Normat 51:4, 155–162 (2003) 155
Kontinuitet medför verkligen inte
deriverbarhet
Martin Brundin
Avdelningen för matematik
Karlstads universitet
martin.brundin@kau.se
1 Inledning
Begreppen kontinuitet och deriverbarhet är fundamentala såväl inom den rena ma-
tematiken som inom dess tillämpningar. Naturligtvis har de flesta som läst mate-
matik eller naturvetenskap på lite högre nivå en god uppf attning om vad begreppen
innebär. Att en reell funktion f, i en variabel, är kontinuerlig innebär ju (mycket
oprecist) att grafen y = f (x) kan ”ritas utan att lyfta pennan”. Deriverbarhet be-
tyder på samma sätt att grafen har en ”välbestämd lutning” i varje punkt. Det
är vidare både välbekant och lätt att, utgående från definitionerna, visa att deri-
verbarhet medför kontinuitet, d.v.s. om f är deriverbar i punkten a så är f också
kontinuerlig i a. Det omvända är inte sant. Sätter vi f(x)=|x| så har vi ett stan-
dardexempel på en funktion som är kontinuerlig överallt, men inte deriverbar i
x =0. Man kan säga att detta beror på att grafen y = f(x) har en ”spets” i x =0.
Vi vet alltså att det finns kontinuerliga funktioner som inte är överallt deriverba-
ra. En naturlig fråga blir ”Måste en överallt kontinuerlig funktion vara deriverbar i
åtminstone någon punkt?”. Svaret var okänt fram till senare hälften av 1800-talet,
då den framgångsrike matematikern Weierstrass gav ett exempel som visade att sva-
ret på frågan är nej. Resultat publicerades av hans elev Paul du Bois-Reymond [3].
Idag, med exempelvis Fourieranalys till hands, är det mycket enkelt att ge hyggligt
konkreta exempel på sådan a funktioner.
Detta arbete syftar till att ge ett bevis för att det finns kontinuerliga funktioner
som är ingenstans deriverbara. Vi skall följa van der Waerdens motexempel (bevis)
från 1930, då det har fördelen av att vara både elementärt och intuitivt, om än
därmed inte enkelt. Konstruktionen går ut på att överlagra absolutbeloppsliknande
funktioner på ett sådant sätt att den resulterande funktionen får ”spetsar” i alla
punkter med ändlig decimalutveckling. Att detta räcker följer (naturligtvis) ur vårt
bevis. De hjälpresultat som presenteras i arbetet återfinns i till exempel W. Rud ins
brundin.tex,v 1.7
156 Martin Brundin Normat 4/2003
bok [4]. Vill m an ha en något mjukare presentation kan man titta i t.ex. Persson–
Böiers böcker [1] och [2].
2 Reella tal, kontinuitet och deriverbarhet – En snabbkurs
Reella tal är mer komplicerade än vad man kanske tror. För oss är det dock inte
vare sig nödvändigt eller särskilt relevant att gå in på några tekniska detaljer. Vi
nöjer oss med en mycket kortfattad diskussion om de reella talens fullständighet.
En viktig egenskap som de reella talen har, som exempelvis de rationella talen
saknar, är att de är fullständiga. Fullständigheten innebär, om man så vill, att
den reella talaxeln inte innehåller några ”hål”, eller att varje följd
1
som ”försöker
konvergera” också gör det. Begreppet kan formuleras om på flera ekvivalenta sätt.
Det vanligaste är kanske Supremumaxiomet:
Sats 1 (Supremumaxiomet). Varje icketom och uppåt begränsad mängd av reella
tal har en minsta övre begränsning.
En annan ekvivalent formulering av Supremumaxiomet, den som är mest intressant
för oss, ges av Satsen om monoton konvergens (se nästa avsnitt).
Vi förutsätter att läsaren är väl förtrogen med begreppen kontinuitet och deriver-
barhet. Av den anledningen avstår vi från att formulera och bevisa grundläggande
satser, såsom ”Satsen om mellanliggande värden”. Vi nöjer oss med att repetera
hur begreppen definieras och att bevisa satsen om att deriverbarhet implicerar
kontinuitet.
För enkelhets skull så ska vi uteslutande betrakta funktioner f: I R, där
I R betecknar ett intervall. Skrivsättet f: I R betyder att f är en reell
funktion definierad på I. Observera att symbolen även inkluderar möjlig likhet.
Vi säger att en funktion f: I R är kontinuerlig i a I om det gäller att
lim
h0
f(a + h)=f (a). Vi säger att f är kontinuerlig om f är kontinuerlig i varje
a I.
Vi säger att f är deriverbar i a I om gränsvärdet
f
(a) = lim
h0
f(a + h) f(a)
h
existerar. Vi säger att f är deriverbar om f är deriverbar i varje punkt i I.
Sats 2. Deriverbarhet medför kontinuitet, d.v.s. om f är deriverbar i a I så är
f kontinuerlig i a.
Bevis. Om f är deriverbar i a I så har vi att
lim
h0
f(a + h) = lim
h0
f(a + h) f(a)
h
· h + f(a)
= f
(a) · 0+f(a)
= f(a),
vilket visar påståendet.
1
Begreppet följd definieras i nästa avsnitt.
brundin.tex,v 1.7
Normat 4/2003 Martin Brundin 157
3 Följder, serier och funktionsserier – En snabbkurs
Med en följd menar vi helt enkelt en funktion f : N R. Ofta skriver man t.ex.
f(n)=a
n
och identifierar följden med den ”ordnade listan av tal” {a
1
,a
2
,...} =
{a
n
}
n=1
. Ibland är det lämpligare att låta första indexet i följden vara t.ex. 0,
{a
0
,a
1
,...} = {a
n
}
n=0
. Det viktiga i sammanhanget är att följden har ett förs-
ta element, men saknar ett s ista. Vi säger att följden {a
n
}
n=1
är konvergent om
lim
n
a
n
= lim
n
f(n) existerar, annars divergent. Begreppen växande, avta-
gande, uppåt begränsad, nedåt begränsad och begränsad definieras som för funk-
tioner i allmänhet. Observera dock att exempelvis definitionen av växande följd
(m>nmed för att a
n
a
m
) kan förenklas till a
n
a
n+1
för varje n N.
Det viktiga Supremumaxiomet för reella tal kan ekvivalent formuleras i termer
av följder:
Sats 3 (Monotona konvergenssatsen). Om följden {a
n
}
n=1
(av reella tal) är
växande och uppåt begränsad så är den konvergent.
Kontinuitets- och derivatorbegreppen kan uttryckas helt i termer av följder. Ob-
servera exempelvis att f är deriverbar i a I om och endast om
lim
n
f(a
n
) f(a)
a
n
a
= f
(a)
för varje följd {a
n
}
0
sådan att lim
n
a
n
= a (a
n
= a, n =0, 1, 2,...).
Vi ska nu betrakta (numeriska) serier. Till serien
k=0
a
k
associerar vi en följd
{s
n
}
n=0
(kallad följd en av partialsummor), definierad av
s
n
=
n
k=0
a
k
.
Själva serien
k=0
a
k
kan vi tänka oss som en (formell) ”summa av oändligt många
termer”.
Vi säger att serien
k=0
a
k
är konvergent med summa s om följden {s
n
}
n=0
av partialsummor är konvergent med lim
n
s
n
= s. Vi formulerar och bevisar
nu några grundläggande satser, som läsaren förhoppningsvis redan känner till (se
exempelvis Rudin [4] för en utförligare presentation).
Sats 4. Om serien
k=0
a
k
är konvergent så gäller det att lim
k
a
k
=0.
Bevis. Om vi defi nierar
s
n
=
n
k=0
a
k
så har vi att
a
n
= s
n
s
n1
.
Men eftersom serien
k=0
a
k
är konvergent så gäller, per definition, att för något
s R är lim
n
s
n
= lim
n
s
n1
= s. Alltså,
lim
n
a
n
= lim
n
(s
n
s
n1
)=s s =0,
vilket skulle visas.
brundin.tex,v 1.7
158 Martin Brundin Normat 4/2003
Sats 5. Om serien
k=0
a
k
är konvergent så gäller det att lim
N
k=N
a
k
=0.
Bevis. Om
k=0
a
k
= s så har vi
lim
N
k=N
a
k
= lim
N
s
N1
k=0
a
k
= s s =0,
vilket skulle visas.
Sats 6 (Jämförelsekriteriet). Om det gäller att 0 a
k
b
k
, k =0, 1, 2, ..,och
k=0
b
k
är konvergent så är också
k=0
a
k
konvergent.
Bevis. Låt S =
k=0
b
k
och s
n
=
n
k=0
a
k
. Observera att {s
n
}
n=0
är en växande
följd av reella tal, uppåt begränsad av S. Enligt monotona konvergenssatsen så
konvergerar alltså följden {s
n
}
n=0
, vilket skulle visas.
Sats 7. Om serien
k=0
|a
k
| är konvergent så är också
k=0
a
k
konvergent.
Bevis. Definiera b
k
= a
k
+|a
k
|. Då gäller att 0 b
k
2|a
k
|. Enligt jämförelsekrite-
riet är alltså
k=0
b
k
konvergent. Eftersom a
k
= b
k
|a
k
| så följer det att
k=0
a
k
är konvergent, vilket skulle visas.
Slutligen diskuterar vi nu funktionsserier, vilka konceptuellt sett egentligen inte
är mer komplicerade än vanliga (numeriska) serier. Skillnaden är att vi adderar
funktioner istället för reella tal. Låt I R vara ett intervall och antag att vi till
varje n =0, 1, 2,... har en funktion f
n
: I R. Vi kan då, för varje x I, bilda
en (numerisk) serie
n=0
f
n
(x). Vi säger att serien är punktvis konvergent, eller
väldefinierad, om den konvergerar för varje x I. Om så är fallet så får vi på detta
sätt en ny funktion f : I R,
f(x)=
n=0
f
n
(x).
Vi skall utnyttja endast ett resultat om funktionsserier, nämligen en viktig variant
av Weierstrass majorantsats:
Sats 8 (Weierstrass maj orantsats). Låt {f
n
}
n=0
vara en följd av kontinuerliga
funktioner, f
n
: R R, sådana att
(a) |f
n
(x)|a
n
, n =0, 1, 2,...
(b)
n=0
a
n
är konvergent.
Då är f(x)=
n=0
f
n
(x) en (väldefinierad) kontinuerlig funktion.
Bevis. Enligt satsen om absolutkonvergens ovan så är f(x)=
n=0
f
n
(x) konver-
gent för varje x R, och d ärmed är f väldefinierad. Låt x
0
R vara en godtycklig
brundin.tex,v 1.7
Normat 4/2003 Martin Brundin 159
punkt. Vi vill visa att f är kontinuerlig i x
0
. Vi har att
|f(x
0
+ h) f(x
0
)| =
n=0
f
n
(x
0
+ h) f
n
(x
0
)
N
n=0
|f
n
(x
0
+ h) f
n
(x
0
)| +
n=N+1
|f
n
(x
0
+ h) f
n
(x
0
)|
N
n=0
|f
n
(x
0
+ h) f
n
(x
0
)| +
n=N+1
2a
n
,
för varje N N. Låt >0 vara givet och välj N N så att
n=N+1
2a
n
<
1
2
(möj ligt enligt Sats 5, ty
n=0
a
n
är konvergent). Välj nu |h| så litet att
N
n=0
|f
n
(x
0
+ h) f
n
(x
0
)| <
1
2
,
vilket är möj ligt eftersom funktionerna f
0
,f
1
,...,f
N
är kontinuerliga i x
0
.
Det följer nu att
|f(x
0
+ h) f(x
0
)| <
1
2
+
1
2
= .
Eftersom >0 är godtyckligt så har vi visat att
lim
h0
|f(x
0
+ h) f(x
0
)| =0,
och vi är klara.
4 van der Waerdens motexempel
Konstruktionen i detta avsnitt är i allt väsentligt samma konstruktion som den
som gjordes av van der Waerden [5].
Vi skall alltså konstruera en funktion f, som är överallt kontinuerlig men ingen-
stans deriverbar. Det blir med nödvändighet en funktionsserie, eftersom varje ändlig
kombination
2
av styckvis elementära funktioner på ett ändligt intervall kommer att
vara deriverbar överallt utom möjligen på en ändlig mängd. Kom alltså ihåg att vi
vill skapa en funktion som inte är deriverbar någonstans.
Vi kommer att börja med en funktion b som är 0 utanför intervallet (0, 1),
vår ”byggsten”, som vi sedan kopierar över hela linjen. Vi kommer att få en ”såg-
tandskurva”. Därefter skalar vi (likformigt) ned sågtandskurvan 10 gånger, sedan
100 gånger, 1000 gånger o.s.v. i all oändlighet. Slutligen adderar vi alla våra (oänd-
ligt många) sågtandskurvor. Funktionen som vi får kommer faktiskt att vara vårt
eftersträvade motexempel!
2
Kombination i betydelsen summa, produkt, sammansättning o.s.v.
brundin.tex,v 1.7
160 Martin Brundin Normat 4/2003
Definiera fun ktionen
b(x)=
2x, 0 x 1/2
2 2x, 1/2 <x 1
0 annars.
Nu defi nierar vi en funktion f
0
som en periodisk fortsättning av b:
f
0
(x)=
kZ
b(x + k).
Observera att vi inte beh över bekymra oss för konvergens här, eftersom varje x
svarar mot maximalt en nollskild term i serien som definierar f
0
(x). Notera också
att f
0
är kontinuerlig på hela R (eftersom b är kontinuerlig på hela R) o ch att f
0
är deriverbar överallt utom på mängden
1
2
Z = {x R : x = k/2 för något k Z}.
-1
-0.5 0.5
1 1.5
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figur 1. Grafen y = f
0
(x). Funktionen b har kopierats över
linjen.
För n 1 definierar vi nu
f
n
(x) = 10
n
f
0
(10
n
x).
Vi ser, grafiskt, att f
n
är ”samma” funktion som f
0
men på en 10
n
gånger finare
skala. Det följer att f
n
är kontinuerlig på h ela R (eftersom f
0
är kontinuerlig på
hela R) och att f
n
är deriverbar överallt utom på mängden
1
2
· 10
n
Z = {x R : x =
1
2
· 10
n
· k för något k Z}.
För varje x R är det nu klart att funktionsserien
(1) F (x)=
n=0
f
n
(x)
är konvergent, eftersom |f
n
(x)|10
n
· 1 = 10
n
och
n=0
10
n
är konvergent.
Det innebär alltså att F : R R är en väldefinierad funktion. I figur 2 nedan visas
en app roximation till grafen y = F (x).
Sats 9. Funktionen F: R R, definierad i ekvation (1), är kontinuerlig i varje
x R men inte deriverbar i något x R.
brundin.tex,v 1.7
Normat 4/2003 Martin Brundin 161
0.2
0.4 0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figur 2. Bilden visar grafen av den åttonde partialsumman, y =
f
0
+ f
1
+ ···+ f
7
, för tydlighets skull i fallet då skalningsfaktorn
är 2. Fenomenet med sp etsarna är dock i princip s amma som för
vår funktion (skalningsfaktor 10).
Bevis. Vi har redan konstaterat att varje funktion f
n
, n 0, är kontinuerlig.
Vidare, eftersom |f
n
(x)|10
n
för varje x R och
n=0
10
n
är konvergent, så
följer det ur Weierstrass majorantsats att F är kontinuerlig.
Att visa att F inte är deriverbar någonstans är lite mer invecklat. Till varje tal
x R låter vi x[n], n 1, b eteckna decimal n i x. Till exempel har vi [3] = 1,
eftersom =3.141592 ... Vi använder oss vidare av konventionen att inte tillåta
tal vars decimalutveckling slutligen består av enbart nior, till exempel identifierar
vi talet 0.1999999 ... med 0.2000000 ....
Låt nu x R vara givet. Vi definierar en följd {x
n
}
1
på följand e vis:
x
n
=
x + 10
n
, om x[n] {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
x 10
n
, om x[n] {4, 9}
.
Antag först att k n, vilket speciellt innebär att 10
kn
är ett heltal. Då är
f
k
(x
n
)=f
k
(x ± 10
n
)
= 10
k
f
0
(10
k
x ± 10
kn
)
= 10
k
f
0
(10
k
x)
= f
k
(x),
eftersom f
0
är 1-periodisk.
Antag nu att k<n, det lite svårare fallet då (den listiga) definitionen av x
n
får
sin förklaring. Grafen till funktionen f
k
består av en massa linjestycken. Påståendet
är att x och x
n
, om k<n, alltid ligger under samma linjestycke eller ekvivalent att
x och x
n
aldrig ligger på olika sidor om en ”spets”. Nu visar vi det! Observera först
att definitionen av x
n
ger att x
n
[n] =0och x
n
[n] =5. För x-koordinaten s(k) till
en spets på grafen y = f
k
(x) gäller att s(k)[n]=0eller att s(k)[n]=5, eftersom
k<n. Detta innebär att varje tal z i d et öppna intervallet
s(k) 10
n
,s(k)+10
n
uppfyller z[n]=0eller z[n]=5, vilket i sin tur ger att x
n
inte kan ligga i något
sådant intervall. Alltså, avståndet mellan x
n
och närmsta spets s(k) är alltid minst
10
n
. Men eftersom avståndet mellan x och x
n
är exakt 10
n
så ligger x och x
n
under s amma linjestycke, vilket skulle visas.
brundin.tex,v 1.7
162 Martin Brundin Normat 4/2003
Varje linjestycke har en riktningskoefficient som är antingen 2 eller 2, en enkel
konsekvens av att skalningen av f
0
(för vilken påståendet är uppenbart) till f
k
är
likformig. Vi får alltså f
k
(x) f
k
(x
n
)=±2(x x
n
).
Sammanfattningsvis h ar vi att
f
k
(x) f
k
(x
n
)=
±2(x x
n
), om k<n
0, om k n
.
Det följer nu att
F (x) F (x
n
)=
k=0
f
k
(x) f
k
(x
n
)
=
n1
k=0
±2(x x
n
)
=(x x
n
)
n1
k=0
k
,
där
k
{±2}. Speciellt har vi att gränsvärdet lim
k
k
inte kan vara 0 (i själva
verket existerar det inte överhuvudtaget). Sammanfattningsvis har vi att
F (x) F (x
n
)
x x
n
=
n1
k=0
k
.
Om vi låter n så ser vi att differenskvoten i vänsterledet inte konvergerar,
eftersom högerledet enligt Sats 4 inte gör det. Det följer att F
(x) inte existerar,
och eftersom x R var godtyckligt valt så är vi klara.
Referenser
[1] A. Persson, L.-C. Böiers, Analys i en variabel, Studentlitteratur AB 2001.
[2] A. Persson, L.-C. Böiers, Analys i flera variabler, Studentlitteratur AB
1998.
[3] P. du Bois-Reymond, Versuch einer Classification d er willkürlichen
Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten
Intervallen, Journal für M ath. 79, 21–37 (1875).
[4] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition McGraw-Hill
Book Co. 1976, New York.
[5] B.L. van der Waerden, Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren
stetigen Funktion, Math. Z. 32, 474–475 (1930).
brundin.tex,v 1.7
