelle, og MP
2
og NP
1
likeså. Da h ar N havnet i N
, som vist på figur 11. Det er derfor nok å vise at
punktene L, M og N
ligger på linje. De ligger henholdsvis på sidene AB, CA og
BC i trekanten ABC, der A = P
2
og B = P
4
.
Figur 11.
Vi trenger å vise at
(1)
AL
LB
·
BN
N
C
·
CM
MA
=1.
Nå er
(2)
AL
LB
=
AD
P
3
B
=
AD
CM
siden ADL BP
3
L. Videre er P
1
AD P
1
RP
3
som gir
AD
RP
3
=
P
1
A
P
1
R
. Det
følger at
(3) AD = N
C ·
AM
BN
hvor vi har brukt at RP
3
= AM, P
1
A = N
C, P
1
R = BN
. Substituerer vi (3) i
(2) får vi
AL
LB
=
N
C
BN
·
AM
CM
som gir (1). Teorem 8 er dermed bevist.
Teorem 5 følger umiddelbart av Teorem 8. Det er også interessant å vite hva slags
kjeglesnitt vi får. På figur 8 ligger punktene på en ellipse, og det er det «normale»,
dvs. det som skjer hvis ikke noen av vinklene i de n opprinnelige trekanten ABC er
svært store. Lar vi imidlertid B øke mens vi lar de to andre vinklene være like
store, så viser CABRI at ellipsen «sprekker» når B blir stor nok. Ved den kritiske
verdien får vi en parabel, og for større verdier får vi en hyperbel. Ved å studere
ligningene for disse kjeglesnittene får vi bekreftet at den kritiske verdi for B er ca.
144
.
knudtzon.tex,v 1.17
154 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 4/2003
Preludium til del 2
I annen del av denne artikkelen starter vi med å stille e t nesten naivt spørsmål:
Hvor befinner senteret for trekanten ABC seg?
Litt mer presist kan det formuleres slik: Halverer vi vinklene A, B, C vil halve-
ringslinjene møtes i ett punkt, senteret til den innskrevne sirkel i trekanten ABC.
Det er klart at dette senteret ligger innenfor Morley-trekanten abc. Holder vi abc
fast, men varierer , , , så vil også trekanten ABC bevege seg. Det er lett å se at
også senteret for den innskrevne sirkelen vil bevege seg, men det er ikke umiddel-
bart klart hvordan dette skjer, og innenfor hvilket område senteret vil ligge. Ved
hjelp av dynamisk programvare er det imidlertid enkelt å spore senterets vandrin-
ger innenfor trekanten abc når denne holdes fast. Ved å la en av vinklene, f.eks.
være lik 0, og variere de to andre vil en kunne spore en bit av konturlinjen til
området. Setter vi så de to andre lik 0 etter tur, får vi konturen til hele området.
Hva slags kurve er denne konturlinjen? Svaret er overaskende, og leder igjen til
andre spørsmål som vi studerer ved hjelp av geometriske metoder.
Litteratur
[1] Connes, Alain: A new proof of Morley’s Theorem. Les Relations Entre les
Mathématiques et la Physique Théorique. Institut des Haut Études Sci., Bures 43–46
(1998).
[2] Coxeter, H. S. MacDonald: Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley & Sons,
Inc. New York, 1980.
[3] Coxeter, H. S. MacDonald: The Real Projective Plane (2nd ed). Cambridge
University Press, London, 1961.
[4] Iden, Oddvar: Om å unngå trigonometri i geometrien, Normat 50:1, 30–38 (2002).
[5] Skau, Christian: Tre perler fra elementærmatematikken, Normat 48:1, 56–74 (2000).
knudtzon.tex,v 1.17
