34 Normat 53:1, 34–38 (2005)
Konstruksjon av den regulære 17-kanten
Oddvar Iden
Matematisk institutt
Johannes Brunsgate 12
NO–5008 Bergen
iden@mi.uib.no
Går man ut fra at «geometrien» kan identifiseres med et plant koordinatsystem,
byr geometrien på mange anvendelser av Galoisteorien. En av dem er konstruksjon
av den regulære 17-kanten. Da universalgeniet Karl Friedrich Gauss løste dette
problemet (1795), fikk det ham til å velge matematikk istedet for klassiske studier,
no e som har hatt enorm betydning for matematikken. Gauss ikke bare konstruerte
17-kanten, men han knyttet konstruksjonen av regulære polygoner til eksistensen
av primtall som også er Fermattall (se [6]), det vil si av formen 2
2
n
+1, der n er et
naturlig tall. I [8] finnes en detaljert frems tilling av dette temaet.
Algebraikere flest vil øyensynlig helst ikke ut av algebraen når de først har festet
grep e t; geometri er noe man ikke vil ta i. De finner derfor fire likninger av 2. grad
som ved suksessiv løsning fører til et irrasjonalt uttrykk og så er det bare å kon-
struere dette uttrykket heter det gjerne [5, 9]. De fire likningene utledes også i [8].
De beviser at 17-kanten kan konstrueres, men forklaring på hvordan likningene for-
holder seg til den angitte konstruksjon (av Richmond) må man finne et annet sted,
for eksemp el i [9], by using greater ingenuity. Forklaring mangler også på nettste-
det http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html som ellers inneholder
mange referanser til emnet.
De fire likningene har alle konstruerbare løsninger. De guider oss derfor på natur-
lig måte til en av konstruksjonene, without using greater ingenuity. Gauss utleder
de fire likningene i [2], Art. 354 og løser dem med 10 desimaler. I [3], bind 2 side
187, berømmer han en Erchinger (Herr Erchinger zu Thuningen im Königreich
Würtemberg) for å ha omsatt hans likninger til geometriske konstruksjoner som, i
motsetning til andres, er utført «mer i den rene geometris ånd». Gauss’ fremstil-
ling av saken er imidlertid idag så uvanlig at det faktisk er lettere å gjenoppdage
Erchingers «rene geometri» enn å gå via Gauss. Hvorfor ikke bli med på det?
iden.tex,v 1.8
Normat 1/2005 Oddvar Iden 35
Likningene er alle av formen
(1) ax
2
+ bx + c =0, abc =0
og kan omformes til
x
x +
b
a
=
c
a
= d
2
, der = ±1.
Hvis = +1, vil sirkelen med sentrum i (b/2a, 0) som går gjennom (0,d) skjære
x-aksen i (x
1
, 0) og (x
2
, 0),derx
1
,x
2
er løsninger av likning 1, uansett fortegnet
til b/a. Se figurene 2 og 3. Vi markerer bare én koordinat.
Hvis = 1, er likning 1 derimot ekvivalent med
x
d
=
d
x + b/a
,
se figur 1.
PSfrag replacements
b/a
d
0
b/2ax
1
x
2
data
konstruksjon
Figur 1 : Geometrisk løsning av x(x + b/a)=d
2
.
Betingelsen for geometrisk løsning er da selvfølgelig at d<|b/2a|, som medfører at
b
2
4ac > 0.
Som nevnt utledes de fire likningene i [8]. I Galois-kontekst: la være en primitiv
17. rot av 1 og la Q være de rasjonale tall. Siden er rot i et geometrisk polynom
(2) x
16
+ x
15
+ ···+ x
2
+ x +1
av grad 16 som er irredusib e lt over Q, er Galoisgruppen til Q() over Q (gruppen
av de automorfismer for Q() som utvider identitetsavbildningen på Q) av orden
16, og den e r syklisk. Automorfismen gitt ved at
|
Q
=1|
Q
(nø dvendigvis),
3
genererer den. Og re dusert til absolutt minste eksponenter får vi
(3)
3
8
7
4
5
2
6
··· ,
iden.tex,v 1.8
36 Oddvar Iden Normat 1/2005
hvor eksponentene deretter repeteres med motsatt fortegn.
Galoisteorien etablerer under visse betingelser (som er oppfylt her) en entydig
inklusjonsreverserende korrespondanse mellom undergrupper H av Galoisgruppen
til en kropp F over en underkropp K og underkropper F
H
av F (bestående av de
elementer som fikseres av hver automorfisme i H), slik at H også er Galoisgruppen
til F over F
H
. Dermed kan innbyrdes struktur for de kroppene som inneholder K
og er inneholdt i F leses av som et speilbilde av undergruppesystemet til Galois-
gruppe n.
Når denne grupp en er syklisk av orden 16, får vi ett gruppetårn
1
Q()
8
4
2
med det korresponderende tårn av fikskropper:
Q() K
8
K
4
K
2
Q.
Banen til under (se formel 3) deler seg i to baner under
2
, én som inneholder
;
{
±1
,
±2
,
±4
,
±8
}
med sum =: x
1
og én som inneholder
3
;
{
±3
,
±5
,
±6
,
±7
}
med sum =: x
2
, der x
1
,x
2
K
2
\ Q, siden (x
1
)=x
2
. Siden er rot i polynomet
(2) følger det straks at x
1
+ x
2
= 1 og (etter litt regning) at x
1
·x
2
= 4; x
1
, x
2
er altså røtter i likningen
x
2
+ x 4=0 eller x(x + 1) = 2
2
.
Den siste sier at 2 er geometrisk middel for x og x +1.
PSfrag replacements
x
1
x
2
1
2
O
Figur 2 : Geometrisk løsning av x(x + 1) = 2
2
.
iden.tex,v 1.8
Normat 1/2005 Oddvar Iden 37
Vi innfører en forkortet skrivemåte;
x
1
=
±{1,2,4,8}
,x
2
=
±{3,5,6,7}
og bestemm er fire banesummer under gruppen
4
;
y
1
:=
±{1,4}
,y
2
=
±{2,8}
,y
3
=
±{3,5}
,y
4
=
±{6,7}
.
Det er klart at y
1
+ y
2
= x
1
og y
3
+ y
4
= x
2
, og det er ikke særlig strevsomt å
kontrollere at
y
1
· y
2
= y
3
· y
4
= 1.
Det følger at y
1
, y
2
er røtter i likningen (y x
1
)y =1.
PSfrag replacements
x
1
2
x
1
1
y
1
y
3
x
2
O
x
2
2
Figur 3 : Løsning av (y x
i
)y =1,i{1, 2}.
Konstruksjonen av røttene y
3
, y
4
i (y x
2
)y =1er analog. Bare y
1
og den
p os itive y
3
s konstruksjon er tatt med i figur 3. Vi observerer at
2
(y
1
)=y
2
,
2
(y
3
)=y
4
slik at K
4
= K
2
(y
i
), i {1, 2, 3, 4}.
Vi setter nå
z
j
:=
±{j}
=
j
+
j
=2· Re(
j
)
(banesummer under grupp en
8
) og bemerker at
y
1
= z
1
+ z
4
og y
3
= z
1
· z
4
.
Det følger at z
1
, z
4
er røtter i likningen
z
2
y
1
z + y
3
=0
som kan omformes til
z(z y
1
)=z(y
1
z)=y
3
=: w
2
,w>0
iden.tex,v 1.8
38 Oddvar Iden Normat 1/2005
PSfrag replacements
x
1
y
1
y
3
1
w
z
1
x
2
/2
⇠
2
O
Figur 4 : Løsning av z(y
1
z)=y
3
=: w
2
.
og løses geometrisk som i figur 1. Men først bestemmes w som geometrisk middel
av 1 og y
3
. Re(
1
)=z
1
/2 bestemme r så .
Forbausende mange kjente matematikere har beskjeftiget s eg med denne kon-
struksjonen. Goldenring [4] gir en oversikt over konstruksjonen(e)s historie som er
blitt ettertrykkelig anmeldt og supplert av Archibald i [1]. Det lille heftet [7] (26
sider) er utgitt før 1873 og derfor ikke til utlån fra norske biblioteker. [6] refererer
på s. 204 konstruksjonen til Richmond med en kortfattet beskrivelse av prosedyren,
ikke mer.
Referanser
[1] R. C. Archibald: The history of the construction of the regular polygon of seventeen
sides. Bull. AMS, 22, 239–246 (1916).
[2] C. F. Gauss: Disquisitiones Arithmeticae. New Haven and London, Yale University
Press, 1966.
[3] C. F. Gauss: Werke. Göttingen 1873.
[4] R. Goldenring: Die elementargeometrischen Konstruktionen des regelmässigen
Siebzehnecks. Eine historisch-kritische Darstellung. Leipzig und Berlin, Teubner
1915.
[5] M. H. Fenrick: Introduction to the Galois correspondence. Boston–Basel–Berlin 1998.
[6] M. Kíek, F. Luca, L. Somer: 17 lectures on Fermat numbers. From number theory
to geometry. CMS books in mathematics, Springer Verlag 2001.
[7] G. Oden: Geometrisk behandling og construction af den regulære 17 kant. Christiania
1854.
[8] Reed og Årnes: Matematikk i vår tid. Universitetsforlaget, 1967.
[9] I. Stewart: Galois Theory. London–New York 1989.
iden.tex,v 1.8
