118 Normat 52:3, 118–121 (2004)
Än så många exempel i rad
ger ingen garanti . . .
Bengt Ulin
Tackjärnsvägen 12
SE–168 68 Bromma
b e ngt.ulin@swipnet.se
I enlighet med rubriken är syftet med den undersökning som följer här att ge ett
kraftfullt exempel där en viss egenskap gäller mycket länge men plötsligt upphör.
Däri ligger en poäng som kan göra intryck på skolungdomar i högre årskurser och
motverka tendenser till snabba generaliseringar.
Undersökningen är på samma gång en förenkling och – framför allt – en utvidg-
ning av [4].
Vi ska utgå från frågeställningen (F): ”Om ett naturligt tal N innehållande
endast nollor och ettor är delbart med elva, är då talet, läst som ett binärt tal,
delbart med tre, dvs med det binära talet 11?” Att omvändningen inte gäller följer
omedelbart av exemplet 10101 som i det binära systemet har värdet 21 och alltså är
delbart med tre, medan det decimala talet tiotusenetthundraett inte är delbart med
elva. I fortsättningen ska N innebära det decimala talet och N
det binära talet
med samma siffror. För tydlighetens skull ger vi orden ”elva” och ”tre” företräde
framför 11 resp 11
.
För att besvara frågan (F) kommer vi att dra nytta av en enkel delbarhetssats:
Sats Ett naturligt tal N =
i
a
i
p
i
i ett talsystem med bas p är delbart med p +1
om och endast om talet D =
k
a
2k+1
k
a
2k
är delbart med p +1.
D är alltså differensen mellan summan av siffror med udda platsnummer (1, 3, 5,
. . . ) och summan av siffror med jämna platsnummer (2, 4, 6, . . . ), varvid talets
entalssiffra har nummer 1 och numreringen fortsätter år vänster.
Bevis: Om u(p) f år beteckna det polynom i p som uttrycket N + D bildar, så gäller
u(p)=
a
2+1
(p
2+1
+ 1) +
a
2
(p
2
1).
Eftersom båda summornas parenteser i u(p) antar värdet noll för p = 1, innehåller
u(p) faktorn p +1.Avu(p)=N + D följer nu att N och D samtidigt är delbara
med p +1.
ulin.tex,v 1.9
Normat 3/2004 Bengt Ulin 119
För oss är satsen av betydelse med baserna p = 10 och p =2. Till att börja med
visar den att ett (decimalt) tal N är delbart med elva om och endast om D är
delbart med elva, vilket innebär D =0, ±11, ±22, ±33, etc. Eftersom vi begränsar
oss till tal N innehållande endast nollor och ettor är D lika med antalet ettor på
uddaplatser minus antalet ettor på platser med jämna nummer.
Beträffande N
säger satsen att detta tal är delbart med tre (11
) om och endast
om D =0, ±3, ±6, ±9, . . . Av vad vi just konstaterat följer att N och N
är delbara
med elva resp tre för D =0, ±33, ±66, ±99, . . . Därmed är frågan (F) i princip
besvarad, men låt oss se på några konsekvenser.
Om N är en elva-multipel med högst 20 siffror så leder 10 D 10 till D =0.
Alla motsvarande tal N
är då delbara med tre. Den minsta elva-multipel som inte
är binärt delbar med tre har D = 11 (elva) och är det tal X som har ettor på
platserna 1, 3, 5, . . . , 21 och har nollor på plats 2, 4, 6, . . . , 20, dvs.
X = 1 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01.
Motsvarande binära tal är
X
=
10
0
4
i
=1+4+4
2
+ ···+4
10
=
1
3
(2
11
+ 1)(2
11
1) = 1 398 101.
Vi frågar oss nu hur många elva-multipler med binärt utseende som föregår talet
X och således har D =0.
Dessa multipler kan indelas i två kategorier K och L. Av typ K är alla de tal N
som har högst 20 siffror, av typ L de tal N som i likhet med X har en etta på plats
nr 21 (första siffran från vänster). I K-mängden ingår talet 0 och alla tal N med
högst 10 ettor på uddaplatser och lika många ettor på ”jämna” platser. Eftersom k
stycken ettor kan placeras ut på
10
k
olika sätt på 10 platser blir antalet N -tal av
typ K
A(K)=
10
0
10
k
2
.
Detta antal beräknas lätt med n = 10 i den generella formeln
(1)
n
k=0
n
k
2
=
2n
n
vilket ger
(2) A(K)=
20
10
= 184 756.
Giltigheten av (1) inses om man jämför koefficienterna för x
n
i identiteten
(1 + x)
2n
= (1 + x)
n
(1 + x)
n
,
ulin.tex,v 1.9
120 Bengt Ulin Normat 3/2004
varvid man skriver högerledet som
n
0
n
k
x
k
·
n
0
n k
k
x
nk
och utnyttjar den kända likheten
n
k
=
n
nk
.
Beräkningen av antalet elva-multipler av L-typ, A(L), kräver mer arbete. Mäng-
den av sådana tal kan indelas i fem grupper av följande typ:
L
1
: de 3 första siffrorna (från vänster) är 100,
L
2
: de 5 första siffrorna är 10100,
L
3
: de 7 första siffrorna är 1010100,
L
4
: de 9 första siffrorna är 101010100,
och L
5
som utgörs av ett enda tal, nämligen 1 01 01 01 01 00 10 10 10 10 10, där
antalet ettor på ”udd a” resp ”jämna” platser är fem.
På de 10 p latser som finns av respektive paritet kan man inte utplacera 6 eller fler
ettor, eftersom talet då skulle bli större än X. Med ett kombinatoriskt resonemang
liknande det som ledde till A(K) erhåller man följande antal multipler i respektive
grupp:
A(L
1
)=
8
0
9
k
9
k +1
,A(L
2
)=
6
0
8
k
8
k +2
,
A(L
3
)=
4
0
7
k
7
k +3
,A(L
4
)=
2
0
6
k
6
k +4
,
A(L
5
)=1.
Den numeriska beräkningen utvisar att summan av dessa antal är
(3)
5
1
A(L
)=A(L) = 52 834.
Enligt (2) och (3) erhåller vi nu
A(K)+A(L) = 237 590.
Det visar oss att för 237 590 successiva elva-multipler N av binärtyp (från och med
N =0) är N
delbart med 11
, en egenskap som därefter upphör med talet X.
Vilken elva-multipel Y närmast över X är återigen icke binärt delbar med 11
?
Vi måste då sörja för D = 11 eller 11. Vi sätter därför ut en etta på plats nr
22. Den minsta differensen Y X uppnår vi genom att sätta ettor på alla övriga
platser med jämnt nummer och besätta alla udda-platser med nollor. Vi får då
(med D = 11)
Y = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.
Y är i decimalsystemet tio ggr X, i binär form gäller Y = 10
X, dvs två ggr X.
Närmast större tal med samma karaktär av motexempel som Y är ett tal Z med
ulin.tex,v 1.9
Normat 3/2004 Bengt Ulin 121
D = 12 1 = 11. Det har 12 ettor i rad på udda-platser och en etta på plats nr 2,
platsen med lägst jämna nummer. Man inser att Z = 100X + 11.
Mellan X och Y liksom mellan Y och Z, etc, ligger många elva-multipler av
binärtyp som i likhet med alla multipler <X är delbara med 3. Närmast över X
av dessa ”normala” multipler ligger det 21-siffriga talet
M = 1 01 01 01 01 10 00 10 10 10 10
med tio ettor, dels fem på plats nr 21, 19, 17, 15 och 13, dels fem på plats nr 2, 4,
6, 8 och 12. Av D =55=0följer att M är decimalt delbart med elva och binärt
delbart med 11
.
Avslutningsvis vill jag nämna ett par exempel med samma sens moral, där en
egenskap dock inte upprepas särskilt många gånger.
Euler visade på polynomet n
2
+ n + 41, vars värde blir idel primtal, då n går
från 0 till 39 men är delbart med 41 för n = 40.
Ett vackert och effektfullt exempel är det cirkeldelningsproblem som leder till
Leo Mosers talföljd [2]: n punkter sätts ut på en cirkelrand, varvid deras sam-
manbindande kordor ska dela in cirkelarean i maximalt många områden, säg A(n).
Eleverna ritar figurer och finner A(n)=1, 2, 4, 8 och 16 för n =1, 2, 3, 4 resp
5. En del elever blir förvånade när de konstaterar A(6) = 31. Problemet att finna
rätt funktion A(n) ställdes i NÄMNAREN nr 2, 1981–82 och vållade läsarna en del
bekymmer. Lösning finns i [1] och i [2], nr 9. Se även [3].
Vid utarbe tningen av manuskriptet till föreliggande uppsats har Stefan Lundbäck,
Stockholm, medverkat med värdefull granskning och förenkling.
Referenser
1 A. Dunkels, Problem med problem, NÄMNAREN 3, 1982–83.
2 M. Gardner, Mathematical Games, Sci. Amer. nr 8 och 9, 1969.
3 B. Ulin, Att finna ett spår, Utbildningsförlaget 1988 (utsåld). Kan anskaffas i den
tyska versionen Der Lösung auf der Spur, Verlag Freies G eistesl eben, Stuttgart 1987.
4 B. Ulin, Ett problem rörande binär delbarhet, Elementa 1/1985, s. 22–23.
ulin.tex,v 1.9
