2 Normat 53:1, 2–12 (2005)
Om kurvers areal
Harald Hanche-Olsen
Institutt for matematiske fag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
NO–7491 Trondheim
hanche@math.ntnu.no
Tittelen på denne artikkelen virker nok som en åpenbar selvmotsigelse. Kurver har
ingen bredde, og derfor ikke noe areal. Mange var nok både overrasket og sjokkert
da man oppdaget at det eksisterer kurver med positivt areal.
Men først må jeg si noen ord om selve kurvebegrepet, og om hvorfor kurver (som
regel) ikke har noe areal – eller rettere, hvorfor arealet av en kurve er null.
Kurver, deres lengde og areal
Vi tenker gjerne på en kurve i planet som en delmengde av planet, men det er ofte
mer praktisk å betrakte parametriske kurver. En parametrisk kurve i planet er en
kontinuerlig funksjon fra et intervall til planet. Vi skal betrakte kurver med lukket
og begrenset parameterintervall, slik at kurven har et startpunkt og et endepunkt.
Vi kaster oss ut på dypt vann med en gang:
Setning 1 Arealet av en kurve med endelig lengde er null.
Denne setningen gir knapt mening om vi ikke vet hvordan lengden av en kurve er
definert, men vi kommer til det. Setningen vil vise seg å være en direkte følge av
et litt mer komplisert resultat:
Lemma 2 Arealet av en -omegn om en brukket linje med lengde L er ikke større
enn L +
2
.
osgood.tex,v 1.12
Normat 1/2005 Harald Hanche-Olsen 3
En brukket linje er en kurve som er satt sammen av et endelig antall rette linje-
stykker. I dette tilfellet er det ikke noe problem å definere lengden: Lengden av et
linjestykke er avstanden mellom endepunktene, og lengden av et brukket linjestykke
er summe n av delenes lengder.
Figur 1
Figur 2
Med -omegnen om en kurve mener vi mengder
av punkter som har avstand til minst ett
punkt på kurven. Et raskt blikk på figur 1 viser
at -omegnen om et linjestykke med lengde L har
areal L +
2
: Omegnen består nemlig av et L
-rektangel sammen me d to halvsirkelskiver med
radius .
Setter vi nå sammen to linjestykker som i figur
2 med lengder L
1
og L
2
, kan vi skrive arealet av
-omegnen om unionen av de to som
A L
1
+
2
+L
2
+
2
2
= (L
1
+L
2
)+
2
,
der vi har trukket fra arealet av en sirkelskive
fordi dette arealet er regnet med to ganger. (Hvis
vinkelen mellom de to ikke er 180
, blir ulikhe-
ten ekte.) Dette viser Lemma 2 for sammenset-
ningen av to linjestykker. En åpenbar induksjon
etter samme prinsipper viser resultatet også for
generelle brukne linjestykker, så Lemma 2 e r be-
vist.
Vi kan nå også bevise Setning 1: Anta kurven ,
med parameterinte rvall [0, 1], er gitt. Vi bruker
det faktum at er uniformt kontinuerlig: Gitt
>0 finnes en >0 slik at hver gang |s t| <er |(s) (t)| <.Så
vi deler opp intervallet [0, 1] i småbiter: La 0=t
0
<t
1
< ··· <t
n
=1med
|t
j
t
j1
| <for j =1,...,n. Nå ligger hele kurven innenfor en -omegn om
det brukne linjestykket m ed knekkpunkter (t
0
), (t
1
),...,(t
n
). Så arealet av
kan ikke være større enn arealet av denne -omegnen, eller – i følge Lemma 2 –
areal()
n
j=1
|(t
j
) (t
j1
)| +
2
.
Hvis vi nå er villig til å tro på at den rette linje virkelig er den korteste vei mellom
to punkter, så må lengden L av kurven være minst så stor som summen ovenfor,
slik at
areal() L +
2
.
Siden >0 var vilkårlig, kan vi nå la 0 for å fullføre beviset for Setning 1.
Vi har ennå ikke definert lengden av en kurve. Men vi har brukt ulikheten
n
j=1
|(t
j
) (t
j1
)|L.
osgood.tex,v 1.12
4 Harald Hanche-Olsen Normat 1/2005
Faktisk defineres lengden L av som minste øvre grense for summen ovenfor, der
t
0
<t
1
<...<t
n
gjennomløper alle partisjoner av parameterintervallet til kurven.
Slik blir lengden additiv i den forstand at lengden til en kurve sammensatt av
flere deler er summen av lengdene til delene, og lengden til et rett linjestykke er
avstanden mellom endepunktene. Endelig gir dette det korteste mulige lengdemål
som tilfredsstiller disse to kravene og samtidig er slik at en rett linje alltid er
korteste vei mellom to punkter.
Skal vi finne en kurve med positivt areal, må kurven altså være uendelig lang. Det
virker kanskje ikke som noe stort problem, men uendelig lengde er langt fra nok.
Nå er det ikke rom i denne artikkelen for å gi en like presis definisjon av areal som
vi har gitt for lengde, så vi må støtte oss på en mer naiv tolkning av arealbegrepet.
Arealet må være additivt i den forstand at areal(A B) = areal(A) + areal(B)
om A og B er disjunkte. Det viser seg at det også må være tellbart additivt i
den forstand at en tilsvarende addisjonsformel også gjelder for tellbart uendelige
unioner av parvis disjunkte mengder. Nå leder dette til en motsigelse om vi antar at
arealet er definert for alle delmengder av planet, så vi må begrense oss til de såkalt
målbare mengdene. Jeg vil nøye meg med å påstå at alle mengder vi betrakter i
denne artikkelen er målbare. (Teorien for målbare mengder er en del av mål- og
integrasjonsteorien.)
Georg Cantor (1845–1918)
Cantor var født i St. Petersburg, og vokste opp der inntil familien flyttet til Tysk-
land da han var 11 år. Han studerte under Weierstrass, Kummer og Kronecker i
Berlin, og ble siden ansatt ved universitetet i Halle.
Cantor kan kanskje betraktes som mengdelærens grunnlegger. I 1877 viste han
[1] at det finnes en en-til-en avbildning, eller beksjon, av enhetsintervallet [0, 1]
på enhetskvadratet [0, 1] [0, 1].
Cantors bevis bygger på teorien for kjedebrøk. For å forklare kjedebrøk kan vi ta
utgangspunkt i Euklids algoritme for å bestemme forholdet mellom to linjestykker
a og b: Først bruker vi b til å måle a. La oss si det går opp n hele ganger med en
rest r, eller a = nb + r i moderne notasjon, der n er et heltall og 0 r<b. Hvis
r>0 bruker vi nå r til å måle b. Prosedyren gjentas inntil vi ikke har noen rest
igjen. Hvis så ikke skjer, er a og b inkommensurable.
La oss illustrere med et eksempel: Anta a er 157 enheter og b er 68 enheter.
Vi finner 157 = 2 · 68 + 21, eller mer passende
157
/
68
=2+
21
/
68
. Neste trinn i
Euklids algoritme består i å snu den siste brøken på ho det og gjøre det samme
igjen:
68
/
21
=3+
5
/
21
. Og igjen:
21
/
5
=4+
1
/
5
. Disse resultatene brukes så til å
bygge opp en kjedebrøk:
157
68
=2+
21
68
=2+
1
3+
5
21
=2+
1
3+
1
4+
1
5
osgood.tex,v 1.12
Normat 1/2005 Harald Hanche-Olsen 5
Prosessen stopper her, for om vi snur den nederste brøken opp ned får vi
5
/
1
,
som går opp. Ett-tallet i denne siste brøken er for øvrig største felles divisor for
utgangstallene 157 og 68. Det er ikke så vanskelig å vise at Euklids algoritme alltid
terminerer, og altså gir en endelig kjedebrøk, så lenge vi starter med et rasjonalt
tall.
Beviset til Cantor bygger derimot på at ethvert irrasjonalt tall i [0, 1] kan skrives
entydig som en uendelig kjedebrøk
t =
1
n
1
+
1
n
2
+
1
n
3
+ ···
med positive, heltallige koeffisienter n
1
, n
2
,.... Disse koeffisientene kan man enkelt
finne ved hjelp av Euklids algoritme: Skriv t =1/(n
1
+ r
1
) med n
1
1 heltallig og
0 <r
1
< 1, gjenta prosedyren med r
1
, og så videre.
Et underholdende eksempel er det gylne snitt G =
1
2
(
5 1). Siden G
2
+ G =1
kan vi skrive G =1/(1 + G). Etter Euklids algoritme skal vi nå gjøre det samme
med G i nevneren, og finner i grensen en kjedebrøk for G der alle koeffisientene n
k
er 1.
Det er nå likefrem å gi en beksjon mellom de irrasjonale tallene i [0, 1] og
punktene i [0, 1] [0, 1] med irrasjonale koordinater, simpelthen ved å skrive opp
to nye kjedebrøker for x og y, med koeffisienter n
1
, n
3
,... for x og n
2
, n
4
,...
for y. Dette gir så den ønskede beksjonen t (x, y). Vi kan også enkelt finne
en beksjon mellom de irrasjonale tallene i [0, 1] og hele [0, 1]: Plukk en tellbar
uendelig mengde irrasjonale tall i [0, 1], og avbild denne en-til-en på unionen av seg
selv og de rasjonale tallene i [0, 1]. (Dette minner om historien om Hilberts hotell –
se også [3].) La resten av de irrasjonale tallene i [0, 1] avbildes på seg selv. Dermed
gir konstruksjonen foran en beksjon mellom enhetsintervallet og enhetskvadratet.
1
Samme bevisteknikk viser at [0, 1] kan avbildes bektivt også på enhetskuben
[0, 1]
3
, og faktisk på enhver endelig hyperkube [0, 1]
n
.
I et brev til sin venn og kollega Dedekind skrev C antor følgende om dette resul-
tatet: Jeg ser det, men jeg tror det ikke!
Cantor var utmerket godt klar over, og beme rket i [1], at hans beksjoner ikke
var kontinuerlige. Kort tid etter at Cantor hadde publisert sitt resultat viste da også
Netto [5] at ingen beksjon fra enhetsintervallet på enhetskvadratet kan være kon-
tinuerlig. For i så fall måtte også den inverse avbildningen være kontinuerlig, men
det er åpenbare topologiske forskjeller mellom enhetsintervallet og enhetskvadratet
som gjør dette umulig. For eksempel kan vi dele enhetsintervallet i to komponenter
ved å fjerne ett punkt, og det går ikke med e nhetskvadratet. Netto påpekte at dette
argumentet også kan utvides til å vise at det ikke finnes en kontinuerlig beksjon
mellom to kuber [0, 1]
m
og [0, 1]
n
med m = n. For eksempel kan [0, 1]
2
deles i to
komponente r med en kurve, mens [0, 1]
n
ikke kan det, når n 3.
1
I moderne litteratur finner man oftere et bevis som fordeler tallsifrene i t på tallsifrene i x og
y, men dette leder til en vanskelighet med de tallene som ikke har en entydig desimalutvikling,
og denne vanskeligheten er litt mer vrien å løse.
osgood.tex,v 1.12
6 Harald Hanche-Olsen Normat 1/2005
Dette er starten på det vi kan kalle topologisk dimensjonsteori, men det vil føre
for langt å diskutere den her. Vi skal nå se hva som kan skje dersom vi beholder
kravet om kontinuitet, men ikke insisterer på at avbildningen skal være en-til-en.
Guiseppe Peano (1858–1932)
Peano studerte ved universitetet i Torino, og ble siden professor der. Han viste
blant annet eksistensen av løsninger til differensialligningen y
= f(x, y) der f er
kontinuerlig, og påpekte at løsningen til initialverdiproblemet y
=3y
2/3
, y(0) = 0
ikke er entydig. Han er vel kjent for sin aksiomatisering av aritmetikken.
I 1890 viste han [7] at det finnes en kurve som fyller hele enhetskvadratet.
Peanos konstruksjon minner om teknikken for å etablere en beksjon mellom
[0, 1] og [0, 1] [0, 1], ved bruk av desimalutvikling i stedet for kjedebrøk. Men i
stedet uttrykker han tall i tretallsystemet, altså med sifrene 0, 1 og 2. Heller enn å
gjenta Peanos beskrivelse av konstruksjonen her, illustrerer vi den med et eksempel:
La t =0,02120112010012122111 (uttrykt i tretallsystemet) og skriv opp følgende
tab e ll:
t =0,02120112010012122111
·······
x =0,0101001121
I første rad i tabellen har vi skrevet opp sifrene i t og understreket alle enere
i like posisjon (2, 4, 6 etc.). Annen rad i tabellen inneholder enten en prikk (·)
eller en strek () i hver odde pos isjon (1, 3, 5 etc). Hvilken av de to avhenger av
antallet understrekede enere til venstre: En prikk om antall understrekede enere er
et liketall, og en strek om antall enere er et oddetall. Sifrene i x kopieres direkte
fra sifrene i t med odde posisjon, der hvor det står en prikk. Når det står e n strek,
kompleme nteres sifferet etter regelen 0 2, 1 1, 2 0.
Sifrene i y kopieres tilsvarende fra sifrene i t med like posisjon, men denne gang
direkte eller komplementert avhengig av antall enere i odde posisjoner i t. Tabellen
nedenfor gir utregningen av y for vårt eksempel.
t =0,02120112010012122111
·· · ·· ·
y =0, 2012100211
Det geniale med Peanos konstruksjon er at den virkelig gir en veldefinert avbild-
ning fra [0, 1]. Vi illustrerer dette med et eksempel (husk at vi hele tiden arbeider
i tretallsystemet): t =0,012 = 0,0112.
2
Representasjonen t =0,012 gir x =0,002 og y =0,1.
Representasjonen t =0,0112 gir x =0,01 og y =0,1.
Disse resultatene er identiske, og det er da heller ikke vanskelig – om enn noe
arb eidskrevende – å overbevise seg om at tilsvarende skjer for alle andre t [0, 1]
som har to representasjoner i tretallsystemet – de trinært rasjonale tall.
2
Vi setter strek over en gruppe av siffer for å vise at den gjentas i det uendelige.
osgood.tex,v 1.12
Normat 1/2005 Harald Hanche-Olsen 7
Når vi kjenner de første 2n sifrene i t, kjenner vi også de første n sifrene i x og
y. Det er ikke vanskelig å vise at dette, sammen med det faktum at t (x, y) er
veldefinert, impliserer at avbildningen er kontinue rlig.
Den er selvsagt ikke bektiv, siden dette ville stride mot Nettos resultat. Som
en øvelse oppfordres leseren til å finne alle t [0, 1] med
x(t),y(t)
=(0,01, 0,1).
Første trinn mot en geometrisk forståelse av Peanos kurve er å merke seg at vi
kan plassere
x(t),y(t)
i ett av ni kvadrater ved å se på de første to s ifrene etter
komm aet i representasjonen av t. Spesielt tilbringer kurven den første niendedelen
av parameterintervallet i kvadratet merket 00, den neste i 01, og så videre, som
antydet til venstre i figur 3. Legg spesielt merke til at kvadratene i den midterste
søylen (med en ener som første siffer) besøkes ovenfra og ned, mens de to andre
søylene (med 0 og 2 som første siffer) b e søkes nedenfra og opp.
00
01
02 10
11
12 20
21
22
Figur 3 : Første og annen tilnærming til Peano-kurven.
Neste trinn er å studere hva som skjer innenfor hvert underkvadrat. Det viser seg
at hvert underkvadrat er som det store, men av og til med x-koordinaten invertert,
av og til med y-koordinaten invertert, og av og til begge deler. Mer presis t, for
t [0, 1]:
x(
1
9
(0 + t)),y(
1
9
(0 + t))
=
1
3
(0 + x(t)),
1
3
(0 + y(t))
,
x(
1
9
(1 + t)),y(
1
9
(1 + t))
=
1
3
(1 + x(t)),
1
3
(1 y(t))
,
x(
1
9
(2 + t)),y(
1
9
(2 + t))
=
1
3
(2 + x(t)),
1
3
(0 + y(t))
,
x(
1
9
(3 + t)),y(
1
9
(3 + t))
=
1
3
(3 x(t)),
1
3
(1 + y(t))
,
x(
1
9
(4 + t)),y(
1
9
(4 + t))
=
1
3
(2 x(t)),
1
3
(2 y(t))
,
x(
1
9
(5 + t)),y(
1
9
(5 + t))
=
1
3
(1 x(t)),
1
3
(1 + y(t))
,
x(
1
9
(6 + t)),y(
1
9
(6 + t))
=
1
3
(0 + x(t)),
1
3
(2 + y(t))
,
x(
1
9
(7 + t)),y(
1
9
(7 + t))
=
1
3
(1 + x(t)),
1
3
(3 y(t))
,
x(
1
9
(8 + t)),y(
1
9
(8 + t))
=
1
3
(2 + x(t)),
1
3
(2 + y(t))
.
Kurven til høyre i figur 3 er laget ved å avbilde den venstre kurven inn i hver
av de ni underkvadratene etter formlene over og sette sammen kurvebitene. Neste
osgood.tex,v 1.12
8 Harald Hanche-Olsen Normat 1/2005
tilnærming er å dele hver av de 81 småkvadratene inn i ni kvadrater hver, som gir
de 729 kvadratene og kurven til venstre i figur 4. Slik kan man fortsette å lage
stadig nye tilnærminger til Peano-kurven: I n-te tilnærming er enhetsintervallet
delt inn i 9
n
like store delintervaller, som avbildes inn i 3
n
3
n
delkvadrater. Disse
tilnærmingene konvergerer uniformt mot Peano-kurven. Dette gir et nytt bevis for
kontinuitet.
Figur 4 : Tredje og fjerde tilnærming til Peano-kurven.
David Hilbert (1862–1943)
Hilb ert studerte i Königsberg og ble siden professor der, men tilbrakte mesteparten
av sin karriere som professor i Göttingen. Hans bidrag til matematikken var dype
og spente svært vidt, og hans 23 problemer som han presenterte for matematikernes
verdenskongress i Paris hadde en stor innflytelse på matematikken i det tjuende
århundre. Hilberts bidrag til vår lille historie er knapt nok som en fotnote å regne.
Han må nok ha resonnert omtrent som over før han fant en enklere geometrisk
konstruksjon av en kurve som fyller enhetskvadratet. Hans konstruksjon i [4] er
den som i dag vanligvis assosieres med Peanos navn.
Hilb ert delte inn enhetskvadratet i fire deler og lot første tilnærming besøke de
fire delene som vist øverst til venstre i figur 5. Deretter delte han inn hver av de
fire småkvadratene i fire og satte inn kopier av første tilnærming, som vist øve rst
til høyre i figuren. Ved å fortsette slik og gå til grensen fikk han en kurve med de
samme egenskaper som Peanos kurve.
Hilb erts kurve kan beskrives ved å uttrykke parameteren i totallsystemet og
gjøre manipulasjoner tilsvarende de Peano gjorde, men bokholderiet blir adskillig
mer komplisert fordi to av småkvadratene i Hilberts konstruksjon må ha x- og
y-koordinatene byttet om.
osgood.tex,v 1.12
Normat 1/2005 Harald Hanche-Olsen 9
Figur 5 : Første til fjerde tilnærming til Hilbert-kurven.
William F. Osgood (1864–1943)
Osgood studerte først ved Harvard, senere i Göttingen og Erlangen under Kleins
veiledning. Senere returnerte han til Harvard hvor han tilbragte resten av sin kar-
riere. Han arbeidet med funksjonsteori, differensialligninger og variasjonsregning
og romfyllende kurver.
Peano-kurven og Hilberts variant kan virke spennende nok, men fordi de fyller
hele enhetskvadratet og ikke er en-til-en tilfredsstiller de kanskje ikke alle våre
forventninger om hvordan en kurve skal se ut.
En enkel kurve er en (parametrisk) kurve som også er en-til-en, med mulig
unntak for endepunktene, som kan falle sammen. (Hvis de gjør det kaller vi gjerne
kurven en Jordan-kurve til ære for Camille Jordan, som først påpekte behovet for
et bevis for at slike kurver deler planet i to. Ellers kalles kurven en Jordan-bue.)
Nettos res ultat sier at ingen enkel kurve kan fylle enhetskvadratet. Det vakte
derfor berettiget oppsikt da Osgood [6] i 1903 konstruerte en enkel kurve med
p os itivt areal.
osgood.tex,v 1.12
10 Harald Hanche-Olsen Normat 1/2005
Osgoods konstruksjon er en variant av Peanos kurve, men hvor småkvadratene
holdes adskilt for å hindre kurven i å besøke samme punkt flere ganger. Vi skal her
anvende Osgoo ds idé på Hilbe rts kurve i stedet.
Hilb erts kurve starter i (0, 0) og ender i (1, 0). Vår variant skal gjøre det samme.
Vi antyder dette ved en «nullte tilnærming» som til venstre i figur 6. Tenk på buen
i figuren som en vilkårlig valgt kurve i enhetskvadratet med endepunktene fiksert.
Den endelige kurven vil dele kvadratet i to: En del mot nederste side i kvadratet,
og resten mot de tre andre sidene. Vi tenker oss at kvadratet er omgitt av tørt land
på de tre sidene og vann på den nederste siden (også antydet i figuren).
Figur 6 : Nullte og første tilnærming til Hilbert–Osgood-kurven.
Vi deler nå kvadratet i fire deler, men skiller delene fra hverandre med en T-
formet kanal og et I-formet dike som til høyre i figur 6. Hver av de fire delene er
nå omgitt av land på tre sider og vann på den fjerde, eller omvendt. Vi plasserer
en kopi av figuren til venstre i hve r av de fire delene som vist, og forbinder kopiene
med tre korte linjestykker langs grensene mellom land og vann. Slik får vi en kurve
med sju deler. Vi delere parameterintervallet [0, 1] inn i sju like store deler, og
foreskriver at disse delene skal avbildes til de sju kurvene i figuren. Spesielt vil
segment nummer 2, 4 og 6 avbildes til de tre linjestykkene omtalt ovenfor, og vi
foreskriver at alle fremtidige tilnærminger til kurven, og derfor også grensen, skal
ha samme verdier på disse tre segmentene.
I neste runde gjør vi det samme i hver av de fire småkvadratene – se figur 7 til
venstre. Denne tilnærmingen består nå av 3+4·7 = 31 deler, hvorav 4 ·3 = 12 nye
rettlinjede segmenter langs de nye gre nsene mellom land og vann, som skal fikseres
i alle fremtidige tilnærminger.
Vi fortsetter slik i det uendelige og får en enkel kurve i grensen.
Hvis vi tenker oss at alle dikene og kanalene vi har konstruert underveis er
åpne mengder, så vil alle punkter i kvadratet falle i en av tre disjunkte kategorier:
Land, vann og punkter på kurven. Vi kan lett regne ut arealet av land og vann, og
trekker vi dette fra arealet av enhetskvadratet, altså 1, står vi nødvendigvis igjen
med arealet av kurven.
La oss for eksempel si at dikene og kanalene vi gravde i første tilnærming hadde
bredde <1. Tilsammen har de areal =2
2
. De fire kvadratene som er igjen
osgood.tex,v 1.12
Normat 1/2005 Harald Hanche-Olsen 11
Figur 7 : Annen og tredje tilnærming til Hilbert–Osgood-kurven.
har da samlet areal 1. Hvis neste trinn er en geometrisk reduksjon av det første,
slik at vi graver diker og kanaler med bredde ganger bredden av hvert kvadrat,
vil de nye dikene og kanalene få samlet areal (1 ), og de 16 småkvadratene
som er igjen har samlet areal (1 )
2
.In-te iterasjon graver vi diker og kanaler
med samlet areal (1 )
n1
og står igjen med 4
n
småkvadrater med samlet areal
(1 )
n
. Det totale arealet av land og vann blir i grensen
n=0
(1 )
n
=1,
så kurven får areal 0 som forventet.
Men dette e r ikke eneste mulighet: I hvert trinn av prosessen kan vi bygge diker
og grave kanaler så smale eller brede vi måtte ønske, så lenge det er plass. Det betyr
at det samlede arealet
n
av diker og kanaler i iterasjon nummer n kan velges fritt,
så lenge
n
> 0 og
n
n
< 1. Spesielt kan det totale arealet
n=1
n
av land og
vann velges så lite vi vil, og kurven kan dermed få areal så nær 1 vi måtte ønske.
Avsluttende bemerkninger
Det er verdt å merke seg at Hilbert–Osgood-kurven er en grense av kurver som hver
har endelig lengde, og derfor areal null. Så hvorfor må ikke arealet av grensen være
like grensen av arealene, og altså null? I avsnittet foran har jeg jo nettopp gjort
dette med diker og kanaler. Men det er en viktig forskjell. I tilfellet med dikene og
kanalene har vi en voksende følge av områder i planet: Dikene og kanalene på trinn
n +1 er ikke annet enn diker og kanaler fra trinn n, med et antall nye diker og
kanaler lagt til. Og «grensen» er ikke annet enn unionen av denne voksende følgen
av områder. Men når jeg tar grensen av kurver tar vi ikke unionen av de tilnærmede
kurvene. I stedet har vi (t) = lim
n
n
(t) for hver t, og denne grenseoperasjonen
gir mange punkter som ikke ligger på noen av de opprinnelige kurvene.
osgood.tex,v 1.12
12 Harald Hanche-Olsen Normat 1/2005
En (noe tvilsom) analogi er om vi betrakter delmengdene E
n
[0, 1] gitt ved
E
n
= {2
n
k : k =0, 1,...,2
n
}. Unionen av disse delmengdene er de dyadisk rasjo-
nale tallene, som målteorien forteller oss har mål null, men hvis vi betrakter alle
mulige grenser av følger (x
n
) me d x
n
E
n
, får vi hele [0, 1].
En konklusjon synes å være at målteori og grenser går dårlig sammen. Så er det
kanskje en desto større overraskels e at det finnes en kurve i enhetskvadratet som kan
brukes til å måle areale t av enhver delmengde av kvadratet! (Innen rimelighetens
grenser – metoden virker på Borel-målbare mengder.) Det er en viktig forskjell fra
de kurvene vi har betraktet her: For denne typen målinger trenger vi en kurve
parametrisert med det halvåpne intervallet [0, 1). Påstanden er altså at arealet
(strengt tatt målet) av en (Borel) delmengde A av kvadratet er det endimensjonale
målet av mendgen {t [0, 1): (t) A}, bare kurven : [0, 1) [0, 1] [0, 1] er
valgt smart nok. Det er åpenbart at en slik kurve må ha positivt areal i alle sine
deler (betrakt {(t): t
0
<t<t
1
}), men samtidig kan den ikke unngå noen åpen
delmengde av kvadratet, slik Osgood-kurven gjør. Se [2] for detaljene, som krever
en mye dypere forståelse for målteori enn jeg har lagt til grunn her.
Referanser
[1] G. Cantor, Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. J. reine angew. Math. 84,
242–258 (1878).
[2] Piotr Hajasz, Paw Strselecki, How to Measure Volume With a Thread. Amer.
Math. Monthly 112, 176–179 (2005).
[3] Vagn Lundsgaard Hansen, Rundt om uendeligheden. Normat 52, 105–117 (2004).
[4] D. Hilbert, Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück. Math.
Annalen 38 459–460 (1891).
[5] E. Netto, Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. J. reine angew. Math. 86, 263–268
(1879).
[6] W. F. Osgood, A Jordan curve of pos itive area. Trans. Amer. Math. Soc. 4 107–112
(1903).
[7] G. Peano, Sur une courbe , qui remplit toute une aire plane. Math. Annalen, 36
157–160 (1890).
De biografiske omtalene av Cantor, Hilbert og Osgood er basert på materiale fra the
History of Mathematics Archive på http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/.
osgood.tex,v 1.12
