Normat 52:1, 39–50 (2004) 39
Morleys hjerte –
lek med et geometrisk teorem – del 2
Signe Holm Knudtzon
†
og Johan F. Aarnes
‡
†
Avdeling for lærerutdanning
Høgskolen i Vestfold
Boks 2243
NO–3103 Tønsberg
Signe.H.Knudtzon@hive.no
‡
Institutt for matematiske fag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
NO–7491 Trondheim
johana@math.ntnu.no
Innledning
I første del av denne artikkelen [2] diskuterte og beviste vi Morleys teorem og noen
generaliseringer av denne berømte setningen. Vi så også på mønsteret som «Morley-
trekantene» dannet, og at de på naturlig vis inn gikk i et kjeglesnitt. I denne delen
dukker også kjeglesnittene opp, men på en annen og uventet måte. Vi skal se at de
danner det vi har kalt «Morleys hjerte». En interaktiv versjon av denne artikkelen
finnes på nettstedet http://shk.ans.hive.no/.
Sentrum for innskrevet sirkel
Halverer vi vinklene A, B, C i en trekant ABC vil halveringslinjene møtes i ett
punkt, senteret til den inns krevne sirkel. Det er klart at dette senteret ligger innen-
for Morley-trekanten abc (for terminologi, presiseringer og Morleys teorem henviser
vi til del 1 av denne artikkelen). Holder vi abc fast, men varierer tredelingsvinklene
, , , så vil også trekanten ABC bevege seg. Det er lett å se at også senteret for
den innskrevne sirkelen vil bevege seg, men det er ikke umiddelbart klart hvordan
dette skjer, og innenf or hvilket område senteret vil ligge. Ved hjelp av dynamisk
programvare, som for eksempel geometriprogrammet CABRI som vi har benyttet,
er det imidlertid enkelt å spore senterets vandringer innenfor trekanten abc når
knudtzon.tex,v 1.11
40 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
denne holdes fast. Ved å la en av vinklene, f.eks. , være lik 0, og variere de to
andre, vil en kunne spore en bit av konturlinjen til området. Setter vi så de to and-
re lik 0 etter tur, får vi konturen til hele området (figur 1). Vi stiller spørsmålet:
Hva slags kurve er denne konturlinjen?
Figur 1.
Ved første blikk kan det se ut som om dette spørsmålet vil la seg besvare rela-
tivt enkelt ved analytisk regning. Senteret er bestemt som skjæringspunkt mellom
halveringslinjer (det greier seg med to), og kan følgelig regne s ut når linjene er
gitt. Haken er at når hjørnene A, B og C beveges, så følger halveringslinjene med.
Det gjør at det blir mange parametre å holde styr på som alle blander seg inn i
ligningen for den søkte kurven. Konklusjonen er at denne fremgangsmåten gir mye
regning og et resultat som ikke er lett å tolke.
Vi blir de rfor nesten tvunget til å bruke en geometrisk angrepsmåte: Kan vi se
hva det er som foregår? Vår første ambisjon blir å få kontroll over halveringslinjene.
Halverer vi vinkel A i trekanten ABC, så halverer vi også cAb i trekanten bAc,se
figur 2 (her og i det følgende er alle vinkler gitt i forhold til p ositiv omløpsretning).
Konstruerer vi den omskrevne sirkel til denne trekanten, må den ha sitt senter
på midtnormalen på linjen bc. Denne midtnormalen skjærer s irkelen i et punkt t.
Siden periferivinkler over like store buer er like store, må halveringslinjen også gå
gjennom t. Av figuren ser vi at at linjen bA danner vinkelen 30
med midtnor-
malen. Halveringslinjen danner da en vinkel =30
1
2
med midtnormalen.
Utregning gir =
1
2
( ). Videre er tcb =
1
2
siden også denne vinkelen er
periferivinkel over buen bt.
Gjentar vi denne konstruksjonen ut fra hjørnet B finner vi et nytt skjærings-
punkt t
og punktet p som skjæringspunkt mellom de to h alveringslinjene (figur 3).
Halveringslinjen for vinkel B danner en vinkel =
1
2
( ) med midtnormalen på
linjen ca, og vi får act
=
1
2
.
Vi har dermed kommet innenfor den likesidete trekanten abc og kan fortsette
arbeidet der. Den drakelignende firkanten tct
p er nå bestemt, og nesen på draken,
punktet p, er se nter for den innskrevne sirkel i ABC.
Vi ønsker å bestemme konturlinjen, eller en del av denne, og setter derfor =0,
og varierer og (figur 4).
knudtzon.tex,v 1.11
Normat 1/2004 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 41
Figur 2.
Figur 3.
knudtzon.tex,v 1.11
42 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
Figur 4.
Vi har altså
=0,+ = 60
,=
1
2
( )=
1
2
, =
1
2
( )=
1
2
.
Av figuren fremgår videre: ctp = 90
+
1
2
+ = 90
+
1
2
+
1
2
= 120
.
Analogt er pt
c = 120
. Videre er t
ct =
1
2
+
1
2
= 30
og dermed tpt
= 90
siden vinkelsummen i en firkant er 360
(de fire drakevinklene). Punktet p som
konstruert ligger på kurven =0. La være midtnormal på linjen fc,dvs. går
gjennom h, midtpunktet på bc. La videre r og q være skjæringspunkt mellom og
henholdsvis ct
og ct.
Den bestemmelsen av konturlinjen som vi gir her baserer seg på Apol lonios’
(262–190 f.Kr.) generelle karakterisering av kjeglesnitt: Vi har da gitt et punkt f
(brennpunkt), en rett linje (direktrise) og en ikke-negativ konstant e (eksentrisi-
tet). Et kjeglesnitt er bestemt som lokus for de punkt p som oppfyller
pf
p
= e
der pf og p er avstandene fra p til henholdsvis f og . Kjeglesnittet kalles ellipse,
parabel eller hype rbel ettersom e<1, e =1eller e>1.
knudtzon.tex,v 1.11
Normat 1/2004 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 43
Teorem 1 Kurven =0gjennom p er en del av en hyperbel som har brennpunkt
i f, direktrise og eksentrisitet e =
2
3
3.
Dette vil følge av
Lemma 1 pqr er likesidet.
Bevis for teoremet basert på lemma. rfq er speilingen av rcq om , slik at
qfr = 30
. qpr = 60
(fra lemma), så qfr er periferivinkel over buen qr ien
sirkel med sentrum i p og radius pr (denne er ikke tegnet inn). Det betyr spesielt
at f ligger på denne sirkelen slik at
pf = pr =
2
3
3 pd
(via lemma), som viser teoremet.
Bevis for lemma 1. Siden rec thc er r c/tc = ec/hc, som sammen med rct =
ech medfører at rct ech. Da er ctr = 60
og vi ser også at trt
= 90
som medfører at r ligger på sirkelen K med diameter tt
(sentrum midt på tt
,
radius =
1
2
tt
). Symmetrisk argument gir samme konklusjon for q, slik at trqt
har
alle fire hjørner på K. Nå vet vi fra før at tpt
= 90
og spenner over diameteren
tt
. Da ligger også p på K. Siden t og q begge ligger på K må rqp = rtp siden de
er periferivinkler over samme bue pr. M en rtp = ctp ctr = 120
60
=60
,
slik at rqp = 60
. Analogt er prq = 60
som gir påstanden.
En hyperbelkonstruksjon
I argumentet ovenfor ligger innebygget konstruksjon av en hyperbel. Denne meto-
den er kanskje ikke allment kjent, og vi tar derfor med den generelle versjonen her.
Vi vil konstruere en hyperbel når:
Brennpunkt f, direktrise og eksentrisitet e>1 er gitt (se figur 5).
Figur 5.
Del of i punkt p slik at pf = e · op.
knudtzon.tex,v 1.11
44 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
Slå buen med radius pf om p til den skjærer i et punkt q. La = opq, og
avsett en vinkel med toppunkt i f vilkårlig. Vinkelbenas skjæringspunkter med
betegnes med r og s, dvs. rfs = . Konstruer likebent trekant rst med grunnlinje
rs og toppvinkel = rts =2. Da ligger t på hyperbelen.
I den spesielle situasjonen vi diskuterte i forbindelse med Morley-trekanten var
trekanten likesidet og toppvinkelen lik 60
.
Utsirkler og utsentre
Halverer vi to utvendige vinkler i en trekant ABC, slik at for eksempel BC er et
felles vinkelben, og halverer vinkel A innvendig, vil de tre halveringslinjene møtes i
et punkt som kalles et utsenter. Om dette punktet kan vi slå en utsirkel som tangerer
siden BC og forlengelsen av de to andre. Se figur 6. Her er det tre muligheter, så til
enhver trekant er det knyttet tre utsentre og tre utsirkler, og i tillegg har vi altså
innsenteret, dvs. senteret for den innskrevne sirkel. Alt dette finner vi på figuren,
men her øns ker vi nå å se på disse sentrene og sirklene ut fra et annet og samlende
objekt, Morley-trekanten.
Figur 6.
Det innebærer at vi må snu perspektivet. Vi starter med en gitt likesidet trekant,
og angir vilkårlige vinkler A, B, C med sum lik 180
. I første del av denne artikkelen
knudtzon.tex,v 1.11
Normat 1/2004 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 45
fant vi ut hvor trekanten ABC måtte befinne seg for å produsere den gitte likesidete
trekanten ved utvendig tredeling.
I tillegg til den opprinnelige trekant ABC som ved innvendig tredeling produse-
rer Morley-trekanten, har vi nå fått tre mindre kopier av ABC som ved utvendig
tredeling gjør det samme. I hver av disse er en av vinklene A, B eller C tredelt
innvendig, de to andre utvendig. Litt refleksjon gjør det klart at de tre utsentre-
ne også må ligge innenfor Morley-trekanten. Ved å variere vinklene viser CABRI
at sentrene ikke faller sammen, men oppfører en slags kvartettdans. Noen av dem
nærmer seg, går fra hverandre, men berører hverandre aldri. CABRI indikerer også
at de tre utsirklene alle faller innenfor den innskrevne sirkel i trekanten ABC! Se
figur 7.
Figur 7.
Konturlinjer for utsentre
De tre utsentrene vil ligge i hvert sitt område, som alle grenser opp mot området
for innsenteret, som vi har vist på figur 1, og bestemt gjenn om Teorem 1. Nå vil vi
ta for oss problemet å bestemme konturlinjen for et utsenter.
I prinsippet går vi frem på samme måte som da vi f ant konturlinjen for innsen-
teret, men får litt mer å holde styr på. Vi velger den av de ytre trekantene hvor
vinkel A er tredelt innvendig. Tredelingslinjene fra A går gjennom hjørnene b og c
og danner en trekant bAc. Vi konstruerer den omskrevne sirkel til d enn e trekanten.
Den har sitt senter på midtnormalen m på bc, og skjærer m i et punkt t. Se figur 8.
Halveringslinjen h for vinkel A halverer også bAc og må gå gjennom t av samme
grunn som før. Vi kan legge merke til at t ligger utenfor Morley-trekanten.
knudtzon.tex,v 1.11
46 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
Figur 8.
Figur 9.
knudtzon.tex,v 1.11
Normat 1/2004 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 47
La oss nå halvere vinkel B utvendig, med BC som det ene vinkelbenet, s e figur 9.
Tredelingslinjene fra B går gjennom a og b og danner trekanten aBb. Vi konstruerer
ig j en den omskrevne sirkel til denne trekanten, og finner skjæringspunktet t
med
midtnormalen m
på ab. Halveringslinjen h
for vinkel B må gå g je nnom t
.
Vi gjentar prosessen med vinkel C, og finner punktet t
på halveringslinjen
h
. De tre halveringslinjene h, h
og h
møtes i et punkt p, utsentret vi ønsker å
lokalisere. Se figur 10.
Figur 10.
På samme vis som for innsenteret finner vi ved å studere figurene ovenfor (la
(l, k) betegne vinkelen mellom linjer l og k, positivt orientert fra l til k):
(m, h)= =
1
2
( ), tbc =
1
2
,
(m
,h
)= = 30
+
1
2
( ), t
ba =
1
2
(60
),
(m
,h
)= = 30
1
2
( ), t
ca =
1
2
(60
).
For å fin ne konturlinjen setter vi nå =0(dvs. C =0). Vi får da + = 60
og
at t
= f = sentrum i trekanten abc, se figur 11. Spesielt vil altså h
gå gjennom
f. Videre er =
1
2
, = (30
+
1
2
), tbc = t
ba =
1
2
, som medfører at
trekanten tt
b blir likesidet. Vi påstår nå at de to halveringslinjene h og h
faller
sammen med linjestykket tt
. Det følger av at ||++tft
= 30
+
1
2
+
1
2
+120
=
180
, som er vinkelsummen i trekanten t
ft. Punktet p ligger derfor på linjen tt
,i
skjæringspunktet med halveringslinjen h
. Vi har = 30
1
2
( ) siden =0,
som gjør det mulig å beregne kurven til p.La være midtnormal på linjestykket
bf .
knudtzon.tex,v 1.11
48 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
Figur 11.
Teorem 5 Kurven =0er en del av en parabel med brennpunkt i f og direktrise .
Bevis. tt
er en side i den likesidete trekant tbt
som har sidelengde d =1/ cos(
1
2
)
(sidelengde i abc lik 2). Vi vil uttrykke fp = r ved d. Sinusproporsjonen i ft
p
gir
t
p = r
sin(60
+ )
sin(30
+
1
2
)
=2r cos(30
+
1
2
),
og analogt i fpt
tp =2r cos(30
1
2
)
d = t
p + tp =2r
cos(30
+
1
2
) + cos(30
1
2
)
=2r
3 cos
1
2
r =
d
2
3 cos
1
2
=
3
3
·
1
2 cos
2
1
2
=
3
3
·
1
1 + cos
som er parabelens ligning i polarkoordinater.
Konturlinjen vil bestå av den delen av parabelen som fremkommer når vi lar
variere mellom 0 og 60
i polarform-uttrykket ovenfor. Analogt, ved å sette =0,
finner vi en ny bit av den samme parabelen som ligger på den andre siden av
fb. Se figur 12 for det fullstendige bildet. Her er de tre utsenter-områdene merket
henholdvis A, B og C, som angir hvilken vinkel som er delt innvendig i de tre ytre
trekantene.
Detaljene h er overlater vi til leseren å verifisere.
knudtzon.tex,v 1.11
Normat 1/2004 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes 49
Figur 12.
Morleys hjerte
Vi har brukt uttrykke t «Morleys hjerte» om den « fire-kamrede» figuren inne i
Morley-trekanten, og skal begrunne det litt nærmere. Vi har sett at til hvert trippel
(, , ) som oppfyller + + = 60
svarer ett punkt i hvert kammer; sentrene
for de tilhørende inn- og utsirkler. Det omvendte er imidlertid også riktig, selv
om vi ikke har vist det her. Velger vi et vilkårlig punkt i ett av de fire kamrene,
så bestemmer det på entydig vis et trippel (, , ) som ovenfor. Dette triplet
bestemmer igjen de tre andre sentrene, ett i hvert kammer, som er kontrollert av det
første punktet. Alle trekanter, sentre og sirkler er dermed fastlagt. All informasjon
knyttet til konstruksjonene i denne artikkelen er på denne måten «kodet» ved
punktene innenfor «hjertet».
Det er fristende å ta med en ekstra historisk kuriositet, som vi først ble opp-
merksom på etter at denne artikkelen var skrevet. I Morleys opprinnelige arbeid
[3] hvor det som i dag kalles Morleys teorem dukket opp for første gang, var den-
ne setningen nærmest et biprodukt av en større undersøkelse. Et av problemene
i d ette arbeidet var å studere hvordan senteret til en kardoide, en «hjertekurve»,
innskrevet i en trekant, kan bevege seg.
knudtzon.tex,v 1.11
50 Signe Holm Knudtzon og Johan F. Aarnes Normat 1/2004
Litteratur
[1] Coxeter, H. S. MacDonald: Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley & Sons,
Inc., New York 1980.
[2] Knudtzon, Signe Holm og Aarnes, Johan F.: Morleys hjerte – lek med et geometrisk
teorem – del 1, Normat 51:4, 145–154 (2003).
[3] F. F. Morley: On the Metric Topology of the N-line, Trans. Amer. Math. Soc. 1,
97–115 (1900).
knudtzon.tex,v 1.11
