Normat 53:1, 31–33 (2005) 31
Å telle opp i tallteorien
Marius Overholt
Institutt for matematikk og statistikk
Universitetet i Tromsø
NO–9037 Tromsø
marius@math.uit.no
Denne artikkelen er tilegnet tohundreårs-jubileet for Lejeune Dirichlet’s fødsel. Han
ble født 13. februar 1805 i Düren i Rhinlandet. Dirichlet arbeidet innen analyse og
tallteori. Han var en pioner for stringent matematisk analyse, og for analytiske
metoder i tallteorien. Helmuth Koch ga i [6, s. 33–40] denne karakteriseringen av
Dirichlet som problemløser:
His proofs characteristically started with surprisingly simple observations, followed
by extremely sharp analysis of the remaining problem.
Lenge arbeidet tallteorikere mest med å finne konkrete løsninger til konkrete pro-
blemer, og med å utvikle løsningsmetoder. For eksempel utviklet Fermat en metode
for å faktorisere heltall. Anvendt på heltallet 207 blir metoden slik: 15
2
207 = 18,
16
2
207 = 49. En regner altså suksessivt ut differensene mellom kvadratttallene
som er større enn det heltallet som skal faktoriseres, og heltallet selv, og stopper
når differensen er et kvadrattall. Den siste utregningen fremstiller 207 som differens
av kvadrattall, og dermed som et produkt av heltall: 207 = 16
2
49 = 16
2
7
2
=
(16 7)(16 + 7) = 9 · 23. Fermat’s metode er meget fordelaktig for å faktorisere
heltall som er produkt av to nesten like store faktorer.
Dirichlet undersøkte spørsmålet om hvor mange faktoriseringer et heltall kan ha.
Mer presist ønsket han å telle heltallsdivisorer. Hver divisor frambringer en faktori-
sering i to faktorer. Teller vi antall divisorer, inklusive tallet selv og 1, til heltallene
1, 2,...,10 får vi følgen 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4. Dette er en temmelig uregelmessig
følge. Men Dirichlet innså at middeltallet av antall divisorer oppfører seg på en mye
mer regelmessig måte. Han viste i arbeidet [3] fra 1849 at gjennomsnittet av antall
overholt.tex,v 1.6
32 Marius Overholt Normat 1/2005
divisorer til heltallene fra 1 til n er omtrent log(n)+2 1. Her er =0.5772 ...
en konstant, kjent som Eulers konstant.
For ekse mpel er gjennomsnittet av antall divisorer til heltallene fra 1 til 10 lik
1+2+2+3+2+4+2+4+3+4
10
=2.70,
og log(10)+2 1=2.46 korrekt avrundet. Den absolutte feilen i denne tilnærmin-
gen er 2.70 2.46 = 0.24, og dette er svært godt i betraktning av divisorantallets
uregelmessige oppførsel. Dirichlet påviste med et elementært men skarpsindig re-
sonnement at den absolutte feilen i tilnærmingen går mot null minst like så raskt
som n
1/2
når n .
Dirichlet b egynte sine undersøke lser omkring divisorproblemet i to arbeider [1]
og [2] fra 1838. Etter sin artikkel fra 1849 publiserte Dirichlet ikke mer om proble-
met. Men sommeren 1858 besøkte han Leopold Kronecker i Ilsenburg i Harz-fjellene,
hvor sistnevnte tilbrakte sin ferie. Fra et brev [4, s. 406–408] av 23. juli 1858 som
Dirichlet skrev til Kronecker i etterkant av besøket går det fram at de to hadde
diskutert divisorproblemet, og Dirichlet meddelte Kronecker at han hadde lyktes i
å forbedre s itt resultat fra 1849. Men 5. mai 1859 døde Dirichlet i Göttingen, og
arb eidet hans gikk tapt for ettertiden.
Neste steg tok den russiske matematikeren Georgi Voronoi i 1903. I arbeidet [7]
lyktes han i å bevise at den absolutte feilen i Dirichlet’s tilnærming går mot null
minst like raskt som n
2/3
log(n) når n . Merk at eksponenten i potensen
av n er avgjørende forbedret, siden log(n) vokser langsommere enn n
for enhver
>0. Problemet å fastslå den beste eksponenten har blitt kjent som Dirichlet’s
divisorproblem, og er fremdeles uløst.
Dirichlet’s arbeider omkring divisorproblemet og beslektede problemer startet
et meget betydningsfullt tema innen tallteorien – å asymptotisk telle opp antall
løsninger til tallteoretiske problemer.
I stedet for Dirichlet’s setning skal vi med et meget enkelt resonnement be vise et
svakere resultat. Notasjonen d(m) er standard for antallet divisorer til et pos itivt
heltall m.
Sats. Gjennomsnittet
d(1) + d(2) + ···+ d(n)
n
av antall divisorer d(m) til heltallene m i intervallet 1 m n er tilnærmet lik
log(n) med en absolutt feil som ikke overstiger 2.
Bevis: Hvert heltall fra 1 til n har divisoren 1. Annethvert heltall fra 1 til n har
divisoren 2, og av disse heltallene forekommer altså n/2 eller (n 1)/2. På samme
måte er k divisor i omtrent n/k heltall mellom 1 og n. Feilen i tilnærmingen n/k
er høyst 1. Det sammenlagte antallet divisorer til alle heltallene mellom 1 og n er
derfor omtrent lik n/1+n/2+···+ n/n med en absolutt feil som ikke er større
enn n. Men det sammenlagte antallet divisorer til alle heltallene mellom 1 og n er
lik summen av antallet divisorer for hvert heltall mellom 1 og n,så
d(1) + d(2) + ···+ d(n)
n
1
+
n
2
+ ···+
n
n
n.
overholt.tex,v 1.6
Normat 1/2005 Marius Overholt 33
Dermed er gjennomsnittet av antall divisorer til heltallene mellom 1 og n lik 1+
1
/
2
+
1
/
3
+ ···+
1
/
n
med en absolutt feil som ikke er større enn 1. Merk at middelverdien
til den uregelmessige følgen av divisorantall allerede nå er temmet. Summene 1+
1
/
2
+ ···+
1
/
n
oppfører seg meget regelmessig. Ved hjelp av arealsammenlikning i
integralregningen påvises lett at 1+
1
/
2
+ ···+
1
/
n
er tilnærmet lik log(n) me d en
absolutt feil som ikke overstiger 1. Vi trekker så konklusjonen at gjennomsnittet av
antall divisorer til heltallene mellom 1 og n er tilnærmet lik log(n) med e n absolutt
feil som ikke overstiger 2.
Ovenstående bevismetode stamm er også fra Dirichlets arbeide i 1849, men inkor-
p orere r ikke den avgjørende ideen s om gir en meget god skranke for feilen.
Divisorproblemet har en lang og interessant historie, men det blir for vidløftig
å gå inn på den her. Den beste eksponenten som er kjent er 285/416, som nylig
ble funnet av M. N. Huxley, se [5]. Det er gode grunner til å tro at den beste
eksponenten skal være 3/4.
Bibliografi
1 G. Lejeune Dirichlet, Über die Bestimmung asymptotischer Gesetze in der
Zahlentheorie, Bericht über die verhandlungen der Königlich Preussischen Akadem ie
der Wissenschaften 1838, 13–15.
2 G. Lejeune Dirichlet, Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres,
Journal für die reine und angewandte Mathematik 18, 259–274 (1838).
3 G. Lejeune Dirichlet, Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der
Zahlentheorie, Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der
Wissenschaften 1849, 69–83.
4 G. Lejeune Dirichlet, Werke, Zweiter Band, Berlin 1897.
5 M. N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function,
Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000), 275–290. A K Peters,
Natick, MA, 2002.
6 H. Koch, Gustav Peter Lejeune Dirichlet, Mathematics in Berlin, Berlin 1998.
7 G. Voronoi, Sur une problème du calcul des fonctions asymptotiques, Journal für die
reine und angewandte Mathematik, 126, 241–282 (1903).
overholt.tex,v 1.6
