180 Normat 52:4, 180 (2004)
Notiser
Rettelse
Presentasjonen av Eulers bevis for perfekte partall i min artikkel Perfekte tall –
Elementære betraktninger i hefte nr. 4 i årgangen 2003 av Normat er uf ullsten dig.
På side 165 linje 10 skriver jeg: «Hvis c>1 får vi at divisorsummen B 2
m+1
1+b + c +1 ved å legge sammen opplagte divisorer.» Tilfellet der 2
m+1
1=c er
imidlertid ikke dekket av beviset. Da vil man nemlig få færre «opplagte» divisorer
og det gjelder å vise hvorfor man ikke kan havne i den situasjonen.
Hvis 2
m+1
1=c, så er b = c
2
et odde kvadrat og divisorsummen B for b er
B =2
m+1
c som er et partall. Dette kan ikke gå an. Divisorsummen for en jamn
primtallsp otens er nemlig (p
2a
)=1+p + p
2
+ ···+ p
2a
som er odde siden et odde
antall oddetall legges sammen. Da gjelder det samme også for et oddetall b som er
satt sammen av flere primtallspotenser med jamn eksponent, siden divisorsummene
bare multipliseres sammen. Denne observasjonen går tilbake til Descartes, som
påviste at intet odde kvadrattall kan være perfekt fordi antall divisorer til et kvadrat
er odde. Jeg vil rette en takk til Helge Tverberg, som gjorde meg oppmerksom på
hullet i beviset.
Christoph Kirfel
En fjerdegradsligning og dens Galois-gruppe – tillegg
I min artikkel i dette heftet er det en utestående problemstilling: Finnes det ek-
sempler på fjerdegradsligninger Q(x)=0(se side 172) med Galois-gruppe Z
4
?
Det kan vises at Z
4
aldri kan opptre som Galois-gruppe. For i så fall måtte
diskriminanten til Q(x)=0være 2 ganger et kvadrattall, og Q(x) være redusibel
over Q[
2]. Ved bruk av kongruensregning gir dette betingelser på a, b og c som
gir en selvmotsigelse. For detaljer, se http://mathforum.org/epigone/sci.math.
research/twomprendlex.
Det nevnes til slutt at når a, b og c er positive hele tall med c a + b og Q(x) er
irredusibel så kan ikke Galois-gruppen være abelsk, og da heller ikke Z
4
. Det er nok
å vise at ligningen i så tilfelle har både reelle og komplekse røtter. Slike moniske
irredusible fjerdegradsligninger med heltallskoeffisienter kan ikke ha abelske Galois-
grupper, se http://mathforum.org/epigone/sci.math.research/yecholloi.
Kent Holing
notis.tex,v 1.3
