Normat 52:1, 1–20 (2004) 1
Arabernes matematikk 1
Audun Holme
Matematisk institutt
Johs. Brunsgate 12
Universitetet i Bergen
NO–5008 Bergen
holme@mi.uib.no
Innledning
Når vi taler om arab ernes matematikk skal vi være klar over at mennesker med
mange ulike etniske bakgrunner tok del i den. Men språket som ble brukt var
arabisk. Etter sammenbruddet i det vestromerske riket og Bysants’ langsomme
tilbakegang og stagnasjon, ble vitenskap og filosofi fortsatt dyrket av araberne. De
første erobringene etter Muhammad ga dem tilgang til denne kulturskatten, som de
tok godt vare på. De sørget for oversettelser av mange klassiske verker til arabisk.
Arabiske handelsmenn og andre reisende kom i kontakt med Ind ia og Kina, og de
lærde var høyt ansett, ikke minst i Syd-Spania. Deres legevitenskap lå langt foran
den e uropeiske.
Arab e rnes astronomi var den fremste i verden; disse astronomene konstruerte
og brukte astrolaber med stor dyktighet. De hadd e utarbeidet stjernekart, og dette
har vi tyd elige vitnesbyrd om den dag i dag: Våre navn på stjernebilder og pla-
netene stammer nok fra latin, men navnene på de viktigste stjernene er arabiske:
Altair, Deneb, Rigel, Sirius, Aldebaran, Betelgeuse. Det samme gjelder mange av
de astronomiske begrepene: Asimut, almanakk, sodiak.
Arab e rne nådde langt i utviklingen av tallsystem, tallregning og algebra. Tallene,
slik vi skriver dem, kommer via araberne fra Kina og India. Begrepet og symbo-
let for null ble også formidlet til oss fra araberne. Ordene algebra og algoritme
stammer fra arabernes arbeid, og er forvanskninger som skyldes misforståelser av
uvitende europeere. Fra Kina hadde de tatt opp kulerammen, som de brukte med
stor dyktighet.
Artikkelen er av plasshensyn delt i to deler. Den andre delen kommer i neste nummer av
Normat.
holme.tex,v 1.10
2 Audun Holme Normat 1/2004
Det er en utbredt oppfatning at arabernes innsats besto i at de tok vare på
vitenskap og kultur i den «mørke middelalderen»; de var kulturbevarere og bud-
bringere, og uten dem hadde renessansen i Europa kommet mye senere. Slik finner
en gjerne arabernes rolle i matematikkens historie beskrevet i ve stlig litteratur.
Mot denne fremstillingen hever det seg en annen oppfatning. Ifølge den blir
arab e rnes innsats grovt undervurdert ved en slik fremstilling. Dessverre har det i
altfor stor grad vært slik at matematikkens historie, ja all vitenskaps historie, har
vært fiksert på Europa. Dette har ikke bare gått ut over araberne. Babylonernes
innsats var lenge ukjent. Det ble sett på som noe uforklarlig, nesten et mystisk
under, at gresk matematikk så hurtig, på noen få hundre år, utviklet seg fra de
spede begynnelser hos Tales fra Miletos til de senere pytagoreernes omfattende og
dype innsikter. Men da de babylonske leirtavlene ble tydet først på 1900-tallet kom
det for dagen at grekerne bygde på en bred og solid matematisk tradisjon, som ikke
bare stammet fra Egypt, men ikke minst var forankret i den sumerisk-akkadisk-
babylonske sivilisasjonen. Den hadde blomstret i det en gjerne kaller sivilisasjonens
vugge, som var området mellom elvene Eufrates og Tigris i dagens Irak.
Den eminente matematikkhistorikeren Roshdi Rashed tar i [9] og i [10] et oppgjør
med den behandlingen arabernes matematiske innsats har fått i vår vestlige historie
og i våre vestlige lærebøker. Han karakteriserer det bildet som tegnes av arabisk
vitenskap på denne måten [9], side 333:
. . . et museum for arven fra grekerne, forbedret med enkelte tekniske nyskap-
ninger, og formidlet intakt til de rettmessige arvtagere av den klassiske viten-
skapen.
Ja, de rettmessige arvtagerne, europeerne, ble dessuten gitt æren for svært mange
av de vesentlige oppdagelsene som de arabiske matematikerne fant! Denne velvil-
lige men litt nedlatende holdningen uttrykker altså dette: Araberne bevarte arven
fra grekerne g j enn om de «mørke århundrene» til forholdene igjen lå til rette for en
gjenfødelse av den klassiske sivilisasjonen i Europa. Så langt fra å være en aner-
kjennelse er dette en nedtoning av den originale arabiske innsatsen i matematikken!
Det er tankevekkende at det fortsatt er kontroversielt å peke på dette. Det er
også viktig å understreke et annet av Rasheds poenger: Nemlig at det blir galt å
knytte matematikkhistorien til religion, folkeslag eller politisk historie. Bør en ikke
heller se hele middelhavsområdet som en fruktbar arena der matematikken utviklet
seg?
Denne artikkelen er primært basert på mine to bøker [4] og [6] og kildene brukt
der, også min bok om geometrien og dens historie [5] er en kilde. For ytterligere
kilder viser jeg til litteraturlisten i denne artikkelen og til de tre bøkene omtalt
ovenfor, der detaljerte henvisninger til de mer primære kildene blir gitt. Av disse
kildene må j eg, foruten de siterte bøkene av R. Rashed, spesielt fremheve [8] og
[13].
Portrettskissene er utført av meg selv; de er basert på vel kjente bilder som en
for eksempel kan finne i [8] og i [13]. Jeg kan selvsagt ikke innestå for den eventuelle
portrettlikheten med de historiske personene.
Bergen, januar 2004
Audun Holme
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 3
1 Visdommens Hus i Bagdad
I 789 ble Harun al-Rashid eller Harun den ortodokse den femte kalifen i abbaside-
dynastiet, han ble da hersker over et rike som strakte seg fra Middelhavet til India.
Han grunnla biblioteket i sin hovedstad Bagdad på slutten av 700-tallet. Han har
stått som en strålende og generøs h ersker for ettertiden, han er kalifen fra Tusen
og en natt, og han samlet om seg diktere og lærde ved sitt hoff. Bagdad lå midt i
det fruktbare Mesopotamia, ikke langt fra der byen Babylon en gang hadde ligget.
Her samlet fortsatt de gamle handelsveiene seg, og de kulturelle røttene til fortiden
eksisterte fremdele s.
Sønnen al-Mamun fortsatte å bygge ut biblioteket i Bagdad, det fikk etter hvert
en lignende betydning til det tidligere biblioteket i Aleksandria. Han grunnla aka-
demiet Visdommens Hus, og lot dessuten bygge astronomiske observatorier, der
arabiske astronomer kunne videreføre tidligere tiders kunnskaper om stjernene og
planetene.
Manuskripter ble samlet inn til biblioteket fra ulike akademier i Midtøsten, d it
lærde fra Athen og Alexandria hadde reist da forholden e ble vanskelige. Blant disse
fantes mange klassiske greske verker, de ble nå oversatt til arabisk. Ved Visdommens
Hus ble dette arbeidet fortsatt, her ble dessuten tekster fra India og sikkert også
Kina oversatt og studert. Og selvfølgelig tok dette vitenskapelige miljøet opp i
seg de impulsene som fortsatt var til stede i området fra d en gamle babylonske
matematikken.
Katz peker i [8] på at i denne perioden av islamsk kultur ble verdslig kunnskap
ikke satt i noen motsetning til tro og fromhet, men snarere sett på som en vei til å
tilegne seg også den hellige kunnskapen.
2 Al-Khwarizmi
Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi var av en familie som stammet fra
Khwarizm, syd for Aralsjøen, som nå er en del av Usbekistan og Turkmenistan.
Dette området har en omfattende historie, og har vært kjent under mange navn.
Ett av dem er Khorasan, som i dag er navnet på den største provinsen i Iran. Den
omfatter en del av det gamle Khwarizm. Han var en av de første lærde som arbeidet
i Visdommens Hus i Bagdad.
Katz forteller i [8] at al-Khwarizmi også arbeidet som astrolog, og at han stilte
kalifens horoskop og forsikret ham om et langt liv, at han skulle leve i femti år til.
Men kalifen døde etter ti dager!
Al-Khwarizmi ble født i 780 i Bagdad, tre år før grunnleggeren av Visdommens
Hus Harun al-Rashid ble kalif. Han døde i 850.
Som en del av sitt arb eid i Visdommens Hus utførte al-Khwarizmi oversettel-
ser av de gamle greske matematiske skriftene. Han arbeidet også med original og
banebrytende forskning innen geometri, algebra og astronomi. Al-Khwarizmis mest
holme.tex,v 1.10
4 Audun Holme Normat 1/2004
berømte verk har tittelen Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-al-muqabala, for-
kortet til Hisab al-jabr wa-l-al-muqabala. Den fulle tittelen kan oversettes til Den
kondenserte bok om regning (aritmetikk) ved al-jabr og al-muqabala.
Dette er historiens første rene algebrabok. Faktisk er det slik at denne bokens
tittel ga opphav til ordet algebra, for ordet al-jabr er blitt til vårt algebra. Al-jabr
betyr egentlig noe slikt som å «sette sammen». Dermed ble det til at enkelte steder
i middelalderen ble algebraiker brukt som betegnelse på en barberer. Det henger
sammen med at barberen gjerne også var kirurg og spjelket benbrudd, altså var den
som satte sammen benbrudd. Ordet hisab
betyr regning eller aritmetikk, muqabala
betyr gjen opprette eller balansere.
Abu Ja’far Muhammad
ibn Musa al-Khwarizmi
Vi skal forklare den rent matematiske
betydningen av al-jabr og al-muqabala,
utført med moderne symboler som al-
Khwarizmi ikke benyttet.
Begrepene knytter seg til løsning av
ligninger, og refererer til skritt i en løs-
ningsalgoritme. Overgangen fra ligningen
8x +5=9 2x
til
10x +5=9
er en al-jabr, mens den videre overgangen
til
10x =4
er en al-muqabala.
Al-Khwarizmi har dessuten gitt op p-
hav til et annet ord vi bruker daglig i
matematikk og informatikk, nemlig or-
det algoritme. Det er en forvanskning av
navnet «al-Khwarizmi»: En sa noe slikt
som: «Etter alkvarismi skal en gjøre det
slik. . . », og etter hvert ble det til: «Etter algoritmen skal en . . . ». Al-Khwarizmi
formulerer formålet med sin algebrabok på denne måten, gjengitt etter [13]:
Den kjærlighet til vitenskap som Gud har utmerket de troendes leder Imam
al-Mamun med, den elskverdighet og beskyttelse han viser overfor de lærde,
den beredvillighet han viser i sin støtte i å kaste lys over det som ligger i
mørke og i å fjerne det som er vanskelig, dette har ansporet meg til å sette
sammen dette kortfattede arbeidet om regning med al-jabr og al-muqabala.
Jeg innskrenker det til å forklare det som er lettest, men også mest nyttig, i
regnekunsten.
Dette er slikt som en hele tiden har bruk for når en skal fordele arv, sette
opp testamenter eller fordele på annen måte. En trenger også disse kunns kap-
ene når en skal føre rettssaker, eller i handel, i det hele tatt overalt n år folk
skal gjøre opp seg imellom. Dessuten må en bruke dette når en skal grave ut
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 5
kanaler, eller måle opp jordstykker og eiendommer. Men også til geometriske
problemer og mange andre oppdrag av forskjellige slag trenger en å beherske
denne regnekunsten.
Da jeg tenkte over hva folk søker etter når de bruker regnekunsten, kom
jeg til at det alltid er et tall de ønsker å finne. Alle tall er satt sammen av
enere: Hvert tall kan deles opp i enere. På denne måten kan tallene fra en til
ti settes sammen slik at det neste tallet overstiger det forrige med en ener.
Deretter kan tieren fordobles og tredobles og så videre, på sammen måten
som eneren ble for tallene fra en til ti. Slik oppstår tyve, tredve, og så videre
opp til hundre. Så fordobles og tredobles hundre til to hundre, tre hundre
og så videre, til en får tidoblingen som er tusen. Slik kan en fortsette til den
ytterste grense for opptelling.
Så al-Khwarizmi beskriver altså representasj onen av tall i titallsystemet. Han ville
gi en praktisk regnebok, ikke en teoretisk avhandling. Likevel ville han bevise at
de algebraiske prosedyrene han ga var riktige, og etter gresk mønster ga han disse
bevisene i en geometrisk form. Men bevisene var ikke de greske bevisene, se for
eksempel [8] side 244, de ser derimot ut til å følge et mønster fra babylonsk ma-
tematikk. For de prosedyrene som al-Khwarizmi ga, ligner på de regnemessige og
geometriske metodene som vi finner på de babylonske matematiske leirtavlene. På
samme måte som hos babylonerne finner en mange eksempler hos al-Khwarizmi,
men i tillegg gir han detaljerte forklaringer på de metodene som brukes, og en
detaljert klassifikasjon av de problemene som behandles. I Rasheds ord, [9] side 8:
Denne boken fremstår som kulminasjonen av tidligere virksomhet, men samtidig
som noe radikalt nytt.
Formuleringen «Da jeg tenkte over hva folk søker etter når de bruker regnekuns-
ten, kom jeg til at det alltid er et tall de ønsker å finne» går direkte på hovedtemaet
i hans algebrabok, n emlig å finne løsning av kvadratiske ligninger.
Størrelsene han arbeider med, er av tre typer: Kvadrater, røtter og tall, eller
mer presist: ukjent kvadrert, ukjent og tall. Et kvadrat er, med våre betegnelser,
x
2
og roten er x. Ett av problemene som al-Khwarizmi gir kan formuleres slik: Et
kvadrat er lik førti røtter fratrukket fire kvadrater. Ved al-jabr omformes dette til
Fem kvadrater er lik førti røtt er. Problemet er dermed omformet til et spesialtilfelle
av den første av de problemtypene han stiller opp:
(1) Kvadrater lik røtter, ax
2
= bx.
der den siste formuleringen er omskrivningen til våre symboler. På tilsvarende vis
bruker han al-jabr og al-muqabala til å omforme alle problemer med størrelsene
kvadrater, røtter og tall til dette eller ett av de grunnleggende problemene 2–6
nedenfor:
(2) Kvadrater lik tall, ax
2
= c.
(3) Røtter lik tall, bx = c.
(4) Kvadrater og røtter lik tall, ax
2
+ bx = c.
(5) Kvadrater og tall lik røtter, ax
2
+ c = bx.
(6) Røtter og tall lik kvadrater, bx + c = ax
2
.
holme.tex,v 1.10
6 Audun Holme Normat 1/2004
Men h an går videre i det systematiske studiet av slike ligninger: Ved divisjon
eller ved multiplikasjon reduserer han til det tilfellet at a =1, som vi ville uttrykke
det. Al-Khwarizmi gir altså en systematisk prosedyre, en algoritme, som reduserer
enhver ligning der de t inngår kvadrater, røtter og tall som vist ovenfor, til en av
de se ks kanoniske formene
1. Kvadrat lik røtter, x
2
= bx.
2. Kvadrat lik et tall, x
2
= c.
3. Rot lik et tall, x = c.
4. Kvadrat og røtter lik et tall, x
2
+ bx = c.
5. Kvadrat og et tall lik røtter, x
2
+ c = bx.
6. Kvadrat lik røtter og et tall, x
2
= cx + c.
Al-Khwarizmis løsning av de første tre typene er rett frem, og følger metoder som
var vel etablert fra babylonernes og grekernes tid. For tilfelle 3 har vi løsningen
allerede, tilfelle 1 gir selvsagt x = b, og tilfelle 2 innebærer at det må trekkes ut en
kvadratrot.
Løsningen av 4, 5 og 6 gjør al-Khwarizmi ved å anvende en rendyrket geometrisk
algebra. Noen mener at han bygger på Euklids elementer, mens andre hevder at han
neppe kjente til dette verket. Men det er ikke usannsynlig at han kjente Euklids
elementer, ikke minst i betraktning av det omfattende oversettingsarbeidet som
pågikk i Visdommens Hus. På den annen side følger al-Khwarizmis beskrivelser
av de algebraiske prosedyrene samme mønster som de gamle babylonske skriverne
fulgte! Vi skal nå gjengi denne beskrivelsen, og følger [9], side 12. Vi skal først se
hva han skriver om et konkret tilfelle av ligningstypen 4, nemlig
x
2
+ 10x = 39:
Hva er kvadratet som øket med 10 av sine egne røtter, blir 39? Regelen i dette
problemet er at du deler røttene i to halvparter. I dette problemet er det 5,
som multiplisert med seg selv er 25. Dette legger du til til 39, da har du 64.
Kvad ratroten av dette er 8, du trekker fra halvparten av røttene, altså 5, det
blir 3 igjen, s om er roten til kvadratet du søker, og kvadratet er 9.
Dette er en rent algebraisk fremgan gsmåte, men formulert i ord istedenfor med
symboler slik vi ville gjøre det. Denne løsningen ved kompletteringen av kvadratet
uttrykker vi på denne måten:
x
2
+ 10x = 39
x
2
+ 10x +5
2
= 39 + 25 = 64
(x + 5)
2
= 64
x +5=8
x =8 5=3
x
2
=3
2
=9.
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 7
Med moderne symboler kan en si at al-Khwarizmi gir løsningen av annengradslig-
ningen x
2
+ bx = c som
x =
b
2
2
+ c
b
2
,
der formelen for løsningen uttrykkes med ord, og beviset for at formelen er riktig blir
gitt i form av en geometrisk figur. Regneoperasjonene, aritmetikken, og figurene,
altså geometrien, flyter nå sammen i den nye vitenskapen algebra. Som Rashed
skriver i [9]: «At koeffisientene er gitte tall, endrer ikke det faktum at dette er
generelle resonn ementer.»
Al-Khwarizmis løsning av ligninger av type 5 er interessant, for her tar han et
langt skritt videre i forhold til babylonsk og gresk matematikk. Med våre symboler
et altså problemet å løse en ligning av typen
x
2
+ c = bx,
og han gir løsn ingen i den formen som vi skriver slik:
x =
b
2
±
b
2
2
c.
Selvsagt forekommer det ingen slik formel, men al-Khwarizmi skriver at en
. . . får to løsninger ved at halvparten av antall røtter [altså
1
2
b], fratrekkes
eller legges til roten av det en får når dette tallet multipliseres med seg s elv
og fratrekkes tallet som skal legges sammen med kvadratet [altså c]. Dersom
halvparten av antall røtter multiplisert med seg selv [altså (
1
2
b)
2
] er mindre
enn dette tallet [altså c], da er oppgaven umulig. Men hvis produktet er like
stort som tallet, da er svaret halvparten av antall røtter, uten at en må legge
til eller trekke fra noe.
Hos al-Khwarizmi finner vi at ligninger ikke bare er noe som oppstår i arbeidet
med å løse ulike praktiske geometri- eller regneproblemer, men ligningene selv er
de objekter som studeres. Dermed er skrittet tatt fra aritmetikken til den nye vi-
tenskapen algebra, og al-Khwarizmi fremstår som denne vitenskapens grunnlegger.
Al-Khwarizmi skrev også et verk om bruk av det vi i dag kaller det indisk–
arabiske tallsystemet, altså bruken av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0. Vi har
bare en latinsk oversettelse av deler av dette verket; for eksempel mangler hans
utregning av kvadratrøtter.
En annen matematiker som levde i tiden umiddelbart etter al-Khwarizmi er Abd al-
Hamid ibn Wasi ibn Turk al-Jili. Vi vet nesten ingen ting om ham, og alt vi har fra
ham er et eneste kapittel fra et større verk som også har tittelen Kitab al-jabe wa’l
muqabala. Han analyserer løsningsme toden fra al-Khwarizmi mer detaljert. Han
beskriver også multiplikasjon av algebraiske uttrykk analogt til multiplikasjon av
tall, og han behandler produkter av to tall der en eller begge faktorene er negative,
og angir de rette fortegnene.
holme.tex,v 1.10
8 Audun Holme Normat 1/2004
3 Ibn Qurra og Al-Battani
Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani kom fra Harran, syd i det nåværende Tyrkia,
der han ble født i 826. Han døde i 901 i Bagdad.
Thabit tilhørte en religiøs sekt som dyrket stjernene. Som ung var han penge-
veksler, etter det noen kilder vet å fortelle. Han skal imidlertid ha vært meget
velstående, og kom fra en rik f amilie i området. Da lærde fra Visdommens Hus i
Bagdad besøkte Harran, ble de imponert over denne ungdommens evner, og sørget
for at han fikk komme til Bagdad der han studerte under deres ledelse.
I Bagdad fikk Thabit undervisning i matematikk, men også i medisin, noe som
var vanlig i høye re arabisk utdanning på denne tiden. Sekten som Thabit kom fra
hadde tidligere snakket gresk, og selv om de tok opp arabisk da de konverterte til
islam, talte mange av dem fortsatt det greske språket flytende.
Thabit ibn Qurra al-Harrani.
Men Thabit kom fra et syrisktalende
område. Denne språkmektigheten, sam-
men med hans førsteklasses matematiske
kvaliteter, gjorde at han kom til å bli en
sentral oversetter av de gamle greske ma-
tematikkverkene til arabisk. Blant disse
verkene som ble oversatt var Euklids Ele-
menter, dette verket var oversatt før Tha-
bits tid, men b le revidert av ham. Det er
denne reviderte oversettelsen som ligger
til grunn for de senere arabiske versjone-
ne av Euklids Elementer.
Thabit kjente Jamblikos’ biografi av
Pytagoras, derfor visste han at Pytago-
ras og pytagoreerne hadde vært interes-
sert i vennskapstall. To tall er vennskaps-
tall dersom det ene er lik summen av alle
tall som går op p i det andre, bortsett fra
tallet selv, og omvendt. Et eksempel som Jamblikos gir er tallene 220 og 284. Hvis
et tall er vennskapelig med seg selv, kalles de t et perfekt tall. Et overskuddstall er
et tall der summen av alle de ekte divisorene er større enn tallet selv, og tilsvarende
defineres et underskuddstall.
Både vennskapstall og perfekte tall spilte en betydelig rolle i arabernes tallteori.
Og denne interessen starter med Thabit ibn Qurra, påpeker Rashed i [9], side 277.
Thabit skriver: «Siden dette temaet har begynt å oppta meg, og siden jeg har
funnet be visene, vil jeg ikke skrive om disse reglene uten å gi fullstendige bevis. . . »
I studiet av vennskapstall benytter Thabit en aritmetisk funksjon,somidag
gjerne betegnes med
0
(n): Det er summen av de ekte divisorer 1 d<ni det
naturlige tallet n. Dette er en ny teknikk i tallteorien, og denne nye teknikken er
kan hende vel så betydelig som objektene den brukes til å studere, nemlig parene
av vennskapstall. Thabit beviser dette resultatet; vi gir et bevis i [6]:
La n>1 være et helt tall, og la p
n
=3·2
n
1 og q
n
=9·2
2n1
1. Dersom
p
n1
,p
n
og q
n
er primtall, da er a =2
n
·p
n1
·p
n
og b =2
n
·q
n
vennskapstall.
a er et overskuddstall og b er et underskuddstall.
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 9
Som vi ser gir n =2paret 220, 284. n =3kan ikke brukes, mens n =4gir
17296, 18416. Thabit ibn Qurras teorem om vennskapstall ble som så mye annen
arabisk matematikk forbigått da matematikken igjen begynte å bli dyrket i Europa.
Dette teoremet ble tilskrevet Fermat og Descartes, inntil 1852 da det kom en fransk
oversettelse av Thabit ibn Qurras arbeid.
No e n mener at Thabit var den første som fant paret av vennskapstall 17296,
18416; i alle tilfelle var dette allmenn felles kunnskap innen arabisk matematikk i
hvert fall fra slutten av 1200-tallet, som det pekes på i [9], se spesielt note 1 side
330. Dette paret av vennskapstall tilskrives likevel fortsatt Fermat.
Thabit regnet med forhold mellom geometriske størrelser, analogt til regning
med tall. På denne måten ble han en av pionerene eller forløperne for innføringen
av de reelle tallene.
Thabit generaliserte det pytagoreiske teoremet til generelle trekanter, noe som
var gjort tidligere av Pappos, og han arbeidet med vinkelens tredeling og parabelens
kvadratur. Det siste er problemet med å finne arealet av et parabelsegment, noe
som Arkimedes hadde vært opptatt av, og som har vært en del av motivasjonen
bak fremveksten vår tids matematiske analyse. I arbeidet med parabelens kvadratur
benytter Thabit metoder som kommer nær opp til våre dagers bestemte integrasjon.
Thabit brukte b e grepet bevegelse i et geometrisk bevis, slik sett sto han for et
annet syn enn det vi finner hos Platon og i gresk geometri ellers. Men slike tanker
dukker opp hos Arkimedes og hos Arkytas, og er sentrale i Newtons mye senere
oppdagelse av derivasjonsbegrepet i f orm av det han kalte fluxioner.
Abu Abdallah Mohammad Ibn Jabir Ibn Sinan al-Raqqi al-Harrani al-Sabi al-Bat-
tani ble fø d t i 850 i Harran, akkurat som Thabit ibn Qurra, og døde i 929 i Qasr
al-Jiss, i nåværende Irak. I vestlig litteratur finner vi ham med aliasene Albategnius,
Albategni eller Albatenius.
Al-Battani gjorde meget nøyaktige astronomiske observasjoner, av solen, månen
og planetene, nøyaktigere enn dem som er gitt av Ptolemaios i Almagest. Han var
også opptatt av astrologi.
Al-Battanis viktigste arbeid er Kitab al-Zij, som inneholder 57 kapitler. Her be-
skriver han dyrekretsen på himmelen, og oppdelingen i grader. Den matematiske
bakgrunnen blir gitt med regning i sekstitallsystemet. I tidlig arabisk trigonome-
tri brukte en både korden til en vinkel, som Ptolemaios, og den halve korden til
den dobbelte vinkelen, det vi kaller sinus. Hos al-Battani er det ikke sinus som
brukes, han er den første som benytter seg av det vi kaller for cosinus, «sinus til
komplementet» (til 90
): Med våre symboler blir det cos(x) = sin(90
x).
4 Abu Kamil og al-Baghdadi
Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shuja ble født i 850, muligens i
Egypt, og døde 930. Han gikk også under navnet al-Hasib al-Misri, eller Regne-
mesteren fra Egypt.
Han var en av al-Khwarizmis umiddelbare etterfølgere, og han understreker at
det var al-Khwarizmi som fant opp algebraen: «Det var han som først lyktes m ed
en bok om algebra, han var pioneren som fant opp alle prinsippene i de n.» Dette
er det tydeligvis nødvendig å presisere, siden det har vært personer som har villet
holme.tex,v 1.10
10 Audun Holme Normat 1/2004
frata den store al-Khwarizmi denne æren. Abu Kamil skriver dette, sitert etter [9],
note 3 på side 19: «I min andre bok har jeg etablert at autoriteten og prioriteten
tilhører Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, og jeg har gitt svar til den freidige
mannen Ibn Barza, som tilskriver dette til Abd al-Hamid, som han sier var hans
bestefar.» Abu Kamil bygde på grunnlaget lagt av al-Khwarizmi, og står som et
bindeledd til den meget betydelige matematikeren Abu Bekr ibn Muhammad ibn
al-Husayn Al-Karaji.
I tillegg til denne rollen kommer det at mange, i likhet med Katz i [8], mener Abu
Kamils arbeider er kilden for Leonardo fra Pisas svært innflytelsesrike bok Liber
Abaci. Slik sett ble Abu Kamil av enorm b etydning for matematikken i Europa
senere.
Abu Kamils algebrabok består av tre deler: Første del er om løsning av kvadratis-
ke ligninger, andre del handler om anvendelse av algebra på den regulære femkanten
og den regulære tikanten, og den tredje delen er om diofantiske ligninger og om un-
derholdningsmatematikk. I en annen bok behandler han ubestemte ligninger, Abu
Kamil er den første arabiske matematikeren som løser problemer av samme type
som vi finner hos Diofantos.
Abu Mansur ibn Tahir al-Baghdadi ble født i 980 i Bagdad og døde i 1037. Al-
Baghdadi kalles også Ibn Tahir i litteraturen.
Han vokste opp i Bagdad, men fulgte så med sin far da han flyttet til Nishapur.
Han skal først og fremst ha vært teolog, men han skrev i hvert fall to bøker om
matematikk. Av disse er det al-Takmila fi’l-Hisab som har størst betydning.
Her behandler al-Baghdadi ulike regnemetoder. Han behandler fingerregning,
regning i sekstitallsystemet og regning med de indiske tallsymbolene, og med brøk.
Han behandler dessuten regning med irrasjonale tall, regning i handel og forretnin-
ger. Dette er en allsidig og omfattende innfallsvinkel til regning, og han vurderer
fordelene ved de ulike metodene. Alle har sine fordeler, men han ser ut til å kon-
kludere at de indiske tallsymbolene byr på de fleste fordelene.
Al-Takmila gir henvisninger til arbeider av al-Khwarizmi som nå er tapt, og slik
kan en få holdepunkter for hva som sto i noen av disse tapte arbeidene.
I boken Risala fi’l-maquadir wq’l mutabayana, eller «Avhandling om kommen-
surable og inkommensurable størrelser», tar han utgangspunkt i Bok X av Euklids
elementer som handler om dette temaet. Hos Euklid er det et fundamentalt skille
mellom tall og geometriske størrelser. Al-Baghdadi etablerer forbindelse n mellom
disse begrepene, og er slik med på å legge grunnen for vårt moderne tallbegrep.
Han regner sikkert med irrasjonale størrelser, og er ikke lenger bundet til å regne
med røtter av h ele tall.
Al-Baghdadi arbeidet også med pytagoreernes poly gontall, og de avledede pyra-
midetallene og mer generelt figurtall. For dette interessante temaet må vi henvise
til [6].
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 11
5 Ibn al-Haytham, også kal t Alhazen
Abu Ali al-Hasan Ibn al-Haytham ble født i 965, sannsynligvis i byen Basra, den-
gang i Persia, nå i Irak. Han døde i 1040, etter alt å dømme i Kairo. I vestlig
litteratur er han noen ganger gitt det forvanskede latiniserte navnet Alhazen. Ibn
al-Haytham er en meget betydelig matematiker, mange av hans viktige oppdagel-
ser og teknikker er senere blitt tilskrevet europeiske matematikere som Fermat,
Descartes, Euler og andre av de store navn fra opplysnin gstidens matematikk.
Det finnes en selvbiografi av ham f ra 1027, men her står det ikke noe om hans
levnetsløp, derimot en hel del om h ans vitenskap og åndelige utvikling. I Egypt
hersket kalifene av fatimide-dynastiet på denne tiden. De har navn etter Fatima,
profeten Muhammads datter, som dette dynastiet skal ha nedstammet fra. De
hadde som målsetting å vinne makten i hele den islamske verden. Derfor anerkjente
de ikke kalifene av abbasidedynastiet i Bagdad.
Fatimidekalifen e etablerte seg i Nordafrika og på Sicilia tidlig på 900-tallet, og
i 969 erobret de Nildalen og grunnla byen Kairo. Dette skjedde altså under Ibn
al-Haythams barndom i Basra.
Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham.
I sin selvbiografi forteller han at han
som ungdom tenkte mye over de ulike re-
ligiøse retningene som sto mot hverandre,
og at han kom til at ingen av dem for-
valtet Sannheten. Han utdannet seg for
en stilling i kalifens administrasjonsappa-
rat, men var særlig interessert i matema-
tikk, naturvitenskap og filosofi. Han ble
da også utnevnt til guvernør for Basra og
omegn. I denne stillingen fortsatte han å
arbeide med religiøse emner, men til slutt
bestemte han seg for å gå helt over til na-
turvitenskap og matematikk. Han kastet
seg nå over Aristoteles’ skrifter, som han
hadde tilgang til. Aristoteles’ ideer holdt
han fas t på hele livet.
Etter at han trakk seg fra sin admini-
strative stilling gikk det en del år før han
dro til Egypt. I Basra hadde han imidler-
tid rukket å få en solid posisjon som en
av de mest betydelige lærde, og i Kairo var kalifen interessert i matematikk og
naturvitenskap; han het al-Hakim bi-Amr Allah, Hersker ved Guds vilje. Han var
den andre av fatimidekalifene. Den første hadde vært hans far s om het al-Aziz. Han
var blitt kalif i 975 men døde i 996 mens han gjorde seg klar til krig mot Bysants.
Al-Hakim var bare 11 år gammel da han etterfulgte sin far som kalif.
Al-Hakim var en brutal hersker, som ikke hadde noen skrupler med å rydde
sine fiender av veien. Men samtidig var han en beskytter av vitenskap og kultur,
og samlet om seg mange betydelige matematikere og astronomer. En medvirkende
årsak til dette kan også ha vært hans store interesse for astrologi. Al-Hakim skal
ha vært temmelig lunefull, det sies at han beordret en by brent ned uten no e n
fornuftig grunn. Og siden han ikke likte å høre på hundeglam lot han alle hunder
holme.tex,v 1.10
12 Audun Holme Normat 1/2004
innen rekkevidde drepe, og han forbød visse grønnsaker og dessuten skjell! Men han
hadde astronomiske instrumenter i sin residens, og samlet et betydelig bibliotek som
bare sto tilbake f or biblioteket i Bagdad, i Visdommens Hus 150 år tidligere.
Det fortelles at Ibn al-Haythams kontakt med al-Hakim skyldtes at Ibn al-
Haytham hadde foreslått en plan for å regulere vannstanden i Nilen, og dette kom
al-Hakim for øre. Han mente at det ville være en god idé, hvilket det selvsagt også
var. En slik regulering av Nilen er i dag realisert ved Aswan-dammen, et enormt
løft for Egypt som har hatt store og gunstige virkninger for hele samf unn et der.
Al-Hakim ba altså Ibn al-Haytham om å komme til Egypt for å sette plane ne ut
i livet. Al-Hakim utnevnte ham til prosjektleder for regulering av Nilen, og sendte
ham i vei som leder for et team som reiste oppover elven for å ta situasjonen i øye-
syn. Imidlertidig, etter som de reiste lenger og lenger oppover, ble Ibn al-Haytham
mer og mer pessimistisk til prosjektet sitt. Til slutt kom han til den bedrøvelige
konklusjonen at dette ikke lot seg gjøre med den teknologien han rådde over. Og
det var nok riktig vurdert, i betraktning av at det skulle ta omtrent ett årtusen til
før tiden var moden for å regulere Nilen!
Ibn al-Haytham returnerte altså med sitt team til al-Hakim og avla rapport om
at prosjektet måtte skrinlegges. Den mektige oppdragsgiveren al-Hakim var ikke
fornøyd, tvertimot temmelig skuffet og misfornøyd med Ibn al-Haythams mangel-
fulle kompetans e.
Nå har en ulike versjoner av hva som så hendte. En versjon går ut på at Ibn al-
Haytham flyktet fra Kairo til Syria, der han tilbrakte resten av sitt liv. Men denne
versjonen er ikke særlig troverdig, siden det synes å gå frem av Ibn al-Haythams
egne skrifter at han fortsatt befant seg i Egypt. Noen mener at han bare besøkte
Bagdad en kort tid, før han dro tilbake til Egypt. Han kan også ha besøkt Syria.
Den mest troverdige versjonen av det som videre skjedde er at Ibn al-Haytham
fikk en administrativ stilling av kalif al-Hakim, og at han virket i de nn e jobben
en tid. Men etter hvert innså han at han levde farlig; al-Hakim var en lunefull
mann som ikke hadde tilgitt det skrinlagte prosjektet med Nilens regulering. Nå
forteller historien at Ibn al-Haytham lot som om han hadde mistet forstanden,
og dermed ble han holdt innesperret i sitt hus. Dette varte til al-Hakim døde i
1021. Eller rettere sagt, al-Hakim forsvant. Han dro avsted på en mystisk reise
til al-Muqattam fjellene, og kom aldri tilbake. Under sin husarrest arbeidet Ibn
al-Haytham videre med sin vitenskap, og etter at al-Hakim var borte kunne han
altså vise at han ikke var gal, men hadde måttet simulere for å redde livet. Ibn al-
Haytham bodde deretter resten av sitt liv nær al-Azhar Moskeen i Kairo, skrev sine
matematiske tekster, underviste og kopierte vitenskapelige skrifter. Ibn al-Haytham
har etterlatt seg omfattende skrifter, totalt visstnok hele 92 arb eide r, og av disse
er så mange som 55 bevart. Emnene inkluderer optikk, en teori for lys og en teori
for syn, astronomi og matematikk.
Ibn al-Haytham løste problemer om kongruensregning. Kongruensregning utgjør
en viktig del av tallteorien, og har sine røtter i kinesisk matematikk fra før 200-
tallet e.Kr. Her benyttet han et resultat som vi i dag har gitt navn etter den britiske
matematikeren John Wilson (1741–1793), nemlig at dersom p er et primtall, da vil
p gå opp i tallet 1+(p 1)! = 1 + 1 ·2 ·3 ...(p 1). Dette resultatet ble ikke bevist
av Wilson; han kom frem til det som en formodning ut fra mange eksempler. Det er
Lagrange som vanligvis blir gitt æren av å ha funnet beviset for denne setningen.
Dette forteller vi mer om i [6].
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 13
I likhet med Thabit Ibn Qurra har også Ibn al-Haytham arbeidet med perfe kte
tall. I Bok IX beviser E uklid denne setningen som Setning 36, gjengitt etter [3]:
Hvis så mange tall som vi ønsker, begynnende med en enhet og fortsatt med
fordobling inntil summen av dem alle er et primtall, og hvis vi gir et tall som
denne summen multiplisert med det siste, da er dette tallet perfekt.
Så følger et bevis, som selvsagt er geometrisk. Siden vi med våre symboler har
1+2+2
2
+ ···+2
k1
=2
k
1
kan vi reformulere Euklids setning IX.36 som
Dersom 2
k
1 er et primtall, da er 2
k1
(2
k
1) et perfekt tall.
Denne regelen kan vi selvsagt også formulere slik: Dersom tallet N =2
k
1 er et
primtall, da er tallet M =1+2+3+···+ N perfekt.
Ifølge [9], side 320 og f ølgende , formulerte Ibn al-Haytham dette resultatet med
bevis. Han formulerte også en omvending, som han forsøkte å bevise, nemlig at
alle perfekte tall er av denne typen. Det er fortsatt et åpe nt problem om denne
omvendingen er riktig.
6 Al-Karaji og hans algebraiske skole
Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji ble født i 951 i Bagdad og dø de
i 1029. En vet praktisk talt intet om hans liv. Selv navnet er usikkert; noen gir det
som al-Karkhi. Vi vet imidlertid at han levde og skrev mesteparten av sine verker i
Bagdad på slutten av 900- og begynnelsen av 1000-tallet, og at han deretter forlot
denne byen og dro til det området som araberne kalte «fjell-landene». Dette var
Aserbajan, Nord-Irak, områder i Persia og fjellområder ved Kaspihavet. Her sluttet
han å arbeide med matematikk. Isteden ofret han seg for ingeniøroppgaver av ulike
slag.
Al-Karajis arbeid er viktig i matematikkens historie fordi algebraen nå tok en ny
retning. Nå ble de aritmetiske op erasjone ne , som tidligere var reservert for kjente
størrelser, også tatt i bruk for ukjente størrelser. Al-Karaji gir regler for addisjon,
subtraksjon, og multiplikasjon for det han kaller «sammensatte størrelser», eller
summer av monomer. Divisjon be skrives i det tilfelle at divisor er et monom. Han
gir også en metode til å finne kvadratroten av en sammensatt størrelse som ikke
trenger å være et fullstendig kvadrat, men han forutsetter at koeffisientene til de
monomene som inngår er positive.
Al-Karaji bruker også en forløper for et moderne induksjonsbevis. Først bevi-
ser han påstanden for n =1, så bruker han dette tilfellet til å bevise påstanden
for n =2, så b ruker han tilfellet med n =2til å beh andle tilfellet n =3, og så
videre et stykke oppigjennom. Omkring n =5er tiden moden til å trekke kon-
klusjonen: Dette kan fortsettes i det uendelige, p åstande n er dermed riktig for alle
n =1, 2, 3, 4,....
Al-Karaji bruker denne formen for indu ksjon til å bevise binomialteoremet.I
boken Al-Fakhri regner han ut (a + b)
3
som a
3
+3a
2
b +3ab
2
+ b
3
, og i Al-Badi
holme.tex,v 1.10
14 Audun Holme Normat 1/2004
regner han tilsvarende ut (a b)
3
som a
3
3a
2
b +3ab
2
b
3
og (a + b)
4
som
a
4
+4a
3
b +6a
2
b
2
+4ab
3
+ b
4
. Den generelle konstruksjonen av «Pascals triangel»
ga han i et arbeid som er gått tapt, men som al-Samawal, en av hans etterfølgere
som vi forteller om i neste avsnitt, gjengir. Al-Samawal skriver dette, sitert etter
oversettelsen [1], gjengitt etter [13], som vi viser til for flere detaljer:
La oss minne om prinsippet for å finne de tallene vi må multiplisere disse
gradene med for et tall som er delt i to deler. Al-Karaj i sa at for å lykkes må
vi først plassere en ener i en tabell og en ener til under den første. Så må vi
flytte den første ene ren til en kolonne nummer to, og legge den første eneren
til den eneren som står under den. Da får vi tallet «to», som vi setter under
den eneren vi skrev i kolonne nummer to. Så setter vi den andre eneren i den
første kolonnen under toeren i kolonne nummer to. Når vi flytter den første
eneren i den andre søylen til en tredje søyle, så skal vi legge d en første eneren
i andre søyle til toe ren under den, vi får «tre», som skal skrives under eneren
i tredje søyle. Hvis vi så legger toeren fra andre søyle til ene ren under den får
vi «tre», så skriver vi «en» under denne treeren.
Slik fortsetter han opp til femte kolonne. Dette gir det såkalte «Pascals triangel»
skrevet sidelengs som følger:
1111 1
1234 5
1 3 6 10
1 4 10
15
1
Al-Karaji viser at summen av de n første naturlige tallene er n(
1
2
+
1
2
n), og han
ga summen av de første n kvadrattallene, og av de første n tredjepotensene.
De første fem bøkene av Diofantos’ Aritmetika ble oversatt til arabisk av ibn
Liqa rundt 870, og disse bøkene ble studert grundig av al-Karaji. Innflytelsen fra
Diofantos kan en se tydelig, og han var opptatt av å videreutvikle og generalisere
Diofantos’ resultater. Fermat og al-Karaji var også på denne måten beslektede
sjeler.
Selv om al-Karaji ga vesentlige bidrag til algebra og tallteori, som han i en viss
forstand frigjorde fra geometrien, var han også opptatt av å utforske geometrien
som sådan. Men dette skjedde ut fra en aktuell praktisk oppgave, ne mlig i et arbeid
om oppmåling og veiing av bygninger og andre strukturer.
7 Al-Samawal og algebraens aritmisering
Ibn Yahya al -Maghribi Al-Samawal ble født i 1130 i Bagdad, og døde i 1180 i
Maragha i Persia. Al-Samawal var j ød e, og kom fra en familie der kunnskap og
kultur ble satt høyt. Han begynte tidlig å studere medisin og matematikk. Han lærte
det indiske tallsystemet og de indiske regnemetodene, og arbeidet med astronomiske
tabeller. På denne tiden var Bagdad ikke det fremragende matematikksenteret byen
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 15
hadde vært tidligere, og al-Samawal hadde snart lært seg den matematikken som
hans lærere kunne, nemlig grunnleggende landmåling, elementær algebra og de
første fem bøkene av Eu klids Elementer.
Al-Samawal var nå henvist til selvstudier, og han leste arbeidene til Abu Kamil,
al-Karaji og andre verker som var tilgjengelige i Bagdad. Som attenåring skal han
ha mestret så å si all den matematiske litteraturen som var tilgjengelig i Bagdad!
Arbeidene til al-Karaji gjorde størst inntrykk på ham, og han begynte å arbeide
med utfyllende kommentarer og forbedringer. Han skrev boken Al-Bahir fi’l-jabr,
som er oversatt i [1]. Tittelen betyr «Den briljante i algebra». Da al-S amawal skrev
denne boken, var han 19 år gammel. Boken er verdifull for oss i dag, ikke bare for
de ideene til al-Samawal som den inneholder, men også fordi vi her får kjennskap
til arbeider av al-Karaji som er gått tapt i originalen.
Arabiske matematikere før al-Samawal, ikke minst al-Karaji, hadde be gynt det
vi i dag kaller algebraens aritmetisering. Al-Samawal gir dette «programmet» denne
presise be skrivelsen, sitert etter [13]:
[Algebraikeren] opererer på ukjente størrelser med alle aritmetikkens teknik-
ker, på samme måte som aritmetikeren opererer på kjente størrelser.
Al-Samawal utviklet med andre ord begrepet polynomring. I første bok av al-Bahir
definerer han potensene x, x
2
,x
3
,...og x
1
,x
2
,x
3
,...Han definerer polynomer,
og beskriver addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Han gir også metoder
for å trekke ut røtter av polynomer. Al-Samawal hadde en fullstendig forståelse av
negative tall, noe som var en forutsetning for hans behandling av potenser av en
ukjent størrelse. Han bruker også 0 i denne sammenhengen, og skriver dette, sitert
etter [1]:
Hvis vi trekker et p ositivt tall fra en tom potens, d a er resten det samme
negative tallet.
Med d ette mente han at 0 a = a. Og videre:
Hvis vi trekker det negative tallet fra en tom potens, da er resten det samme
tallet.
Her mener han tilsvarende at 0 (a)=a.
Multiplikasjon med negative tall behersket han også:
Produktet av et negativt tall med et positivt tall er negativt, og med et
negativt er positivt.
I Bok 2 av al-Bahir behandler han annengradsligninger geometrisk, et litt forbau-
sende tilbakeskritt i forhold til sine store forløpere som for eksempel al-Khwarizmi
og al-Karaji.
R. Rashed omtaler, i [9], side 89 og følgen de og i note 8 på s ide 143, et uhyre
viktig arbeid av al-S amawal som han fullførte i 1172, 8 år før sin død. Boken
har tittelen al-Qiwami fi al-Hisab al-Hindi, eller Avhandling om aritmetikk. Denne
boken er bare delvis bevart, i dag kjenner en bare et fragment med en misvisende
tittel. Likevel kan en trekke den krystallklare konklusjonen at al-Samawal i 1172
var i besittelse av den såkalte «Horner–Ruffinis metode ».
holme.tex,v 1.10
16 Audun Holme Normat 1/2004
8 Omar al-Khayyami
Omar al-Khayyami ble født 1048 og døde i 1131 i Nishapur, Persia. Katz forteller
denne anekdoten i boken [8]. Da han var ung student, sluttet al-Khayyami en
pakt med to andre studenter, Nizam al-Mulk og Hassan ibn Sabbah, om at den av
dem s om som først fikk en høy stilling, skulle hjelpe de to andre. Det var Nizam
som ble den heldige, han steg i gradene og ble vesir eller statsminister for den
seljukiske sultanen Jalal al-Din. Han oppfylte sitt løfte, og Hassan ble utnevnt til
kammerherre ved sultanens palass.
Men Hassan var utakknemlig, og viste seg som en dårlig venn. For han begynte å
baktale sin velgjører hos sultanen, og forsøkte å overta Nizams høye stilling. Dette
gikk ille for Hassan, og han ble forvist fra hoffet. Men al-Khayyami avslo tilbudet
om en høy stilling, og ba isteden om å få en beskjeden fast lønn, slik at han kunne
studere matem atikk og andre vitenskaper, og dyrke sin poesi.
Al-Khayyamis liv ble preget av de politiske begivenhetene, i likhet med det man-
ge andre matematikere har fått erfare gjennom tidene. Sultanen for de seljukiske
tyrkerne Toghril Beg holdt sitt inntog i Bagdad i 1055. Dette var en urolig bryt-
ningstid, med politisk og religiøs strid. Al-Khayyami var ikke bare matematiker,
men også poet og filosof i Aristoteles’ tradisjon . Da han var student ble han an-
sett som svært begavet, men han klager over de dårlige forholdene for studier og
vitenskap. Han skrev dette om sin situasjon, ifølge [2]:
Jeg kunne ikke vie meg nok til studiet av denne algebraen, og konsentrere meg
om den, fordi jeg ble forhindret av tidens lunefullhet. For vi har mistet våre
lærde, bortsett fra en fåtallig gruppe som med mange vanskeligheter forsøker
å finne litt anledning, i roligere øyeblikk, til å arbeide med sin vitenskap.
Det store flertall later som om de er filosofer, og forveksler sannhet med det
motsatte! Alt de driver med er narrespill. De later som om de har kunnskap
som de ikke har i virkeligheten. Og den kunnskapen de har bruker de bare
til materielle og nederdrektige ting. Og når de treffer på et menneske som
søker sannheten, og gjør sitt beste for å tilbakevise usannhet og løgn, og som
bekjemper hykleri og svindel, da gjør de bare narr av ham!
Al-Khayyami er kjent både som en fremragende astronom og matematiker. Han
var en av åtte vise menn som sto bak en kalenderreform av den gamle persiske
tidsregningen, som trådte i kraft i 1079. Denne kalenderen var svært nøyaktig,
men den ble senere erstattet av d en muslimske kalenderen. Som matematiker er
han mest kjent for sitt verk om tredjegradsligninger, Avhandling om løsning av
problemer ved al-jabr og al-muqabala.
Denne boken ble skrevet i Samarkand i Usbakistan, dit han hadde flyttet i 1070.
Her hadde han gode arb e idsf orhold, han ble støttet av Samarkands øverste jurist,
Abu Tahir.
Toghril Beg, som grunnla det seljukiske dynastiet, hadde gjort Isfahan til sin
hovedstad. Kort tid etter at Melik Shah, hans s ønne sønn , var blitt sultan i 1073,
flyttet al-Khayyami igj en, denne gangen til Isfahan etter invitasjon fra den nye
sultanen, for å lede det astronomiske observatoriet. Isfahan var den gangen en
praktfull by. Den skal ha hatt så mange som en million innbyggere.
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 17
Her ble han i 18 år, og det var i denne tiden han deltok i utarbeidelsen av
kalenderreformen omtalt ovenfor. Under Melik Shah og hans opplyste vezir el-
ler statsminister Nizam al-Mulk, som vi allerede har hørt om, opplevde Persia en
blomstringstid, der det blant annet ble opprettet flere nye universiteter.
Men det var urolige tider. Fra borgen Alamut i Elburz-fj ellene sendte Hassan
Sabbah, lederen for de såkalte Assassinerne ut ge riljagrupper mot fyrster og andre
fremstående personer. I 1092 ble veziren drept under en reise til Bagdad, og Melik
Shah døde kort tid etter. Han ble e tterfulgt som he rsker av en sønn ved navn Bar-
kiaruk, som imidlertid viste seg svak, og ikke kunne forhindre at hans regjeringstid
ble dominert av sammensvergelser og indre strid.
Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn
Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami.
Al-Khayyamis arb e idsforhold ble
nå adskillig vanskeligere, ikke minst
fordi hans stu diekamerat og venn ve-
ziren nå var borte. Observatoriet fikk
ingen penger mer, og han ble angrepet
av rettroende muslimer for fritenke-
ri. Han fortsatte likevel å arbeide, og
skrev positivt om de tidligere hersker-
ne i Persia. Men i 1105 kom en bror
av Barkiaruk ved navn Muhammed til
makten, han gjorde slutt på indre strid
og uro med, som det heter, kraft og
grusomhet.
I 1118 kom så en tredje bror, San-
jar til makten. Han flyttet hovedsta-
den til Merv, og dit dro al-Khayyami
ikke lenge etterpå. Der opprettet San-
jar et senter for islamsk vitenskap og
kultur, og al-Khayyami arbeidet her i
noen år. Han døde i 1131 i Nishapur,
der han er gravlagt i et mausoleum
som fortsatt eksisterer.
Avhandling om løsning av problemer ved al-jabr og al-muqabala handler om løs-
ning av tredjegradsligninger. Motivet for arbeidet var å gi algoritmer for løsning av
tredjegradsligninger, analoge til de tre algoritmene som Khwarizmi hadde angitt
for de tre typene av ligninger av grad 2. Men han må konstatere at « Hverken vi
eller andre som arbeider med algebra har vært i s tand til å gjøre dette. Kan hende
noen som kommer etter oss vil klare det.»
Han ga imidlertid en fullstendig klassifisering av tredjegradsligninger, med geo-
metriske løsninger funnet ved skjæringspunkter mellom kjeglesnitt.
Al-Khayyami arbeidet bare med positive tall. Derfor måtte han føre opp separat
de ulike tredjegradsligningene som kunne ha positive røtter. Av disse var det 14
ulike typer som ikke kunne reduseres til lineære eller kvad ratiske ligninger. Han
samlet disse i tre grupper. Vi gjengir stand ard former for disse gruppene i vår
moderne algebraiske notasjon, og tar utgangspunkt i d en vanlige skrivemåten for
en ligning av grad 3 som
ax
3
+ bx
2
+ cx + d =0,
holme.tex,v 1.10
18 Audun Holme Normat 1/2004
slik at koeffisienten for tredjegradsleddet er a =0så vi kan ta a =1, siden det
virkelig skal være en ligning av grad 3, for annengradsleddet er koeffisienten beteg-
net med b, osv. Men vi skal bare operere med positive tall, og da må de negative
leddene flyttes fra venstre side til til høyre side av likhetstegnet, og da som positive
ledd.
Den første gruppen består av en ligning med to ledd:
x
3
= d
Så er det en gruppe med med seks ligninger, hver med tre ledd:
x
3
+ cx = d
x
3
+ d = cx
x
3
= cx + d
x
3
+ bx
2
= d
x
3
+ d = bx
2
x
3
= bx
2
+ d
Den tredje og siste gruppen har syv ligninger med fire ledd:
x
3
+ bx
2
+ cx = d
x
3
+ bx
2
+ d = cx
x
3
+ cx + d = bx
2
x
3
= bx
2
+ cx + d
x
3
+ bx
2
= cx + d
x
3
+ cx = bx
2
+ d
x
3
+ d = bx
2
+ cx
Det er klart at vi nå har alle muligheter for ligninger av grad 3, der koeffisientene alle
skal være positive tall. Her er ligningene gitt med vår moderne algebraiske notasjon.
Det gjør det enklere for oss å forstå hva al-Khayyami gjorde rent matematisk,
men blir litt misvisende historisk. Den første ligningen formulerte al-Khayyami for
eksempel slik:
Et tall lik en kube,
mens d en andre ligningen ble presentert ved
Et tall lik kube og sider.
I alle 14 tilfellene viser al-Khayyami hvorledes en kan konstruere løsninger ved
hjelp av kjeglesnitt. Løsning av den første av disse ligningene består jo i å trekke
ut kubikkroten. Denne konstruksjonen er umulig med passer og linjal, og dette
uløselige problemet med d =2er jo kje nt som Problemet om kubens fordobling.
Greske geometere ble imidlertid nokså fort klar over at problemet lar seg løse
holme.tex,v 1.10
Normat 1/2004 Audun Holme 19
dersom en benytter kjeglesnitt, og ikke bare rette linjer og sirkler på den foreskrevne
måten i en euklidsk konstruksjon. For detaljer om dette viser vi til [4], [5] og [6].
Hans arbeid ble videreført av andre arabiske matematikere, ikke minst Sharaf
al-Din, som utviklet videre den algebraen som er nødvendig for å finne formelen
for løsningen til den generelle tredjegradsligningen. Dette skal vi gå nærmere inn
på i det neste avsnittet.
Al-Khayyami refererer til et verk som er gått tapt. I dette verket har han etter
det vi forstår benyttet binomialkoeffisientene etter Pascals trekant, og han har
brukt dem i en metode til å finne n-te røtter.
Hans andre hovedverk er kommentarer til Euklid, med tittel «Forklaring av
vanskelighetene i Euklids postulater». Her drøfter han Eudoxos’ teori for forhold,
slik den er fremstilt i Bok 10 av Euklids Elementer. al-Khayyami behandler slike
forhold som tall, slik at han for eksempel opererer med forholdet mellom en diagonal
og en side i et kvadrat som et tall, nemlig det irrasjonale tallet som vi betegner med
2, eller forholdet mellom omkrets og diagonal i en sirkel, som blir det reelle tallet
vi betegner med . Slik kan en si at al-Khayyami på en stringent måte innførte
de positive reelle tallene, lenge før dette ble fullført i Europa gjennom Dedekinds
arbeid. Grekerne hadde ikke betraktet forhold som tall. M en selv om al-Khayyami
behandler forhold som tall, så hevder han ikke at de er tall, selv om han reiser
spørsmålet.
Et annet viktig p oen g som al-Khayyami bidro med i utviklingen av det moderne
tallb e grepe t, var at han beviste at de to definisjonene av forhold som vi finner
hos grekerne er ekvivalente: Eudoxos’ definisjon er ekvivalent med definisjonen en
tilskriver Aristoteles, nemlig at de to størrelsene har samme antanairesis. Vi minner
om at for inkommensurable størrelser leder den siste definisjonen til en utvikling i
kjedebrøk; se [4] for detaljer om dette.
I sine kommentarer til Euklid forsøkte al-Khayyami også å bevise Euklids Femte
Postulat. Han definerte to linjer som parallelle dersom de overalt hadde samme
avstand, altså i motsetning til egenskap en at de ikke skjærer hverandre. Dette
arbeidet med å bevise det femte postulatet lyktes ikke, selvsagt siden vi nå vet at
det finnes geometriske systemer der det femte postulatet ikke gjelder, men de øvrige
fire av Euklids postulater holder, nemlig de såkalte ikke-euklidske geometriene. Men
under arbeidet med dette umulige prosjektet fant han resultater som vi i dag ser
som de første teoremene i ikke-euklidsk geometri. Slik ble han en forløper for de
senere op pdagerne av disse geome triene, Bolai og Lobachevski.
Al-Khayyami var på alle måter en fremragende representant for arabisk åndsliv.
Som poet har han satt dype spor etter seg, og som filosof var han også betydelig.
Al-Khayyami er blitt kalt Persias Voltaire, men kan hende det hadde vært mer
passende å kalle Voltaire for Frankrikes Khayyami.
Referanser
[1] S. Ahmad og R. Rashed (ed.) “Al-Bahir” en algèbre d’Al-Samaw’al.
Damascus, 1972.
[2] C. C. Gillispie The Dictionary of Scientific Biography. 16 bind, 2 suppl.
Charles Scribne r’s Sons, New York 1979–1990.
holme.tex,v 1.10
20 Audun Holme Normat 1/2004
[3] T. L. Heath. Euclid: The thirteen books of the Elements. Translated from the
text of Heiberg. Translated with introduction and commentary by Sir
Thomas L. Heath. 3 bind. Dover Publications, New York 1956.
[4] A. Holme. Matematikkens historie 1. Fra Babylon til mordet på Hypatia.
Fagbokforlaget, Bergen 2001.
[5] A. Holme. Geometry. Our Cultural Heritage. Springer Verlag. Berlin,
Heidelberg, New York 2002.
[6] A. Holme. Matematikkens historie 2. Fra de arabiske vise til Niels Henrik
Abel . Fagbokforlaget, Bergen 2004.
[7] R. Jafariyan. The Alleged Role of Khawajah Nasir al-Din al-Tusi in the Fall
of Baghdad. Artikkel i den iranske journalen Kayhan-e Andisheh, (No. 22).
Tilg j engelig på http://www.al- islam.org/al-tawhid/tusi/baghdad.htm.
[8] V. J. Katz. A History of Mathematics. Harper Collins College Publishers,
New York 1992.
[9] R. Rashed. The development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic
and Algebra. Kluver Academic Publishers. Dordrecht, Boston, London. 1994.
[10] R. Rashed. Al-Khayyam and Descartes on algebraic geometry. Foredrag ved
konferansen om arabisk matematikk arrangert av Norsk Matematikkråd og
UNESCO-kommisjonen i Oslo 21-23 mai 2001. Foredragene er under samlet
utgivelse i bokform.
[11] F. Rosen. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi: Algebra. London, Oriental
Translation Fund 1831. Boken er i dag vanskelig å finne, men det foreligger
en nyere oversettelse fra en latinsk oversettelse ved L. Karpinski, University
of Michigan Press 1930.
[12] Sharaf al-Tusi. Sharaf al-Din al-Tusi. Oeuvres Mathematiques. Oversatt av
R. Rashed. To bind. Paris 1986.
[13] University of St. Andrews. The MacTutor History of Mathematics Archive.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/.
holme.tex,v 1.10
