160 Normat 52:4, 160–171 (2004)
Perspektivkasser og matematik
Claus Jensen
Harrildvej 41
DK–9240 Nibe, Danmark
claujen@hotmail.com
Perspektivlærens opdagelse og udbredelse
Perspektivlærens opdagelse i begyndelsen af 1400-tallet tilskrives almindeligvis Fi-
lippo Brunelleschi (1377–1446), arkitekten bag den vidunderlige kupp e l på Dom-
kirken i Firenze – og bag mange andre bygninger i byen. På rent empirisk grundlag
udbredte Brunelleschi sin metode til at give et todimensionalt billede en illusion
af tredimensionalitet, og han demonstrerede i praksis sin metodes effektivitet og
anvendelighed på en så slående og overbevisende måde, at samtidens kun stnere
omgående og begejstret tog metoden til sig.
1
I de følgende århundreder udvikledes gradvist det teoretiske grundlag for per-
spektivlæren,
2
idet kunstnernes teoretiske og praktiske indsigt snart nåede et så-
dant niveau, at man ikke blot fremstillede perspektivisk korrekte billeder i stor
mængde, men også hurtigt fik overskud til at lege: først med fremstilling af ana-
morfoser,
3
senere m ed konstruktion af perspektivkasser.
4
Hvad er en perspektivkasse?
Fremstillingen af perspektivkasser var et populært, men kortvarigt fænomen , der
kunne iagttages i Holland i årene ca. 1650–75. Følgende skildring af englænderen
John Eve lyn, der i 1656 så en perspektivkasse i London, illustrerer emnets fascina-
tionskraft på samtiden, og beretningen antyder samtidig, hvad en perspektivkasse
er:
. . . was shew’d me a pretty Perspective & well represented in a triangular Box,
the greate Church of Harlem in Holland, to be seene thro a small Hole at one of
the Corners, & contrived into a hansom Cabinet. It was so rarely don, that all the
Artists and Painters in Towne, came flocking to see & admire it.
5
1
Frandsen pp. 58–60, Zeeman.
2
Andersen 1993, Andersen 2005, Frandsen pp. 50–77, Vestergaard pp. 7–8.
3
Andersen 1996, Elffers, Schuyt, Leeman, Baltrusaitis.
4
Koslow, Brusati pp. 169–217, Koester pp. 276–285, Ebert-Schifferer pp. 272–277, Cole pp.
36–37, Elffers, Schuyt, Leeman pp. 69–97, Andersen 2005.
5
Brown, Bomford, Plesters, Mills p. 62.
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 161
Figur 1 : Samuel van Hoogstratens perspektiv-
kasse, ca. 1655–1660, National Gallery in Lon-
don. Gengivet efter plate V i Celeste Brusa-
ti: Artifice and Illusion. The Art and Writings
of Samuel van Hoogstraten, Chicago & London
1995, med forfatterens tilladelse.
Den mest raffinerede af de be-
varede perspektivkasser skyl-
des Samuel van Hoogstraten
(1627–78), der efter en dt lære-
tid i Rembrandts værksted ud-
viklede sig til at blive en sand
mester i illusionistisk kunst, og
som hurtigt kom til at udføre
opgaver for adskillige af Euro-
pas fyrstehoffer. Hans perspek-
tivkasse er afbildet på figur 1.
Heraf samt af Evelyn’s beskri-
velse fremgår, at en perspek-
tivkasse er en trækasse, hvis
indre er bemalet, så iagtta-
geren oplever en fascinerende
kombination af virkelighed og
illusion. Kassens indre kan i
dag iagttages gennem en større
åbning i en af dens vægge, men
det, man ser herigennem, vir-
ker stærkt forvrænget. Åbnin-
gen er nemlig ikke beregnet til
at se igennem: oprindelig var
den dækket med gennemskin-
neligt pergament, som lod lys
komme ind, men holdt nyfig-
ne blikke ude. Iagttageren skal
derimod se gennem et af de
to kikhuller, som er anbragt i
endepanelerne. Gør man det,
opleves et livagtigt hollandsk 1600-tals interiør med borde, stole, personer og så-
gar en lille hund. Men i kraft af den perspektiviske bemaling på vægge, loft og
gulv fremtræder lokalet som længere, bredere og højere, end det i virkeligheden er.
Ja, nogle af de andre kasser ser endda ud til at være rektangulære, selv om de i
virkeligheden er enten trekantede eller femkantede (se tabellen side 162).
Det er værd at bemærke, at disse hollandske perspektivkasser er aldeles tom-
me, og at den illusionistiske effekt fremkommer alen e i kraft af de perspektivisk
tilrettelagte bemalinger af det indre. Den perspektivkasse, der omtales i Oehlen-
schlägers (1779–1850) Sanct Hansaften-spil, som måske af og til stadig indgår i
det danske gymnasiepensum, er derimod af en helt anden type: ifølge digtets tekst
en miniature-teaterscene med udskiftelige kulisser, som tillader sceneskift. Det er
formentlig denne senere perspektivkassetype, der kan ses på malerier af Jens Juel
(1745–1802): Nächtliche Strassenszene auf dem Berg in Hamburg fra 1764, se figur
2, og af Christian August Lorentzen (1749–1828): Mand og børn med perspektiv-
kasse, Museet på Sønderborg Slot, Sønderborg, se figur 3.
jensen.tex,v 1.13
162 Claus Jensen Normat 4/2004
Bevarede perspektivkasser
Sted Datering Form
Antal
kikhuller Motiv Kunstner
Nationalmuseet
København
1655–1660 1
En reformert
kirke
Anonym
Nationalmuseet
København
ca. 1660 1
En katolsk
kirke
Anonym
Nationalmuseet
København
1665–1670 1
Et hollandsk
vorhuis
Anonym
Bredius Museum
Haag
1670–1675 1
Et hollandsk
vorhuis
Anonym
Detroit Institute
of Arts
1663 1 Et stort lokale Anonym
National Gallery
London
1655–1660 2
Det indre af et
hollandsk hus
Samuel van
Hoogstraten
Figur 2 : Maleri af Jens Juel (1745–1802):
Nächtliche Strassenszene auf dem Berg
in Hamburg, 1764, Museum für Hambur-
gische Geschichte, Hamburg.
Figur 3 : Maleri af Christian
August Lorentzen (1749–1828):
Mand og børn med perspektiv-
kasse, Museet på Sønderborg
Slot, Sønderborg.
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 163
Figur 4 : Illustration i Albrecht Dürer: Unterweisung der Messung, Nürnberg 1525.
Centralprojektioner
I Holland fremstilledes i den nævnte korte periode ca. 1650–75 talrige perspektiv-
kasser, hvoraf i dag desværre kun seks er bevaret, se tabellen side 162.
6
Det beskedne antal til trods, er vidt forskellige former heldigvis repræsenteret:
tre trekantede (heraf én retvinklet og to spidsvinklede), to firkantede og en enkelt
femkantet. Uanset formen er de imidlertid alle konstrueret ved en elegant kom-
bination af et antal centralprojektioner, der har fælles øjepunkt, men forskellige
billedplaner.
Figur 4 illustrerer, hvordan en lut punkt for punkt afbildes perspektivisk vha.
en centralprojektion, her i Albrecht Dürers kunstneriske fremstilling fra 1525:
7
en
øsken på væggen til højre repræsenterer øjepunktet, og trærammen på bordet udgør
billedplanen. Et lærred er vha. hængsler monteret på rammen, således at lærredet
kan åbnes og lukkes i forhold til denne. Hjælperen tv. har valgt et punkt på lutten,
og punktets synsstråle er repræsenteret ved en snor, som er udspændt fra øsken til
punkt. På rammen er monteret et bevægeligt trådkors, som kunstneren th. indstil-
ler, således at trådkorsets kryds markerer skæringspunktet mellem synsstrålen og
billedplanen. Derpå fjernes snoren, lærredet lukkes i, og trådkorsets position over-
føres med kul e. lign. til en prik på lærredet. Hermed er det valgte punkt projiceret
6
I skrivende stund kan størstedelen af de seks bevarede perspektivkasser ses på følgende in-
ternetadresser:
København: http://www.kunstkammer.dk/Schilderi/genstande_schilderi_lit.asp?ID=132
http://www.kunstkammer.dk/Schilderi/genstande_schilderi.asp?ID=247
http://www.kb.dk/kultur/expo/porten/96-i llus/10p ersp.htm
Haag: http://www.museumbredius.nl/schilders/elinga.htm
Detroit: http://www.dia.org/collections/euroart/dutch/35.101.html
London: http://www.nationalgallery.org.uk/cgi-bin/WebObjects.dll/CollectionPublisher
.woa/wa/work?workNumber=NG3832
7
Dürer p. Q iii.
jensen.tex,v 1.13
164 Claus Jensen Normat 4/2004
på billedplanen, så lærredet kan åbnes, hjælperen kan vælge et nyt punkt, snoren
udspændes, og hele processen gentages. På lærredet fremtoner allerede et billede af
lutten, så de to herrer har åbenbart været i gang med arbejdet i et stykke tid.
Samme snoreprincip er anvendt i det pædagogiske perspektivinstrument på figur
5, blot udgår der her fra øjepunktet (stolpespidsen i forgrunden) ikke én, men
mange sn ore til udvalgte punkter i motivet bag billedplanen.
Figur 5 : Instrument (defekt) til
demonstration af en centralprojek-
tion, Musée des Arts et Métiers,
Paris.
Udspænding af snore er imidlertid lang-
sommeligt. Det er langt hurtigere at lade
lysstråler repræsentere synsstrålerne, sådan
som det sker på figur 6. Figuren illustrerer
Plinius den Yngres (23–79 e. Kr.) beretning
om, hvordan malerkunsten og terrakotta-
kunsten opsto d i Grækenland:
8
Hvornår maleriet er opstået er usikkert,
og det falder uden for dette værks ram-
mer at drøfte spørgsmålet . . . Nogle me-
ner, at det opstod i Sicyon andre i Ko-
rinth, men alle er enige om, at det tog sin
begyndelse med at man tegnede et om-
rids efter en persons skygge, og billeder
i starten lavedes således . . . Samme jord
var skyld i, at Butades, en pottemager fra
Sicyon som den første begyndte at lave
portrætter i ler takket være sin datter.
Hun var forelsket i en ung mand, og da
han skulle rejse udenlands, tegnede hun
på væggen et omrids af det skyggebillede,
hans ansigt ved lampelysets hjælp kaste-
de på væggen . . .
Her optræder altså en centralprojektion,
hvor øjepunktet repræsenteres af den oli-
elampe, der hænger midt i pottemager-
værkstedet, og hvor billedplanen er væggen til venstre. Men samtidig hermed pro-
jiceres alle værkstedets objekter jo på fire andre billedplaner, nemlig værkstedets
højre væg, bagvæggen, loftet og gulvet. Der er altså ligesom i en perspektivkas-
se tale om et antal centralprojektioner, der har fælles øjepunkt, men forskellige
billedplaner.
Samuel van Hoogstratens perspektivkasse
Samuel van Hoogstratens perspektivkasse befinder sig på National Gallery i Lon-
don. Indtil for få år siden solgte National Gallery’s mu seu msb utik en model af
perspektivkassen, lavet i pap i målestoksforholdet ca. 1:5. En kopi af perspektiv-
kassen – i naturlig størrelse – findes på Göteborgs Konstmuseum. Den originale
kasse er indvendigt 77,9 cm lang, 51,2 cm b red og 52,4cm høj. Den er signeret, men
ikke dateret, og de n har i modsætning til de andre bevarede kasser hele to kikhuller,
8
Plinius pp. 7 og 42
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 165
Figur 6 : J. E. Hummel: Die Erfindung der Zeichenkunst, kridttegning o. 1830,
Staatliche Museen zu Preußischer Kulturbesitz, Berlin.
et i hvert endepanel, placeret lige over for hinanden, i endepanelets sammenføjning
med frontpanelet. Da intet billede kan iagttages perspektivisk korrekt fra to for-
skellige øjepunkter, skulle man tro, at to kikhuller ville medføre problemer. Af det
følgende vil fremgå, hvordan van Hoogstraten har løst en sådan latent konflikt.
H
V
= D
+
B
H
B
D
V
D
B
Figur 7 : Samuel van Hoogstratens perspektivkasse, National Gallery in London: de
to endepaneler nedlagt i bagvæggens plan.
Figur 7 viser de to endepaneler nedlagt i bagvæggens plan. Som det ses, er
bagvæggen og venstre endepanel forsynet med et illusionistisk flisegulv. Kassens
bund, som skimtes på figur 1, og som er gengivet på figur 8, er derimod forsynet
med et virkeligt flisegulv.
jensen.tex,v 1.13
166 Claus Jensen Normat 4/2004
Venstre endepanel
Figur 8 : Tegning af de virkelige fli-
ser i bunden af Samuel van Hoog-
stratens perspektivkasse.
Venstre endepanels illusionistiske fliser er
konstrueret på følgende måde: På figur 8
markerer Billedplan 1 den aktuelle b illed-
plan. De (usynlige) linjer gennem fliser-
nes hjørner, som går i kassens længderet-
ning, er ortogonaler i forhold til Billed-
plan 1. Opf attes højre kikhul som punkt-
formigt, vil centralprojektionen med det-
te punkt som øjepunkt projicere ortogona-
lerne i linjer, som konvergerer i panelets
hovedforsvindingspunkt H
V
. Som bekendt
fremkommer hovedforsvindingspunktet ved
at projicere øjepunktet vinkelret på billed-
planen (se rammen side 170), og da hullerne
som nævnt er anbragt diametralt over for hinanden, så har projektionen fra højre
kikhul mod venstre endepanel netop sit hovedforsvindingspunkt beliggende i ven-
stre kikhul! Det h ele bekræftes af de fuldt optrukne hjælpelinjer, som på figur 7
er indtegnet på venstre endepanel: linjerne gennem de illusionistiske flisers hjørner
konve rgerer faktisk i det venstre kikhul. På figur 8 danne r flisernes sider rette linjer,
som skærer Billedplan 1 under vinkler på 45
. Ved centralprojektionen projiceres
de to sæt sider derfor i rette linjer, som konvergerer i distancepunkterne D
V
og
D
+
V
, som begge falder uden for endepanelet. På figur 7 ses netop, at de punkterede
linjer, der indeholder det ene sæt flisesider, virkelig har et fælles punkt D
V
, der i
denne udfoldede version netop falder på en af bagvæggens dørpaneler. Det andet
sæt sider konvergerer tilsvarende i det andet distancepunkt D
+
V
, som ikke er vist,
da det ligger uden for figurens venstre kant. Længden af linjestykket fra H
V
til D
V
udgør centralprojektionens distance, altså afstanden fra øjepunktet til billedplanen,
i dette tilfælde det samme som kassens længde. På figur 7 kan det kontrolleres, at
linjestykket fra H
V
til D
V
virkelig har samme længde som bagvæggen!
På figur 7 udgør forbindelseslinjen mellem de to kikhuller de tre panelers ho-
risontlinjer, ved endepanelernes nedlægning anbragt i hinandens forlængelse. De
tre paneler indeholder i alt fire hovedforsvindingspunkter (se figur 10) og dermed
otte distancepunkter, som alle ligger på d enn e »fælles« horisontlinje. To af distan-
cepunkterne falder dog uden for figuren, og visse af de resterende 10 punkter er
sammenfaldende, se neden for.
Højre del af bagvæggen
De illusionistiske fliser på bagvæggens højre del er konstrueret således: På figur
8 angiver Billedplan 2 den nu aktuelle billedplan. Denne del af bagvæggen kan
i praksis kun iagttages fra det venstre kikhul, som altså er øjepunkt for den nu
aktuelle centralprojektion. De usynlige linjer, som på figur 8 går gennem flisernes
hjørner, og som peger i kassens bredderetning, er ortogonaler i forhold til Billed-
plan 2. Ortogonalerne af bildes ved c entralprojektionen i linjer, der konvergerer i
projektionens hovedforsvindingspunkt H
B
, og dette fremkommer som sædvanligt
ved at projicere øjepunktet vinkelret ind på billedplanen(s forlængelse). Da kassen
er rektangulær, må H
B
således ligge i sammenføjningen mellem de to paneler, og
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 167
som nævnt på horisontlinjen. Dette bekræftes af, at horisontlinjens skæringspunkt
med panelsammenføjningen iflg. figur 7 virkelig vha. rette linjer kan forbindes med
hjørnerne i de illusionistisk malede fliser. Disse forbindelseslinjer kan meget vel være
tegnet vha. af tynde snore fastgjort til en stift anb ragt i punktet H
B
. I omegnen
om dette punkt ses faktisk et antal små huller, som tyder på, at stifter har været
fastgjort her.
9
På figur 8 ligger siderne i bundens virkelige fliser på to sæt rette linjer, der skærer
Billedplan 2 under vinkler på 45
. Bagvæggens to tilsvarende sæt illusionistiske
flisesider, hvoraf det ene sæt på figur 7 er markeret med punkterede rette linjer,
konve rgerer derfor i billedplanens to distancepunkter D
B
og D
+
B
, beliggende på
horisontlinjen, symmetrisk på hver side af H
B
. Det kontrolleres let, at distancen –
afstanden fra H
B
til D
B
(eller til D
+
B
) – virkelig er lig afstanden fra det aktuelle
øjepunkt til billedplanen, i dette tilfælde det samme som kassens bredde. De tre
linjebundter, som konvergerer i hhv. D
+
B
, H
B
og D
B
svarer i øvrigt netop til en figur
i Malton, her gengivet som figur 9. Van Hoogstratens fliser på figur 7 fremtræder
dog en del mere »forvredne« end Maltons.
Figur 9 : Illustration i Thomas Malton: A Compleat Treatise of Perspective, London
1778: plate XII fig. 58 no. 1.
De øvrige paneler
Kikhul
Figur 10 : De 8 hovedforsvin-
dingspunkter i Samuel van
Hoogstratens perspektivkasse.
Tilsvarende analyser vedr. perspektivkassens
øvrige paneler, herun de r kassens gulv og loft,
viser, at bemalingen af det indre er foreta-
get på grundlag af i alt 8 centralprojektioner,
fire og fire med fælles øj ep unkt, men med for-
skellige billedplaner. Figur 10 viser beliggen-
heden af de 8 hovedforsvindingspunkter. Ek-
sempelvis er møblers – og m åske hundens –
virkelige b en ortogonaler i forhold til gulvets
plan. De dele af benene, som er malet illu-
sionistisk på gulvet, konvergerer derfor mod
et af gulvplanens to hovedforsvindingspunk-
ter. Tilsvarende har loftet to illusionistiske
9
Oplysning meddelt af museumsinspektør David Bomford, National Gallery, London
jensen.tex,v 1.13
168 Claus Jensen Normat 4/2004
gengivelser af indrammede malerier. De vertikale dele af et virkeligt billedes ram-
me er med tilnærmelse ortogonaler i forhold til loftets plan. Derfor konvergerer
de tilsvarende illusionistiske dele af rammen tilnærmelsesvis mod et af loftets ho-
vedforsvindingspunkter. I Cole,
10
hvor samtlige paneler er gengivet – i korrekt
indbyrdes p lacering, men desværre i uens målestoksforhold – kan man kontrollere,
at det virkelig forholder sig på denne måde.
Loftets to illusionistiske malerier i ramme bevirker, at rummets højre del ser
højere u d, end det i virkeligheden er. Rummets venstre del har derimod ikke en
sådan effekt. Teoretisk set burde der således kunne iagttages en konflikt mellem
loftets to dele. Men i praksis er konflikten usynlig, fordi man fra hvert kikhul kun
kan se den del af loftet, som er længst væk fra det pågældende kikhul. T ilsvarende
bemærker man heller ikke den teoretiske uoverensstemmelse mellem bagvæggen s
to konfliktende systemer af illusionistiske fliser: Samuel van Hoogstraten har på
elegant vis ladet en stol, en pude og en cirkulær måtte camouflere den latente
konflikt.
H
V
D
V
-
D
Kikhul
Kikhul
B
+
45°
45°
Bagvæg
Figur 11: Samuel van Hoogstratens perspektivkasse: Vandret snit gennem kassens
kikhuller, kombineret med nedlægning af venstre endepanel og dets forlængelse.
Som nævnt er der sammenf ald mellem visse af de mange hovedforsvindings-
punkter og distancepunkter på den fælles h orisontlinje på fi gur 7. Figur 11 viser
et vandret snit gennem kassens kikhuller samt nedlægningen af venstre endepane l
(og dets forlængelse) i bagvæggens plan. Det fremgår heraf, at H
V
– som allerede
nævnt – ved nedlægningen falder i D
+
B
, og da linjen fra højre kikhul til punktet D
V
skærer venstre endepanel under en vinkel på 45
, så vil denne linje ligeledes skære
bagvæggen under en vinkel på 45
. Dette skæringspunkt er altså et af distancepunk-
terne for den del af bagvæggen, som kan ses fra højre kikhul, og skæringspunktet
falder åbenbart sammen med nedlægningen af D
V
. Tilsvarende sammenfald optræ-
der mellem andre af forsvindingspunkterne på den fælles horisontlinje.
10
Cole pp. 36–37.
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 169
Konstruer din egen perspektivkasse
Af ovenstående fremgår, at væggenes illusionistiske fliser kan konstrueres, så snart
følgende valg er truffet:
– kassens form og dimensioner
– placeringen af kikhul(ler)
– gulvets virkelige fliser
Figur 12 viser geometrien i en udfoldet version af en moderne rektangulær perspek-
tivkasse med ét kikhul, hvor det manglend e låg fungerer som lysindtag. Kassen er
konstrueret vha. geometriprogrammet Geometer’s Sketchpad. Hvis figuren kopie-
res, klippes ud og foldes, kan man let forvisse sig om, at illusionen er s ærdeles
virksom. På tilsvarende måde kan man konstruere perspektivkasser, som er trekan-
tede, fe mkantede osv. Prøv selv, og god fornøjelse!
11
Figur 12 : Udfoldet perspektivkasse konstrueret ved hjelp af programmet Geometer’s
Sketchpad.
11
Denne artikel er en revideret version af et foredrag holdt i 1995 på Institut for Videnskabs-
historie, Aarhus Universitet. Tak til Kirsti Andersen og de tilstedeværend e studerende for kritik,
som forb edrede min indsigt i emnet. Teksten er – bortset fra enkelte ændringer og tilføjelser –
identisk med en artikel med samme titel, bragt i tidsskriftet Matilde, nr. 19, marts 2004, pp. 20–25
+ bagsiden af nr. 19. Matilde-teksten blev trykt, uden at der var lejlighed til korrekturlæsning,
og indeholder derfor adskillige fejl i forhold til nærværende tekst.
jensen.tex,v 1.13
170 Claus Jensen Normat 4/2004
Om perspektivlærens grundbegreber
Perspektivlærens mest fundamentale egenskab er, at en ce ntralprojektion afbilder
ethvert bundt af parallelle linjer fra det 3-dimensionale rum i et plant linjebundt,
som har et punkt fælles – parallelbundtets såkaldte forsvindingspunkt. Det er her
og i det følgende naturligvis en forudsætning, at de optrædende parallelbundter
alle består af såkaldte frontlinjer, dvs. linjer, som skærer billedplanen.
Figur (i) illustrerer situationen: Centralprojektionen me d øjep unkt Ø afbilder et
parallelbundt af frontlinjer i et plant linjebundt med punktet F som fællespunkt.
Ø
F
Figur (i): Konstruktion af forsvindings-
punktet F for et bundt af parallelle lin-
jer.
Normal
+45° -45°
Ø
D
D
-
+
H
Figur (ii): Billedplanen set »fra oven«,
med angivelse af øjepunkt, hovedfor-
svindingspunkt og distancepunkter.
Det er let at indse, at parallelbundtets forsvindingspunkt F kan bestemmes som
skæringspunktet mellem billedplanen og en hjælpelinje, der går gennem øjepunk-
tet, og som er parallel med linjerne i parallelbundtet. Hvis p arallelbundtet spec-
ielt består af ortogonaler, dvs. linjer, der er vinkelrette på billedplanen, så er
den nævnte hjælpelinje jo også vinkelret på billedplanen. Ortogonalernes forsvin-
dingspunkt, det såkaldte hovedforsvindingspunkt, er derfor øjepunktets vinkelrette
projektion på billedplanen. Endvidere er det klart, at ethvert vandret parallel-
bundt har sit forsvindingspunkt liggende på den vandrette linje i billedplanen,
som går gennem hovedforsvindingspunktet. Denne linje er horisontlinjen. Blandt
de vandrette parallelbundter er der to, som er vigtigere en d alle andre, nemlig de
to, som danner en vinkel på enten +45
eller 45
med billedplanens normaler.
De to tilsvarende forsvindingspunkter er de såkaldte distancepunkter, der altså lig-
ger på horisontlinjen, symmetrisk omkring hovedforsvindingspunktet. Figur (ii)
viser billedplanen set »fra oven«. H er hovedforsvindingspunktet, D
+
og D
de
to distancepu nkter.
jensen.tex,v 1.13
Normat 4/2004 Claus Jensen 171
Litteratur
[Andersen 1993] Kirsti Andersen: Geometrien bag perspektivet,
Matematiklærerforeningen 1993.
[Andersen 1996] Kirsti Andersen: The Mathematical Treatment of Anamorphoses
from Piero della Francesca to Niceron, i History of Mathematics: States of the Art, New
York 1996.
[Andersen 2005] Kirsti Andersen: The Geometry of an Art. The History of the
Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge, Springer Verlag, New York,
under udgivelse.
[Baltrusaitis] Jurgis Baltrusaitis: Anamorphic Art, Cambridge 1977.
[Brown, Bomford, Plesters, Mills] Christopher Brown, David Bomford, Joyce
Plesters og John Mills: Samuel van Hoogstraten: Perspective and Painting, National
Gallery Technical Bulletin 11, 60–85 (1987).
[Brusati] Celeste Brusati: Artifice and Illusion. The Art and Writings of Samuel van
Hoogstraten, Chicago & London 1995.
[Cole] Alison Cole: Perspektiv, København 1997.
[Dürer] Albrecht Dürer: Unterweisung der Messung, 1. udgave: Nürnberg 1525,
facsimileudgave: Nördlingen 1983.
[Ebert-Schifferer] Sybille Ebert-Schifferer et al.: Deceptions and Illusions. Five
Centuries of Trompe l’Oeil Painting, Washington 2002.
[Elffers, Schuyt, Leeman] Joost Elffers, Michael Schuyt og Fred Leeman:
Anamorphosen. Ein Spiel mit der Wahrnehmung, dem Schein und der Wirklichkeit,
Köln 1981.
[Frandsen] Jesper Frandsen: Ind i perspektivet, Systime 1994.
[Koester] Olaf Koester et al.: Blændværker. Gijsbrechts – Kongernes Illusionsmester,
København 1999.
[Koslow] S. Koslow: “De wonderlijke Perspectyfkas”. An Aspect of Seventeenth
Century Dutch Painting, Oud Holland 82, 33–56 (1967).
[Malton] Thomas Malton: A Compleat Treatise of Perspective, London 1778.
[Plinius] Gaius Plinius Secundus: Græsk-Romersk Kunsthistorie. Malerkunsten og
Terrakottakunsten, oversat af Jacob Isager, Odense 1978.
[Vestergaard] Erik Vestergaard: Matematik i perspektiv, Abacus 1995.
[Zeeman] Christopher Zeeman: Geometry and Perspective, Videofilm produceret af The
Royal Institution of Great Britain in association with The Department of Education and
Science, BBC Milton Keynes 1986.
jensen.tex,v 1.13
