Normat 53:1, 13–20 (2005) 13
Pappus – en proportionernas jonglör
Bengt Ulin
Tackjärnsvägen 12
SE–168 68 Bromma
b e ngt.ulin@swipnet.se
Vem var Pappus?
Tack vare några lysande matematiker i Alexandria fick den hellenska matemati-
ken en sista blomstringsp eriod på 300-talet (e Kr) innan den klingade ut under
400-talet. En av dem var Pappus (ca 290–350). Två saker är helt säkra rörande
honom: den ena är, enligt egen kommentar till Ptolemeus stora astronomiska verk
Almagest, att han år 320 iakttog en solförmörkelse; den andra, av vida större be-
tydelse , är att han dokumenterade sina föregångares och sin egen matematik i åtta
b öcker. Inte förrän 1200 år senare (1588) publicerades en översättning på latin.
Med hjälp av en fransk översättning [2] har jag plogat mig igenom de tjugo första
kapitlen av bok nr 4, fascinerad av de resultat som Pappus nådde rörande den
dåtida skomakarkniven, kallad (arb elos ).
Det började med Arkimedes
Figur 1a
När Pappus tog sig an studiet av skoma-
karkniven hade han tillgång till mycket av
den matematik som greker utvecklat un-
der den hellenska kulturperioden. Arkime-
des hade drygt 500 år före Pappus formu-
lerat och löst några problem rörande sko-
makarkniven, vars kontur begränsas av tre
halvcirklar (figur 1a–c). Arkimedes fann
ulin.tex,v 1.8
14 Bengt Ulin Normat 1/2005
(a) att arbelosarean = arean hos en cirkel, vars diameter är lika med längden av
den normal som tangerar de två mindre halvcirklarna (figur 1a)
(b) att de två cirklarna på ömse sidor om normalen i figur 1b är lika stora
(c) en formel för radien i den cirkel som är inskriven i figur 1c
Figur 1b
⇢
Figur 1c
Att bevisa (a) skulle kunna vara en uppgift på gymnasiestadiet. De två övriga
resultaten är betydligt svårare att nå. Arkimedes härledning av (c) finns återgiven
i [4].
Pappus fann en vacker fort sättning
I dubbel mening byggde Pappus vidare på Arkimedes tredje resultat: i konkret
avse ende fortsatte han att inskriva allt mindre tangerande cirklar i kniven (figur
2), i abstrakt mening härledde han diametern i dessa cirklar. Den formel han fann
är osannolikt vacker. Med {A
n
} som centra i en följd av allt mindre cirklar {c
n
}
och M
n
som fotpunkt för normalen från A
n
mot knivens vågräta baslinje gäller
följande formel för normalens längd:
(1) A
n
M
n
= n diametern i cirkel c
n
(n 1)
A
1
A
2
A
3
⇢
1
⇢
2
⇢
3
M
1
M
2
M
3
Figur 2
ulin.tex,v 1.8
Normat 1/2005 Bengt Ulin 15
Hur nådde Pappus fram till detta resultat . . .
. . . som gav radien för hela den oändliga följden av cirklar? Den som översatte
Pappus till franska, Paul Ver Eecke, nämner i en av de talrika och klargörande
fotnoterna i [2] att den franske matematikern E. Catalan 1858 publicerade en mo-
dern och elegant härledning av (1) i en uppsats [1]. Catalan utnyttjade metoden
att spegla skomakarkniven i en lämpligt vald cirkel. Som i ett trollslag kommer
man då direkt till formel (1). (Härledningen finns refererad i t ex [4].) Uppenbar-
ligen var Pappus inte förtrogen med inversion (spegling) i cirkel; han nådde sitt
mål efter att ha tagit sig fram till tre hjälpsatser som språngbräda. Det krävs ett
studium av drygt 12 sidor i översättningen (inkluderande figurvarianter av Pappus
samt översättarens instruktiva fotnoter) innan man någorlunda kan överblicka hur
Pappus gick till väga. Av utrymmesskäl måste vi här begränsa oss till att främst se
på de verktyg som Pappus begagnade och nöja oss m ed exempel på hur han jong-
lerade med proportioner. Vi ska se att han gång på gång utnyttjade likformighet
hos trianglar.
Verktyg i Pap pus utrustning
1. Hantering av analogier
Likheter av typ a/b = c/d, s k analogier, har en mycket stor betydelse , särskilt i
likformighetsläran, eftersom de svarar mot proportionaliteter av denna typ.
Efter addition av 1 på båda sidor övergår analogin ovan i en ny analogi,
a + b
b
=
c + d
d
.
Om man däremot subtraherar med 1 på båda sidor får man
a b
b
=
c d
d
.
Genom att ledvis dividera de två erhållna likheterna med varandra kommer vi till
analogin
(A)
a + b
a b
=
c + d
c d
.
2. Likställda och omvänt likställda figurer
Figur 3a visar ett exempel på likställighet: två trianglar OAB och OA
B
är lik-
ställda med avseende på hörnet O. (Likställighetscentrum O sammanfaller här med
ett triangelhörn.) De två trianglarna har parallella sidor AB och A
B
samt parvis
lika stora vinklar. Triangeln OAB är en förminskning av triangeln OA
B
i skalan
OA : OA
; omvänt kan vi se denna triangel som en förstoring av triangeln OAB i
skalan OA
: OA.
De två trianglarna är likformiga: OAB OA
B
, varvid t ex analogierna a/a
=
b/b
och a/b = a
/b
gäller. I figur 3b är trianglarna omvänt likställda; de ligger på
ulin.tex,v 1.8
16 Bengt Ulin Normat 1/2005
O
A
0
B
0
A
B
a
b
a
0
b
0
Figur 3a
O
A
0
B
0
A
B
a
b
a
0
b
0
Figur 3b
motsatta sidor om O. Man kan se den omvända likställigheten som sammansatt
av en (direkt) likställighet, kombinerad med en vridning 180
av den ena figuren
kring centrum O.
3. Thales sats
Greken Thales (6:e årh f Kr) kan ha varit den förste som dokumenterade ett bevis i
matematiken, nämligen beviset av den kända satsen att randvinkeln i en halvcirkel
är rät.
4. Sekantsatsen
Sekantsatse n och den närbesläktade kordasatsen utgör tillämpningar på likformiga
trianglar. Med hjälp av satsen att randvinklar mot lika stora bågar i en cirkel är
lika stora (se figur 4) bevisar m an likheten
PA PB = PC PD
för två godtyckligt dragna linjer PB och PC (sekanter) som skär cirkeln.
P
A B
C
D
Figur 4
E
A
B
C
D
T
V
U
a
c
b
A
B
C
Figur 5
5. En hjälpsats av Pappus
Tre cirklar med ce ntra A, B och C tangerar varandra två och två i T , U och V
enligt figur 5. A-cirkeln (
A
) är störst (radie a). E är en punkt på förlängningen av
centrumlinjen AB. Vi definierar D som skärningspunkt mellan
B
och linjen VU.
ulin.tex,v 1.8
Normat 1/2005 Bengt Ulin 17
Det är inte svårt att bevisa, att om och endast om en punkt E har ett sådant läge
att likheten EA/EB = a/b uppfylls, så ligger punkten E i linje med D, U och V .
Pappus utvidgar denna hjälpsats med korollariet EU EV =(ET )
2
.
6. En hjälpsats av Arkimedes
c
c
0
A B
B
0
A
0
O
Figur 6: Parallella diametrar AB
och A
B
.
I figur 6 är cirkeln c likställt avbildad på den
mindre cirkeln c
varvid O utgör gemensam
tangeringspunkt till cirklarna. Därvid över-
går diametern AB i en med AB parallell
diameter A
B
. De tre punkterna A, O och
A
ligger i rät linje, likaså B, O och B
. Sam-
ma förhållanden erhålls om den ena cirkeln
ligger inne i den andra.
Arkimedes hjälpsats är omvändningen:
om två diametrar AB och CD är parallella
för två cirklar med en tangeringspunkt O,
så ligger diametrarnas ändpunkter parvis i
linje med O.
Hur Pappus utnyttjade verktygen 1.–6.
B K DM L C
Q
E
A
⇢
Z
H
Figur 7 : Tangering i B, E och H. Diametern QZ är parallell med BC. AM , QZ
och ZL är normaler. BC =2R , BD =2r.
1
I anslutning till figur 7, där två halvcirklar tangerar varandra i B och dessutom
i punkterna E och H tangerar en cirkel med ce ntrum A, härleder Pappus formeln
(2)
BM
=
BC + BD
CD
=
R + r
R r
där R och r är radier i den större respektive den mindre halvcirkeln. Vi noterar
först att figuren har räta Thales-vinklar vid E och H. Diametern QZ är parallell
med BC . Därför gäller enligt Arkimedes hjälpsats (6. ovan) att E ligger dels på
linjen BZ , dels på linjen DQ samt att Q ligger på linjen BH och Z på linjen CH.
ulin.tex,v 1.8
18 Bengt Ulin Normat 1/2005
Ur likformigheterna BHC BQK och BED BZ L kommer Pappus med hjälp
av sekantlikheten BH BQ = BZ BE till analogin
(3)
BL
BK
=
BC
BD
som med hjälp av analogibildningen (A) och likheten BL+ BK =2BM omformas
till (2). Därmed är (2) bevisad.
C K B M L D
H
Q
A
⇢
Z
E
Figur 8 : Tangering i B, E och H. Diametern QZ är parallell med CD. AM, QK
och ZL är normaler. BC =2r
1
, BD =2r
2
.
2
På analogt sätt som i 1
härleder Pappus analogin (3) även för figur 8 (som
kompletterar figur 7 och anknyter till arbelosfiguren) och kommer med sin analogi-
teknik denna gång till likheten
(4)
BM
=
r
1
r
2
r
1
+ r
2
varvid r
1
och r
2
är radier i den större respektive den mindre halvcirke ln.
3
Ur likformigheterna BC H BKQ och BCH ZLC härleder Pappus vidare
sambandet
(5) BK CL =(AM)
2
.
4
Med hjälp av de vunna resultaten (2)–(4) arbetar sig Pappus i 10 steg (innefat-
tande verktygen i avsnitt 1.-6.) till den likhet som blir det avgörande språngbrädet
för arbelossatsen: Pappus bevisar sambandet
(6)
PN
2
=
AM +2
2
i anslutning till figur 9. (Figuren är späckad med geometriska relationer!) Etappmål
är bl a bevis av att BZ = ZQ och att SK (= SA)=.
ulin.tex,v 1.8
Normat 1/2005 Bengt Ulin 19
B
N D M C
n
Z
T
K
P
A
S
V
U
Q
m
⇢
⇢
0
O
X
Figur 9 : Tangering i B, T , Q och U. AS = radie ; PO = radie
. n = BZ , PN
och m = KM är normaler, Z bestäms av n AP , K av m BP ; O och Q ligger
på linjen BS; U ligger på linjen VZ.
Slutsteget i beviset av arbelossatsen
Vi utgår från (3), som omformas till
(7) BC BK = BD BL.
På samma sätt som (7) härleddes (med sekantsatsen och två likformigheter) här-
leder man
(8) CB CL = CD CK.
Med analogitekniken i avsnitt 1. ovan härleder Pappus ur (7) och (8) sambandet
(9) BK CL =(KL)
2
.
Nu utvisar (5) och (9) att AM = KL (= 2
1
) (figur 2). Därmed är (1) bevisad för
n =1.
Vi ska nu utnyttja det kärnfulla sambandet (6). Av det nyss bevisade faktum
att AM +2
1
=4
1
följer efter insättning i (6) att
PN =2 2
2
dvs (1) är bevisad för n =2. Eftersom tredje cirkeln i figur 2 står i samma relation
till den andra som den andra till den första, följer nu
PN +2
2
=6
2
=3 2
2
dvs (1) är påvisad för n =3.
Nu behöver man bara upprepa detta enkla additionsförfarande för att inse gil-
tigheten av (1) för alla n-värden. Denna geometriska induktion bygger på (6) som
iterationslänk.
ulin.tex,v 1.8
20 Bengt Ulin Normat 1/2005
Nog är det fascinerande att se hur långt Pappus kunde komma med likformighet,
analogier och några andra verktyg, efter en mödosam och knepig bergsbestigning
som ledde till en sällsynt vacker geometrisk upptäckt. Ur arbelosfigurernas rike dom
kan man hämta åtskilliga uppgifter av varierande svårighetsgrad för undervisningen
i geometri.
Referenser
1 E Catalan, Théorèmes et Problèmes de Géométrie élémentaire, 3 edition, Paris 1858.
2 P Ver Eecke, Pappus d’Alexandrie, La Collection Mathématique, Livre IV, Descleé,
De Brouwer, Paris 1933.
3 C S Ogilvy, Excursions in Geometry, Dover 1991.
4 B Ulin, Problemlösning i symbios med matematikhistoria, Ekelunds 2002.
5 B L van der Waerden, Science Awakening, Noordhoff 1954.
ulin.tex,v 1.8
