Normat 51:4, 185–187 (2003) 185

Bøker

Nail H. Ibragimov:

Modern gruppanalys. En innledning till

Lies lösningsmetoder av ickelinjära

diﬀerentialekvationer.

Studentlitteratur, Lund 2002.

ISBN 91–44–02430–4.

Symmetribegrepet spelar ei fundamen-

tal rolle i mo de rne m atematikk. Det ma-

tematiske vertøy som uttrykker sym-

metrieigenskapar er tradisjonelt sett

gruppeteori, og har sitt opphav i Galois-

teorien og studiet av algebraiske liknin-

gar tidleg på 1800-talet. Den sentrale

ideen er at løysingsproblematikken for ei

algebraisk likning kan omformast til eit

studium av symmetrigruppa, som i sis-

te instans avg j er om likninga kan løysast

ved algebraiske operasjonar og dessutan

gir oss ein løysingsprosedyre i slike til-

felle.

Den klassiske mekanikken er i første

rekkje basert på fundamentale prinsipp

formulert av Galilei og Newton, og den

har dominert utviklinga av naturviten-

skapen og i stor grad også den matema-

tiske analyse fram til det 20. hundreåret.

Her har studiet av diﬀerensiallikningar

spela ei sentral rolle. Ja, også Sophus

Lie skreiv i 1895 at «teorien for diﬀe-

rensiallikningar er den viktigaste disi-

plinen i den moderne matematikken».

Sophus Lie grunnla i 1870-åra sin teo-

ri om dei såkalla kontinuerlege grupper,

motivert av ideen om å utvikle ein sy-

stematisk teori og løysingsmetode i ana-

logi med Galois-teorien for algebraiske

likningar. Dermed innførte han symme-

trib e grepet for første gong i disiplinen

matematisk analyse, og han utvikla sine

symmetrimeto d ar parallelt med teorien

om dei kontinuerlege grupper. Som eit

direkte resultat av dette ser vi idag at

den klassiske mekanikk, så vel som nya-

re tids fysikk, er gjennomsyra av diverse

symmetri-prinsipp som manifesterer seg

gjennom s ymmetrigrupper.

Gruppene på 1800-talet er eigentleg

transformasjonsgrupper, men det ab-

strakte gruppebegrep utvikla seg kring

hundreårskiftet og Lies u nde rliggande

gruppebegrep førte til teorien om Lie-

grupper og Lie-algebraer, med alle sine

anvendelser i moderne matematikk og

fysikk, ofte langt frå sitt historiske opp-

hav. Ja, Sophus Lies originale idear for

å løyse diﬀerensiallikningar gjekk et-

terkvart i gløymeboka etter Lies død i

1899. Det er ﬂeire grunnar til dette, men

ei viktig årsak er at medoden tradisjo-

nelt går ut på å ﬁnne analytiske (eksak-

te) løysingar, som viste seg å stille store

krav til rekneressursar og difor er vans-

keleg å gjennomføre for hand.

Men metoden fekk likevel sin renes-

sanse eit halvt hundreår seinare, først

ved G. Birkhoﬀ sitt studium av ﬂuid-

dynamiske diﬀerensiallikningar, og ved

Ovsiannikov og hans skole i Sovjetunio-

nen som i 1950 åra starta eit systema-

tisk program i utviklinga og anvendelse

av Lies idear. Etterkvart har vi også fått

store datamaskiner og moderne com-

puteralgebrasystem som også har fram-

skunda utviklinga og revolusjonert bru-

ken av symmetrimetodar, slik at vi i

dag har ein blomstrande internasjonal

«industri» innan disiplinen gruppeana-

lyse av d iﬀerens iallikningar. I dei seina-

re år har såleis leiande computeralge-

brasystem så som Maple og Mathemati-

ka implementert Lie-symmetrimetodar

som ein del av standardprogrampakken.

Likevel, til dags dato har de t vore

problematisk å ﬁnne lærebøker i dif-

ferensiallikningar der gruppeanalyse er

eit sentralt tema, med øvingsoppgå-

bokspalte.tex,v 1.8

186 Bøker Normat 4/2003

ver/prosjekt som gjer den velegna til

eit kurs på Bachelor- eller Mastergrads

nivå. Den pedagogisk utfordringa er å

belyse symmetribegrepet og dei prak-

tiske konsekvensane utan å trekke inn

for mykje teori. Men symmetrimetodar

vil også tene som eit generelt forkla-

ringsprinsipp, som ei motvekt til den

tradisjonelle «kokeboka» eller «bag of

tricks». Det er difor interessant og glede-

leg at Ibragimov, som den første i Skan-

dinavia, har gitt ut ei lærebok i moderne

gruppeanalyse på eit nordisk språk. For-

fattaren er p rofessor ved Blekinge Tek-

niska Högskola, og han har i mange år

hatt ei internasjonalt leiande rolle in-

nan moderne Lie-gruppe analyse av dif-

ferensiallikningar. Læreboka [1] frå 1989

er på russisk, og er basert på forelesnin-

gar gitt ved universitet i Moskva, me dan

etterfølgaren [2] er ein omarbeidd og ut-

vida engelsk versjon. Den nye og svens-

ke utgåva frå 2002, som er ei modiﬁsert

oversetting av [2], har også eit nytt førs-

te kapittel som gir ei kort innføring i den

basale teorien for første ordens lineære

partielle diﬀerensiallikningar. Boka har i

alt 8 kapittel som dekkjer det meir tra-

disjonelle stoﬀet, men med to unntak.

Det eine spesielle er Sophus Lies ikkje-

lineære sup e rposisjons prinsipp i kapit-

tel 5, gyldig når likninga har ei bestemt

generalisert form for separasjon av vari-

able. Det andre er nyare tids anvendel-

ser innan ﬁnansmatematikk (jfr. Black–

Scholes likninga) i siste kapittel. Det er

dessutan ﬁnt at forfattaren gir mange

eksempel for å konkretisere, og i tillegg

har boka ﬁne øvingsoppgåver for den in-

teresserte stud ent.

Som ein liten smakebit til slutt, la oss

belyse Sophus Lies symmetribegrep for

diﬀerensiallikningar og anvende gruppe-

analysen på ei første ordens ordinær lik-

ning på normalform

= f(x, y)(i)

eller

P dx + Qdy =0.(ii)

Faktisk ﬁnst det d en dag idag ingen ge-

nerell metode som løyser alle s like lik-

ningar. Det er altså nødvendig med «til-

leggsinformasjon» i kvart enkelt tilfel-

le. Lies observasjon er at likninga i ho-

vudsak er karakterisert av alle sine løy-

singar, nemleg funksjonar y(x) i tilfel-

le (i), eller meir generelt kurver i xy-

planet i tilfelle (ii). Vi kan difor uttryk-

ke løysingsmengda som ein 1-parameter

familie (x, y; C)=0av kurver, der

C er ein integrasjonskonstant. Omvendt

så vil ein gitt 1-parameter kurvefamilie,

ved implisitt derivasjon og eliminasjon

av C, gi oss ei 1. ordens diﬀerensiallik-

ning med denne familien som løysingar.

Ved kontinuerleg variasjon av C glir

ei gitt kurve i familien over i ei anna

kurve i familien. Men p å den and-

re side ﬁnst d et også transformasjonar

T :(x, y)  (x



) av xy-planet som

avbildar kurvefamilien inn i seg sjølv

– det er slike transformasjonar vi kal-

lar ein symmetri. I analogi med Galois-

teorien skulle altså kjennskap til ei til-

strekkeleg stor gruppe av symmetriar gi

oss ein metode for å ﬁnne løysingane?

Hausten 1873 gjorde Lie ei stor oppda-

ging i denne retning.

Lie hadde teke fatt på sitt omfat-

tande studium av kontinuerlege grup-

per G = {T

} av transformasjonar med

r parametrar a =(a

,...,a

). Men

først oppdaga han at 1-parametergrup-

per kan omformast, ve d variabelskifte

og reparametrisering, til den kanoniske

forma T

slik at T

+ T

= T

s+t

og T

Id er oppfylt. Det er nettopp slike 1-

parametergrupper, med T

= exp(tX),

som oppstår ved integrasjon av eit dyna-

misk system svarande til eit gitt vektor-

felt X =(R, S)=Ri + Sj, der funksjo-

nane R og S er x- og y-komponentane.

bokspalte.tex,v 1.8

Normat 4/2003 Bøker 187

Då vil integralkurva som ved tidspunk-

tet t =0går gjennom punktet p vere

gitt ved t  (t, p)=T

(p).

Ved å omskrive diﬀerensiallikninga

(ii) ovanfor som eit dynamisk system

= Q,

= P

med vektorfelt A =(Q, P ) ser vi at

integralkurvene t 



x(t),y(t)



faktisk

er kurvene i vår familie (x, y; C)=0.

Sophus Lie fann hausten 1873 kriteriet

for at ei 1-parameter gruppe {exp(tX)}

er ei symmetrigruppe for diﬀerensial-

likninga med vektorfelt A, nemleg at

kommutator-relasjonen

[X, A]=XA AX = (x, y)A

er oppfylt for ein passande funksjon .

Som ein konsekvens av denn e relasjonen

kunne h an skrive opp formelen

K =

QS + PR

for ein integrerande faktor (også kal-

la Euler multiplikator) til diﬀerensiallik-

ninga (ii). Med dette meiner vi at mul-

tiplikasjon med K gir ei eksakt likning

K(P dx + Qdy)=dF =0

der funksjonen F kan ﬁnnast ved kvad-

ratur. Dermed må vår søkte kurvefami-

lie (x, y; C)=0vere lik familien av

nivåkurver F (x, y)=konst til funksjo-

nen F som vi nettopp fann.

Kommutatorpro du ktet [X, Y ] ovan-

for spelar ei s entral rolle i Lies teori om

kontinuerlege gruppe og deira struktur,

men her skal vi ikkje gå nærmare inn på

dette og viser heller til tidlegare artiklar

[3]–[5] i Normat.

Referansar

[1] Nail H. Ibragimov, Primer of the

Group Analysis (på russisk). Moskva:

Znanie, No.8 (1989).

[2] ——, Introduction to modern group

analysis. Ufa: Tay, 2000.

[3] Eldar Straume, Sophus Lie – eit tverr-

snitt av hans liv og arbeid. Normat

32, 97–110 (1984).

[4] ——, Lies kontinuerlige og inﬁnitesi-

male grupper. Normat 40, 160–170

(1992).

[5] ——, Sophus Lie og diﬀerensiallignin-

ger. Normat 40, 171–179

(1992).

Eldar Straume

bokspalte.tex,v 1.8