Normat 52:4, 145–159 (2004) 145

Matematiska kilskriftstexter

i den norska Schøyensamlingen

Jöran Friberg

Stortorget 1

SE–28131 Hässleholm

frib erg@math.chalmers.se

Martin Schøyens samling av gamla och värdefulla dokument av många olika ka-

tegorier innehåller bland annat en förnämlig samling matematiska kilskriftstexter,

huvudsakligen gammalbabyloniska, dvs. från den tidigare hälften av andra årtu-

sendet f.Kr. Enligt planerna kommer dessa texter att bli publicerade, med utförliga

kommentarer, i min bok Pictographic and Cuneiform Tablets in the Schøyen Col-

lection, 1: Mathematical Cuneiform Texts, Hermes Publishing, Oslo 2005. Exempel

på intressanta texter diskuterade i boken presenteras här nedan i all korthet.

1. Nybörjares övningar med stora siﬀror. Schøyens samling av matematiska kil-

skriftstexter är faktiskt så omfattande att man i detalj kan följa babyloniska skol-

elevers framsteg i skrivskicklighet och räkneförmåga, från det första skolårets ele-

mentära multiplikationsövningar skrivna med stora klumpiga siﬀror till den fär-

digutbildade mönsterelevens avancerade matematiska problemtexter skrivna med

nästan mikroskopiskt små kilskriftstecken. Fig. 1 visar ett exempel på en nybörjares

multiplikationsövningar, som börjar med uträkningen 50  45 = 37 30 (där 37 30

är ett sexagesimalt tal som i decimala siﬀror motsvarar 37 60 + 30 = 2 250).

Det fanns inte någon kilskriftssiﬀra för noll, men istället fanns det olika siﬀror för

ental (upprättstående kilar) och tiotal (sneda kilar). I transliterationen till moderna

siﬀror (Fig. 1, till vänster) skrivs titotalen med en liten cirkel upptill till höger.

friberg.tex,v 1.16

146 Jöran Friberg Normat 4/2004

5˚

4˚ 5

5˚

5˚ 5

3˚ 7 3˚

4˚ 5 5˚

5˚ 5

handkopiakonform transliteration

Figur 1 : MS 2728. En nybörjares enkla multiplikationsövningar.

1˚2 a.rá 1 1˚

1˚2 a.rá1˚5 3

1˚2 a.rá 4˚ 8

1˚2 a.rá 5˚ 1˚

1˚2 a.rá1˚6 3 1˚2

1˚2 a.rá1˚7 3 2˚4

1˚2 a.rá1˚8 3 3˚ 6

1˚2 a.rá 3 3˚6

1˚2 a.rá 2 2˚4

1˚2 a.rá 4 4˚ 8

1˚2 a.rá 5 1

1˚2 a.rá 6 1 1˚2

1˚2 a.rá 7 1 2˚4

1˚2 a.rá 8 1 3˚ 6

1˚2 a.rá 9 1 4˚ 8

1˚2 a.rá 1˚

19 :

Figur 2 : MS 2184/3. En multiplikationstabell med huvudtalet 12.

2. Aritmetiska tabelltexter med sexagesimala tal. För sådana här uträkningar

använde babyloniska skolelever sexagesimala multiplikationstabeller som de kopie-

rade f rån lärarens exemplar och sedan i bästa fall lärde sig utantill. Fig. 2 visar ett

exempel på en sådan multiplikationstabell. Det är en multiplikationstabell (i trans-

literation till moderna siﬀror) med “huvudtalet” 12. Det ofta återkommande ordet

a.rá är ett sumeriskt låneord i den babyloniska texten. Det betyder faktiskt orda-

grant ‘gånger’, eftersom rá är ett sum eriskt verb som betyder ‘gå’. Tabellen anger

produkten av 12, först med alla heltal från 1 till 19, sedan med tiotalen från 20 till

50. Exempel: ‘12 40 = 8’, vilket egentligen betyder att 12  40 = 8 60 (= 480).

Babylonierna använde nämligen “relativa” sexagesimala tal med ﬂytande värden,

eftersom d e inte hade uppfunnit nollan! För att skriva ‘19’, egentligen ‘20  1’,

hittade des sutom varje skolelev på en egen krumelur!

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 147

Utöver multiplikationstabeller ﬁck den babyloniske skoleleven lära sig också and-

ra aritmetiska tabeller. Kvadrattabeller gick från ‘1  1=1’ till ‘19  19 = 6 01’

(361), ‘20  20 = 6 40’, ‘30  30 = 15’ (egentligen 15 00), ‘40  40 = 26 40’,

‘50 50 = 41 40’, och ‘1 1=1’ (egentligen 1 00  1 00 = 1 00 00). Kvadratrotsta-

beller gick från ‘1 har 1 som sida’ hela vägen till ‘58 01 har 59 som sida’ och ‘1 har 1

som sida’. Det fanns av någon anledning inga kubiktabeller, men kubikrotstabeller

gick från ‘1 har 1 s om sida’ hela vägen till ‘57 02 59 har 59 som sida’ och igen ‘1

har 1 som sida’. Fig. 3 visar en liten lertavla med ett kort utdrag på 5 rader ur en

sådan kub ikrotstabell. Den går från ‘36 37 13’ till ‘1 21 53 17’.

3˚ 6 3˚ 7 1˚3

íb.si-tam

4˚5 4˚4 1˚4

5˚6 1˚5 1˚5

1 8 1˚6 1˚6

1 2˚1 5˚3 1˚7

Figur 3 : MS 3966. Ett kort utdrag på 5 rader ur en kubikrotstabell.

Ordet íb.si-tam som är skrivet på kanten är en kombination av ett sumeriskt

ord íb.si som betyder ungefär ‘liksidig’ (en kub är ju liksidig) och en babylonisk

ackusativändelse -tam. Sumeriska låneord spelade faktiskt en lika viktig roll i den

babyloniska matematiken som grekiska och latinska låneord spelar i vår egen tids

matematik.

Typiskt för den babyloniska matematiken var användningen av reciproktalsta-

beller, egentligen en sorts divisionstabeller. Exemplet i Fig. 4 är en transliteration

av en sådan tabell som tydligen innehöll så många fel att en ilsken lärare har korsat

över texten på båda sidorna av lertavlan!

igi. 9. gál. bi 6 4˚

1. da. àm

4˚. bi 4˚

$u. ri. a. bi 3˚

igi.3.

gál. bi

igi.4.

gál. bi

igi.5. gál. bi 1˚2

igi.6. gál. bi 1˚

igi.8. gál. bi 7 3˚

igi. 1˚.gál. bi 6. àm

igi. 1˚2.g

l. bi 5

igi. 1˚5. g

l. bi 4

igi. 1˚6. g

l. bi 3 4˚5

igi. 1˚8. g

l. bi 3 2˚

igi. 2˚. g

l. bi 3

igi. 2˚ 4. g

l. bi 2 3˚

igi. 2˚ 5.g

l. bi 2 2˚4

igi. 4˚5. gál. bi 1 2˚

igi. 4˚8. gál. bi 1 1˚5

igi. 5˚. gál. bi 1 1˚2

igi. 5˚4. gál. bi 1 6 4˚

1. gál. bi 1

1 4 gál. bi 5˚6 1˚5

1 2˚1. gál. bi 4˚4 2˚6 4˚

igi. 4˚

. gál. bi 1

3˚

igi.

gál.

bi 1

4˚

igi.

3˚

2. gál. bi

1 5

2 3

igi. 2

7. gál. bi 2

3 2

Figur 4 : MS 3890. En dålig elevs underkända reciproktalstabell.

En reciproktalstabell b örjar alltid med två rader som talar om att ‘

av 60 är

40’ och ‘hälften (av 60) är 30’. Sedan fortsätter den med ‘

är 20’, ‘

är 15’ och

så vidare, hela vägen till ‘

är 1 06 40’och‘

är 1’, ‘

1 04

är 56 15’ och till slut

‘

1 21

är 44 26 40’, vilket betyder att

= 0;44 26 40 (sexagesimalbråk).

friberg.tex,v 1.16

148 Jöran Friberg Normat 4/2004

3. Aritmetiska övningsuppgifter. Observera att den babyloniska reciproktalsta-

bellen bara innehåller reciproktal till “sexagesimalt reguljära” heltal mellan 2 och

1 21. Heltal kallas sexagesimalt reguljära om de går jämnt upp i ‘1’ (som kan bety-

da 1 00 = 60 eller 1 00 00 = 60

och så vidare). Det ﬁnns till exempel in ga sådana

heltal mellan 54 och 60, och 7 är naturligtvis inte heller reguljärt. Anledningen till

att tabellen slutar med reciproktalen till 1 04 och 1 21 är att 1 04 = 64 = 2

och

1 21 = 81 = 3

4˚ 6 2˚ 5˚ 4 5˚ 1 3˚ 1˚ 4 3 4˚ 5

1˚ 2 2˚ 1 3˚ 4 3˚ 7 4˚ 4 3 4˚ 5

3 1˚ 7 4˚ 5 1˚ 4 3 4˚ 5

5˚ 2 4˚ 4 3 4˚ 5

1˚ 4 3 4˚ 5

3 4˚ 5

Figur 5 : En nedåtstigande potenstabell med potenser av 3 45.

Räkning med “mångsiﬀriga” reguljära sexagesimaltal spelade en viktig roll i ba-

bylonisk matematik. Ett vacke rt exemp el är den “nedåtstigande potenstabellen” i

Fig. 5 som börjar med det sexagesimalt reguljära talet 46 20 54 51 30 14 03 45 =

(3 45)

= 15

. Sedan faktoriseras en faktor 3 45 i taget bort tills det slutliga

resultatet blir (3 45)

= 14 03 45 och (3 45)

= 3 45.

I babylonisk matematik fanns de t två olika divisionsmetoder. Den första använ-

des om ett tal a skulle divideras med ett tal b som var ett sexagesimalt reguljärt

tal. Då var första steget att beräkna reciproktalet till b, som kallades igi b, troligen

sumeriska för ‘det motsatta talet till b’. Sedan beräknades kvoten a/b som a igi b

(dvs som a  1/b). Men om b inte var sexagesimalt reguljärt så ﬁck man använda

en annan metod. Ett sådant fall förekommer i nästa e xempel, i Fig. 6. Här är tre

tal uppskrivna under varandra. Det ser ut som om talen är 4, 13, och 4 41 37, men

i själva verket är det första talet 1 01 01 01, och det här var antagligen en uppgift

som en elev skulle ta med sig hem och lösa för att sedan visa upp resultatet nästa

dag för läraren. Det gällde att visa att 1 01 01 01 dividerat med 13 är 4 41 37.

1˚ 3

4 4˚1 3˚ 7

Figur 6 : MS 2317. En sexagesimal divisionsuppgift med en ickereguljär divisor.

Hur man kunde lösa en sådan uppgift framgår av en 500 år äldre matematisk

kilskriftstext från staden Ebla. Metoden från Ebla går ut på att man löser en följd av

successivt svårare divisionsuppgifter tills man når fram till det önskade resultatet.

Vill man till exempel dividera 1 01 01 01 med 13, så dividerar man först 1 00 (60)

med 13. Resultatet är att 1 00 = 134+8 (1 00/13 = 4 med resten 8). I de följande

stegen ser man att 1 00 00 = 13  4 36 + 12, och att 1 00 00 00 = 13 4 36 55 + 5.

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 149

Adderar man resultaten, så får man till slut att 1 01 01 01 = 1 00 00 00 + 1 00 00 +

1 00+1 = 13(4 36 55+4 36+4)+(5+12+8+1) = 134 41 35+26 = 134 41 37.

Alltså är svaret till divisionsuppgiften att 1 01 01 01 dividerat med 13 är 4 41 37.

Från en modern ståndpunkt så kan metoden förklaras med oändliga sexagesi-

malbråk, alternativt allmänna bråk, nämligen att 1/13 = 0;04 36 55 ..., och att

1 01 01 01 

= 4 36 55

+ 4 36

= 4 41 37!

4. Lösningar i tabellform till kombinerad-köpkvots-problem. Lertavlan i Fig. 7

innehåller två likartade uträkningar. I den första, uppgift a, har eleven tydligen fått

veta att fyra olika varor har “köpkvoterna” 1, 2, 3, och 4 vikt- eller volym-enheter

(kolumn 1). Det betyder att för 1 shekel i silver (på sumeriska 1 gín kù.babbar)

kan man köpa 1 enhet av den första varan, 2 av den andra, 3 av den tredje, 4 av

den fjärde. Frågan är nu hur mycket man kan köpa för 1 shekel om man skall köpa

lika mycket av alla fyra varorna. Man börjar med att räkna ut “enhetspriserna” för

de olika varorna. De är 1 shekel per enhet för vara 1,

shekel för vara 2,

för

vara 3 och

för vara 4. Enhetspriserna är antecknade i kolumn 2 som talen 1, 30

(= 0;30), 20 (= 0;20), och 15 (= 0;15). Det följer att det “kombinerade enhetspriset”

är 1 + 0;30 + 0;20 + 0;15 = 2;05 shekel. Reciproktalet till 2;05 = 2

är

= 0;28 48. Om man nu köper 0;28 48 enheter av varje vara så blir priset man

betalar för den första varan 0;28 48 shekel, för den andra 0;14 24 shekel, osv. De

här priserna är antecknade i kolumn 3. Summan av priserna i kolumn 3 är precis

1 shekel. Därför kan man kalla talet 0;28 48 för den “komb inerade köpkvoten”. Man

kan ju köpa precis 0;28 48 enheter av varje vara för 1 shekel sammanlagt. Därför

står det också 28 48 fyra gånger i kolumn 5.

1 gín kù.babbar.

2˚ 8 4˚ 8

2˚

8 4˚ 8

2˚ 8 4˚ 8

3˚

2˚

2˚ 8 7 3˚

5˚ 6

1˚5

5˚ 6

1˚5

6 1

3 4˚ 5

9 2˚ 2 3˚

1˚ 8 4˚ 5

2˚

1˚ 5

1˚

1˚ 5

1 gín kù.b.

1˚4 2˚ 4

9 3˚ 6

7 1˚ 2

Figur 7 : MS 2830. Två uträkningar av kombinerade köpkvoter.

5. Geometriska övningsuppgifter. Runda lertavlor, så kallade linser, med siﬀror el-

ler geometriska ﬁgurer var förmodligen den tidens “f öreläsningsanteckningar”, slar-

vigt nedskrivna av elever som lyssnade till en lärares demonstration av hur ett

matematiskt problem skulle lösas. Kanske var meningen att eleven sedan skulle gå

hem och skriva ut sin egen mer detaljerade version av lösningsprocedu ren att visa

upp för läraren nästa d ag. I Fig. 8 demonstreras ett e xempel på en sådan rund

lertavla, med en teckning av en parallelltrapets delad i tre delar av två parallella

friberg.tex,v 1.16

150 Jöran Friberg Normat 4/2004

tvärlinjer. En trolig tolkning är att det ställda problemet var att beräkna läng-

derna av de fyra parallella sidorna då det var givet att långsidan (eller egentligen

höjden) av trapetsen var delad av tvärlinjerna i tre delar som mätte 10, 20, och

30 “stavlängder”, och att de två yttersta delytorna mätte vardera 1 40 “kvadrat-

stavar”. Om längderna av de fyra parallella sidorna kallas p, q, r, s, så kan e tt

sådant problem ersättas av ett system av fyra linjära ekvationer för fyra obekanta:

(p + q)/2 10 = 1 40, (r + s)/2 30 = 1 40, (p q)/10 = (q r)/20 = (r  s)/30.

Lösningen till problemet är angiven i ﬁguren: p = 10 50, q = 9 10, r = 5 50, s = 50.

1˚

2˚

2 3˚

1 4˚

5˚

9 1˚

5 5˚

1˚ 5˚

1 4˚

3˚

Figur 8 : MS 3908. En tredelad parallelltrapets.

Exemplet visar en tydlig skillnad mellan babylonisk och grekisk geometri: Medan

den klassiska grekiska geometrin var abstrakt och resonerande, så var den baby-

loniska geometrin konkret och nu merisk. Det framgår också av nästa exempel, på

ytterligare en rund lertavla (Fig. 9). Här är tre likadana parallelltrapetser förenade

till ett “liksidigt triangulärt band” som omsluter en liksidig triangel med sidan 10,

och som är inneslutet i en liksidig triangel med sidan 16;40 + 43;20 = 1 00.

1˚ 6 4˚

3˚ 5

4˚ 3 2˚

1˚

4˚ 3 2˚

1˚ 6 4˚

1 6 4˚

1˚ 6 4˚

1˚6 4˚

Figur 9 : MS 2192. Ett liksidigt triangulärt band uppdelat i tre parallelltrapetser.

En möjlig tolkning är att ﬁguren illustrerar p roblemet att bestämma ytan av

det liksidiga triangulära bandet då man vet bara att den yttre liksidiga triangeln

har sidan 1 00 och att den inre liksidiga triangeln har sidan 10. Man kan då räkna

så här: Kalla längden av kortsidan i en av trapetserna för a. Då är längderna av

de parallella sidorna i trapetsen 10 + a och 10 + 2a. Samtidigt är 10 + 3a = 1 00.

Därför är a =

= 16;40, 10 + a = 26;40 och 10 + 2a = 43;20.

Vill man nu beräkna ytan av det triangulära bandet kan man göra det på två

sätt. Ett sätt är att beräkna den sammanlagda ytan av de tre trapetserna. Den är

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 151

3 (43 20 + 26 40)/2 h =335 h,därh är höjden i trapetsen. Ett annat sätt

är att utnyttja att ef tersom sidan av den yttre triangeln är 6 gånger så stor som

sidan i den inre triangeln, så är ytan av den yttre triangeln 36 gånger så stor som

ytan av den inre triangeln. Alltså är ytan av det triangulära bandet 35 gånger ytan

av den inre triangeln. Siﬀran 35 nära kanten på den runda lertavlan kan därför

förklaras på två olika sätt i samband med beräkningen av ytan av det triangulära

bandet!

En annan slarvig anteckning, den här gången på en avrundat kvadratisk lertav-

la (Fig. 10) visar en cirkel placerad symmetriskt omkring mitten av en kvadrat.

Siﬀrorna som är noterade i och runtom kvadraten är svåra att tolka.

2 1˚6 4˚5

2 1˚3 4˚5

4˚5 5˚6 1˚5

3˚

3 2˚

5˚2 3˚

3˚

1˚5

Figur 10 : MS 2985. En cirkel i mitten av en kvadrat.

Lyckligtvis ﬁnns det en annan text som kan hjälpa till med tolkningen av den

här ﬁguren, en gammalbabylonisk problemtext från staden Susa i västra Iran. I den

texten är en så kallad “konkav kvadrat” (en ﬁgur begränsad av fyra lika cirkelbågar)

placerad symmetriskt omkring mitten av en kvadrat, och det angivna problemet

är att bestämma sidan på kvadraten om både minsta avståndet från den kon-

kava kvadraten till sidorna av kvadraten och ytan av området mellan den konkava

kvadraten och kvadraten är kända. Problemet kan omformuleras som en kvadratisk

ekvation.

Det är förmodligen likadant i det här fallet. I så fall fungerar det så här: Givet

är att avståndet från cirkeln till sidorna av kvadraten är 3;45 och att ytan av

området mellan cirkeln och kvadraten är B = 28 21;33 45. Det gäller att bestämma

längden d av cirkelns diameter. Det är klart att sidan av kvadraten är d + 7;30,

och att ytan av cirkeln är 0;45  kv.d. (Här betyder kv.d kvadraten av d,och

0;45 =

är den babyloniska approximationen till /4.) Därför kan d bestämmas

som en lösning till den kvadratiska ekvationen kv.(d+7;30)0;45kv.d = B, eller

0;15kv.d+15d = B56;15. Eftersom kv. 0;30 = 0;15 (jämför med anteckningen

i vänstra kanten på lertavlan) så kan ekvationen omformuleras ännu en gång, till

kv.(0;30  d + 15) = B + 2;48 45 = 28 21;33 45. Här är högerledet kvadraten på

41;15. Alltså är 0;30 d + 15 = 41;15. Lösningen till den kvadratiska ekvationen är

därför att d = 52;30, ett tal som är noterat i ﬁguren till vänster ovanför kvadraten.

Det följer då också att sidan på kvadraten är 52;30 + 2  3;45 = 1 00.

6. En gammalsumerisk geometrisk tabelltext. Den äldsta matematiska kilskrift-

stexten i Schøyensamlingen (Fig. 11) är en gammalsumerisk tabelltext från ED III

(Early Dynastic III perioden, ca 2600–2350 f.Kr.). Den är så gammal att sexagesi-

mala tal ännu inte skrevs i ett sexagesimalt positionssystem, utan olika taltecken

friberg.tex,v 1.16

152 Jöran Friberg Normat 4/2004

1˚

2˚

3˚

4˚

5˚

sag

ninda

gé$

$ár

è$e

bùr

1˚3

bùr

3˚

bùr

5˚3

bùr

2˚3

bùr

iku

gé$

1˚

gé$

2˚

gé$

3˚

gé$

4˚

gé$

5˚

gé$

Figur 11 : MS 3047. En gammalsumerisk geometrisk multiplikationstabell.

användes för 1 och för 60, liksom för 10 och för 10 60. Tecknet för 60 är en större

variant av tecknet för 1, och tecknet för 10  60 är tecknet för 60 med tecknet för

10 inuti. Dessutom är texten så gammal att siﬀror ännu inte skrevs med kilskrifts-

tecken utan med rundade tecken. (Man skrev kilskriften med en vass pinne men

siﬀertecknen med en rund pinne.)

Det här är en matematisk tabell med 7 rader och 3 kolumner. I varje rad anges

först kortsidan av en rektangel, sedan långsidan, och sist ytan av rektangeln. I alla

7 raderna är långsidan 1 gésh (60) gånger så lång som kortsidan. Ne dan ges en

transliteration av tabellen med användning av följande sumeriska termer: 1 gésh =

60, 1 shár = 3600, 1 iku = 100 kvadratstavar, 1 èshe = 6 iku, 1 bùr = 3 èshe.

5  5 gésh = 2 èshe 3 iku (2

èshe)

10  10 gésh = 3 bùr 1 èshe (10 èshe)

20  20 gésh = 13 bùr 1 èshe (40 èshe)

30  30 gésh = 30 bùr (90 èshe)

40  40 gésh = 53 bùr 1 èshe (160 èshe)

50  50 gésh = 1 shár 23 bùr 1 èshe (250 èshe)

1 gésh  1 shár = 2 shár bùr (360 èshe)

7. Babyloniska labyrinter av en hittills okänd typ. Två lertavlor i Schøyensam-

lingen u ppvisar teckningar av labyrinter. Båda labyrinterna är av helt nya typer,

vilket är anmärkningsvärt eftersom hittills alla kända teckningar e ller gestaltning-

ar av labyrinter har varit antingen enkla och ointressanta eller diverse varianter

av den klassiska “grekiska” eller “mykenska” labyrinten. En av de nya babyloniska

labyrinterna ser u t som i Fig. 12, till vänster. I motsats till den grekiska labyrinten

som har bara en ingång, med en väg som leder in till c entrum, så har den här laby-

rinten två ingångar, med en väg som leder in till centrum och en annan som slutar

innan den når fram dit. Labyrinten är skickligt tecknad, vilket knappast skulle ha

varit möjligt om inte tecknaren hade använt en i förväg uträknad algoritm för kon-

struktionen av labyrinten. Den algoritmen måste i så fall ha varit helt annorlunda

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 153

Figur 12 : MS 4515. Den babyloniska kvadratiska labyrinten.

§ 1

§ 2

§ 3 a

§ 3 b

§ 3 c

§ 3

§ 3 e

§ 4

§ 5

ki.3 1 3

igi

igi.bi

1 3

gar.gar 2 1˚

in.sì

2' 2 1

gaz

1 5 in.sì

1 5 du

.du

1 1

5 1

in.sì

5.e

5 sag ki.3

2 sag in.sì

7 4 in. sì 1

7 4. e 3

2 íb.si

i-na

1 1˚

7 4 zi

7 4 in.sì

1 8

.du

1 1˚

7 4 in.s

2' 2 1

6 gaz

1 8

in.sì

1 4

6 gar.gar 2 1˚

ki.2 1 4˚

igi 3

6 igi.bi

ki.4 1 2

˚ igi 4

˚5 igi.bi 1 2

4˚

gar.gar 2 5 2' 2 5 gaz 1 2 3

in.sì

1 2 3

.du

1 5 6 1

a-na

u$ zi 5 6 1˚

5 in. sì

5 6 1

5. e 1

7 3

íb. si

7 3

sag

%i- l

i- i

p- ti

ki. 4

%i- il-pa-tum

%i- li- ip- tum

u$ ù sag en.nam i-na x x

5 4 3 íb.si

5 du

1˚2 in. sì

˚2

a-na

4 nim 4˚ 8

in. sì

4˚ 8

a-na 7 nim 5 3

˚ 6 u$

3˚ 6 a-na 7 nim 4 1˚2 sag

%i- li- ip- ta- am

nim

ma x e- li sag x x x 3

u$ ù sag

- x- x

i-na sag wa-$i-im an-ni-x

a-na 3 nim 3˚ 6 in.sì

ki.5 1 1

2 igi 5

igi.bi1 1

gar.gar

2 2 2' 2 2 gaz 1 1

1 1 du

.du

1 2 1

1 i-na

1 2 1 zi 2 1 in. sì

2 1. e 1

1 ìb.si

1 sag ki. 5

a$-$um 5 %i- il- pa-tum

a- ma- ri- ka

1 4 igi ù igi.bi 5˚6 1˚5

1 1

˚5

%i-il- ip-tum 4

5 a.$à

ù sag en.nam

4˚5 a.$à a-na 2 e.tab 1 3˚

1 3˚a-na 1 3

˚3 4˚5 da‹ 3 3 4˚5

3 3 4˚5. e 1 4

˚5 x x íb.si

2' 1 4˚5 gaz 5˚2 3˚ in. sì

5˚2 3˚du

.du

4˚5 5˚6 1˚5 in.sì

4˚5 a.$à i-na4˚5 5˚ 6 1˚5 zi

5˚6 1˚

5 in.sì 5˚6 1˚

5 7 3˚

7 3˚a-na 5˚2 3˚da‹ 1 u$ in.sì

7 3˚ i- na 5˚2 3˚ zi 4˚5 sag in.sì

1 1˚

5 du

.du

1 3

3 4

5 in. sì

a-na

6 nim 3 u$ gi.na

igi.5 a-na

5 da‹ 3

˚ in.sì

˚5

a-na

4 nim 1 4

˚ sag an.na

5 sag gi in. sì

x x

2 3

a-na

nim 2

3 8

5 in. sì

2' 6 1

7 3

nim

‹e-ep-pe-e-ma

.du

6 1

7 3

in. sì

2 3

1 in. s

ì 2 3

ù 2 3˚

x x x

x n.

1 sag gi x

ki- ia-a

m- ta- x

x x x

sag gi e

n. n

bùr

è$e

iku

1 $ar 1

5 gín a.$à

n. 5 2' kù$ sag ki. ta

x gi.n

- ta-an-din-ma

x x x x

at- ta- an-din-nu-ma

x x x x x

3˚

- $u at- ta-di-ma

x x x x x

.$à

il- li- ik

x x x x x x x

sag

ki.t

x x x x x x x x sa

g gi

x x

2 3

ki.1 da‹

x x

a-na

3 8

5 íb. si

x 3

1 2

7 3˚

sag in. sì

íb.si

Figur 13 : MS 3971. En gammalbabylonisk matematisk problemtext.

friberg.tex,v 1.16

154 Jöran Friberg Normat 4/2004

än den välkända algoritmen för konstruktionen av en grekisk labyrint. De första

stegen i den förmodade babyloniska algoritmen visas i Fig. 12, till höger.

8. Formler för rationella lösningar till “Pythagoras ekvation”. Bland de mate-

matiska kilskriftstexterna i Schøyensamlingen ﬁnns sex större “problemtexter” med

mer eller mindre utförliga frågor, lösningsalgoritmer och svar. I Fig. 13 visas ett

exempel på en gammalbabylonisk matematisk problemtext. En av överraskning-

arna i den texten är de fem uppgifterna i § 3, som alla är av samma typ. I § 3 e,

till exempel, är utgångspunkten att ett par reciproka sexagesimaltal är givna, kal-

lade igi = 1 12 och igi.bi = 50 (ﬂytande värden). Det är lätt att kontrollera att

i absoluta värden 1;12  0;50 = 1, dvs. att 1/1;12 = 0;50 och 1/0;50 = 1;12.

Sedan beräknas först (igi + igi.bi)/2 = (1;12 + 0;50)/2 = 1;01. Därefter beräk-

nas i tur och ordning kv. 1;01 = 1;02 01, kv. 1;01  1 = 0;02 01, och kvadratro-

ten kvr. 0;02 01 = 0;11. I sista raden av uppgiften kallas 0;11 för “femte kort-

sidan”. Likadant i § 3 d, till exempel, där igi = 1;20, igi.bi = 0;45, och alltså

(igi + igi.bi)/2 = 1;02 30, kv. 1;02 30 = 1;05 06 15, kv. 1;02 30  1 = 0;05 06 15,

och “fjärde kortsidan” = kvr. 0;05 06 15 = 0;17 30. I samtliga fall går övningarna

tydligen ut på att konstruera sidor till rektanglar “normaliserade” så att diago-

nalen är 1 i varje enskilt fall. Idén är att alltid låta långsidan vara av formen

(igi + igi.bi)/2 samtidigt som diagonalen = 1. Då blir kortsidan automatiskt av

formen (igi igi.bi)/2. Det är lätt att kontrollera till exempel att i § 3 e så är

(1;12  0;50)/2 = 0;22/2 = 0;11.

Med andra ord visar de här övningsuppgifterna helt explicit att babyloniska

matematiker kände till att godtyckligt många rektanglar kan bildas med diagonal,

långsida och kortsida givna av formlerna (igi + igi.bi)/2, 1, (igi igi.bi)/2, där igi,

igi.bi är godtyckligt valda sexagesimalt reguljära tal med igi igi.bi =1.

Det ﬁnns alltid heltal p och q såd ana att igi = p/q och igi.bi = q /p. Därför är

(igi + igi.bi)/2, 1, (igi igi.bi)/2 = (kv.p+ kv.q)/2p  q, 1, (kv.p kv.q)/2p  q.

De här formlerna skiljer sig från de moderna formlerna för bildandet av rationella

lösningar till “Pythagoras ekvation” bara genom det för babylonierna naturliga

kravet att p och q måste vara sexagesimalt reguljära tal!

Det är intressant att konstatera att § 3 i den här nya texten faktiskt stöder

den tolkning av den berömda tabelltexten Plimpton 322 som j ag gav i Historia

Mathematica redan 1981!

9. En tillämpning av “Pythagoras sats” i 3 dimensioner. I Fig. 14 visas bak-

sidan av ett litet fragment av en matematisk samlingstext i Schøyensamlingen.

Av en lycklig slump ﬁnns det med på fragmentet en översikt över hela samlings-

textens innehåll. (Inga matematiska kilskriftstexter med liknande översikter har

publicerats tidigare.) Enligt översikten skall texten ursprungligen ha innehållit 16

olika övningar, fördelade på 5 teman, enligt följande. § 1: 6 cirkelproblem (av vil-

ka ett ﬁnns bevarat på framsidan av fragmentet), § 2: 5 problem för kvadrater,

§ 3: 1 problem för en triangel, § 4: 3 problem för ‘tegelformar’ (p arallelltrapetser?),

och § 5: 1 problem för en ‘inre diagonal’.

Nästan hela texten till § 5 är b e varad på fragmentet. Här är det fråga om en

helt oväntad överraskning i en ny matematisk kilskriftstext. § 5 handlar nämligen

om en port i en stadsmur. Portens höjd h är 5 alnar och 10 ﬁngrar = 0;26 40

stavlängder, bredden b är 0;08 53 20 stavar, och murens tjocklek t är 0;06 40

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 155

mu. bi 6 gúr.me$

mu. bi 5 nígin.$a

mu.bi 3

na-al

-ba-tum

3 2

u$ sig

. ‹á

i- $i-m

ta-mar

-ti

le- qé-e-ma

ta-mar

1 4 $u-li -ma

ta-mar

gi 4 du

a-na

x x

ba.si

$i-ni-pa-at ú- ba-nim

5 $u.si 5

$a 1 $u.si

ù 6 4

1 sag

.kak

3 na-al-ba-tum

1 $à.bar ká

1 1

4 2

6 4

ta- mar

1 5

1 6 4

ta-mar

8 5

3 2

dagal.la

2˚

6 4˚

sukud

i-ga-ri $u-ta- ki- il- ma

im.gíd.da

a-na

1. e

2˚

x x x x

6 4

ku-bu-ri i-ga-ri- im ta-mar

e- ru-ub-ma

6 4

.e 8 5

3 2

˚dagal

ù 1

$u.si 1 4

sukud ká

x x x x x

$um-ma

$à.bar ká

li- pé- e$ 5 kù $ 2

ká $u-ta- ki- il- -ma

6 4

ku-bu-ri i-ga-ri $u-ta-ki-il-ma

4˚ 4 2˚ 6 4˚ta-mar ku-mu-ur-$u-nu-ti

1˚ 3 5˚ 4 3˚ 4 1˚ 4 2˚ 6 4˚ ta-mar

ba.si

-$u $u-li- ma 2˚ 8 5˚ 3 2˚ ta-mar

ká $a 2˚6 4

˚sukud ki-a-am te-pé-e$

§ 5

§ 4 c

§ 4 a

i-ta-a$-

i-$i-ma 3˚

i- na 3 ta- ki-

$u-li- ma 6

ù 4 1˚ $u-

u$ sag.ki

li- im-

$a-lu-

am-

$u-

1˚

$u.nigin mu.bi 16

Figur 14 : MS 3049, baksidan. Ett problem för en ‘inre diagonal’ och en översikt.

t = 3/27 stavar = 0;06 40 stavar 

b =  4/27 stavar = 0;08 53 20 stavar

=  5/27 stavar (bottendiagonalen)

h =  12/27 stavar = 0;26 40 stavar

d = 13/27 stavar = 0;28 53 20 stavar

kv. t + kv. b = kv. d

kv. d

+ kv. h = kv. d

⇒

kv. t + kv. b + kv. h = kv. d

Figur 15 : Konstruktionen av siﬀrorna i problemet för den ‘inre diagonalen’.

friberg.tex,v 1.16

156 Jöran Friberg Normat 4/2004

stavar. Den ‘inre diagonalen’ d av porten b e räknas med hjälp av en tredimensio-

nell version av den babyloniska diagonalregeln (felaktigt kallad “Pythagoras’ sats”):

kv.d =kv.h+ kv.b+ kv.t= 0;11 51 06 40 + 0;01 19 00 44 26 40 + 0;00 44 26 40 =

0;13 54 34 14 26 40 kvadratstavar, d = kvr. 0;13 54 34 14 26 40 = 0;28 53 20 stavar.

Förklaringen till de komplice rade siﬀror som förekommer i det här problemet får

man om man observerar att 0;26 40 =

, 0;08 53 20 =

, 0;26 40 =

,och

0;28 53 20 =

. Rensar man här bort den gemensamma faktorn

, så ser man

att de givna måtten har konstruerats genom kombination av de två “diagonaltripp-

larna” (3, 4, 5) och (5, 12, 13). Idén är alltså följande (se Fig. 15): kv. 3+kv. 4 = kv. 5

och kv. 5 + kv. 12 = kv. 13 = kv. 3 + kv. 4 + kv. 12 = kv. 13.

10. Svåra geometriska problem förklädda till problem för lermurar. Texten som

visas i Fig. 16 nedan är en matematisk problemtext i Schøyensamlingen med en

välbevarad framsida men med en tämligen fördärvad baksida. Liksom MS 3049 i

Fig. 14 slutar den här texten med en översikt över de olika paragraferna i samlings-

texten. §2 är ett igi-igi.bi problem av samma slag som de fem problemen i §3 av MS

3971 (Fig. 13). § 1 innehåller fem problem illustrerade av teckningar av vad som ser

ut som trianglar och parallelltrapetser. I själva verket handlar problemen i § 1 om

lermurar med triangulär eller trapetsformad genomskärning. Några av problemen

är komplicerade och leder till ekvationer med verkligen överraskande lösningsform-

ler. Inga matematiska kilskriftstexter med liknande problem eller lösningsmetoder

har publicerats tidigare.

§ 1 a

lermur

§ 1 e

lermur

§ 2

diagonal

§ 4

kvadrat

översikt

§ 3

utgrävt rum

§ 1 b

lermur

§ 1 c

lermur

§ 1 d

lermur

3 cm

Figur 16 : MS 3052. En matematisk problemtext med fyra teman och en översikt.

I § 1 a betraktas en lermur med trapets formad genomskärning. Trapetsen har en

given höjd, 6 alnar, en given bas, 3 alnar, och en given topp,

aln. Murens längd är

också given, 3 00 stavlängder. Nu vill man förlänga muren med 20 stavar. Materialet

till utvidgningen får man genom att riva den översta delen av den ursprungliga

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 157

muren. Frågan är hur mycket lägre den nya muren kommer att bli. Svaret är 1

aln lägre.

I § 1 b betraktas igen en lermur med trapetsf ormad genomskärning. Murens

längd, höjd, och volym är givna. På en viss höjd över marken har ett hål som

är borrat tvärs genom muren en viss längd. Frågan är hur bred muren är nedtill

och upptill. I § 1 c är genomskärningen triangulär. Annars är det samma typ av

problem som i § 1 b.

I § 1 d är problemet en kombination av problemen i § 1 c och § 1 a (Fig. 17).

Troligen var problemet i den fördärvade § 1 e en kombination av problemen i § 1 b

och § 1 a.

Det är klart att § 1 i den här texten är ett avsnitt ur en ursprungliga gammal-

babylonisk “tematext” på hög nivå, systematiskt organiserad som den är och up-

penbarligen f örfattad av en ytterst kompetent matematiker.

förlängningen

hålet

den rivna överdelen

Figur 17 : MS 3052 § 1 d. En lermur med en förlängning och ett hål.

11. Vikten av en ikosaeder tillverkad av ﬁngertjocka kopparplåtar. Den intres-

santaste matematiska kilskriftstexten i S chøyensamlingen är den som visas i Fig.

18, i skala 1:1. Det är en liten lertavla med komprimerad skrift och många ovanliga

termer. Den är troligen kassitisk, dvs. från tiden efter den gammalbabyloniska pe-

rio de n i Mesopotamien (andra hälften av andra århundradet f.Kr.). Bara en enda

matematisk problemtext från den tiden har publicerats tidigare.

Texten börjar med en beräkning av en siﬀra för antalet ‘spelpjäsfält’. Om den

här översättningen av den motsvarande sumeriska termen i te xten är korrekt, så

handlar det om ﬁgurer som på något sätt ser ut som spelpjäser. Antalet sådana

ﬁgurer beräknas på följande kryptiska sätt: Man utgår från en given ‘konstant’ 6.

Sedan subtraherar man 1 och multiplicerar med 4. Resultatet b lir då (61)4 = 20.

Därefter beräknas ytan av ett spelpjäsfält med sidan 3 alnar. Ytan A beräknas så

här. (För tydlighets skull har jag satt ut nollor och semikolon i sexagesimalbråken .)

3 alnar = 0;15 stavar,

 3 alnar = 0;07 30 stavar, 3 alnar 

 3 alnar =

0;01 52 30 kvadratstavar, A =3alnar

3 alnar

3 alnar

3 alnar =

(0;01 52 30  0;00 14 03 45) kvadratstavar.

friberg.tex,v 1.16

158 Jöran Friberg Normat 4/2004

Farouk Al-Rawi

Figur 18 : MS 3876. En matematisk text som handlar om 20 liksidiga trianglar.

Uträkningen visar att ‘spelpjäsf ält’ är en sumerisk term med betydelsen ‘liksidig

triangel’. Ty om s är sidan av en liksidig triangel, så vet man att ytan av triangeln

är lika med s  s/2 



3. Samma formel används i den kassitiska texten, men

med



3 ersatt av approximationen 1 

. Det motsvarar att



3 har

approximerats med bråket

(= 1;45), vilket är en bra approximation eftersom

kv.

(= 3;03 45).

I den avslutande delen av texten gäller det att beräkna vikten av den koppar

som går åt för att konstruera en ‘hornﬁgur’ sammansatt av 20 liksidiga trianglar.

Man börjar med att räkna ut den sammanlagda ytan av de 20 ‘spelpjäsﬁgurer-

na’ med sidan 3 alnar. Resultatet är 20A = 20  0;01 38 26 15 kvadratstavar =

0;32 48 45 kvadratstavar. Sedan beräknas volymen V av den koppar som går åt

för de 20 spe lpjäsﬁgu rerna. Tydligen är tjockleken av varje sådan ﬁgur 1 ﬁn ger =

aln = 0;02 aln. För att förstå uträkningen måste man veta att i gammalbabylo-

niska texter är volymenheten lika med en kvadratstav gånger 1 aln =1kv.st. aln.

Då ser man att V =1ﬁnger  20A = 0;02 aln  0;32 48 45 kv.st. = 0;01 05 37 30

kv.st.  aln. Det sista steget i beräkningen är en multiplikation med 1 12, som

kallas ‘konstanten för koppar’. Vad det betyder inser man lätt. Utgångspunkten

är att med 1 talent = 1 00 mina = 1 00 00 shekler (ungefär 30 kg), så är (enligt

gammalbabylonisk uppfattning) 1 talent = vikten av en kvadratisk kopparplåt med

sidan 1 aln och tjockleken 1 ﬁnger. Alternativt är 1 12 00 talenter per volymenhet

(kv.st.aln) = vikten av koppar per volymenhet. Att det här stämmer följer av att

1 volymenhet =1kv.st.aln = 121230 kv.alnﬁnger = 1 12 00 kv.alnﬁnger.

Därmed är det klart att vikten K av de 20 triangulära kopparplåtarna är precis

K = (1 12 00 tal./kv.st.aln) 1 ﬁnger20A = 1 12 00 0;01 05 37 30 talenter =

1 18;45 talenter.

friberg.tex,v 1.16

Normat 4/2004 Jöran Friberg 159

Därmed är uträkningarna i den kassitiska texten förklarade. Det återstår bara att

lista ut vad det hela handlar om. Vad ﬁnns det för ‘hornﬁgur’ som kan konstrueras

av 20 ﬁngertjocka kopparplåtar i form av liksidiga trianglar med sidan 3 alnar?

Det överraskande svaret är att hornﬁguren troligen är en reguljär polyeder, när-

mare bestämt vad som med en grekisk term kallas en ikosaeder. Förklaringen till

konstruktionen i texten av talet 20 som prod ukten (61)4 är då att en ikosaeder

kan vikas ihop med utgångspunkt från (6 1)  4 liksidiga trianglar hopsatta s om

i Fig. 19, till vänster. Första steget i konstruktionen är att avlägsna en liksidig

triangel från en reguljär sexhörning.

1c1b

3b 3a

4a 5a

Figur 19 : Hur (6  1)  4 = 20 liksi diga trianglar kan vikas ihop till en ikosaeder.

12. Den babyloniska matematiken bjuder på många överraskningar. De sex ba-

byloniska problemtexterna i Schøyensamlingen bekräftar till övermått den empi-

riska regeln att nya babyloniska matematiska problemtexter alltid innehåller över-

raskningar. Vad de t betyder är att man troligen fortfarande vet mycket litet om

den verkliga omfattningen av den babyloniska matematiken. Det i sin tur hänger

förmodligen ihop med att ytterst få av de kända matematiska kilskriftstexterna är

välorganiserade originaltexter författade av någon av de ovanligt begåvade anony-

ma matematiker som måste ha lagt grunden till den babyloniska matematiken. Vi

känner huvudsakligen till bara en mängd utdrag ur tabelltexter och diverse enkla

övningsuppgifter, skrivna av skolelever på en relativt elementär nivå, ibland fulla

av felaktigheter. Ett fåtal mer avancerade övningstexter kan vara äldre elevers av-

skrifter direkt från originaltexterna. Sedan ﬁnns det också vad man kan kalla “sam-

lingstexter”, som är större lertavlor på vilka intresserade lärare mer eller mindre

systematiskt har samlat ihop och kopierat sådana avskrifter av delar av original-

texterna. Vad vi har är därför bara glimtar av hur den babyloniska matematiken

på allra högsta nivå egentligen kan ha sett ut.

friberg.tex,v 1.16