Normat 52:4, 183–187 (2004) 183

Bøker

Jan Lundgren, Mikael Rönnqvist o ch

Peter Värbrand: Optimeringslära.

Studentlitteratur, Lund 2003. ISBN

91–44–03104–1.

Boken Optimeringslära ger en trevlig

och lättläst introduktion till optime-

ringslära. Författarna har utnyttjat sin

breda komp e tens från många tillämp-

ningsområden till att skriva en bok som

ger en välbalanserad blandning av mo-

tiverande exempel o ch matematisk b e-

skrivning.

Inledningsvis ges ett antal tillämp-

ningsproblem, för att fånga läsarens

nyﬁkenhet. Därefter behandlas optime-

ringsproblem av olika klasser. Dessa

kommer i en naturlig följd, där man bör-

jar med det enklaste och successivt tit-

tar på allt svårare problemklasser. Först

kommer linjärprogrammering, med till-

hörande känslighetsanalys och dualitet.

Simplexmetoden beskrivs på ett lätt-

fattligt sätt genom ett inledande ex-

empel, och därefter de algebraiska ste-

gen. Nätverksproblem, dekomposition,

kolumngenerering och inrepunktsmeto-

der behan dlas också.

Ickelinjär optimering inleds med en

diskussion av konvexitet. Därefter be-

skrivs problem utan bivillkor följt av

ickelinjära problem med bivillkor. Op-

timalitetsvillkor tas fram och grundläg-

gande metoder beskrivs. Optimalitets-

villkoren tas fram genom en geomet-

risk betraktelse, vilket är illustrativt.

För problem utan bivillkor beaktas så-

väl första som andra ordningens me-

to d er, brantaste-lutningsmetod respek-

tive Newtonmetod. För problem med

bivillkor beaktas Frank–Wolfemetoden,

straﬀ- och barriärmetoder. Jag skulle

gärna sett att även sekvensiell kvadra-

tisk programmering ingick, då man spe-

ciellt behandlar kvadratisk programme-

ring.

Det tredje stora avsnittet är linjär

heltalsprogrammering. Även här ﬁnns

en illustrativ inledning med exempel,

följt av modelleringsaspekter. Olika me-

to d klasser beskrivs, från trädsökning

till heuristiska metoder. Därefter kom-

mer ett avsnitt om dynamisk program-

mering. Slutligen ges ett par avsnitt

om modelleringsspråk, där modellering

i Excel och Ampl beskrivs. Detta gör att

boken, på sin nivå, blir komplett. Läsa-

ren får en orientering om allt från mo-

deller och metoder till en beskrivning

av hur problem kan modelleras och lö-

sas praktiskt.

Boken används bland annat på någ-

ra grundläggande optimeringskurser på

KTH. Bland studenterna har denna lät-

tillgängliga bok, skriven på svenska, bli-

vit mycket uppskattad. Den nivå boken

är skriven på medför med nödvändighet

att vissa matematiskt tyngre bevis är

utelämnade, exempelvis stark dualitet

för linjärprogrammering. Detta är dock

tydligt markerat i texten. Sammanfatt-

ningsvis, en välskriven bok som säkert

kommer att uppskattas som introduk-

tionstext till optimeringslära.

Anders Forsgren

Pablo Pedregal: Introduction to

Optimization. Springer-Verlag, New

York 2004. ISBN 0–387–40398–1.

I boken Introduction to Optimization

hittar vi en mycket bred introduktion

till optimeringslära. Den täcker i stort

sett allt från linjärprogrammering till

bokspalte.tex,v 1.6

184 Bøker Normat 4/2004

optimal styrteori på ett kompakt for-

mat. Det är ett lättläst och välstruktu-

rerat material som ger en ﬁn introduk-

tion till de olika avsnitten, utan att gå

på dju pet.

Efter in allmän introduktion kom-

mer ett avsnitt om linjärprogramme-

ring. Här beskrivs simplexmetoden, du-

alitet och heltalsprogrammerings som

en utvidgning.

Sedan kommer ickelinjär optimering,

med en diskussion om konvexitet och

optimalitetsvillkor. Det ges en kortfat-

tade beskrivning av metoder för pro-

blem utan bivillkor, straﬀ- och barriär-

metoder, utökade Lagrangianmeto de r

och duala meto d er.

Efter detta behandlas variationspro-

blem och dynamisk programmering. Ett

ﬂertal olika problemklasser av varia-

tionsproblem beskrivs. Illustrativa ex-

empel kompletterar ﬁnt den matematik

som diskuteras. Boken avslutas med ett

avsnitt om optimal styrteori. Här be-

skrivs bland annat Pontryagins maxi-

mumprincip.

Sammanfattningsvis är detta en bok

som på ett kompakt och lättillgäng-

ligt format behandlar ett mycket brett

spektrum av optimeringlära. Som för-

fattaren framhåller i förordet, knyter

boken samman områden som oftast

behandlas sep arat. Vissa matematiskt

tyngre avsnitt är utelämnade, av na-

turliga skäl, för att uppnå ett så kom-

pakt format. Dessutom är i vissa fall den

matematiska precisheten inte den allra

högsta. Boke ns styrka är dess bredd. Jag

är inte säker på att den hittar så stort

användningsområde som undervisnings-

material, just därför att få kurser har

denna bredd. Dock är det en mycket bra

referenstext för den som vill skaﬀa sig en

introd uktion till dessa områden och en

bred översikt.

Anders Forsgren

Otto B. Bekke n, Reidar Mosvold (red):

Study the Masters. The Abel–Fauvel

Conference, Gimlekollen Mediacentre –

Kristiansand June 12–15, 2002. NCM,

2003, 310 sider. ISBN 91–85143–00–6.

Dette er proceedings fra en konferanse

som ble holdt i Kristiansand i juni 2002.

Konferansens mål var uttrykt slik:

To present, discuss and develop con-

crete ideas from the history of mathe-

matics, which can be used to motivate,

illustrate and enhance the understand-

ing of some key concepts and methods

from the mathematics curriculum.

Heftet er tilegnet John Fauvel (1947–

2001), en velkjent matematikkhistoriker

og forkjemper for bruk av matematik-

kens historie i matematikkundervisnin-

gen.

Heftets tittel er hentet fra en bemerk-

ning Abel skrev (på frans k) i margen av

en notatbok fra Paris i 1826: Det fore-

kommer meg at hvis man ønsker å gjøre

fremskritt i matematikken bør man stu-

dere mestrene og ikke elevene. (Under-

tegnedes oversettelse, fra en gelsk.)

Heftet inneholder 27 artikler, fordelt

på und eravdelinger med titler som Abel-

ian connections, Why history?, Nordic

themes, Euclid is always useful og Ideas

of 17

century Europe.

Som man kan forvente går en idé som

en rød tråd gjennom ﬂere av artiklene,

nemlig at matematikkens historie kan

virke inspirerende og motiverende i ma-

tematikkundervisningen. Mange vil nok

kunne ﬁnne idéer til å berike sin egen

undervisning her, men en utnyttelse av

disse idéene vil kreve en betydelig egen-

innsats: Man ﬁnner ingen ﬁks ferdige

oppskrifter på hvordan matematikkhis-

toriske momenter kan inkorporeres i un-

dervisningen.

I boken ﬁnner vi artikler som først

og fremst fokuserer på enkeltståen-

de aspekter ved matematikkens his-

torie, men også artikler om matema-

bokspalte.tex,v 1.6

Normat 4/2004 Bøker 185

tikkundervisningens historie, først og

fremst i Norden. Det viser seg nok at

mange av dagens pedagogiske debatter

ikke er så svært forskjellige fra de som

gikk for godt over hundre år siden.

Et begrep man ofte støter på er den

genetiske metode i matematikkunder-

visningen. Dette kan bety mange for-

skjellige ting: For eksempel den histo-

risk genetiske metode, eller den tanke at

man underviser begrepene i den rekke-

følge de oppsto, i s tede t for i den rekke-

følge man idag – med eller uten rette –

anser som den mest logiske. Eller man

har den logisk genetiske metode, hvor

man starter med det enkle og konkre-

te og beveger seg mot det abstrakte og

kompliserte. Flere av forfatterne berører

disse be grepene i sine artikler, og en av

dem (Reidar Mosvold) gir en grei his-

torisk oversikt og forklarer noen av for-

skjellene mellom de mange forskjellige

metodene med dette navnet.

Vi lærer også – uten at det er så over-

raskende – at historiske temaer behand-

les svært stemoderlig i moderne mate-

matikkb øker, og at fremstillingen ofte

inneholder feil eller ikke har noen ty-

delig forbindelse til matematikken som

undervises. Dette er åpenbart synd, og

det vil være et stort og viktig arbeid å

rette opp dette misforholdet.

En typograﬁsk merkverdighet i et el-

lers rimelig enhetlig utseende verk stik-

ker dessverre så langt frem i dagen at

det vil distrahere selv en leser helt uten

interesse for typograﬁ: Matematikken i

noen artikler er satt med en skriftstør-

relse rundt 50 % større enn brødteksten

– og det er svært mye. Noen historiske

tekster som er gjengitt i faksimile har

også fått en alt for dårlig kvalitet, men

de er fortsatt lesbare. Disse innvendin-

gene skulle ikke være til noen hindring

for interesserte lesere.

HH-O

Kommentar til en anmeldelse

I Normat numme r 3 for for 2004 har

Bent Birkeland en anmeldelse av mine to

bind [5] og [6] om Matematikkens histo-

rie. Det er en anmeldelse som avsluttes

med de nne konklusjonen:

Bøkene kan fungere bra som fritidsles-

ning, hvis de leses med kritikk. Men le-

sere som søker seriøs orientering i mate-

matikkhistorien, eller som vil undervise

i faget, bør foretrekke en av de mange

gode engelsk-språklige bøkene som ﬁn-

nes, for eksempel den av Victor Katz,

som ser ut til å være en av Holmes ho-

vedkilder.

For å ta det siste først. Katz har skre-

vet to forholdsvis elementære lærebøke r

om matematikkens historie, begge me-

get gode bøker. En av de mange kildene

jeg henviser til er [8], så jeg går ut fra at

dette er boken anmelderen sikter til. Det

er en ganske tunglest b ok på mer enn 800

tettskrevne sider. Dersom en skal gi en

innføring i matematikkens historie, for

eksempel som en del av lærerutdanning

i matematikk, vil jeg tro at denne bo-

ken faller vanskelig. Men boken er godt

egnet som grunnlag for et videregåen-

de studium. Mine to bøker er ment som

en innføring på norsk, på samme nivå

men mer omfattende enn [1]. Jeg har

altså ikke hatt ambisjoner om å skrive

en mer avansert tekst, som for eksempel

til hovedfagsundervisning i matematik-

kens historie. At anmelderen synes bøke-

ne mine kan egne seg som fritidslesning,

er et lyspunkt i en ellers negativ omta-

le. Når jeg gir så mange henvisninger til

Katz og andre kilder som [2], [3], [10]

eller [13] er det jo nettopp for å vekke

interessen for å oppsøke noen av disse el-

ler andre mer avanserte bøker om emnet

senere. En annen viktig kilde er selvsagt

[16] og henvisningene der.

Anmelderen har hengt seg en del opp i

noen side-bemerkninger jeg har kommet

med, for eksempel om «Yin og Yang» og

i forbindelse med Zenons paradokser, el-

bokspalte.tex,v 1.6

186 Bøker Normat 4/2004

ler om matematikken som bakgrunn for

kalender og jordbruk. Disse og lignen-

de avstikkere er ment som litt stoﬀ til

undring og ettertanke for et ungdomme-

lig publikum. Det liker anmelderen ikke,

noe jeg får leve med.

Derimot kan jeg ikke akseptere an-

melderens bastante oppfatning av hva

betegnelsen «Matematikkens historie»

egentlig innebærer. Han skriver dette om

mine to bind:

Mye av matematikken er omskrevet til

moderne notasjon, det gjør den lettere

å lese, men kamuﬂerer historie-aspektet.

[. . . ] [Dette er] altfor sterkt preget av

våre dagers tankeverden. Tittelen «Ma-

tematikkens historie» er i mine øyne

misvisende.

Dersom man tar [8], og slår opp mer el-

ler mindre tilfeldig, vil en snart støte på

akkurat den formidlingsformen som an-

melderen her beklager seg over. Øverst

på side 246 skriver for eksempel Katz

dette:

Al-Khwarizmi’s verbal description of his

procedure is essentially the same as that

of the Babylonian scribes. Namely, in

modern notation, the solution of x

bx = c is

c =

“

”

+ c 

På samme måte behandler jeg løsningen

på sidene 74–76 i bind 2. I van der Wa-

erdens bok [14] som anmelderen siterer

i angrepet på Jamblikos’ troverdighet,

ﬁnner vi samme fremstillingsform, like-

ledes i Viggo Bruns klassiske [1]. Der-

som man skal skrive en noenlunde leselig

lærebok med innføring i matematikkens

historie er dette helt nødvendig. Men i

kildebøker som [3], [11] eller for så vidt

også [2], vil den tidsriktige fremstillin-

gen tre i forgrunnen mens moderne kom-

mentarer spiller en rolle som forklaren-

de bakgrunnsstoﬀ. Selvfølgelig er dette

også tilfelle for slike verk som [10] eller

[13]. Det blir her et avveiningsspørsmål

hvor langt en skal gå i tidsriktig fremstil-

ling. Men det kan virke som om anmelde-

ren ikke skiller mellom Matematikkens

historie og Historisk matematikk, eller

mellom lærebøker og kildebøker i dette

emnet når han hevder at tittelen på mine

bøker er misvisende.

I dag er det et skrikend e behov for

stoﬀ s om er egnet i lærerutdanning og

for et bredere publikum, og da må man

knytte det historiske stoﬀet opp til da-

gens matematikk. Alle gode krefter bur-

de gå sammen om å f ylle dette behovet.

I tillegg er d et min bestemte oppfatning

at lærerutdanningen må bidra til å opp-

rettholde våre egne fagspråk i de nordis-

ke landene. Ingeniørutdanning kan g je r-

ne basere seg på engelske lærebøker, men

en matematikklærer må være i stand til

å formidle et godt fagspråk til elevene.

Boken [4] er på engelsk, men bortsett

fra det er også den ment som et bidrag

til dette prosjektet. Her har jeg dessuten

med en moderne innføring i geometri i

tillegg til det historiske bakgrunnsstof-

fet.

De ﬂeste av de andre innvendinge-

ne jeg har mot anmelderens omtale er

egentlig ikke verd bruk av tid og trykk-

sverte. Men to punkter til vil je g likevel

berøre. Han baserer omtalen av bind 1,

«som kom for et par år siden» på første

opptrykk fra 2001. Flere anmeldere had-

de allerede tidlig påpekt at det var altfor

mange trykkfeil i [5], og at det ikke fan-

tes en indeks. I annet opptrykk fra 2002

er en omfattende retteliste innbundet i

boken og en indeks et tatt med. Det er

beklagelig at anmeldelsen er basert på

første opptrykk, men dette må jeg selv

ta en del av ansvaret for, siden littera-

turlisten i [6] bare gir årstallet 2001 for

[5].

Anmelderens omtale av legenden om

Teano, Pytagoras’ hustru, vil jeg heller

ikke forbigå i stillhet. Jeg går ikke god

for sannhetsgehalten, jeg bare forteller

denne legenden. Og jeg gir henvisning

bokspalte.tex,v 1.6

Normat 4/2004 Bøker 187

til nettstedet [15] og til [9]. Dersom man

go ogler «Theano» og deretter «golden

mean» i treﬄisten til det første søket,

ﬁnner man adskillig ﬂere omtaler av Te-

ano og hennes matematikk. Det borger

riktig nok ikke for den historiske sann-

hetsgehalt.

Anmelderen peker på at «irrasjonale

tall» eller «inkommensurable linjestyk-

ker» ikke nevnes i mine henvisninger.

Men fortellingen jeg viser til går ut på at

Teano arbeidet med «the golden mean».

Et annet navn på dette begrepet er det

gylne snitt, og det er en utbredt oppfat-

ning at det var dette forholdet mellom

diagonal og sidekant i en regulær fem-

kant som de greske geometerne først inn-

så at ikke var lik forholdet mellom to hele

tall, altså det vi i dag vil kalle et irra-

sjonalt tall. Anmelderen kan tolkes dit

hen at jeg bruker betegnelsen «irrasjo-

nale tall» anakronistisk. Men det gjør

jeg absolutt ikke. Det gylne snitt er et

forhold mellom to størrelser av samme

art, nemlig linjestykker, som ikke er lik

et forhold mellom to hele tall. Med denne

oppdagelsen, mener noen matematikk-

historikere, ﬁkk pytagoreernes motto alt

er tall en alvorlig ripe i lakken (unnskyld

anakronismen den ne gangen).

Audun Holme

Referanser

[1] V. Brun. Alt er Tall.

Universitetsforlaget, Oslo, 1964.

[2] T. L. Heath. A History of Greek

Mathematics. New York Dover, 1982 2

bind. Bind 1: From Thales to Euclid,

bind 2: From Aristarchus to Diophantus.

Paperback versjon av original på

Clarendon Press, Oxford 1921.

[3] T. L. Heath. Euclid: The thirteen books

of the Elements. Translated from the

text of Heiberg. Translated with

introduction and commentary by Sir

Thomas L. Heath. 3 bind. Dover

Publications, New York 1956.

[4] A. Holme. Geometry. Our Cultural

Heritage. Springer Verlag. Berlin,

Heidelberg, New York 2002.

[5] A. Holme. Matematikkens historie 1.

Fra Babylon til mordet på Hypatia.

Fagbokforlaget. Bergen 2001, 2. opplag

2002.

[6] A. Holme. Matematikkens historie 2.

Fra de arabiske vise til Niels Henrik

Abel. Fagbokforlaget. Bergen 2004.

[7] Jamblikos (Iamblichus): The Life of

Pythagoras. Forkortet engelsk

oversettelse av Thomas Taylor, Krotona,

Hollywood, Los Angeles 1905.

Sammendrag (anonymt) 1918. Nyutgave

ved Kessinger Publishing, LLC.

[8] V. J. Katz. A History of Mathematics.

Harper Collins College Publishers, New

York 1992.

[9] McLemore, Ethel W. Past Present (we)

– Present future (you). Association for

Women in Mathematics Newsletter. 9(6)

(Nov/Dec 1979), pp. 11–15.

[10] O. Neugebauer. The Exact Sciences of

Antiquity. Second edition. Dover

Publications, Inc. New York 1969.

Reprinted from the original, published

by Brown University, 1957.

[11] Gay Robins og Charles Shute. «Papyrus

Rhind» (The Ahmose papyrus).

Published by British Museum. London

1997.

[12] R. D. J. Struik. A Concise History of

Mathematics. Fourth Revised Edition

Dover Publications Inc, New York 1987.

[13] R. D. J. Struik, ed. A Source Book in

Mathematics. Harvard University Press

1969.

[14] B.-L. van der Waerden. Science

Awakening. English translation by

Arnold Dresden, with additions by the

author. P. Noordhoﬀ Ltd - Groningen,

Holland 1954.

[15] Agnes Scott College. Biographies of

women mathematicians.

www.agnesscott.edu/lriddle/women/

women.html

[16] University of St. Andrews. The

MacTutor History of Mathematics

archive.

www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

bokspalte.tex,v 1.6