Normat 51:4, 163–175 (2003) 163
Perfekte tall
Elementære betraktninger
Christoph Kirfel
Høgskolen i Bergen
Avdeling for lærerutdanning
Postb oks 7030
NO–5020 Bergen
cki@hib.no
Allerede Pytagoreerne utviklet tallmystikken til et vitenskapsområde der man til-
ordnet tall visse menneskelige egenskaper. Enkle tallforhold kunne beskrive musi-
kalske intervall og vitne om velklang og slektskap. Tallene ble innbegrepet for ver-
den. Tallet 2 var en kvinne, tallet 1 en mann, andre tall kunne tilordnes regulære
legemer som tetraeder og kub e som igjen hadde nære forbindelser med elementene,
ild, vann, jord og luft. Disse igjen kunne kobles til forskjellige me nne skelige egen-
skaper og temperamentene. Slik er det ikke unaturlig at et tall som delte et annet
tall stod i et nært slektskapsforhold med det og at tall med spesielle egenskaper
hadde en høyere verdi enn andre. I mange kulturer har tallet 7 en spesiell betyd-
ning som gjerne kan være tuftet på de fundamentale egenskapene til addendene
3 og 4. Pytagoreerne beskjeftiget seg også med såkalte vennskapstall. To tall er
vennskapstall hvis det ene er lik summen av divisorene til det andre og omvendt.
Pytagoreerne kjente til tallparet 284 og 220. Senere ble det funnet flere. To personer
som bar en talisman med hver sitt vennskapstall kunne på denne måten forsikre
seg at vennskapen ville vare evig. Hvor mye mer fantastisk var da ikke de tallene
som var lik sin egen divisorsum. Dette var en så sjeld en og verdifull egenskap at
tallene ble kalt «perfekte». Tallet 6 er et godt eksempel, siden divisorene 1, 2 og 3
summerer seg opp til utgangstallet 6. For eksempel skapte Gud hele verden i løpet
av 6 dager, en god grunn for at dette tallet måtte være noe spesielt. Også tallet 28
kirfel.tex,v 1.9
164 Christoph Kirfel Normat 4/2003
er perfekt. Allerede Euklid hadde et interessant resultat om perfekte partall. Hvis
nemlig 2
m+1
1 er et primtall (i dag kaller vi slike primtall for Mersenne-primtall)
så er N =2
m
(2
m+1
1) et perfekt tall. Euler klarte å vise at alle perfekte partall er
av denne formen. Det er fortsatt ukjent om det finnes uendelig mange Mersenne-
primtall og dermed er det uvisst om det finnes uendelig mange perfekte partall.
I dag (februar 2004) kjenner man 40 Mersenne-primtall.
Lucas utviklet en metode for å avgjøre om et gitt Mersenne-tall er et primtall.
Her snakker vi om skikkelig store tall der man ikke kan avgjøre om de er primtall
eller ei «for hånd». Det er stort sett ved hjelp av denne metoden og videreutviklinger
av den at primtallsrekordene blir funnet i dag. Alle som har ledig kapasitet på sin
hjemme-PC kan delta i jakten på de største kjente primtall (se hjemmesiden til
GIMPS http://www.mersenne.org/).
Når det gjelder perfekte oddetall så har man hittil ikke kunnet finne et eneste
eksempel. Slike spørsmål pirrer selvsagt mang en matematiker. Hos Euklid som
fant den pene formelen for perfekte partall ser det ikke ut til at han vurderte
muligheten av at det også kunne finn es odde perfekte tall. Den første som uttaler
denne muligheten er Descartes. Han nevner uttrykkelig muligheten for at det finnes
odde perfekte tall. Dermed ser det ut til at denne spørsmålsstillingen er det eldste
uløste matematiske problemet. Jeg har derfor samlet sammen noen elementære
egenskaper et odde, perfekt tall, hvis det i det hele tatt finnes, må ha. Det kan
go d t hende at alt jeg skriver h er og med meg alt alle andre som har skrevet om
odde perfekte tall er egenskaper ved den tomme mengden. Men inntil det er vist
krever et så gammelt spørsmål stadig nye delsvar.
Er tallet N = p
e
en primtallspotens er det lett å finne summen av divisorene.
Nå tar vi også med tallet N selv som en divisor. Da er divisorsummen
(p
e
)=1+p + p
2
+ ···+ p
e
=
p
e+1
1
p 1
.
Består N av flere faktorer får vi den samlede divisorsummen ved å multiplisere
divisorsummene for hver primtallspotens som inngår i N sammen. Dette er lett
å innse. Hver divisor i N er nemlig et produkt av visse primtall som inngår i
N, der e ksponenten er mindre eller lik maksimaleksponenten som inngår i N. Et
produkt av faktorer av den formen som (p
e
) har representerer nettopp alle slike
sammensetninger av aktuelle primtallspotenser. Tallet N inngår selvsagt selv som
divisor her. Dermed får vi følgende beskrivelse av perfekthet.
Setning 1 (Euler) La N =
n
i=1
p
e
i
i
være primtallsoppspaltningen av N. Da er
N perfekt hvis og bare hvis
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
i
1
=2N =2
n
i=1
p
e
i
i
.
Ønsker vi å være noe mindre formalistisk kan vi også skrive: Tallet N som har
primtallsoppspaltningen N = p
e
q
m
···t
k
er perfekt hvis og bare hvis
(1+p+p
2
+···+p
e
)(1+q+q
2
+···+q
m
) ···(1+t+t
2
+···+t
k
)=2N =2p
e
q
m
···t
k
.
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 165
Korollar En primtallspotens kan ikke være perfekt.
Bevis. Siden N = p
e
får vi 1+p + p
2
+ ···+ p
e
=2N =2p
e
, altså p | (1 + p + p
2
+
···+ p
e
) som er umulig.
Setning 2 (Euler–Euklid) Partallet N er perfekt hvis og bare hvis det kan skri-
ves N =2
m
(2
m+1
1), der 2
m+1
1 er et primtall.
Bevis. La nå N =2
m
b der b er odde og kall B divisorsummen for b. Tallet N har da
divisorsum (2
m+1
1)B, og siden N er perfekt har vi 2N =2
m+1
b = (2
m+1
1)B.
Brøkene b/B og (2
m+1
1)/2
m+1
er altså like, men den sistne vnte er redusert siden
teller og nevner er primiske. Derfor er b = (2
m+1
1)c. Hvis c =1så er b =2
m+1
1
et primtall fordi divisorsummen B =2
m+1
. Hvis c>1 får vi at divisorsummen
B 2
m+1
1+b + c +1ved å legge sammen opplagte divisorer. Dette gir
B
b
2
m+1
(c + 1)
b
>
2
m+1
2
m+1
1
i motsetning til brøkenes likhet som var nevnt tidligere i beviset.
Spørsmålet om perfekte partall er dermed redusert til spørsmålet om Mersenne-
primtall. Jakten etter disse primtallene pågår for fullt.
Vi ønsker nå å undersøke odde perfekte tall og kan derfor gå ut fra at alle
primfaktorene p, q, . .., t er odde. Faktorene P =1+p + p
2
+ ··· + p
e
, Q =
1+q + q
2
+ ···+ q
m
, ..., T =1+t + t
2
+ ···+ t
k
må derfor være oddetall på én
nær. La oss si at T =1+t + t
2
+ ···+ t
k
=2f er et partall mens alle de andre er
oddetall.
Nå er P en sum av e +1oddetall. Siden P skal være odde må e+1 også være
odde og dermed er e et partall. Dette gjelder også m og alle de andre eksponentene
med unntak av k som må være et oddetall. Hvis nå primtallet t 1 (mod 4) så
vil t
i
(1)
i
(mod 4), og dermed er
T =1+t + t
2
+ ···+ t
k
1+(1) + 1 + (1) + ···+(1) 0 (mod 4),
siden summen inneholder et jamt antall ledd. Dette går imidlertid ikke an. Siden N
skal være et oddetall kan ne mlig 2N inneholde faktoren 2 kun en eneste gang. Derfor
er t 1 (mod 4). Vi har nå at T =1+t + t
2
+ ···+ t
k
1+1+1+···+1 k +1
(mod 4). Derfor må k 1 (mod 4).
Vi kan nå formulere
Setning 3 (Euler) Hvis det odde tallet N er perfekt så inneholder N et kvad-
rat. Vi kan skrive N = W
2
t
k
, og restfaktoren t
k
er en primtallspotens der både
primtallet og eksponenten er kongruent 1 (mod 4) og (W, t)=1.
Bevis. La N = p
e
q
m
···t
k
. I det ovenstående har vi sett at e, m, . . . er partall. Det
gir oss kvadratet. Restfaktoren t
k
er en primtallspotens der t 1 (mod 4) og k 1
(mod 4). Dette primtallet heter det spesielle primtallet i N .
Som nevnt er det ukjent om det finnes odde perfekte tall i det hele tatt. Ikke vet
man om det kanskje finnes uendelig mange av dem heller. Men vi kan s i noe om
kirfel.tex,v 1.9
166 Christoph Kirfel Normat 4/2003
hvor «tett» disse antatte odde perfekte tallene kan ligge langs tallinjen. Vi kan
nemlig lett vise at summen av d eres inverser konvergerer. (For eksempel divergerer
summen av primtallenes inverser, mens summen av primtalltvillingenes inverser
konvergerer.)
Setning 4 Summen av de odde perfekte tallenes inverser konvergerer: Vi har
NO
1
N
< 2,
der O er mengden av de odde perfekte tallene.
Bevis. Vi betrakter det maksimale kvadrattallet som går opp i N. Så viser vi at
forskjellige odde perfekte tall inneholder forskjellige maksimale kvadrater. Anta at
N og M var to perfekte odde tall som inneholdt det samme maksimale kvadratet.
På grunn av setning 2 vet vi da at N = Q · t og M = Q · s, der Q er det maksi-
male kvadratet og t og s er forskjellige primtall kongruent 1 mod 4. Både t og s
forekommer med eksponent 1. På grunn av setning 1 gjelder videre:
2N =2Q · t =(1+p + p
2
+ ···+ p
e
)(1 + q + q
2
+ ···+ q
m
)
···(1 + r + r
2
+ ···+ r
h
)(1 + t) og
2M =2Q ·s =(1+p + p
2
+ ···+ p
e
)(1 + q + q
2
+ ···+ q
m
)
···(1 + r + r
2
+ ···+ r
h
)(1 + s)
og dermed
2Q ·t
t +1
=
2Q ·s
s +1
eller t ·(s + 1) = s ·(t + 1),dvs.t = s. Det betyr at forskjellige perfekte oddetall all-
tid inneholder forskjellige maksimalkvadrater. Derfor er det n-te perfekte oddetall
alltid større enn n
2
og vi har:
NO
1
N
<
N=1
1
n
2
< 1+
N=2
1
n ·(n 1)
=1+
N=2
1
n 1
1
n
=2.
Bemerkning. Setningen er fortsatt riktig om vi summerer både de odde og de jamne
perfekte tallenes inverser.
Vi ønsker nå å undersøke hvorvidt vi kan finne ut no e om hvor mange primtallspo-
tenser et odde perfekt tall kan være satt sammen av. I denne sammenhengen kan
det være praktisk å se på den relative divisorsummen h(N) av tallet N, som er
forholdet mellom divisorsummen og tallet N selv:
h(N)=
(N)
N
=
p
n+1
1
p
n
(p 1)
·
q
m+1
1
q
m
(q 1)
···
t
k+1
1
t
k
(t 1)
.
Et tall N er perfekt når h(N )=2.
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 167
Det er lett å se at
h(p
n
)=
p
n+1
1
p
n
(p 1)
<
p
n+1
p
n
(p 1)
=
p
p 1
.
For et tall som er satt sammen av flere primtallspotenser gjelder derfor
h(N) <
p
p 1
·
q
q 1
···
t
t 1
Hvis
p
p 1
·
q
q 1
···
t
t 1
2
så er tallet N ikke perfekt. Denne observasjonen kommer vi til å bruke mange
ganger i det videre forløpet. For eksempel kan vi nå bevise en ny setning.
Setning 5 Hvis et odde tall N = p
n
t
k
består av to primtallspotenser så er N ikke
perfekt.
Bevis.
h(N) <
p
p 1
·
t
t 1
3
2
·
5
4
=
15
8
< 2
og N kan ikke være perfekt.
Setning 6 Hvis N inneholder en divisor N
| N med h(N
) > 2, så er N ikke
perfekt.
Bevis. Anta N =
n
i=1
p
e
i
i
og N
=
n
i=1
p
a
i
i
med n
n og a
i
e
i
for alle i og
N
|N. Da gjelder
h(N)=
(N)
N
=
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
e
i
i
(p
i
1)
n
i=1
p
a
i
+1
i
1
p
a
i
i
(p
i
1)
> 2
og N er ikke perfekt.
Setning 7 Hvis det odde tallet N = p
n
q
m
t
k
består av tre primtallspotenser, så er
N ikke perfekt.
Bevis. Vi viser først at 3 | N. Hvis nemlig 3 ikke er en divisor i N så er
h(N) <
p
p 1
·
q
q 1
·
t
t 1
5
4
·
7
6
·
11
10
=
77
48
< 2
og tallet N er ikke p erfe kt, altså 3 | N og N =3
n
q
m
t
k
.
Vi viser nå at 5 | N . Hvis nemlig 5 ikke er en divisor i N, så er
h(N) <
3
2
·
q
q 1
·
t
t 1
3
2
·
7
6
·
11
10
=
77
40
< 2
kirfel.tex,v 1.9
168 Christoph Kirfel Normat 4/2003
og tallet N er ikke p erfe kt, altså 5 | N og N =3
n
5
m
t
k
.
Vi viser nå at det siste primtallet må være 7, 11 eller 13. Hvis nemlig t>13 får
vi
h(N) <
3
2
·
5
4
·
t
t 1
3
2
·
5
4
·
17
16
=
255
128
< 2
og N er ikke perfekt, altså enten 7 | N eller 11 | N eller 13 | N.
Det betyr at N =3
n
5
m
7
k
, N =3
n
5
m
11
k
eller N =3
n
5
m
13
k
.
a) I følge setning 1 har vi
2N =2· 3
n
· 5
m
· 7
k
=(1+3+3
2
+ ···+3
n
) ·(1 + 5 + 5
2
+ ···+5
m
) ·(1 + 7 + 7
2
+ ···+7
k
).
Det betyr at uttrykket til høyre kun inneholder primtallene 2, 3, 5 og 7.
Fra [1] har vi følgende resultat: La a, b være naturlige tall. Vi betrakter følgen
c
j
= a
j
b
j
for j =1, 2,.... Da vil hvert ledd c
j
inneholde minst ett nytt
primtall som ikke er inneholdt i noen c
l
med l<j, med unntak av ett eneste
tilfelle, nemlig a =2, b =1og j =6. Det er lett å se at påstanden også
gjelder for heltallsfølgen
d
j
=
c
j
a b
=
a
j
b
j
a b
= a
j
+ a
j1
b + a
j2
b
2
+ ···+ b
j
for j>1.
Hos oss er a = p et primtall og b =1. Altså inneholder følgen d
j
=1+p +
p
2
+ ···+ p
j
minst ett nytt primtall for hvert nytt ledd i følgen.
Nå er
1+7=8=2
3
,
1+7+7
2
= 57 = 3 · 19,
1+7+7
2
+7
3
= 400 = 2
4
· 5
2
.
Det betyr at alle nye ledd i følgen d
j
=1+7+7
2
+ ···+7
j
vil inneholde
minst ett nytt primtall utover 2, 3 og 5, og likningen under punkt a) kan ikke
være oppfylt, siden 7 ikke kan være en divisor i d
j
=1+7+7
2
+ ···+7
j
.
b) I følge setning 1 har vi
2N =2· 3
n
· 5
m
· 11
k
=(1+3+3
2
+ ···+3
n
) ·(1 + 5 + 5
2
+ ···+5
m
)
· (1 + 11 + 11
2
+ ···+ 11
k
).
Det betyr at uttrykket til høyre kun inneholder primtallene 2, 3, 5 og 11. Nå
er
1 + 11 = 12 = 2
2
· 3,
1 + 11 + 11
2
= 133 = 7 · 19,
1 + 11 + 11
2
+ 11
3
= 1464 = 2
2
· 3 · 61,
1 + 11 + 11
2
+ 11
3
+ 11
4
= 16105 = 5 · 3221.
Det betyr at alle nye ledd i følgen d
j
= 1 + 11 + 11
2
+ ···+ 11
j
vil inneholde
minst ett nytt primtall utover 2, 3 og 5, og likningen under punkt b) kan ikke
være oppfylt siden 11 ikke kan være en divisor i d
j
= 1 + 11 + 11
2
+ ···+ 11
j
.
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 169
c) I følge setning 1 har vi
2N =2· 3
n
· 5
m
· 13
k
=(1+3+3
2
+ ···+3
n
) ·(1 + 5 + 5
2
+ ···+5
m
)
· (1 + 13 + 13
2
+ ···+ 13
k
).
Det betyr at uttrykket til høyre kun inneholder primtallene 2, 3, 5 og 13. Nå
er
1 + 13 = 14 = 2 · 7
1 + 13 + 13
2
= 183 = 3 · 61
1 + 13 + 13
2
+ 13
3
= 2380 = 2
2
· 5 · 119
Det betyr at alle nye ledd i følgen d
j
= 1 + 13 + 13
2
+ ···+ 13
j
vil inneholde
minst ett nytt primtall utover 2, 3 og 5 og likningen under punkt c) kan ikke
være oppfylt siden 13 ikke kan være en divisor i d
j
= 1 + 13 + 13
2
+ ···+ 13
j
.
Dermed er beviset komplett.
Korollar Et odde perfekt tall må være større enn 10
6
.
Bevis. Hvis 105 = 3·5·7 | N så er N ikke perfekt, siden N har divisoren N
=3
2
·5·7
2
i følge setning 3 og
h(N
)=
3
3
1
2 ·3
2
·
5
2
1
4 ·5
·
7
3
1
6 ·7
2
=
26
18
·
24
20
·
342
294
=
13338
6615
> 2,01.
Vi kan også vise at 3·5
2
·11 | N medfører at N ikke er p e rfekt. Hvis nemlig 11
2
N
så er 1 + 11 + 11
2
=7· 19 | N og vi har at 3 · 5 · 7 | N, en umulighet. Her betyr
p
k
N at p
k
går opp i N men at p
k+1
ikke går opp i N. Altså må eksponenten til
primtallet 11 være 4. Hvis 3
2
N så er 1+3+3
2
=13| N, og vi har at
(N)
N
>
13
3
2
·
14
13
·
31
5
2
·
5 ·3221
11
4
> 2,
en umulighet. Til slutt, hvis 3
4
· 5
2
· 11
4
N så er
(N)
N
>
11
2
3
4
·
31
5
2
·
5 ·3221
11
4
> 2,
og vi er ferdig. Skal altså primtallene 3, 5 og 11 gå opp i N så må eksponenten til
5 være lik 1. Dermed er de minste kandidatene for N som faller utenfor setning 7
og disse bemerkningene:
N
1
= (3 · 5 · 13)
2
· 17 = 646 425,
N
2
= (3 · 5 · 13)
2
· 29 = 1 102 725,
N
3
= (3 · 5 · 17)
2
· 13 = 845 325,
N
4
= (3 · 5 · 17)
2
· 29 = 1 885 725,
N
5
= (3 · 5 · 19)
2
· 13 = 1 055 925,
N
6
= (3 · 7 · 11)
2
· 13 = 693 693,
N
7
= (3 · 7 · 11)
2
· 17 = 907 137,
N
8
= (3 · 7 · 11)
2
· 29 = 1 547 469,
N
9
= (3 · 7 · 13)
2
· 17 = 1 266 993,
N
10
=(3· 11 · 13)
2
· 5 = 920 905 ,
N
11
=(3· 11 · 13)
2
· 17 = 3 128 697,
N
12
=(3· 11 · 17)
2
· 5 = 1 573 605,
N
13
=(3· 13 · 17)
2
· 5 = 2 197 845.
kirfel.tex,v 1.9
170 Christoph Kirfel Normat 4/2003
Øker man eksponenten til primtallet 3 fra 1 til 2 vil alle de nevnte 13 tallene over-
skride en million. De resterende tallene fra listen som er under 1 000 000 inneholder
5
2
, 7
2
eller 13
2
.Er5
2
N så må primtallet 31 forekomme som divisor i N.Er
7
2
N så må primtallet 19 forekomme som divisor i N, og til slutt, er 13
2
n så
må primtallet 61 forekomme som divisor i N. Derfor kan ingen av de nevnte tallene
være perfekte, og vi er ferdige med det tilfellet der 3 er det minste primtallet i N.
Siden (5 · 7 ·11)
2
·13 = 1 926 925 > 10
6
og (7 · 11 ·13)
2
·5 = 5 010 005 > 10
6
kan
verken 5 eller 7 være det minste primtallet i et odde perfekt tall under 1 000 000.
For større primtall gjelder det samme argumentet, og vi har vist korollaret.
Ved å utnytte resultatet fra [1] på nytt kan vi nå vise
Setning 8 La N =
n
i=1
p
e
i
i
være odde. Anta at for en av eksponentene gjelder
e
j
max
i
{p
i
}1. Da er N ikke perfekt.
Bevis. Vi setter e = e
j
, p = p
j
og 1+p + p
2
+ ···+ p
e
= q
1
1
q
2
2
···q
r
r
.Daer
q
1
1
q
2
2
···q
r
r
| N. Vi ser nå på et primtall q = q
i
.
a) (q, p 1) =1. Da er q | p 1, dvs. p 1 (mod q) og 1+p + p
2
+ ···+ p
q1
q 0 (mod q). Det betyr at primtallet q forekommer i 1+p+ p
2
+ ···+ p
q1
,
og siden q | p 1 har vi q p 1 max
i
{p
i
}1 e.
b) (q, p 1) = 1. På grunn av Fermats setning er da
q |
p
q1
1
p 1
=1+p + p
2
+ ···+ p
q2
.
Det betyr at det for alle primtall q | (1 + p+p
2
+ ···+ p
e
) finnes en eksponent
s
q
max
i
{p
i
}1 e slik at
q |
p
s
q
1
p 1
=1+p + p
2
+ ···+ p
s
q
1
.
Men da inneholder 1+p + p
2
+ ···+ p
e
nye primtall utover q
1
, q
2
,...,q
r
, en
selvmotsigelse.
Korollar 1 La N =
n
i=1
p
e
i
i
være odde og la u(p
i
)
1
2
(p
i
1) betegne det største
oddetallet som går opp i p
i
1. Anta at e
j
max
i
{u(p
i
)} der p
j
ikke er det spesielle
primtallet i N. Da er N ikke perfekt.
Bevis.
a) (q, p 1) =1. Samme argument som i setningen.
Vi har q u(p) max
i
{u(p
i
)}e.
b) (q, p 1) = 1. På grunn av Fermats setning er da
q |
p
q1
1
p 1
.
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 171
Vi vet at z = ord
q
(p) | q 1 og antar nå at z er et partall. Nå er
q |
p
e+1
1
p 1
=1+p + p
2
+ ···+ p
e
.
Dvs. z | e +1 og et partall deler et oddetall, en umulighet. Altså er z =
ord
q
(p) u(q)=2
(q 1), der 2
2 er den største potensen av 2 som
går opp i q 1. Det betyr at det for alle primtall q | 1+p + p
2
+ ···+ p
e
finnes en eksponent s
q
max
i
{u(p
i
)}e slik at
q |
p
s
q
1
p 1
=1+p + p
2
+ ···+ p
s
q
1
.
Men da inneholder 1+p + p
2
+ ···+ p
e
nye primtall utover q
1
, q
2
,...,q
r
, en
selvmotsigelse.
På en nonchalant måte kan dette beskrives slik: Hvis N er e t odde perfekt tall
så kan eksponentene ikke være særlig store målt med primtallene som inngår i N .
Dette resultatet finner vi også h os Kanold [9].
Korollar 2 La de odde primtall ene p
1
<p
2
< ··· <p
n
være gitt. Da finnes det
høyst endelig mange perfekte N =
n
i=1
p
e
i
i
.
Bevis. Hver av eksponentene må være mindre eller lik
1
2
(p
n
1) eller p
n
, og dermed
finnes det bare endelig mange muligheter når primtallene som skal gå opp i det
odde perfekte tallet N er gitte.
Pomerances resultat [11] som vi skal komme tilbake til går imidlertid atskillig leng-
re.
Bemerkning. Mengden {q
1
,q
2
,...,q
r
} av alle primtall som går opp i 1+p+p
2
+···+
p
e
kan være mye mindre enn mengden {p
1
,p
2
,...,p
n
} som går opp i N . Dermed
kan skranken for eksponentene
1
2
(p
n
1) fra beviset muligens være strengere enn
nødvendig.
Øvre skranker
Cl. Servais viste at det minste primtallet som går opp i et perfekt oddetall N er
mindre eller lik antall forskjellige primfaktorer i N. Hans bevis er gjengitt i Dickson
[4, s. 26]: Hvis N =
n
i=1
p
e
i
i
og p
1
<p
2
< ···<p
n
, så er
p
2
p
2
1
<
p
1
+1
p
1
og
p
3
p
3
1
<
p
1
+2
p
1
+1
, osv.,
slik at
2=
(N)
N
<
p
1
p
1
1
·
p
2
p
2
1
·
p
3
p
3
1
···
p
n
p
n
1
<
p
1
p
1
1
·
p
1
+1
p
1
·
p
1
+2
p
1
+1
···
p
1
+ n 1
p
1
+ n 2
=
p
1
+ n 1
p
1
1
kirfel.tex,v 1.9
172 Christoph Kirfel Normat 4/2003
og dermed 2 · (p
1
1) <p
1
+ n 1, dvs. p
1
<n+1.
For det nest minste primtallet som går opp i N kan vi også finne en øvre skranke:
2=
(N)
N
<
p
1
p
1
1
·
p
2
p
2
1
·
p
3
p
3
1
···
p
n
p
n
1
<
3
2
·
p
2
p
2
1
·
p
2
+1
p
2
·
p
2
+2
p
2
+1
···
p
2
+ n 2
p
2
3
=
3
2
·
p
2
+ n 2
p
2
1
,
som gir oss p
2
< 3n 2.
På samme måte finner vi p
3
< 15n 29. Dessverre kan ikke denne metoden
utvides til de and re primtallene s om går opp i N , siden
2=
(N)
N
<
3
2
·
5
4
·
7
6
·
p
4
p
4
1
·
p
4
+1
p
4
·
p
4
+2
p
4
+1
···
p
4
+ n 4
p
4
+ n 5
=
3
2
·
5
4
·
7
6
·
p
4
+ n 4
p
4
1
er triviell.
Klarer vi imidlertid å utelukke tilfellene
a) p
1
=3, p
2
=5, p
3
=7,
b) p
1
=3, p
2
=5, p
3
= 11,
c) p
1
=3, p
2
=5, p
3
= 13,
så kan vi fortsette i samme ånd og få
2=
(N)
N
<
3
2
·
5
4
·
17
16
·
p
4
+ n 4
p
4
1
, dvs. p
4
< 255n 764.
Tilfelle a) dvs. 105 | N kan utelukkes ved hjelp av argumentene brukt i korollaret
etter setning 7.
I samme korollar viste vi også at 3
m
· 5
h
· 11
k
| N medfører at eksponenten til
tallet 5 må være lik 1. I tilfellet b) kan vi derfor skrive
2=
(N)
N
=
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
e
i
i
(p
i
1)
<
3
2
·
6
5
·
11
10
·
p
4
+ n 4
p
4
1
,
som gir oss p
4
< 99n 296.
Vi kan dermed se på tilfelle c) der 3
a
· 5
b
· 13
c
N. Siden
3
4+1
1
2 ·3
4
·
5
2+1
1
2 ·5
2
·
13
2+1
1
2 ·13
2
> 2
ser vi at a =4, b =2, c =2og alle tilfellene der eksponentene er større er umulige.
Vi sitter ig je n med tre tilfeller
1) a =4, b =2, c =1.
2) a =2. Husk at a må være partall.
3) b =1.
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 173
I tilfelle 1) har vi 13 N og dermed 14 = 2 ·7=(13) | N, altså 3 ·5 ·7 | N, en
umulighet.
I tilfellet 2) har vi
2=
(N)
N
=
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
e
i
i
(p
i
1)
<
3
3
1
2 ·3
2
·
5
4
·
13
12
·
p
4
+ n 4
p
4
1
,
som gir oss
p
4
<
1690n 5032
38
< 45n 132.
I det siste tilfellet får vi
2=
(N)
N
=
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
e
i
i
(p
i
1)
<
3
2
·
6
5
·
13
12
·
p
4
+ n 4
p
4
1
,
som gir oss p
4
< 39n 116.
Dermed har vi funnet en øvre grense for p
4
i alle situasjonene. p
4
< 255n 764,
p
4
< 99n296, p
4
< 44,5n132 og p
4
< 39n116. Den svakeste av disse skrankene
er den første som da må gjelde generelt. På denne måten kan en fortsette å finne
øvre skranker for alle primtallene som forekommer i N . Skrankene vokser. Men hver
skranke er lineær i n, antall primfaktorer i N. Sammen med resultatet fra setning
8 og 9, nemlig at eksponentene er begrenset ved det største primtallet i N, kan
man nå forestille seg at det er mulig å finne en øvre skranke for et odde perfekt
tall som kun avhenger av n, altså antall primfaktorer i N . Dermed har vi kommet
til Pomerances generelle resultat som kan formuleres slik:
Setning 9 (Pomerance [11], Kanold [10]) Det finnes bare endelig mange odde
perfekte tall der antall distinkte primfaktorer er n. Nærmere bestemt er antall odde
perfekte tall med n distinkte primfaktorer begrenset ved
(4n)
(4n)
2
n
2
.
Selv for den minste verdien av n som kan være av interesse, nemlig n =8, er den
angitte skranken så astronomisk stor at den bare er av teoretisk interesse.
Faktorkjedemetoden
Siden det ikke har vært mulig å vise at det ikke finnes noe odde perfe kt tall er nedre
skranker for odde perfekte tall av stor interesse. I 1989 viste Richard P. Brent og
Graeme L. Cohen [3] at et odde perfekt tall må være større enn 10
160
. For å vise
et slikt resultat benyttet de seg av den såkalte faktorkjedemetoden. Hovedideen i
beviset som belyser faktorkjedemetoden ganske bra gikk slik:
Hvis vi kan anta at ingen av primtallene 127, 19, 7, 11, 31, 13, 3 og 5 deler N,
så må N minst inneholde 101 forskjellige primfaktorer. Ellers får vi nemlig
h(N)=
(N)
N
=
n
i=1
p
e
i
+1
i
1
p
e
i
i
(p
i
1)
<
n
i=1
p
i
p
i
1
17
16
·
23
22
·
29
28
·
pP
p
p 1
< 2
kirfel.tex,v 1.9
174 Christoph Kirfel Normat 4/2003
der P er mengden av de 97 primtallene 37 p 599, p = 127. Derfor har vi
N
17 ·23 · 29 ·
pP
p
2
· 601 > 10
473
.
Det betyr at eliminasjonen av de 8 nevnte primtallene vil føre til resultatet. Vi kan
eksempelvis se på primtallet 13. Man skulle tro at vi må gå gjennom alle tilfeller der
13
e
< 10
160
, men siden 13
e
N impliserer 13
e
· (13
e
) | N, og 13
e
· (13
e
) > 13
2e
,
er det nok å kreve 13
e
< 10
80
. For hver aktuell verdi av e beregner vi nå (13
e
) og
faktoriserer dette tallet (13
e
)=q
a
1
1
·q
a
2
2
···q
a
r
r
. Vi vet nå at q
1
, q
2
,...,q
r
også er
faktorer i N, og kan gå gjennom potensene q
a
1
for a =1, 2, 3,.... Hvis for eksempel
13
2
N så vil også (13
2
) = 183 = 3 · 61 | N, og vi har funnet primfaktoren
61. Vi fortsetter nå med å undersøke hvilke potenser av 61 som kan være mulige
komponenter i N, osv. Prosed yren stopper når vi har ett av følgende:
a) Vi har funnet så mange faktorer i N at deres produkt er > 10
160
.
b) Vi har en faktor N
i N , slik at (N
)/N
> 2.
c) N har ikke Eulers form, dvs. at der er to primtall med odde eksponent. Eller
et primtall som er kongruent 3 mod 4 har fått en odde eksponent.
d) Vi finner et primtall som vi har utelukket tidligere.
e) Vi har gjennomløpt hele spekteret for den angjeldende eksponenten.
De 8 primtallene som skal utelukkes er nevnt i en bestemt rekkefølge. Utelukker
man dem i n øyaktig denne rekkefølgen vil man underveis ha stor nytte av primtall
som var blitt utelukket tidligere.
Metoden krever stor regnekapasitet, stor nøyaktighet og regneprosessorer som
kan ta seg av regneoperasjoner med store tall. Grensen for hvor langt et slikt angrep
vil kunne nå er gitt av de begrensningene de brukte faktoriseringsalgoritmene er
underlagt.
Metoden kan også brukes i andre spørsmålsstillinger som
– Skranker for antall primfaktorer i N,
– Skranker for det største primtallet,
– Skranker for det nest største primtallet eller
– Skranker for det tredje største primtallet i N.
Ønsker man for eksempel å undersøke om det er mulig å finne odde perfekte tall
med kun 8 primfaktorer (ukjent p er i dag) så vil faktorkjedemetoden stoppe opp
veldig raskt, nemlig så snart man har funnet et n iend e primtall som går opp i N.
Til gjengjeld må man undersøke veldig mange startsituasjoner.
Følgende resultater om perfekte oddetall er kjent per i dag:
– Et perfekt od de tall har minst 300 siffer (se [2, 3]).
– Et perfekt od de tall har minst 8 forskjellige primfaktorer (se [5]).
– Et perfekt oddetall har minst 29 primfaktorer som ikke nødvendigvis behø-
ver å være forskjellige (Internettfunn: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/
~history/HistTopics/Perfect_numbers.html).
kirfel.tex,v 1.9
Normat 4/2003 Christoph Kirfel 175
– Det største primtallet er > 1 000 000 (se [6]).
– Det nest største primtallet er > 10 000 (se [7]).
– Det tredje største primtallet er > 100 (se [8]).
– En primtallspotens > 10
20
går opp i N (Internettfunn: http://www-users.
cs.york.ac.uk/~susan/cyc/p/perfect.htm).
Litteraturhenvisninger
[1] Birkhoff, G. D. and Vandiver, H. S.: On the integral divisors of a
n
b
n
. Ann. of
Math. (2 ) 5, 173–180 (1904).
[2] Brent, R. P. and Cohen, G. L. A New Bound for Odd Perfect Numb ers. Math.
Comput. 53, 431–437 and 7–24 (1989).
[3] Brent, R. P., Cohen, G. L. and te Riele, H. J. J. Improved Techniques for Lower
Bounds for Odd Perfect Numbers. Math. Comput. 57, 857–868 (1991).
[4] Dickson, L. E.: History of the Theory of Numbers, Vol.1: Divisibitily and Primality.
New York: Chelsea, 3–33, 1952.
[5] Hagis, P. Jr. Outline of a Proof that Every Odd Perfect Numb er has at Least Eight
Prime Factors. Math. Comput. 35, 1027–1032 (1980).
[6] Hagis, P. Jr.; and Cohen, G. L.: Every Odd Perfect Number Has a Prime Factor
Which Exceeds 10
6
. Math. Comput. 67, 1323–1330 (1998).
[7] Iannucci, D. E.: The Second Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number
Exceeds Ten Thousand. Math. Comput. 68, 1749–1760 (1999).
[8] Iannucci, D. E.: The Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect N umber
Exceeds One Hundred. Math. Comput. 69, 867–879 (2000).
[9] Kanold, H.-J.: Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen. J. reine angew.
Math. 183, 98–109 (1941).
[10] Kanold, H.-J.: Über einen Satz von L.E. Dickson II. Math. Ann. 132, 246–255
(1956).
[11] Pomerance, C.: Multiply Perfect Numbers, Mersenne P rimes , and Effective
Computability. Math. Ann. 226, 195–206 (1977).
kirfel.tex,v 1.9
