176 Normat 51:4, 176–179 (2003)
Eulers Betafunktion och
Schwarz–Christoffels formel för en triangel
Peter Lindqvist
Institutt for matematiske fag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
NO–7491 Trondheim
lqvist@math.ntnu.no
Som rubriken antyder är denna uppsats av intresse för dem som finner behag i att
manipulera med formler. Någonting väsentligen nytt är det icke fråga om. Vi skall
bland ann at, på ett ovanligt sätt, härleda Eulers kända formel
(1)
1
0
t
1
(1 t)
dt =
sin()
(0 <<1)
för Betafunktionen från 1720-talet, nämligen via den konforma avbildningen av ett
halvplan på en triangel. Formeln kan också skrivas som ()(1 )=/ sin().
Schwarz–Christoffels välkända formel i Funktionsteorien avbildar ett halvplan
konformt på en given polygon. Om den givna polygonen i w-planet är en triangel
med vinklarna , och , varvid naturligtvis + + =1, så kan den
konforma avbildningen skrivas under formen
(2) w =
z
0
1
(1 )
1
d
där integrationsvägen från 0 til z är en kurva i det övre halvplanet, t.ex. en linje.
Rötterna (alltså
1
och (1 )
1
) skall tolkas så att t
1
(1 t)
1
> 0, då
lindqvist.tex,v 1.8
Normat 4/2003 Peter Lindqvist 177
0 <t<1. Den reella axeln t + i z-planet avbildas på triangelns periferi
och halvplanet Im(z) > 0 på det inre av triangeln.
0 1
A B
C
a
b
c
↵⇡
⇡
⇡
Vi observerar korrespondensen
0 A =0, 1 B, C.
Låt os s beräkna längderna av triangels sidor. Segmentet [0, 1] i z-planet avbildas
på sidan [A, B] = [0,c] i w-planet och vi får sidolängden
c =
1
0
t
1
(1 t)
1
dt.
Segmentet 1 t i z-planet avbildas på sidan [B, C], vilken har längden
a =
1
t
1
(t 1)
1
dt
=
1
0
1
(1 )
1
d
där t =1/, dt = d /
2
. På motsvarande sätt avbildas segmentet [, 0] på
sidan [C, A] och vi får sidolängden
b =
0
(t)
1
(1 t)
1
dt
=
0
t
1
(1 + t)
1
dt
=
1
0
1
(1 )
1
d
efter sub stitutionen 1+t =1/.
Allt detta hör till Schwarz–Christoffels formel och vi f år det på köpet så att säga.
Formeln är elementär men ett bevis involverar vanligen Cauchys integralteorem
1
(1 )
1
d =0
lindqvist.tex,v 1.8
178 Peter Lindqvist Normat 4/2003
längs en lämplig kontur. Problemet är at visa att bilden av den reella axeln verkligen
sluter sig, så att ändorna möts i hörnet C. Se figuren nedan, där R .
R R
0
A B
↵⇡
⇡
Sålunda ingår en konturintegral åtminstone implicit i resonemanget.
Vi har alltså räknat ut sidolängdorna a, b och c i form av integraler. Det är fråga
om Betafun ktionen
(3) B(x, y)=
1
0
t
x1
(1 t)
y1
dt.
Sinusteoremet för triangeln ger
a
sin()
=
b
sin()
=
c
sin()
eller
(4)
B(,)
sin()
=
B(, )
sin()
=
B(, )
sin()
i enlighet med våra uträkningar. Här är
+ + =1.
Det är ganska vanligt att man, efter det att längden c har bestämts, uttrycker a
och b med hjälp av c genom att använda sinusteoremet. Så gör t.ex. Zeev Nehari
i sin bok ”Introduction to Complex Analysis”. Nehari uppfattar Betafunktionens
egenskaper som bekanta. Den omvända proceduren att i stället härleda identiteter
för Betafunktionen utgående från de redan kända sidolängderna har jag inte lyckats
finna i litteraturen. – Denna enkla observation är dock knappast helt ny.
Den erhållna formeln är intressant. Nu följer formel (1) nästan omedelbart om
vi låter 0 under det att hålles konstant. Då måste 1 och vi får
resultatet
1
0
t
1
(1 t)
dt = lim
0+
sin()
sin()
1
0
t
(1 t)
1
dt
=
sin()
lim
0+
1
0
t
(1 t)
1
dt
lindqvist.tex,v 1.8
Normat 4/2003 Peter Lindqvist 179
ty sin() . Gränsvärdet av den sista integralen är 1. Integranden är koncent-
rerad vid ändpunkten t =1. Vi har sålunda funnit fram till Eulers formel
B(, 1 )=
sin()
.
Låt oss till slut anmärka, att det inte är alldeles enkelt att utan komplexa tal
komma fram till detta resultat. Ofta åberopas produktformeln för sinus men även
denna handlar i grund och botten om en funktion av en komplex variabel.
Man kan naturligtvis byta ut triangeln mot en månghörning. Detta resulterar
i invecklade identiteter med många parametrar , , , , . . . . Ett extra problem
uppstår på grund av att vinklarna ensamma icke längre bestämmer proportionerna
mellan sidornas längder. Om man inte vill dela in figuren i trianglar se r det ut som
om man vore hänvisad till specialfall. – Triangeln är unik.
lindqvist.tex,v 1.8
