Normat 52:2, 79–97 (2004) 79
Arabernes matematikk 2
Audun Holme
Matematisk institutt
Johs. Brunsgate 12
Universitetet i Bergen
NO–5008 Bergen
holme@mi.uib.no
1 Sharaf al-Din al-Tusi
Sharaf al-Din er kjent under flere navn, i boken [9] brukes navnet al-Tusi. Han ble
født i 1135 i provinsen Tus nord-vest i Persia, og døde i 1213. En vet ikke om han
kom fra byen Tus i provinsen ved samme navn, eller om han kom fra Nishapur, i
nærheten av Tus. Det var jo byen som al-Khayyami kom fra og studerte i, og disse
to matematikerne kom altså fra det samme intellektuelle miljøet.
Sharaf skal ha undervist i Damaskus rundt 1165. De seljukiske tyrkerne hadde
erobret denne byen i 1154, og gjort den til sin hovedstad. I Damaskus undervis-
te Sharaf i Euklids og Ptolemaios’ verker, før han flyttet til Aleppo, som etter
Damaskus var den nest største byen i området.
Byen Aleppo hadde 50 år tidligere holdt stand mot korsfarernes beleiring, og
Sharaf underviste her i matematikk, astronomi og astrologi. Aleppo hadde en be-
folkning med betydelige innslag av både muslimer og jøder, og han hadde elever
fra begge disse gruppene.
Første del av artikkelen sto i forrige nummer av Normat.
holme.tex,v 1.8
80 Audun Holme Normat 2/2004
Fra Aleppo dro Sharaf videre til byen Mosul, nord-vest i dagens Irak ved elven
Tigris. Mosul hadde sin storhetstid på denne tiden, under zangid-dynastiet. Her
fikk Sharaf en berømt elev ved navn Kamal al-Din ibn Yunus, som igjen ble lærer
for den store Nasir al-Din al-Tusi, som vi forteller om i avsnitt 5. Sharaf var nå
blitt berømt, og studenter flokket seg til hans un dervisning fra hele Midtøsten.
En regner med at Sharaf fortsatt oppholdt seg i Mosul da en annen tidligere
beboer av byen rykket inn i området i spissen for sin hær: Det var kurderen Salah
al-Din Yusuf, som vi kjenner under navnet «Saladin». Saladin tok Damaskus i 1174,
og på denne tiden forlot S haraf Mosul og dro til Bagdad, der han ble resten av sitt
liv.
Sharaf forbedret al-Khayyamis metoder i behandlingen av ligninger av grad 3.
Også han startet med å klassifisere disse ligningene i grupper, men hans inndeling
er en annen enn al-Khayyamis. Grunnen til dette var at han ønsket å analysere
betingelser på ligningenes ko effisienter som kunne avgjøre antall løsninger. Her går
han dypere inn i teorien en n al-Khayyami. R. Rashed fremholder i [9] at Sharafs
algebra peker frem mot en algebra som studerer kurver ved hjelp av ligninger, og
slik sett representerer begynnelsen til algebraisk geometri. Sharaf har 25 grupper
av ligninger med grad høyst 3.
Den første grupp e n til Sharaf har 12 ligninger, og består av de ligningene som
reduseres til annengradsligninger, og ligningen x
3
= d. Den andre gruppen består
av åtte typer som alle har minst en positiv løsning, mens den tredje gruppen, som
består av fem typer, er de ligningene som for noen verdier av koeffisientene har, for
andre ikke har, pos itive løsninger.
Når det gjelder den andre gruppen av ligninger, gir han samme løsningsmetode
som al-Khayyami, ne mlig ved kjeglesnitt. Men Sharaf gir omhyggelig begrunnelse
for at de to kjeglesnittene faktisk skjærer hverandre.
Den tredje gruppen b eh andler han på en ny og original måte. Som da vi be-
handler al-Khayyamis arbeid, tar vi utgangspunkt i vår moderne notasjon, og kan
da beskrive de fem typene ved følgende standardformer, der alle koeffisientene er
positive tall:
x
3
+ d = bx
2
(1)
x
3
+ d = cx(2)
x
3
+ bx
2
+ d = cx(3)
x
3
+ cx + d = bx
2
(4)
x
3
+ d = bx
2
+ cx(5)
Vi skal illustrere metode n til Sharaf ved å behandle to av ligningene på denne
siste listen, og vi begynner med den første, nemlig
x
3
+ d = bx
2
.
Denne omf ormer han først til
x
2
(b x)=d.
Ligningen vil da ha en løsning dersom det finnes et tall x slik at uttrykket til venstre
oppnår verdien d, ellers ikke. Dersom x =0er dette uttrykket 0, og det samme
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 81
er tilfelle dersom x = b. Mellom disse verdiene av x vil uttrykket x
2
(b x) først
øke og senere avta til 0 igjen. Problemet er med andre ord å finne den maksimale
verdien som dette uttrykket kan ha for positive verdier av x. Dersom denne verdien
er større enn eller lik d, tar han det f or gitt at det må finnes en verdi x = x
1
mellom
0 og b slik at x
2
1
(b x
1
)=d. Da vil x = x
1
være en løsning av ligningen. Med våre
dagers krav til stringens vil vi si at denne observasjonen krever et bevis, og her er
det avgjørende at det vi kaller funksjonen y = f (x)=x
2
(x b) er kontinuerlig
mellom verdiene x =0og x = b.
Sharaf sier så at den maksimale verdien til uttrykket x
2
(b x) for positiv x blir
antatt for x = x
0
=
2
3
b. Og dette er helt riktig! Men en er absolutt i villrede om
hvorledes han har kommet frem til dette resultatet. No en mener at han rett og slett
har gjettet, ut fra et resultat i Eu klids Elementer, der det tilsvarende problemet
for x(b x) er løst: Dette uttrykket antar sin største verdi for positiv x ved x =
1
2
b. Andre mener at han har studert Arkimedes’ skrift om Kulen og Sylinderen
omhyggelig, der et lignende problem er studert. En annen mulighet er at Sharaf har
gjennomført et resonnement som langt på vei har foregrepet moderne derivasjon.
For vi har jo at den deriverte er null der maksimum oppnås. Den deriverte av
y = x
2
(x b) er y
=3x
2
2xb, som er 0 for x = x
0
=
2
3
b.
I alle tilfelle, når en setter inn x = x
0
=
2
3
b i x
2
(b x) får en at den maksimale
verdien i så fall blir y
max
=
4
27
b
3
, og Sharaf gir et fullstendig riktig geometrisk bevis
for at dette er den maksimale verdien som y = x
2
(b x) kan anta for positiv x.
Vi får to verdier av x, nemlig x
1
og x
2
, som gir løsninger dersom
d
4
27
b
3
.
Med likhet blir x
1
= x
2
= x
0
.
x
0
x
1
x
2
d
y
max
x
y
Vi ser så på ligning nr. 2 på denne listen:
x
3
+ d = cx,
som han skriver
x(c x
2
)=d.
Sharaf bemerker først at dersom x er en (positiv) rot i ligningen, må cx
2
0, slik
at x
2
c, altså x
c. Som før finner Sharaf at uttrykket y = c x
2
oppnår sitt
holme.tex,v 1.8
82 Audun Holme Normat 2/2004
maksimum for x = x
0
=
c/3. Innsatt i uttrykket for y gir dette den maksimale
verdien til y
max
=
2
3
c
c/3, så betingelsen for at det skal finnes en positiv rot er
d
2c
3
c
3
eller ekvivalent
d
2
4c
3
27
,
en betinge lse som kan skrives
0
c
3
3
d
2
2
.
Vi ser at de t også her vanligvis finnes to positive løsninger.
De to eksemplene fra Sharafs liste som vi har gått gjennom, gir begge et kriterium
for at ligninger av den foreskrevne typen har mer enn en løsning. Kriteriene er
tilsynelatende nokså forskjellige – ligningen
x
3
+ d = bx
2
har mer enn en løsning hvis og bare hvis
d
4
27
b
3
,
og ligningen
x
3
+ d = cx
har mer enn en løsning hvis og bare hvis
0
c
3
3
d
2
2
.
Begge disse kriteriene er spesialtilfeller av et generelt kriterium, som fikk sin en-
delige form mye senere. Vi skal nå kaste et blikk mange hundre år fremover fra
Sharafs tid, og forklare dette kriteriet.
Vi begynner med den generelle annengradsligningen. Vi krever ikke lenger at
koeffisientene er positive, og vi vil nå behandle både positive og negative løsninger,
faktisk også komplekse eller som vi også sier imaginære løsninger.
ax
2
+ bx + c =0 der a =0.
Den gene relle løsningen til denne ligningen er
x =
b ±
b
2
4ac
2a
.
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 83
Vi får altså to uttrykk
x
1
=
b +
b
2
4ac
2a
og x
1
=
b
b
2
4ac
2a
,
og dersom uttrykket under rottegnet er negativt, har ligningen ingen (reelle) løs-
ninger. Men i dag regner vi med komplekse tall, og regner med kvadratroten av et
negativt tall. Det tok lang tid før matematikere og matematikkbrukere ble fortrolig
med dette. Her skal vi se ett av skrittene på veien til en full aksept av komplekse
tall: Vi skal regne ut en sammenheng mellom reelle tall, og i utregningen later vi
som om kvadratroten av et negativt tall har mening. Dette gjør vi under hele ut-
regningen, og så til slutt faller alle negative kvadratrøtter bort, og vi sitter igjen
med et faktum om vanlige reelle tall!
Så nå skal vi late som om x
1
og x
2
er tall, selv om det kan hende står et negativt
tall under rottegnet. Vi regner ut
x
1
x
2
=
b
2
4ac
a
og får at
(x
1
x
2
)
2
=
b
2
4ac
a
2
.
Dette tallet betegner vi med D
2
, og kaller det for ligningens diskriminant. Vi har nå
dette resultatet: En annengradsligning har (reelle) røtter hvis og bare hvis D
2
0.
Det er praktisk å dividere med koeffisienten for x
2
, slik at ligningen blir
x
2
+ bx + c =0,
da er diskriminanten
D
2
= b
2
4c.
Vi b etrakter så den generelle tredjegradsligningen, der vi har dividert med koeffi-
sienten for x
3
:
x
3
+ bx
2
+ cx + d =0.
Også denne ligningen lar seg løse ved rottegn, ved den såkalte Cardanos formel. Men
her skal vi ikke bruke dette. Vi definerer diskriminanten for tredjegradsligningen
ved hjelp av røttene til ligningen, uten å bruke denne formelen: Vi setter
D
3
=(x
1
x
2
)
2
(x
1
x
3
)
2
(x
2
x
3
)
2
,
og helt analogt de fine res diskriminanten D
n
til en ligning av grad n.
Vi ser at dersom en tredjegradsligning har 3 f orskjellige (reelle) røtter, da er
D
3
> 0, og dersom to er sammenfallende, da er D
3
=0. Men også det omvendte
gjelder, som vi kan se i [6] der vi også forteller om Cardanos formel.
En kan bevise at generelt lar D
n
seg uttrykke ved koeffisientene til n-tegrads-
ligningen, på samme måte som for n =2. Spesielt har vi dette resultatet:
D
3
= 27d
2
+ 18bcd + b
2
c
2
4b
3
d 4c
3
.
holme.tex,v 1.8
84 Audun Holme Normat 2/2004
Sharaf fant kriterier for når det er mer enn en positiv løsning av de ligningene
han behandlet i den tredje gruppen. Vi ser på den første ligningen, som vi skriver
slik:
x
3
bx
2
+ d =0.
Vi setter koeffisientene b, 0, d inn i formelen for D
3
ovenfor. Det gir
D
3
= 27d
2
+4b
3
d,
så D
3
0 hvis og bare hvis
d
4
27
b
3
,
altså nettopp det resultatet som Sharaf fant.
Den andre ligningen er
x
3
cx + d =0
og vi får i dette tilfellet
D
3
= 27d
2
+4c
3
,
som er 0 hvis og bare hvis
0
c
3
3
d
2
2
,
altså igjen Sharafs resultat.
Sharaf beregnet dessuten numeriske løsninger av ligningene i de klassene han
studerte. Et eksempel som er gjengitt i [8] er
x
3
+ 14837904 = 465x
2
,
der han finner de to løsningene x
1
= 321, x
2
= 298,73.
På andre ligninger bruker han den såkalte Ruffini–Horners meto de , som er for-
klart i [4].
2 Al-Biruni
Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni ble født i 973 i Kath i Khwarizm
og døde i 1048. I dag har fødebyen navnet Birjand etter sin store sønn. Allerede
som 17-åring var han i gang med vitenskapelig arbeid, i 990 fant han bredd egraden
for Kath ved å observere solens maksimale høyde over horisonten. Før 995 hadde
han skrevet flere korte arbeide r. I ett av disse behandler han kartprojeksjoner. Til
tross for sin unge alder hadde han levert betydelige vitenskapelige arbeider, og
var meget kunnskapsrik. Men så endret al-Birunis liv seg drastisk på grunn av de
politiske begivenhetene. Abu Nasr Mansur var al-Birunis lærer, han var prins i
den regjerende kongefamilien. Men i 995 ble herskeren styrtet, og al-Biruni måtte
flykte.
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 85
Abu Arrayhan Muhammad
ibn Ahmad al-Biruni
Nøyaktig hvor han dro hen er usikkert,
men en vet at han foretok astronomiske
observasjoner i Rayy, nær nåværende Te-
heran, men at han levde i fattigdom.
En viktig kilde til informasjon om hvor
al-Biruni oppholdt seg til ulike tider, er
de observasjonene av astronomiske begi-
venheter som han har nedtegnet.
For eksempel beskriver han en måne-
formørkelse 24 mai 997 i Kath, som viser
at han da hadde vendt tilbake dit. Denne
formørkelsen var også synlig i Bagdad, og
al-Biruni hadde avtalt med Abu’l-Wafa at
han skulle observere den der. Ved å sam-
menligne tidspunktene kunne de så be-
regne differansen i lengdegrad for de to
byene.
Vi vet at 4. juni 1004 var al-Biruni
tilbake i hjemlandet. Da observerte han
nemlig igjen en formørkelse.
Herskerne, de to brødrene Ali ibn
Ma’mun og Abu’l Abbas Ma’mun var be-
skyttere av vitenskapen og holdt seg med flere fremragende vitenskapsfolk ved
hoffet. Al-Biruni ble en av dem, og dessuten hans tidligere lærer Abu Nasr Man-
sur.
Men krig og uro skulle på ny avbryte det vitenskapelige arbeidet. Både al-Biruni
og Abu Nasr Mansur måtte forlate Khwarizm omkring 1017. Saken er at erobreren
Mahmud av Ghazni hadde krevd av Abu’l Abbas Ma’mun at hans navn skulle tas
med i fredagsbønnen. Dette hadde han forlangt i 1014, det var et åpenbart signal
om at han ville ta kontroll med denne regionen. Ma’mun var ikke sterk nok til
å motsette seg dette, og gikk me d på krave t. Men hans egen hær anså dette for
forræderi, og drepte sin leder. Dermed rykket Mahmud med sin hær inn i landet,
og tok byen Kath 3 juli 1017.
Både al-Biruni og Abu Nasr Mansur fulgte nå med den seierrike Mahmud, reelt
sett som fanger.
I tiden som fulgte fremgår det av al-Birunis skrifter at han hadde det svært
vanskelig, men han fikk også anledning til å utføre vitenskapelig arbeid. Igjen er det
observasjonene som gir en pekepinn om al-Burunis oppholdssteder. Han observerte
en solformørkelse i Kabul 14 oktober 1018, med instrumenter som han hadde måttet
lage selv av ting han hadde for hånden.
Mellom 1018 og 1020 gjorde al-Biruni observasjoner fra Ghazni som muliggjorde
bestemmelse av byens breddegrad.
Al-Biruni var fange hos Mahmud, men Mahmuds militære ekspedisjoner gjorde
det mulig for ham å foreta observasjoner over store områder. Han kom til India, og
Mahmud trengte helt frem til det Indiske Hav. Al-Biruni skrev et berømt arbeid
med tittel India som ble til som et resultat av disse reisene.
holme.tex,v 1.8
86 Audun Holme Normat 2/2004
I dette verket beskriver han religion, filosofi, kastesystem og andre sider ved sam-
funnet. Geografi, skriftsystem og tallsystem behandles også, dessu ten astronomi,
astrologi og kalender.
Al-Biruni lærte seg sanskrit og oversatte tekster på sanskrit til arabisk. Mahmud
døde i 1030 og ble etterfulgt av sønnen Mas’ud, etter en vanskelig arvestrid med en
bror. Mas’ud behandlet al-Biruni bedre enn faren hadde gjort, han var nå fri til å
reise hvor han ville.
Mas’ud ble imidlertid drept i 1040, og sønnen Mawdud hersket i åtte år. Al-
Biruni var nå en gammel mann, men var vitenskapelig aktiv helt til sin død.
Al-Birunis astronomiske observasjoner representerer en stor forbedring fra Ptole-
maios. Ptolemaios valgte ut de observasjonene han mente var mest pålitelige, og
kastet de andre. En særdeles tvilsom vitenskapelig metode. Ofte innebar dette at
de observasjonene som ikke passet med hans egen teori ble kastet! Dette betrakter
vi i dag som regelrett forskningsfusk. Al-Biruni derimot tok vare på alle observa-
sjonene, og dersom noen av dem ikke ble brukt, tok han dem likevel med i den
skriftlige fremstillingen.
På den matematiske siden finner vi også noe nytt og viktig: nemlig et bevisst
forhold til avrundingsfeil. Han valgte å ta utgangspunkt i slike observerbare stør-
relser at antall påkrevde regneoperasjoner ble minst mulig. Dette er selvsagt et
sentralt poeng når en ønsker å minimalisere feilgrensene.
Ett av de viktigste verkene til al-Biruni har tittelen Skygger. Det skal stamme
fra rundt 1021. Fenomener knyttet til skygge spiller en stor rolle i matematikkens
historie: Vi kan for eksempel tenke på soluret og gnomon-begrepet, som vi har
forklart i [4]. Al-Biruni behandler det vi kaller tangens- og sekantfunksjonene, ob-
servasjon av skygger for å løse ulike astronomiske oppgaver, og de skyggebestemte
tidene f or muslimenes bønner.
Han arbeidet med ideer som enkelte har s ett som forløper for metoden med
polarkoordinater, og s krev om teoretisk og praktisk aritmetikk, irrasjonale tall,
algebraiske ligninger, konstruksjonsoppgaver med passer og linjal, kjeglesnitt og
sfæriske triangler.
3 Abu’l-Wafa
Mohammad Abu’l-Wafa Al-Buzjani ble født i Buzjan, i dagens Iran og døde 998 i
Bagdad. Han arbeidet ved kalifens hoff i Bagdad fra 959, i et aktivt faglig miljø.
Abu’l-Wafa oversatte og skrev kommentarer til Euklid, Diofantos og Ptolemaios.
Mellom 961 og 976 skrev han boken Kitab fi ma yahtaj ilayh al-kuttab wa’l-ummal
min ’ilm al-hisab, «Boken om det skrivere og forretningsmenn trenger å vite fra
aritmetikken».
Selv om Abu’l-Wafa var ekspert på regning med de indiske tallsymbolene, måtte
han skrive denne teksten basert på fingerregning. Hans målgruppe foretrakk det
fremfor å gi seg i kast med den indiske metoden. Men han bruker negative tall,
disse be tegner han som «gjeld».
En annen bok han skrev handlet om geometriske konstruksjoner som hånd-
verkere trenger. Her finner en beskrivelse på konstruksjon av tegne-instrumenter,
konstruksjon av rette vinkler, tilnærmet vinkeltredeling, konstruksjon av parabler,
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 87
regulære polygoner innskrevet og omskrevet en sirkel, innskriving av polygoner i
en ann en gitt polygon og oppdeling av plane og sfæriske figurer.
Et meget interessant poeng ved Abu’l-Wafas konstruksjoner, er at han prøver å
utføre så mange som mulig ved passer og linjal, og når det ikke er mulig bruker han
tilnærmede konstruksjoner. Dessuten, og her er det interessante poenget, så er det
en klasse av problemer som han løser ved det vi idag kaller en rusten passer og linjal:
Det er e n passer som har en f ast åpning, som ikke forandres under konstruksjonen.
For mer om problemstillinger av denn e typen viser vi til [5]. En god praktisk grunn
for å benytte denne type konstruksjon, er at den blir mer nøyaktig enn når passeren
er hengslet og dessuten hele tiden skal stilles om.
Men Abu’l-Wafa er best kjent for sitt arbeid med det vi kaller de trigonometriske
funksjonene. Han bruker det vi kaller funksjonen y = tan(x) for første gang, han
regnet ut tabeller over sinus og tangens av vinklene med intervaller på 15
, dette
arbeidet var en del av hans arbeid me d månens bane på himmelkulen. Han innførte
også begreper som er ekvivalente med de moderne funksjonene secant y = sec(x)=
1/cos(x) og cosecant y = csc(x)=1/sin(x). Men på denne tiden arbeidet en
selvsagt ikke med funksjoner slik vi gjør. I stedet var det visse grunnleggende
linjestykker som ble tilordnet til en vinkel. For detaljer om dette viser vi til [6].
Et annet arbeid av Abu’l-Wafa er Kitab al-Kamil, «Den Komplette Boken», som
er en forenklet versjon av Ptolemaios’ Almagest. Denne boken ble mye brukt av
senere as tronomer.
4 Jabir ibn Aflah
Al-Ishbili Abu Muhammad Jabir ibn Aflah ble født rundt 1100, i Sevilla og døde i
1160. Han omtales ofte under det latiniserte navnet Geber. Hans arbeid ble tidlig
oversatt til latin.
Jabir ibn Aflah arbeidet med astronomi og sfærisk trigonometri. Hans mest kjen-
te verk har tittelen Islah al-Majisti eller «Rettelser til Almagest». Dette arbeidet
har likhetstrekk med arbeid av Abu’l-Wafa som vi har be skrevet ovenfor, men beg-
ge kan være basert på Thabit ibn Qurra, eller kan hen de andre tidligere kilder.
Men i middelalderens Europa ble disse resultatene tilskrevet «Geber», i den grad
de da ikke ble inkludert i den europeiske forfatterens skrifter uten henvisning, slik
Regiomontanus gjorde uten skrupler. Ett av de resultatene han fant hos Jabir ibn
Aflah, alias Geber, er den relasjonen vi kaller for sinusproporsjonen. Ifølge [13] ko-
pierte Regiomontanus store deler av Jabr ibn Aflahs arbeid inn i fjerde bok av sin
Om Trekanter, og dette ble senere sterkt kritisert av Cardano. Men på denne tiden
var det ikke vanlig å gi referanser til sine forgjengere. Faktisk var det Cardano selv
som innf ørte dette i full skala i sin Ars Magna. For mer om dette viser vi til [6].
5 Nasir al-Din al-Tusi
Nasir al-Din al-Tusi ble født i provinsen Tus i 1201 og døde i 1274 nær Bagdad.
Han levde i en urolig tid, da mongolene overstrømmet d en muslimske verden med
holme.tex,v 1.8
88 Audun Holme Normat 2/2004
stor grusomh et. Nasir al-Din al-Tusi fikk sitt liv og virke sterkt preget av denne
ulvetiden.
Nasir al-Din al-Tusi.
I 1214 begynte mongolene under
Dsjengis-Khan, og senere sønnesønnen
Hulagu Khan, å invadere dette området,
og i 1220 nådde de Tus og forårsaket store
ødeleggelser. Før d et kom så langt hadde
imidlertid Nasir fullført sine studier i Nis-
hapur, som ligger vest for Tus. Her hadde
han studert matematikk under Kamal al-
Din ibn Yunus, en elev av Sharaf al-Din
al-Tusi. Nasir skaffet seg etter hvert ry
som en fremragende mann blant de lær-
de i området.
Da mongolene invaderte, sluttet Nasir
seg til de såkalte assasinerne. Det var en
gruppe shiamus limer som var blitt for-
fulgt av de herskende kalifene, og som
nå kjempet mot inntrengerne. Han ble en
aktet medarbeider for lederen deres. As-
sasinerne holdt til i utilgjenge lige fjellbor-
ger, og på reisene mellom disse bef ested e
støttepunktene gjorde Nasir sitt beste vi-
tenskapelige arbeid i logikk, filosofi, ma-
tematikk og astronomi.
I 1256 befant Nasir seg i den viktigste av assasinernes fjellborger Alamut, da
den ble angrepet av mongolene under Hulagu. Nå sier noen at Nasir forrådte as-
sasinernes sak, og hjalp mongolene til å ta borgen, slik fremstilles det i [13]. Men
denne påstanden imøtegås av andre. Mongolene erobret og ødela i hvert fall denne
borgen, og Nasir kom i deres makt. Hulagu behandlet Nasir med respekt, enten det
nå var fordi han var interessert i vitenskap eller det var fordi han anså Nasir som en
kunnskapsrik astrolog. Det berettes at Nasir på sin side sluttet seg til mongolene,
og at han til og med ble vitenskapelig rådgiver for mongolenes hersker, og dessuten
fikk ansvaret for religiøse spørsmål. I denne egenskapen skal han så ha deltatt på
mongolenes side da de angrep og erobret Bagdad i 1258. Da ble en stor del av
befolkningen drept, blant dem den siste kalifen av abassidedynastiet. Biblioteket
ble ø d elagt, og byen praktisk talt j evnet med jorden. Slik det blir fremstilt i [13]
skal altså Nasir ha vært med de mongolske styrkene da dette skjedde.
Men det må absolutt sies at denn e fremstillingen av Nasirs rolle tilbakevises på
det sterkeste av andre, se for eksempel [7]. Ifølge disse er kilden til be retningen om
den rollen som Nasir skal ha spilt en historiker ved navn Ahmad ibn Muhammad
ibn Taymiyyah, (død 1327). Til tross for at Nasir er hyppig omtalt i litteraturen
før ibn Taymiyyah, er hans påståtte rolle i ødeleggelsen av Bagdad og drapet på
kalifen der ikke nevnt. Ifølge ibn Taymiyyah var det slik at Nasir ikke overholdt
Shariaens forskrifter, bedrev hor og utukt, brukte rusmidler, fornektet oppstan-
delsen og dyrket avguder. Andre hevder derimot at dette var en bakvaskelse med
utgangspunkt i et motsetningsforhold mellom de to retningene Sunni og Shia innen
Islam på denne tiden.
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 89
Hvorom allting er, så er d et ingen tvil om at Nasir var i Hulagus makt etter at
Alamut var tatt. Det fortelles i [7] at Hulagu ba en arabisk astrolog ved navn Husim
al-Din om å fortelle hvorledes det ville gå dersom han marsjerte mot Bagdad for å
overvinne kalifen der. Husim forsøkte å forhindre Bagdads fall ved å si at stjernene
avslørte at et angrep på Bagdad ville føre til seks ulykker: Alle mongolenes hester
kom til å dø og alle soldatene ville bli syke. For det andre kom solen ikke til å
stå opp. Den tredje ulykken ville være tørke og sandstormer. For det fjerde ville
det komme voldsomme jordskjelv, og den femte ulykken ville bli at gress og andre
planter ikke ville vokse. Som om ikke det var nok ville Hulagu selv dø det samme
året, det ble den sjette ulykken. Men Hulagu var mistenksom, dette ble i meste
laget. Han lot derfor sende bud på Nasir.
Nasir var u rolig, han følte at han ble satt på en prøve og at dette kunne gå helt
galt. Da han ble spurt om hva han mente om spådommen, svarte han derfor at han
tvilte på om disse ulykkene ville slå til. Han minnet også om at mange betydelige og
fromme menn hadde lidd martyrdøden i tidens løp uten at slike ting hadde skjedd.
Enden på det ble at stakkars Husim ble henrettet.
Nasir klarte å påvirke Hulagu Khan ved flere anledninger. En gang kom en
av hans venner fortvilet til ham og fortalte at to lærde brødre fra Bagdad skulle
henrettes av Hulagu Khans menn. Nasir skyndte seg straks til Hulagu, og kastet
seg ned for herskeren. Han kan ha sagt noe slikt som dette: «Herre! To av Bagdads
lærde, som jeg skylder mitt liv, skal henrettes. Jeg kommer for å bønnfalle deg om
å henrette meg i stedet!» Hulagu lo hjertelig, og svarte: «Dersom jeg hadde villet
drepe deg, hadde jeg ikke latt deg leve helt til nå!» Så ga han godmodig ordre om
at de to dømte måtte bli spart og sendt til ham.
En annen gang da Hulagu ville henrette en av Bagdads lærde, la Nasir en mer
raffinert plan. Han tok med seg sitt astrolabium, s tav og rosenkrans, og fikk med
seg noen som bar på utstyr til å brenne røkelse. Dette rigget han opp nær Hulagus
telt, og satte i gang med å brenne røkelse og be. Hulagu oppholdt seg i teltet sitt,
han hadde gitt beskjed om at han ikke ville forstyrres. Men folkene ble urolig over
Nasirs aktivitet, og ga beskjed til herskeren. Han ga ordre om at de skulle sende inn
Nasir. Nasir forklarte at det var uhyggelige tegn i stjernene, en stor fare truet. Han
ba til Gud om at han måtte skjerme Hulagu fra det onde. Men herskeren kunne
også bidra ved å gjøre en eller annen storsinnet gest, for eksempel gi amnesti til
noen av fangene eller spare dødsdømte. Hulagu var mer enn villig til å lytte til
Nasirs råd om hvem det passet best å spare.
Hulagu fikk etter hvert stadig større tillit til Nasir, som gradvis ble en meget
betro d d embetsmann for denne herskeren. Han beholdt denne stillingen hele livet.
Uten tvil representerte Nasir krefter som virket siviliserende på det mongolske
regimet. Hulagu tok godt imot planer fra Nasir om å bygge et astronomisk obser-
vatorium. Han hadde lagt s in hovedstad til Maragheh i nåværende Azerbaijan. Her
ble obse rvatoriet bygd, ruinene av det finnes fortsatt i dag.
Observatoriet ble bygd av perserne, med hjelp av kinesiske astronomer. Mange
av de fi ne instrumentene det var utstyrt med var konstruert av Nasir personlig, og
observatoriet fikk et utsøkt bibliotek med det ypperste av vitenskapelig litteratur
som kunne oppdrives, i mange tilfeller samlet inn, reddet eller kan hende «reddet»,
fra biblioteket i Bagdad og andre steder som var blitt ødelagt. Slik ble observatoriet
like mye et akademi, i den gamle klassiske tradisjonen.
holme.tex,v 1.8
90 Audun Holme Normat 2/2004
Nasir utarbeidet astronomiske tabeller, basert på tolv års observasjoner. Disse
Ilkaniske Tabellene ble først skrevet på persisk, og senere oversatt til arabisk. Her
finner en tabeller for beregning av planetenes posisjoner, og dessuten tabeller over
stjerner.
Nasir arbeidet med den Ptolemaiske modellen for planetenes bevegelser. Denne
modellen forårsaket stadig mer hodebry for astronomene, som ikke fikk sine sta-
dig mer nøyaktige observasjoner til å stemme med Ptolemaios. Etter hvert måtte
en foreta modifikasjoner som var vanskelig å rettferdiggjøre. Nasir al-Tusi ga det
mest vesentlige bidrag til denne modellen før Kopernikus skar gjennom med det
heliosentriske verdensbildet.
Et hj elpemidd el i dette astronomiske arbeidet var å beskrive en rettlinjet beve-
gelse som en sum av to sirkelbevegelser, et såkalt Tusi-par. De samme ideene finner
en hos Kopernikus, og mange mener at Kopernikus hadde dette direkte fra Nasir
al-Tusi. Herom strides imidlertid de lærde, som ofte ellers i matematikkens historie.
Men Nasir al-Tusis innsats gikk videre, en kan si at han grunnla fagfeltene plan og
sfærisk trigonometri. Han ga et bevis for den såkalte sinusproporsjonen
a
sin(A)
=
b
sin(B)
=
c
sin(C)
for sidene a, b og c i en trekant og de motstående vinklene A, B og C, og han
utarbeidet tabeller over sinus til en vinkel.
Hans arbeider i logikk er også betydelige: Han innførte symboler for implikasjon,
«hvis – så», og f or «enten – eller».
Nasir al-Tusi skrev tallrike kommentarer til de gamle greske matematikernes
arbeider.
Han skrev et arbeid om utregning av n-te røtter, og til dette arbeidet benyttet
han det vi kaller Pascals trekant, og binomialformelen. Dette arbeidet er fra 1265.
Nasir al-Tusi har etterlatt seg mange skrifter om andre tema enn matematikk
og astronomi, vi har nevnt filosofi og etikk. I tillegg skrev han om mineraler, der
han foreslår en fargelære hvor fargene oppfattes som blandinger av hvitt og svart.
Han skrev medisinske verker, og han funderte over rommets natur.
Gjennom sine tallrike elever og studenter fikk han en fundamental betydning
for vitenskapen i den arabiske verden, en innflytelse som også fikk sin fortsettelse
i Europa, da arabernes vitenskap ble ført videre i renessansen.
6 Abraham bar Hiyya Ha-Nasi
Abraham bar Hiyya Ha-Nasi, som også er kjent u nd er navnet Savasoda på latin,
var en spansk jødisk matematiker. Han virket i Barcelona, Spania, der han ble født
i 1070, og i Provence, Frankrike der han døde i 1136.
Barcelona er en av de eldste byene i Spania, den ble grunnlagt av kolonister fra
Karthago og ble da kalt Barcino. Etter romertiden kom byen under Vestgoterne,
så ble den erobret av araberne på 600-tallet. Byen fikk nå navnet Barshaluna. Så
fulgte flere hundre år med strid mellom arabiske kalifer og franske grever. I 985 ble
byen erobret av araberne og delvis ødelagt, men så tatt tilbake av Grev Borello 1
i det ellevte århundret. Dette bringer oss til Abrahams tid.
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 91
Navnet Savasoda antas å være en latinsk forvanskning av et arabisk ord som
betyr Kaptein i livvakten. Han har derfor sannsynligvis hatt en stilling hos den
kristne greven i Barcelona, muligens i egenskap av astrolog, et tema som opptok
ham sterkt.
Abraham var en fremragende eksponent for den blandingskulturen som hadde
utviklet seg i Syd-Spania og på Sicilia. Selv var han jøde, og skrev sine verker på
hebraisk. Men han oversatte de klassiske arabiske matematiske verkene til latin, og
han mislikte og beklaget den europeiske mange l på interesse for arabisk språk og
vitenskap.
Den m est berømte av hans bøker er Hibbur ha-Meshiah ve-ha-Tishboret, eller
Om Måling og Beregning. Den latinske oversettelsen har tittel Liber embroadum.
Abraham var vel kjent med gresk og arabisk geometri og matematikk, og han
hadde inngående kunnskaper om arbeidene til de store arabiske matematikerne som
al-Khwarizmi og al-Karaji. Han har skrevet om astronomi og skrevet et større verk
om kalenderen.
Abraham hadde inngående kunnskaper om Euklids Elementer, men var mest
interessert i de praktiske anvendelsene. Likeve l opprettholdt han den greske og
arabiske tradisjonen med å gi stringente bevis.
Han brukte den arabiske geometriske algebraen og ga de arabiske metodene til
å løse ligninger av grad 2 og han var den første til å introdusere Europa til disse
metodene. E t eksempel gjengitt etter [8] er slik:
Fra arealet til et kvadrat trekker en summen av sidene og det er igjen 21, hva
er arealet av kvad ratet og hva er lengden til de like store sidene?
Vi vil angripe dette ved å la x være lengden av sidene, da får vi ligningen
x
2
4x = 21.
Denne ligningen løser han ved å halvere 4, som gir 2, kvadrere som gir 4, og addere
til begge sider av likheten, som gir
(x 2)
2
= 25,
tar så kvadratrot som gir
x 2=5.
Altså er x =7siden og x
2
= 49 arealet. Siden han trekker en lengde fra et areal er
dette ikke noen geometrisk problemstilling, men algebraisk.
7 Kamal al-Din al-Farisi
Kamal al-Din Abu’l Hasan Muhammad Kamal al -Din ble født i 1260 og døde i
1320 i Tabriz, i nåværende Iran. I litteraturen kalles han avvekslende «al-Farisi»
og «Kamal al-Din», vi velger å bruke hans fulle navn.
Han var elev av astronomen Qutb al-Din al-Shirazi, som igjen var en elev av
Nasir al-Din al-Tusi. Som matematiker gjorde han en betydelig innsats innen tall-
teori, men det er blitt gjenoppdaget forholdsvis nylig i våre dager, som det berettes
holme.tex,v 1.8
92 Audun Holme Normat 2/2004
i [13]. Dessuten videreutviklet han Ibn al-Haythams optiske arbeider, blant annet
om regnbuen og om fargelæren. Her benytter han, som ellers blant arabiske na-
turvitenskapsfolk, fullverdige «moderne» metoder. I det kristne Europa ville en på
denne tiden søke forklaringene i Aristoteles’ verker, ikke i egne undersøkelser.
Kamal al-Din al-Farisi kom med viktige bidrag til tallteorien. Han bemerket at
ligningen
x
4
+ y
4
= z
4
ikke har løsning i naturlige tall. Dette e r et spesialtilfelle av den såkalte Fermats
store sats, eller Fermats formodning, som nå er bevist av Andrew Wiles.
Størst innsats i tallteorien gjorde Kamal al-Din al-Farisi i teorien om vennskaps-
tall. Med betegnelsene innført i avsnittet om Th abit ibn Qurra i første del av denne
artikkelen, lar vi
0
(n) betegne summen av de ekte divisorene i tallet n. Vi minner
om at tallene m og n kalles vennskapstall dersom
0
(m)=n og
0
(n)=m.
I boken Tadhkira al-ahbab fi bayan al-tahabb eller «Notat for venner om beviset
for vennskapelighet», gir Kamal al-Din al-Farisi et nytt bevis for Thabit ibn Qurras
resultat om vennskapstall som vi har omtalt i første del av denne artikkelen.
Men det var ikke bare en enkel variasjon over Thabit ibn Qurras bevis som Kamal
al-Din al-Farisi ga: Han utvikler en revolusjonerende ny metodikk i tallteorien, og
innfører begreper som entydig faktorisering og kombinatoriske metode r. For dette
viser vi til [9], side 287 og følgende.
Kamal al-Din al-Farisi formulerer og beviser, mer eller mindre fullstendig etter
dagens s tandard, det resultatet som kalles tallteoriens fundamentalteorem:
Ethvert naturlig tall kan skrives som et entydig produkt av, muligens gjen-
tatte, primtall.
Matematikkhistorikeren Thomas L. Heath mener å finne dette teoremet som set-
ning 14 i Bok IX av Euklids Elementer, men andre matematikkhistorikere og blant
dem R. Rashed stiller et stort spørsmålstegn ved denne tolkningen av Euklid IX-14.
Kamal al-Din al-Farisi studerte også polygontall, og det vi ville kalle kombina-
toriske identiteter mellom binomialkoeffisienter og disse tallene.
8 Ibn al-Banna
Al-Marrakushi ibn Al-Banna ble født i 1256 i Marrakech i Marokko, og dø de samme
sted i 1321. Noen oppgir at al-Banna ble født i Cordoba, og dro til Marokko for å
studere, i alle tilfelle ble han værende der mesteparten av sitt liv.
Al-Banna studerte geometri, og selvsagt Euklids Elementer. Han studerte dess-
uten aritmetikk og algebra, og i det hele tatt det omfattende matematiske byggver-
ket som arabiske matematikere hadde utviklet over et halvt årtusen. Da al-Banna
var 13 år gammel, hadde Marinidene erobret hele Marokko, deres hovedstad var
byen Fez. Marinidene dyrket lærdom og kultur, og Fez ble et viktig kultursentrum
i den arabiske verden. Her underviste al-Banna i alle grener av matematikk og
astronomi.
Al-Banna skrev mange verker, ikke bare i matematikk. En del av de matematis-
ke verkene er sannsynligvis gjengivelser av innholdet i bøker av tidligere arabiske
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 93
matematikere, noen mener at stilen i disse bøkene tyder på at det er bearbeidelse
av ideer fra andre. Da kan det vel tenkes at disse bøkene inneholder forelesnings-
notater.
Al-Banna skal være den første som be hand ler brøk s om forholdet mellom to
naturlige tall, og han er den første som benytter ordet almanakk. Al-manakh er
arabisk for været.
En viktig bok av al-Banna Talkhis amal al-hisab, eller «Sammendrag av arit-
metiske operasjoner», og dessuten en bok med tittelen Raf al-Hijab an wujuh amal
al-hisab, som er hans egne kommentarer til den første boken. Her finner vi kjedebrøk
brukt til å regne ut tilnærmede kvadratrøtter. Her finner vi også formlene
1
3
+3
3
+5
3
+ ···+ (2n 1)
3
= n
2
(2n
2
1),
1
2
+3
2
+5
2
+ ···+ (2n 1)
2
=
(2n + 1)2n(2n 1)
6
.
Vi finner dessuten en viktig behandling av binomialkoeffisienter.
p
k
er antall måter
vi kan kombinere sammen k elementer fra en mengde med p elementer på. Med
moderne bete gnelser viser han at
p
2
=
p(p 1)
2
og
p
3
=
p 2
3
p
2
.
Han skriver: «Den tredje kombinasjonen får en av den andre, multiplisert med
tredjedelen av det tredje leddet som kommer før det gitte tallet. . . » Men han går
videre enn dette, og formulerer en sammenheng som med moderne symboler er
denne:
p
k
=
p (k 1)
k
p
k 1
,
for han fortsetter: «. . . og slik multipliserer vi alltid den kombinasjonen som kom-
mer før den vi vil finne m ed tallet som kommer før det gitte tallet og har avstand
til det lik navnet på kombinasjonene vi søker. Av dette produktet tar vi den parten
som har samme navn som kombinasjonene vi søker.»
9 Al-Kashi og Ulugh Beg
Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-Kashi ble født i 1380 i Kashan i nåværende
Iran, og døde i 1429 i Samarkand i nåværende Usbekistan.
Al-Kashi er blitt kalt den annen Ptolemaios av en samtidig forfatter. Han var
den ledende astronomen og matematikeren i Samarkand på sin egen tid. Al-Kashi
skrev flere brev på persisk til sin far, som fortsatt bodde i Kashan. Disse brevene
er bevart, og er nylig blitt publisert. De skal gi et levende bilde av forholdene i
Samarkand på denne tiden.
Al-Kashi vokste opp i tiden da den mongolske erobreren Timur den Halte la un-
der seg store områder. Han døde i 1405, og egentlig var da mongolenes erobringstid
over. Riket ble delt mellom hans to sønner, en av dem var Shah Rokh.
holme.tex,v 1.8
94 Audun Holme Normat 2/2004
Etter at Shah Rokh ble hersker bedret forholdene seg. Under Timurs herredøm-
me hadde folket hatt det vanskelig, og al-Kashi var ikke noe unntak. Han hadde
arbeidet som omreisende astronom og matematiker, men levd i fattigdom. Med
Shah Rokh ble forholdene bedre, økonomi og åndsliv tok så smått til å blomstre
ig j en .
Al-Kashi ble en tid i Kashan. I 1407 var han ferdig med e t astronomiske verk
som har den forkortede tittelen Sullam al-sama. Dette handler om å finne størrelsen
og avstand for himmellegemer. Al-Kashi skrev et annet større verk i tiden 1410–11
som han dediserte til en av de mektige prinsene i timuridenes dynasti, etter alt å
dømme var dette hans sponsor og beskytter på denne tiden.
Samarkand var hovedstaden i timuridenes rike, og Shah Rokh utnevnte sin sønn
Ulugh Beg til hersker over byen, selv hadde han bestemt seg for å gjøre Herat
i Khorasan til den nye hovedstaden. Ulugh Beg var bare 16 år gamme l da han
fikk ansvaret for Samarkand. Han var mer interessert i lærdom enn i krigstog og
politikk, og ble selv en betydelig vitenskapsmann. Han tok altså straks til med å
utvikle Samarkand til et senter for vitenskap og kultur.
Da al-Kashi skrev sin bok Khaqani Zij, med mange ulike astronomiske tabeller
basert på arbeid av Nasir al-Tusi, dediserte han den til Ulugh Beg, som nå var
hans sp onsor og støtte. I 1420 opprettet Ulugh Beg et universitet i Samarkand, for
teologi og naturvitenskap. Han inviterte al-Kashi og rundt seksti andre fremragende
lærde til å arbeide her. Al-Kashi ble raskt den ledende blant dem.
I brevene til sin far lovpriser al-Kashi Ulugh Beg som en stor vitenskapsmann ,
men ellers er det smått stell med kollegene. Bare en av dem har al-Kashi respekt
for, nemlig Salah al-Din Musa P asha som gikk under navnet Qadi Zada eller Dom-
merens sønn. Han forteller at herskeren Ulugh Beg ledet seminarer over vanskelige
emner. Al-Kashi gjorde sitt beste arbeid i denne tiden i Samarkand. Her skrev han
sin Avhandling om omkretsen, der han beregner 2 med ni riktige sifre i sekstitall-
systemet, nemlig ifølge [9], side 128:
2 = (6),(16)(59)(28)(1)(34)(51)(46)(14)(50).
Det er imponerende, for det svarer til hele 16 riktige sifre i titallsystemet, nemlig
2 =6,2831853071795865.
Dette gjorde han i 1424, og det skulle gå nesten 200 år før denne rekorden ble slått
av europeere.
I 1427 fullførte al-Kashi et verk med tittelen Nøkkelen til aritmetikken. Dette er
en lærebok til bruk i undervisningen i astronomi, landmåling, arkitektur, regnskap
og handel.
Han studerte også ligningen en støter på når en ønsker å dele en vinkel i tre like
store deler. Det gir en tredjegradsligning. For detaljer om dette viser vi til [5] og
[6].
Rashed drøfter i [9] al-Kashis innsats når det g je lder desimalbrøk, og oppsum-
merer slik på s ide 129:
1. Han viser analogien mellom brøk i sekstitallsystemet og brøk i titallsystemet,
og
2. Han bruker desimalbrøk ikke bare til å tilnærme algebraiske tall, men reelle
tall så som .
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 95
Rashed peker på at al-Kashi er de n udiskutable f ortsetter av al-Karajis skole,
og at når han bruker den såkalte Horner–Ruffinis metode for å beregne røtter i
algebraiske ligninger, så er også dette en fortsettelse av metoder som var levende
i bruk i al-Karajis og hans umiddelbare etterfølgeres miljø, se seksjone n om al-
Samawal i første del av denne artikkelen.
Al-Kashi siste arbeid har en tittel som oversettes med Avhandling om korden og
sinus. Den ble han antakelig ikke ferdig med før han døde, slik at den ble fullført
av Qadi Zada. Men ordet «sinus» ble ikke brukt, selvsagt. Al-Kashi beregner sinus
av 1
med stor nøyaktighet.
Ulugh Begs matematiske og astronomiske arbeider ligger i samme fagfelt som al-
Kashis. Han var en fremragende vitenskapsmann, og han skrev også dikt og studerte
Koranen. Gjennom arbeidet ved observatoriet ble det klarlagt at beregningene fra
Ptolemaios inneholdt feil, som til da var blitt tatt for god fisk av alle.
Dessverre var Ulugh B eg adskillig mindre vellykket som fyrste og politisk leder
enn som vitenskapsmann og forskningsleder. Da hans far døde i 1447 fikk han
alvorlige problemer med å beholde makten, og det endte med at han ble drept i
Samarkand i 1449.
10 De siste store arabiske matematikerne
Abu Abdallah Yaish ibn Ibrahim Al-Umawi ble født i Andalusia omkring år 1400
og døde i 1489 i Damaskus.
En viktig bok av al-Umawi som er bevart har tittelen Marasim al-intisab fi’ilm
al-hisab, eller «Om aritmetiske regler og prosedyrer»
Boken begynner med en kort beskrivelse av operasjonene addisjon og multiplika-
sjon. Deretter behandler al-Umawi det vi vil kalle summering av (endelige) rekker.
Spesielt behandler han polygontallene. Ut fra dette ble al-Umawi ledet til å ar-
beide med summen av de første kvadrattallene. I neste omgang summerte han så
de første n pyramidetallene, og det ledet ham til å søke summen av de første n
kubikktallene. Han betraktet summen e
n
i=1
i
3
,
n
i=1
(2i + 1)
3
, og
n
i=1
(2i)
3
.
Det er klart at dersom vi har en formel for den første summen, kan vi lett finne
formlene for de to andre. Summene av de første potenstallene var studert av al-
Baghdadi, al-Karaji og andre 400 år tidligere.
Al-Umawi gir så en nesten helt generell behandling av den testmetoden som
kalles å «kaste ut» for eksempel 3, 7, 9, 11. Dette generelle resultatet blir vanligvis
tilskrevet Blaise Pascal. Men al-Umawi var altså 300 år tidligere ute, hans metode
er behand let i [6].
Abu’l Hasan ibn Ali al-Qalasadi ble født i den arabiske byen Baastah i Andalusia
i 1412 og døde i 1486 i Beja i Tunis. Han levde i den tiden da det gikk mot slutten
for al-Andalus, det arabiske Spania. Omayyadedynasitet var dødd ut i 1031, riket
ble da delt i tre emirater med hovedstadene Cordoba, Sevilla og Jaén. Jaén er
den gamle romerske byen Flavia, den ligger mindre enn 7 mil nord for Granada.
holme.tex,v 1.8
96 Audun Holme Normat 2/2004
Allerede på slutten av 800-tallet hadd e det eksistert mindre kristne kongedømmer
i nord, og de ekspanderte gradvis sydover slik at rundt 1250 var en stor del av
de arabiske rikene gått tapt. Men i syd besto fortsatt et rike med hovedstad i
Granada, og den gjenværende delen av al-Andalus hadde blomstret gjennom hele
1300-tallet. Alhambra sto ferdig i all sin prakt i 1360. Dette storslagne palasset
og borgen var emirens, eller kalifens, residens. Det var ikke bare et palass, men
snarere en kongeby, adskilt fra resten av byen som lå under den. Innenfor murene
var det et kompleks av bygninger: Kaserner og festningsverker ytterst, og i sentrum
to kongelige plasser, Løveplassen og Myrteplassen, som ledet frem til seremonielle
aulaer. Her var bygninger av murstein rikt dekorert med stukkaturarbeider.
I året 1407, fem år før al-Qalasadi ble født, angrep kongedømmet Castillia og
Leon og kongedømmet Aragon fra nord. Krigen gikk sin ubønnhørlige gang og i
1492, seks år etter at han var død, var erobringen av al-Andalus fullført da Granada
falt til de kristne angriperne.
Al-Qalasadi begynte sine studier i byen Bastah nordøst for Granada. Han stu-
derte Koranen, juss og økonomi. Krigen kom nærmere, og han flyttet til Granada
der han fortsatte med studier i filosofi og naturvitenskap.
Al-Qalasadi reiste nå til Maghrib, det arabiske navnet på det nordvestlige Afrika.
Her studerte han aritmetikk og regnekunst, etter det gikk ferden til E gypt med mer
studier og til slutt til Mekka. Nå var reisens endelige mål nåd d, og al-Qualasadi
vendte tilbake til Granada. Men Granada, som på denne tiden var en storslagen
by med mer enn en halv million innbyggere, var dømt. De kristne styrkene var
overmektige, og motstand var nytteløs. Al-Qualasadi forlot restene av al-Andalus
og slo seg ned i Maghrib. I løpet av de neste hundre årene skulle mestep arten av den
arabiske befolkningen slå følge. De ble fordrevet til Nord-Afrika og andre islamske
land.
Al-Qalasadi skal ha vært ekspert på fordeling av arv, noe som var nøye foreskre-
vet i islamsk lov, i shariaen. Slike oppgaver falt på gruppen av lærde menn, ulama.
Han begynte en systematisk bruk av algebraiske symboler, der arabiske ord eller
deres forkortelser tjente som algebraiske operatorer. Al-Qalasadi skrev flere bøker
om aritmetikk og algebra. Noe av dette er kommentarer til tidligere arabiske mate-
matikere, men han har også etterlatt seg originale arbeider. Tidligere var det vanlig
å gi ham æren av å ha vært den første som innførte algebraisk symbolbruk, men
her mener en idag at han bygde på tidligere arabiske matematikere. Al-Qualasadis
arbeid er med på å vise at arabiske matematikere i al-Andalus var aktive på et
høyt nivå og på bred front helt til landet ble erobret av de kristne.
Referanser
[1] S. Ahmad og R. Rashed (ed.) “Al-Bahir” en algèbre d’Al-Samaw’al.
Damascus, 1972.
[2] C. C. Gillispie The Dictionary of Scientific Biography. 16 bind, 2 suppl.
Charles Scribne r’s Sons, New York 1979–1990.
[3] T. L. Heath. Euclid: The thirteen books of the Elements. Translated from the
text of Heiberg. Translated with introduction and commentary by Sir
Thomas L. Heath. 3 bind. Dover Publications, New York 1956.
holme.tex,v 1.8
Normat 2/2004 Audun Holme 97
[4] A. Holme. Matematikkens historie 1. Fra Babylon til mordet på Hypatia.
Fagbokforlaget, Bergen 2001.
[5] A. Holme. Geometry. Our Cultural Heritage. Springer Verlag. Berlin,
Heidelberg, New York 2002.
[6] A. Holme. Matematikkens historie 2. Fra de arabiske vise til Niels Henrik
Abel. Fagbokforlaget, Bergen 2004.
[7] R. Jafariyan. The Alleged Role of Khawajah Nasir al-Din al-Tusi in the Fall
of Baghdad. Artikkel i den iranske journalen Kayhan-e Andisheh, (No. 22).
Tilg j engelig på http://www.al- islam.org/al-tawhid/tusi/baghdad.htm.
[8] V. J. Katz. A History of Mathematics. Harper Collins College Publishers,
New York 1992.
[9] R. Rashed. The development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic
and Algebra. Kluver Academic Publishers. Dordrecht, Boston, London. 1994.
[10] R. Rashed. Al-Khayyam and Descartes on algebraic geometry. Foredrag ved
konferansen om arabisk matematikk arrangert av Norsk Matematikkråd og
UNESCO-kommisjonen i Oslo 21-23 mai 2001. Foredragene er under samlet
utgivelse i bokform.
[11] F. Rosen. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi: Algebra. London, Oriental
Translation Fund 1831. Boken er i dag vanskelig å finne, men det foreligger
en nyere oversettelse fra en latinsk oversettelse ved L. Karpinski, University
of Michigan Press 1930.
[12] Sharaf al-Tusi. Sharaf al-Din al-Tusi. Oeuvres Mathematiques. Oversatt av
R. Rashed. To bind. Paris 1986.
[13] University of St. Andrews. The MacTutor History of M athematics Archive.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/.
holme.tex,v 1.8
