Normat 52:3, 105–117 (2004) 105
Rundt om uendeligheden
1
Vagn Lundsgaard Hansen
Institut for Matematik
Danmarks Tekniske Universitet
Matematiktorvet, Bygning 303
DK–2800 Kgs. Lyngby
V.L.Hansen@mat.dtu.dk
Homo sapiens – det tænkende menneske – har til alle tider været optaget af spørgs-
målene om universets opståen og udvikling og om livets begyndelse og afslutning.
Har universet altid eksisteret? Og vil det eksistere til evig tid? Er der et evigt
liv efter døden? Er universet begrænset eller udstrækker det sig i det uendelige?
Findes der et udeleligt materielt element? Eller kan vi fortsætte med at dele i det
uendelige?
Evigt og uendeligt er begge udtryk f or det samme, nemlig at der ikke e r græn-
ser. Mens evigt udelukkende benyttes i forbindelse med tidslig ud strækning, kan
uendelig benyttes i forbindelse med alle former for størrelser og udstrækning. Hvad
uendelig er – eller skal være – er et dybtliggende filosofisk problem, som har op-
taget de største tænkere i menneskehedens historie. Som et filosofisk problem og
et teologisk problem er begrebet uendelig stadig genstand for diskussion: Hvordan
skal man forstå noget, man aldrig når? Hvad er det evige liv?
I matematikken ligger spørgsmål om uendelighed bag mange begreber og me-
to d er, men først i slutningen af 1800-tallet fik man hold på det matematiske uen-
delighedsbegreb. I kølvandet fulgte en dybtgående analyse af hele matematikkens
grundlag som blandt andet førte til en erkendelse af, at matematikken i sin helhed
ikke kan organiseres som et fuldstændigt aksiomatisk opbygget system, hvor alle
matematiske spørgsmål har et entydigt svar.
I denne artikel tager vi udgangspunkt i uendelighedsbegrebet som det opstod
i d en græske filosofi og trækker nogle hovedlinier frem til uendelighedsbegrebets
matematiske afklaring. En yderligere udbygning kan findes i forfatterens bog Ma-
tematikkens Uendelige Univers, udgivet af Den Private Ingeniørfond, Danmarks
Tekniske Universitet, i 2002.
1
Foredrag ved konferencen Popularisering av matematikk, Nasjonalt senter for matematikk i
opplæringen, NTNU, Trondheim, 17. og 18. november 2003.
vlh.tex,v 1.8
106 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
Om uendelighed i filosofien
For at kunne værdsætte dybden i de filosofiske paradokser knyttet til uendelighed,
som tidligt opstod i den græske filosofi, er det nødvendigt med en kort omtale af
nogle centrale filosofiske spørgsmål vedrørende begrebet eksistens.
Den græske filosof Parmenides (ca. 525–450 f.Kr.) gennemførte en analyse af
begrebet at eksistere og opdelte med henblik på dette verden i det værende og det
ikke-værende. Han argumenterede for, at det værende er evigt og uforanderligt, for
enhver ændring af det værende må ske fra eller til det ikke-værende, hvilket er umu-
ligt, da det ikke-værende jo ikke er. Derfor må det værende altid have været og vil
være her for evigt. Og det må også være uforanderligt. Da dette er i modstrid med
hvad vi observerer med vores sanser, nåede Parmenides frem til, at sanseverdenen
faktisk er en illusion. Derved kom han i modstrid med mange af tidens filosoffer.
Parmenides blev dygtigt forsvaret af sin elev Zenon fra Elea (ca. 490–430 f.Kr.),
som argumenterede for, at bevægelse er umulig ved en række argumenter, der nu
kendes som Zenons paradokser. Et af Zenons argumenter for at bevægelse er umulig
er, at hvis man skal bevæge sig fra ét punkt til et andet, skal man først bevæge sig
halvvejen, og før det en fjerdedel af vejen, og før det en ottendedel af vejen etc.,
altså en uendelig proces, så man aldrig kommer i gang.
Det bedst kendte af Zenons argumenter for at bevægelse er umulig kendes som
Paradokset om Achilleus og skildpadden: Helten Achilleus skal løbe om kap med en
skildpadde. Da Achilleus er antikkens hurtigste løber får skildpadden et f orspring.
Men hvad sker? Achilleus vil aldrig indhente skildpadden, for når Achilleus når
derhen, hvor skildpadden startede, har den jo bevæget sig et stykke længere fremad,
og når Achilleus når derhen, så har skildpadden igen bevæget sig fremad, hvorved
vi kommer ind i en uendelig proces, som ingen ende vil tage.
Platon (427–347 f.Kr.) drog den fulde konsekvens af Parmenides’ opfattelse af san-
severdenen og opfattede denne som et ufuldstændigt spejlbillede af den virkelige
verden, der for Platon var ideernes verden, en matematisk opbygget verden man
kunne ræson nere sig til ved rationelle argumenter.
Den store filosof Aristoteles (384–322 f.Kr.), som var den mest indflydelsesrige
af Platons elever, f orkastede forestillingen om ideernes verden, men opretholdt en
skelnen mellem konkrete og abstrakte aspekter i sanseverdenen. Således består en
konkret geometrisk figur af materie og form, og det er formen der beskriver figurens
abstrakte aspekter og som kan henføres til matematikken.
Blandt andet Zenons paradokser, som strider mod erfaringerne fra sanseverden,
gjorde at de græske filosoffer forbandt det endelige med det gode og det uendelige
med det onde. Herunder opstod diskussion om »uendelig« er noget potentielt (en
mulighed) eller noget aktuelt (noget der indtræffer, og har sin egen eksistens). Det
er potentielt muligt at universet altid vil eksistere, altså at det bliver uendeligt
gammelt fra et givet tidspunkt at regne, men det er ikke uendeligt gammelt på
noget som helst senere tidspunkt. Aristoteles var den første som skelnede mellem
uendelig som noget potentielt og noget aktuelt. Aristoteles anså selv uendelig som
noget der udelukkende var potentielt: noget hvor man kan blive ved ubegrænset.
Som med de naturlige tal: 1, 2, 3,..., hvor der efter hvert tal kommer et nyt, men
hvor ingen af tallene selv er uendelig.
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 107
Om regning med uendelige summer.
Zenons paradokser
Fra et matematisk synspunkt er det heldigvis muligt, at en uendelig sum i velde-
finerede situationer kan tillægges en endelig værdi. Betragt for eksempel en stang,
lad os sige med længden 1 meter. Denne stang deler vi nu på midten, så vi har to
stykker hver af længde
1
2
meter. Det ene stykke deler vi igen på midten, så vi får to
stykker af længde
1
4
meter. Så deler vi igen det ene af disse stykker i to lige store
dele, og så fremdeles. Derved ser vi, at vores meterstok er blevet delt op i stykker
svarende til en formél sum
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ···+
1
2
n
+ ··· .
En sådan formél sum kaldes en uendelig række,og1/2
n
kaldes det nte led i rækken.
Den her betragtede uendelige række skrives også på formen
n=1
1
2
n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ···+
1
2
n
+ ··· ,
idet vi benytter sumtegnet
og det matematiske symbol for uendelig. Symbolet
for uendelig blev første gang brugt i 1655 af den engelske matematiker John
Wallis (1616–1703). Rækken er en såkaldt kvotientrække med kvotient
1
2
, idet hvert
led i rækken netop er halvdelen af det foregående led. Det er nærliggende at tillægge
den omtalte kvotientrække summen 1, idet man kommer vilkårligt tæt på 1 ved at
tage tilstrækkeligt mange led med i en endelig sum af de første led i rækken.
Matematisk afklaring af Zenons paradokser
Det er netop denne kvotientrække, som fra et matematisk synspunkt afklarer det
første af Zenons paradokser. Bevægelse er mulig, for i den proces som Zenon fore-
skriver, summerer skridtene sammen til en endelig længde, hvorved der bliver lagt
begrænsninger på den tid, der er til rådighed for bevægelse.
Rækken afklarer også paradokset om Achilleus og skildpadd en, hvis vi antager,
at Achilleus løber dobbelt så hurtigt som skildpadden.
Den g enerelle kvotientrække
Generelt har en kvotientrække med kvotient q formen
n=0
aq
n
= a + aq + aq
2
+ ···+ aq
n
+ ··· ,
hvor a og q er givne reelle tal. Summeres de N første led i rækken fremkommer det
såkaldte Nte afsnit i rækken, dvs
S
N
= a + aq + aq
2
+ ···+ aq
N1
.
vlh.tex,v 1.8
108 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
Ved multiplikation med q får vi først
qS
N
= aq + aq
2
+ aq
3
+ ···+ aq
N
,
og dernæst ved at betragte differencen S
N
qS
N
, at
S
N
=
a aq
N
1 q
.
For |q| < 1 fremgår det, at S
N
har grænseværdien
S =
a
1 q
,
når N vokser ud over alle grænser. Vi siger, at kvotientrækken er konvergent med
summen S.
Den harmoniske række
En and en interessant uendelig række er den såkaldte harmoniske række:
n=1
1
n
=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ···+
1
n
+ ··· .
Denne række er divergent: den har ikke endelig sum. Herved forstås, at det Nte
afsnit i rækken, dvs. den endelige sum
S
N
=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ···+
1
N
vokser ud over alle grænser, når tallet N vokser ubegrænset.
Bemærk med henblik på at vise dette, at udsnittet i rækken fra 1/(k + 1) til
1/(2k) for ethvert k indeholder k tal, der alle er større end 1/(2k), hvoraf straks
følger, at
1
k +1
+
1
k +2
+ ···+
1
2k
1
2k
+
1
2k
+ ···+
1
2k
=
1
2
.
Herefter er det ikke svært at dele den harmoniske række ind i uendeligt mange
udsnit, der alle er større end
1
2
, og derved indse, at afsnittene i rækken vokser ud
over alle grænser, når der medtages flere og flere led.
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 109
Den al ternerende harmoniske række
Den alt ernerende harmoniske række
n=1
(1)
n1
1
n
=1
1
2
+
1
3
1
4
+ ···+(1)
n1
1
n
+ ···
byder på store overraskelser. Den kan nemlig omordnes, dvs. ledde ne kan ombyttes,
så man får en ny række med de samme led som før, der er konvergent med en vil-
kårlig på forhånd forlangt sum. Dette resultat blev bevist af den tyske matematiker
Dirichlet i 1837 og er gyldigt for de såkaldte betinget konvergente uendelige rækker.
Resultatet følger ved at udnytte at positiv-rækken, dvs. rækken af led med positivt
fortegn, vokser ud over alle grænser, og at negativ-rækken, dvs. rækken af led med
negativt fortegn, aftager ud over alle grænser, når vi medtager flere og flere led i
afsnittene for de to rækker. Hvis man nu vil opnå summen S i en omordning af
den alternerende harmoniske række, tager man først så mange af positiv-rækkens
led at man lige kommer over S. Derefter så mange af negativ-rækkens led at man
lige kommer under S. Så fortsætter man med led fra positiv-rækken, fra der hvor
man slap tidligere, til man igen lige kommer over S. Derefter med led fra negativ
rækken til man igen lige kommer under S og så fremdeles. Da 1/n går mo d 0, når
n vokser ud over alle grænser, vil den netop beskrevne række være konvergent med
sum S.
Den alternerende harmoniske række er den matematiske idé bag den episode
i bogen Alice i Eventyrland, skrevet i 1865 af den engelske matematiker Charles
Lutwidge Dodgson (1832–1898) under pseudonymet Lewis Carroll, hvor Alice af
kålormen lærer om en paddehat med den forunderlige egenskab, at man bliver større
når man spiser af den ene side, og mindre når man spiser af den anden, hvorved
man kan opnå lige netop den størrelse man ønsker ved på skift at spise tilpasse
mængder af de to sider af paddehatten. Det fortælles, at den engelske dronning
Victoria blev så begejstret ved læsning af eventyrene om Alice, at hun bad om at
få forfatterens samlede produktion tilsendt. Hendes overraskelse var sikkert stor,
da hun opdagede, at den mest bestod af matematiske afhandlinger. Det kan man
kalde popularisering af matematik på højt niveau!
For god ordens skyld skal nævnes at su mmen af den alternerende harmoniske
række som opskrevet er den naturlige logaritme til 2.
Uendelige ræ kker versus endelige summer
Uendelige rækker voldte i begyndelsen kvaler selv for store matematikere. Man
kunne ikke få hold om problemerne, idet man blot regnede med uendelige rækker
som var det endelige summer. Hvad dette førte til kan ses i forbindelse med den
uendelige række
n=1
(1)
n1
=11+1 1+1 1+1···.
vlh.tex,v 1.8
110 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
Sætter man parenteser i rækken på følgend e måde
n=1
(1)
n1
=(1 1) + (1 1) + (1 1) + ··· ,
er det nærliggende at påstå, at rækken har summen 0.
Sætter vi derimod parenteser på følgende måde
n=1
(1)
n1
=1(1 1) (1 1) (1 1) ···,
kan man imidlertid lige så vel sige, at rækken har summen 1.
Den berømte matematiker Leonhard Euler (1707–1783) argumenterede omkring
1730 for at rækken
n=1
(1)
n1
=11+1 1+1 1+1···
har summen
1
2
, for det er netop den værdi man får, når man i summen for en
kvotientrække med a =1sætter q = 1.
Først med præciseringen af konvergens og divergens af uendelige rækker fik man
klarhed over sådanne modstridende forhold. Den betragtede række er divergent, og
kan altså ikke tilskrives nogen sum.
Om konvergens og divergens af generelle uendelige rækker
En gen erel uendelig række har formen
n=1
a
n
= a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
+ ··· ,
hvor a
n
er reelle tal.
Rækken siges at være konvergent med summen S, hvis det Nte afsnit i rækken
S
N
= a
1
+ a
2
+ ···+ a
N
har grænseværdien S, når N går imod . Udtrykket »N går imo d « er den måde
hvorpå man i vore dage normalt udtrykker, at »N vokser ud over alle grænse r«.
Hvis der ikke findes en grænseværdi, siges rækken at være divergent.
Det nte led a
n
i rækken er differencen mellem to på hinanden følgende afsnit,
nemlig
a
n
= S
n
S
n1
.
Heraf følger straks, at hvis en række er konvergent med s um S, da vil det nte
led i rækken gå imod S S =0for n gående imod . Det er med andre ord
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 111
en nødvendig betingelse for konvergens af en række, at det nte led i rækken går
imo d 0 for n gående imod . At betingelsen ikke er tilstrækkelig ses blandt andet
i tilfældet med den harmoniske række.
Begreberne konvergens og divergens af uendelige rækker blev præciseret på
ovenstående form af den franske matematiker Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)
i hans berømte forelæsninger Cours d’analyse ved College de France i Paris i
1820’erne, og er nu de generelt accepterede.
Tallene fra et geo metrisk sy nspunkt
Tallenes historie hænger nøje sammen med den historiske udvikling af de t mate-
matiske u end eligheds begreb, som kulminerede i slutningen af 1800-tallet i arbejder
af den tyske matematiker Georg Cantor (1845–1918), der var født i Skt. Petersborg
af danske forældre. En fuldstændig konstruktion af de reelle tal er ikke mulig i en
kort fremstilling, men da tallene spiller en afgørende rolle i det følgende, giver vi
her en geometrisk anskuelig beskrivelse af de reelle tal.
Hvis vi inddeler en orienteret akse, dvs. en linje med en fastlagt gennemløbsret-
ning, i lige lange stykker kan vi afsætte de hele tal
...,2, 1, 0, 1, 2,...
langs delepunkterne, idet vi vælger et af delepu nkterne som 0 og afsætter de positive
tal i gennemløbsretningen og de negative tal i modsat retning ud fra 0. Se Figur 1.
0 1 2−1
−1/2 3/8 7/4
2
2
Figur 1 : Den reel le talakse
De positive hele tal, kaldet de naturlige tal, har menneskene arbejdet med på
et intuitivt grundlag selv i de ældste kulturer. På et udviklet niveau kendes ma-
tematiske kildetekster fra Babylon tilbage fra 1800-tallet f.Kr. Først langt senere
blev de negative tal indført af hinduerne (indiske matematikere) til at repræsentere
»underskud«; den først kendte b rug af negative tal blev gjort af Brahmagupta om-
kring 628. Det var også omkring dette tidspunkt, at hinduerne begyndte at bruge
tallet »nul« som et egentlig tal; tidligere havde grækerne brugt »nullet« blot til at
angive fraværet af et tal (kilder fra omkring 300 f.Kr.)
Hvis vi inddeler hvert af de lige lange intervaller på den orienterede akse, der
afmærkes af de hele tal, i q lige lange delintervaller, får vi en række delepunkter
vlh.tex,v 1.8
112 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
langs hvilke vi kan afsætte alle brøker med nævner q og et vilkårligt helt tal p som
tæller, altså tallene p/q. Ved at lade q gennemløbe alle de n aturlige tal får vi dermed
afsat alle brøker langs den orienterede akse. Markeringspunkterne for brøkerne
repræsenterer de såkaldte rationale tal. Bemærk, at et rationalt tal stammer fra
uendelig man ge forskellige brøker.
På denne måde får vi slet ikke fyldt aksen ud; den er »gennemhullet«. Eksem-
pelvis irriterede det de gamle grækere grænseløst, at diagonalen og kantlængden
i et kvadrat er såkaldte inkommensurable størrelser, dvs. de kan ikke begge de-
les i et helt antal af en fælles måleenhed, eller med andre ord, at forholdet ikke
kan udtrykkes ved et rationalt tal. Denne opdagelse blev gjort i 500-tallet f.Kr.
af pythagoræerne og tilskrives Hippasus fra Metapontum. Forhold mellem inkom-
mensurable størrelser måles ved det som grækerne kaldte irrationale størrelser. Hvis
kantlængden i kvadratet er 1 repræsenterer diagonalen i kvad ratet den irrationale
størrelse
2, idet kvadratet på diagonalen, som vist i Figur 1, let kan opdeles i
summen af to enhedskvadrater.
Vi indfører nu de reelle tal som de størrelser, der repræsenteres af længderne af
intervaller med det ene en de pun kt i 0 og det andet endepunkt i et vilkårligt punkt
på den givne orienterede akse; størrelserne regnes med fortegn svarende til aksens
gennemløbsretning. De reelle tal bliver således ide ntificeret med punkterne på den
orienterede akse, der i overensstemmelse hermed omtales som en talakse. Afsætter
vi diagonalen i enhedskvadratet ud fra 0 på ovenstående måde når vi til tallet
2.
De reelle tal som ikke kan repræsenteres af rationale størrelser kaldes irrationale
tal.
Det var sent i matematikkens historie, at man fik karakteriseret de reelle tal fuld-
stændigt. Først i slutningen af 1800-tallet lykkedes det, uafhængigt af h inand en og
næsten samtidigt, for Karl Weierstrass (1815–1897), Charles Méray (1835–1911),
Georg Cantor og Richard Dedekind (1831–1916), at give rent aritmetiske konstruk-
tioner af de reelle tal. Det skal nævnes, at det voldte store vanskeligheder at få sat
de aritmetiske konstruktioner af tallene i forbindelse med punkterne på en talakse.
Vi skal her omtale en karakterisering af de reelle tal, som kommer tæt på Wei-
erstrass’ konstruktion. Det drejer sig om det såkaldte intervalruseprincip i følge
hvilket de reelle tal kan anskues som »grænsepunkter« for indsnævrende følger af
lukkede intervaller med rationale endepunkter.
De reelle tal udmærker sig i forhold til de rationale tal ved at følgende princip
er opfyldt.
Intervalruseprincippet: Enhver indsnævrende følge af lukkede intervaller
[a
1
,b
1
] [a
2
,b
2
] ···[a
n
,b
n
] ···,
hvor længden af intervallet [a
n
,b
n
] går mod 0 for voksende n, har netop ét reelt tal
som fælles punkt.
Ved bisektion (halvering) kan vi eksempelvis konstruere en intervalruse for
2 som
følger:
[1, 2]
1,
3
2
5
4
,
3
2
11
8
,
3
2
···{
2}.
Den angivne intervalruse har rationale en dep un kter, men den fastlægger ikke et
rationalt tal, idet en indsnævrende følge af lukkede intervaller, hvor længden af
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 113
intervallerne går mod 0, højst kan have ét fælles punkt. Eksemplet viser derfor, at
intervalruseprincippet ikke er opfyldt i de rationale tal.
Bemærk, at vi ved den geometriske model af de reelle tal i form af en talakse
ubemærket har b evæget os ind i uendeligheden: ethvert linjestykke kan deles i det
uendelige i vilkårligt små stykker. Der er således ikke længere »huller« i en talakse;
den u dgør et kontinuum, dvs. et sammenhængende hele.
Tal på uendeligheden
Først i s lutningen af 1800-tallet, fra ca. 1870 og fremefter, begyndte matematikere
at se på uendelig som noget i sig selv. Det var Cantor, der som den første så på tal-
rækken {1, 2, 3,...} i sin fuldstændighed og opfattede det som et nyt tal forbi det
endelige, et såkaldt transfinit tal. Udviklingen hænger nøje sammen med mængde-
lærens opståen, hvor Cantor ved sine kardinaltal satte størrelse på mægtigheden af
en mængde. Talrækken {1, 2, 3,...} repræsenterer som mængde det første trans-
finite kardinaltal, og det betegnes
0
. (Tegnet er et gammelt fønikisk tegn, der
læses »alef«.) En mængde, hvis elementer kan parres med den naturlige talrække,
altså få sat numre på ryggen, siges at være tællelig, eller numerabel, og at have
mægtigheden (kardinalitet)
0
.
Generelt siges to mængder A og B at have samme kardinalitet, eller at be stemme
samme kardinaltal, hvis der kan etableres en en-til-en korrespondance imellem ele-
menterne i de to mængder, dvs. en korrespondance som til ethvert element i d en ene
mængde A lader svare netop et element i den anden mængde B og omvendt. Alle
mængder hvor elementerne kan parres med mængden af fingre på et par hænder har
kardinaltallet 10. Kan der etableres en en-til-en korrespondance imellem pu nkterne
i en mængde og tallene i den naturlige talrække, har denne mængde som nævnt
kardinaltallet
0
. Generelt fastlægger en vilkårlig mængde A et kardinaltal; ofte
betegnet med |A|. Hvis mængd en A indeholder endeligt mange elementer, er kar-
dinaltallet |A| et sædvanligt naturligt tal. I modsat fald fastlægger |A| et transfinit
kardinaltal.
Tællelighed af de rationale tal
De rationale tal kan stilles op i en rækkefølge. De rationale tal kan altså tælles,
eller som matematikere siger, de er numerable.
For at bevise dette, betragter vi i Figur 2 heltalsgitteret i en plan med et sæd-
vanligt retvinklet koordinatsystem, og laver en spiral i heltalsgitteret med start i
(0, 0), der gennemløber alle punkter med heltallige koordinater i en polygonal vej
imo d uret: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 1), (1, 0), (1, 1), .... Træk dernæst
spiralen ud i en lang »snor«. På denne snor ligger alle par af hele tal som punkter.
Tager vi – n år det kan lade sig gøre, dvs. når vi ikke dividerer med 0 – anden koor-
dinaten som nævner og første koordinaten som tæller, får vi en brøk (et rationalt
tal). Nu starter vi forfra på »snoren«: (0, 0) dur ikke, (1, 0) dur ikke, (1, 1) dur og
giver brøken 1, (0, 1) dur og giver brøken 0, (1, 1) dur og giver 1, (1, 0) dur
ikke, (1, 1) giver 1, som vi har haft, så den springer vi over, .... Fortsættes på
vlh.tex,v 1.8
114 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
(0,0) (1,0)(−1,0) (2,0)
(−1,1) (2,1)
(2,2)
1 2−1 0
(0,−1)(−1,−1) (1,−1) (2,−1)
−2
(1,2)(0,2)(−2,2)
1/2−1/2
(0,1) (1,1)
(−1,2)
Figur 2 : Tællelighed af de rationale tal
denne måde langs »snoren«, ser vi, at de rationale tal ligger som perler på en snor i
en rækkefølge. I systemet antydet her bliver rækkefølgen: 1, 0, 1, 2, 2,
1
2
,
1
2
,....
De rationale tal kan altså tælles.
De reelle tal kan ikke tælles
Vi fører et indirekte bevis. Antag med henblik på at opnå en modstrid, at r
1
,r
2
,...,
r
n
,... er samtlige reelle tal stillet op i en rækkefølge.
Vælg et interval [a
1
,b
1
] på talaksen, som ikke ind eholde r tallet r
1
. Tredel inter-
vallet [a
1
,b
1
] i tre lige lange delintervaller. Mindst ét af disse delintervaller, kald det
[a
2
,b
2
], indeholder ikke tallet r
2
. Tredel nu [a
2
,b
2
] på samme måde og vælg et delin-
terval [a
3
,b
3
], som ikke indeholder tallet r
3
. Således fortsættes, og vi får frembragt
en intervalruse [a
1
,b
1
] [a
2
,b
2
] ···[a
n
,b
n
] ..., hvor tallet r
n
ikke ligger i
intervallet [a
n
,b
n
] og de efterfølgende intervaller, og hvor længden af intervallerne
går mo d 0. (Vi foretager tredeling af intervallerne, og ikke bare halvering, for at
sikre, at et punkt r
n
ikke falder i et delepunkt.)
Intervalrusen bestemmer netop ét reelt tal c, som per konstruktion er forskelligt
fra tallene r
1
,r
2
,...,r
n
,.... Dermed har vi opnået en modstrid med, at r
1
,r
2
,...,
r
n
,... skulle være samtlige reelle tal. Altså kan de reelle tal ikke tælles, hvilket
skulle bevises.
Det var Cantor, der i 1874 som den første viste, at de reelle tal ikke kan tælles. Til
sit bevis brugte h an en an den metode, der nu kendes som Cantors diagonalmetode.
Kontinuumshypotesen
Samlingen af reelle tal kan identificeres med punkterne på en talakse, og man s iger
derfor også, at de reelle tal har kontinuums mægtighed (kardinalitet). Et berømt
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 115
matematisk problem knytter sig hertil, nemlig et spørgsmål der kendes under nav-
net Kontinuumshypotesen: Findes der mængder med kardinalitet imellem
0
(tæl-
lelig) og kontinuums kardinalitet? Eller er kontinuums kardinalitet simpelthen det
næste kardinaltal
1
? Alternativt kan spørgsmålet også formuleres således: Findes
der en delmængde af tal imellem mængden af rationale tal og mængden af reelle
tal, som ikke er i en-til-en korrespondance med nogen af disse talmængder? Med
arbejder af den østrigske matematiker Kurt Gödel (1906–1978) i 1931 og den ame-
rikan ske matematiker Paul Cohen (f. 1934) i 1963 ved man nu, at begge muligheder
er konsistente med de øvrige almindeligt anerkendte mængdeteoretiske aksiomer i
den tyske matematiker Ernst Zermelos (1871–1953) aksiomssystem fra 1908 med
forbedringer af den tyske matematiker Abraham A. Fraenkel (1891–1965) omkring
1920, og nu kendt som Zermelo–Fraenkel systemet. Kontinuumshypotesen kan altså
ikke besvares inden for Zermelo–Fraenkels aksiomssystem for mængdelæren. Det
kan ikke udelukkes, at man senere vil finde et bedre aksiomssystem for mængdelæ-
ren til erstatning for Zermelo–Fraenkel systemet, hvori Kontinuumshypotesen får
et entydigt svar.
Om regning med uendeligheden
Det var Cantor som i 1870’erne første gang præcist definerede hvad det vil sige, at
en mængde er uendelig. En mængde A er uendelig, hvis den kan bringes i en-til-en
korrespondance med en ægte delmængde B af sig selv, altså hvis alle elementerne i
A kan parres med elementerne i en ægte delmængde B af A. I Figur 3 vises det, at
intervallet [0, 1] er en uendelig mængde, idet [0, 1] ved en simpel centralprojektion
kan bringes i en-til-en korrespondance med delintervallet [0, 1/2].
1
0
1/2
0
Figur 3 : Intervallet [0,1] er en uendelig mængde
En række overraskende konsekvenser af uendeligheden er på glimrende vis blevet
illustreret af den tyske matematiker David Hilbert (1862–1943), som har lagt navn
til et matematisk hotel: Hilberts hotel. I Hilberts hotel har man uendeligt mange
værelser, alle numrene i den naturlige talrække er i sving som værelsesnumre. En
aften er alt optaget på Hilberts hotel. En rejsende kommer og spørger om han kan
få et værelse. Ja, siger portien. Men alt er jo optaget, så hvordan klarer portien nu
vlh.tex,v 1.8
116 Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2004
den? Han flytter bare alle gæsterne et nummer op, så er værelse nummer 1 klar til
den nye gæst. Så i Hilberts hotel er der altid plads til en til.
Dette forklarer (beviser), at
0
+1=
0
,
og ved simpel ind uktion, at
0
+ n =
0
,
for et vilkårligt naturligt tal n.
Men der er plads til mange flere i Hilberts hotel, for denne fremgangsmåde kan
udvides, som vi nu skal se. Hilberts hotel er bare et af hotellerne i en he l kæde
af sådanne hoteller. En aften er alle h otellerne fyldt. Nu indtræffer katastrofen: et
af hotellerne brænder ned til grunden, men heldigvis bliver alle gæsterne reddet.
Hvordan klarer hotelkæden af Hilbert hoteller nu d ette? Man kører gæsterne hen
til et andet Hilbert hotel. Der flytter man alle gæsterne i dette hotel over på de
lige numre (man skal altså bare gange sit værelsesnummer med to for at få sit nye
værelsesnummer), og så er alle de ulige numre ledige til gæsterne fra det nedbrændte
hotel.
Dette forklarer (beviser) det overraskende fænomen, at
0
+
0
=
0
.
For to mængder A og B med endeligt man ge elementer er summen af de til-
hørende kardinaltal |A| og |B| ne top antallet af elementer i foreningsmængden af
mængderne A og B, når disse opfattes som disjunkte mængder, altså som værende
uden fælles elementer; denne såkaldte disjunkte f oreningsmængd e skrives A B.
Tilsvarende er produktet af de endelige kardinaltal |A| og |B| netop antallet af
elementer i produktmængden A B = {(a, b) | a A, b B}.
Inspireret heraf defineres summen og produktet af to kardinaltal |A| og |B| for
generelle mængder A og B som kardinaltallet for A B, henholdsvis A B.På
symbolsk form svarer disse definitioner til formlerne
|A| + |B| = |A B||A|·|B| = |A B|.
Det ses umiddelbart, at det oven for anførte argument for at
0
+
0
=
0
under
udnyttelse af Hilberts hotel, er i overensstemmelse med definitionen for summen af
to kardinaltal.
Nu beregner vi produktet
0
·
0
. Ved et argument svarende til argumentet for
tællelighed af de rationale tal, er det let at se, at produktmængden for den naturlige
talrække med sig selv, altså mængden af talpar af naturlige tal, er tællelig. Dette
viser, at
0
·
0
=
0
.
Ovenstående er eksempler på en generelt udviklet teori for regning med de af
Cantor indførte kardinaltal.
Cantors uendelighedsbegreb blev ikke lige vel modtaget af alle matematikere.
Således var Cantors tidligere lærer Leopold Kronecker (1823–1891) en stærk mod-
stander af de nye ideer. Kronecker fandt, at alle matematiske begreber og forhold
vlh.tex,v 1.8
Normat 3/2004 Vagn Lundsgaard Hansen 117
skulle kunne afklares i endelig mange skridt, og at enhver diskussion af uendelige
mængder var illegitim, da den forudsatte, at uendelige mængder eksisterede i ma-
tematikken. Cantor havde adskillige nervøse sammenbrud igennem sin karriere, og
Kroneckers angreb gik ham stærkt på. Men Cantors ideer havde også mange varme
fortalere, ikke mindst David Hilbert.
Afsluttende bemærkninger
Ved den anden internationale kongres for matematikere i Paris i 1900 formule-
rede David Hilbert treogtyve vigtige matematiske problemer, som stod uløste ved
indgangen til det 20. århundrede. Som det første af disse problemer stillede han
spørgsmålet vedrørende Kontinuumshypotesen. Med arbejderne af Kurt Gödel 1931
og Paul Cohen 1963 blev det afklaret, at Kontinuumshypotesen ikke kan besvares
inden for Zermelo–Fraenkels aksiomssystem for mængdelæren. I forbindelse med sit
arbejde beviste Gödel den berømte sætning, der nu er kendt som Gödels Ufuldstæn-
dighedssætning. Denne skelsættende sætning siger, at ethvert aksiomatisk opbygget
matematisk system, der indeholder den (alment accepterede) aksiomatisering af de
naturlige tal opstillet af Giuseppe Peano (1858–1932) kort før 1900, vil indeholde
udsagn fra mængdelæren, der hverken kan bevises e ller modbevises; det er med
andre ord umuligt at bevise, at Zermelo–Frankels system for mængdelæren er fuld-
stændigt inden for et sådant aksiomatisk system. Derved blev den drøm som Hilbert
havde haft om at finde et fuldstændigt aksiomatisk grundlag for hele matematikken
– den såkaldte formalistiske anskuelse af matematikken – kastet i grus. Hvorvidt
dette er tilfredsstillende set fra et matematisk synspunkt er et åbent spørgsmål.
Men sikkert er det, at spørgsmål om uendeligheden fortsat vil være i forgrunden
ved de und ersøgelser af matematikkens grundlag som også vil finde sted i det 21.
århundrede.
Litteratur
Emnerne i ovenstående artikel er hentet fra bogen
V. L. Hansen, Matematikkens Uendelige Univers, Den Private Ingeniørfond, Danmarks
Tekniske Universitet, 2002.
Her kan man finde yderligere detaljer og litteraturhenvisninger.
Blandt de henvisninger i bogen, som er særligt relevante for nærværende artiklel, skal
fremhæves:
R. Courant and H. Robbins: What is Mathematics, Oxford University Press, New York,
1941.
V. L. Hansen: Temaer fra Geometrien, Matematiklærerforeningen, 1992.
[Udvidet engelsk udgave: Shadows of the Circle, World Scientific, Singapore, 1998.]
J. Jørgensen: Filosofiske Forelæsninger, Anden, omarbejdede Udgave,
Munksgaards Forlag, København, 1935.
M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University
Press, 1972.
F. Topsøe: Jessens Balsal, Hilberts Hotel – en appetitvækker, i Matematiske Ideer
(red.: S. T. Jensen og J. Matthiasen), Matematiklærerforeningen, 1993.
vlh.tex,v 1.8
