Normat 53:1, 43–47 (2005) 43

Bøker

Christof Teuscher (Ed.) Alan Turing: Life

and Legacy of a Great Thinker. Springer

2004. ISBN 3–540–20020–7.

Alan Turings grunnleggende bidrag til

informasjonsvitenskapen ga støtet til

utviklingen av moderne datateknologi.

Hans arbeider er fortsatt aktuelle inspi-

rasjonskilder innen informatikk og ma-

tematikk. Denne boken er en sam ling av

artikler til hans minne. De spenner over

et bredt spektrum fra matematikk via

informatikk til antropologi og ﬁlosoﬁ.

Boke n åpner med en kort biogra-

ﬁsk innledning, over 6 sider, av And-

rew Hodges fra Oxford. Dette er en me-

get lesverdig liten artikkel. Slik den står,

som innledning til en tykk bok, med et

innhold som ved første øyekast kan vir-

ke teknisk og avskrekkende, er det vel

fare for at den ikke blir funnet av andre

enn de spesielt interesserte. Det er i så

fall synd. Les denne biograﬁen! Hodges

artikkel, sammen med det etterfølgende

skuespillet jeg skal fortelle om nedenfor,

er i seg selv ve rdt hele bokanskaﬀelsen.

Her kommer noen høydepunkter fra ar-

tikkelen, sammen med litt stoﬀ fra an-

melderen.

Alan Turing ble født 23. juni 1912, og

dø de den 7. juni 1954. Han ble født inn i

britisk øvre middelklasse, som ikke len-

ger befant seg på toppen av et mektig

globalt imperium. Hans foreldre hadde

holdt høye posisjoner i det britiske ko-

lonistyret i India. Turing selv hørte til

en ny generasjon, som ville ﬁnne en ny

vei videre. Han begynte som undergra-

duate ved King’s College ved Cambrid-

ge University i 1931, men gikk sine egne

veie r. I 1933 leste han således Bertrand

Russ ells Introduction to mathematical

philosophy. Han tok eksamen med beste

karakterer i 1934. Deretter ble det stu-

dier i Cambridge, der han fulgte foreles-

ninger av Maxwell Herman Alexander

Newman, blant venner kalt Max. New-

man var en fremragende matematiker

og logiker. Imidlertid ble Turing interes-

sert i sannsynlighetsregning og matema-

tisk fysikk, og med denne bakgrunnen

ﬁkk han en stipendiatstilling ved King’s

College.

Men her tok han opp David Hilberts

Entscheidungsproblem. I 1936 publiser-

te han artikkelen On Computable Num-

bers, with an application to the En-

tscheidungsproblem. Her innførte han

den teoretiske maskinen som vi i dag

kaller en «Turingmaskin». Hans deﬁni-

sjon av beregnbarhet basert på denne

maskinen viste at det ikke kan ﬁnnes

no e n generell metode for å avgjøre om

matematiske utsagn er bevisbare, slik at

det ikke er mulig å konstruere et kom-

plett system for matematikken.

Da annen verdenskrig brøt ut ble

Turing trukket inn i arbeidet med hem-

melige koder. Tyskernes kodemaskin

Enigma, Gåten, var ikke fullt så gåtefull

som tyskerne tro dde. En underbetalt

ansatt hadde i mellomkrigstiden solgt

opplysninger til Frankrike, som ga det

videre til Polen. Polakke ne hadde drevet

av den alvorlige trusselen de sto overfor

gjort god bruk av opplysningene, men så

forb edret tyskerne sin Enigma. Da kri-

gen brøt ut, overtok Storbritannia job-

b e n, og her kom Turing inn i bildet.

Englenderne hadde fått tak i ﬂere ek-

semplarer av kodemaskinen. Basert på

Turing’s ideer ble det bygd store elek-

tromekaniske maskiner kalt «Bomber»,

som ble brukt til å ﬁnne de rette nøk-

kelordene som ble brukt til enhver tid.

Turings ideer var geniale, men det hjalp

b oks palte.tex,v 1.5

44 Bøker Normat 1/2005

jo at koden ble brukt uforsiktig, for ek-

sempel se ndte man daglig værmeldinge-

ne i kode, til fast tid og i en bestemt

form.

Turing arbeidet i det legendariske

etterretningssentret i Bletchley Park i

Buckinghamshire. Etter arbeidet med

den logiske strukturen til Bomben, ar-

b e idet han med Bayesisk statistikk for å

måle «weight of evidence». Turings inn-

sats var avg jørende i kampen om Atlan-

teren, ved at U-båtenes telegraftraﬁkk

kunne leses.

Ved slutten av krigen hadde han en

plan for å bygge en elektronisk hjerne.

Selv om hans arbeid ble holdt hemmelig

helt til 1970-tallet, begynte etterkrigsti-

den lovende for Turing. En maskin et-

ter hans ideer ble bygd ved Manchester

University.

Han arbe idet etter hvert med det

vi i dag kaller kunstig intelligens, og i

1950 publiserte han artiklene Compu-

ting Machinery and Intelligence i tids-

skriftet Mind. Her formulerte han sin

b e rømte Turing Test for intelligens:

Anta at et menneske og en computer

med et dataprogram blir intervjuet av

en person, der spørsmål og svar ute-

lukkende er tekstmeldinger. Dersom det

ikke er mulig for intervjueren å avgjøre

hvem som er menneske og hvem som er

computeren, da er det urimelig å ikke

erklære at computeren er intelligent.

I 1951 ble han valgt til et fellowship

i the Royal Society. Ved slutten av 1951

var han dessuten ferdig med en avhand-

ling om matematisk biologi, som er blitt

en klassiker i ettertiden.

Men så inntraﬀ katastrofen. S. Singh

forteller det slik i The Code Book :I

1952 ble Turing utsatt for et innbrudd

i huset der han bodde. Da han meld-

te dette til politiet, kom det frem at

han var homoﬁl og hadde en mannlig

samb oe r hos seg. Dette førte til at han

ble tiltalt for «Gross indecency contra-

ry to Section 11 of the Criminal Law

Amendment Act 1885.» Turing ble of-

fentlig skandalisert, han mistet sin sik-

kerhetsklarering og han ble dømt til å

undergå psykiatrisk behandling. Dess-

uten ﬁkk han injeksjoner med østrogen.

Denne behandlingen gjorde ham impo-

tent og overvektig. Han gikk inn i en

dyp depresjon. Den 7. juni i 1954 dyppet

han et eple i den dødelige giften cyanid,

og spiste ﬂere biter av det. 42 år gam-

mel begikk ett av de største ge nier i det

tyvende århundret selvmord, på en slik

måte at «de som ønsket det, skulle få

tro at det var en ulykke», som Hodges

skriver.

Den neste artikkelen er et skuespill av

Valerie Patera, «Alan’s Apple: Hacking

the Turing Test». Eplet har spilt en rol-

le knyttet til kunnskap gjennom histo-

rien: Eva spiste eplet fra Kunnskapens

Tre, Newton observerte eplet som falt til

jorden og innså betydningen av gravita-

sjonskraften. Og Alan Turing spiste sitt

eple, det som var forgiftet med cyanid.

Skuespillet er gripende. Les det! Det blir

vel neppe satt opp på de store scenene.

Kan hende det er for sterkt til at det

kan fremføres av elever eller studenter i

dag. Kanskje om 50 år til?

Boke n faller i 5 deler. I denne anmel-

delsen har vi bare berørt første del av

del Part I.

Part I. Turing’s Life and Thoughts

Alan

Turing: an Introductory Biography

Alan’s Apple: Hacking the Turing Test

What would Alan Turing have done af-

ter 1954? From Turing to the Informa-

tion Society.

Part II. Computation and Turing Ma-

chines

The Mechanization of Mathe-

matics Hypercomputational Models

Turing’s Ideas and Models of Computa-

tion The Myth of Hypercomputation

Quantum Computers: the Church-

Turing Hypothesis Versus the Turing

Principle Implementation of a Self-

replicating Universal Turing Machine

b oks palte.tex,v 1.5

Normat 1/2005 Bøker 45

Cognitive Science and the Turing Ma-

chine: an Ecological Perspective.

Part III. Artiﬁcial Intelligence and the Tur-

ing Test

Can Machines Think? The

Computer, Artiﬁcial Intelligence, and

the Turing Test A Note on Enjoy-

ing Strawberries with Cream, Making

Mistakes , and Other Idiotic Features

Rob ots and Rule-Following The Law

of Accelerating Returns.

Part IV. The Enigma The Polish Brains

Behind the Breaking of the Enigma

Code Before and During the Second

World War Alan Turing at Bletchley

Park in World War II Alan Turing’s

Contribution to Co-Operation Between

the UK and the US.

Part V. Almost Forgotten Ideas Watch-

ing the Daisies Grow: Turing and the

Fib onacci Sequence Turing’s Connec-

tionism.

Vi innledet denne anmeldelsen med å si

at innholdet ved første øyekast kan vir-

ke både teknisk og avskrekkende. Men

titlene ovenfor taler for seg selv. Disse

artiklene behandler sentrale og interes-

sante tema, og de kan leses uavhengig

av hverandre. Le se re som vil bruke av

sin tid vil bli rikt lønnet. Boken er med

dette anbefalt på det b e ste.

Pe r-Even Kleive: Diskret matematikk og

lineær algebra. 3. utgave.

Fagb okforlaget, Bergen 2002. ISBN

82–7674–891–0.

Denne læreb oken i diskret matematikk

og lineær algebra ble skrevet spesielt for

studenter ved ingeniørhøgskoler. Det er

ofte slik at matematikkbøker for denne

målgruppe n er mer praktisk enn teore-

tisk innrettet, og stundom kan få karak-

ter av «kokebok». Her utmerker Kleives

b ok seg på en svært fordelaktig måte:

De matematiske poengene er ordentlig

b e handlet, og det er lite som kostes un-

der teppet.

Boke n innledes med fem kapitler som

forklarer noen sentrale tema fra mate-

matikkens grunnlag. Først kommer et

lite kapittel om utsagnslogikk. Her blir

det gitt en kort og lettfattelig men sam-

tidig vel gjennomtenkt, forklaring på de

b e greper og symboler som vi forelesere

b e nytter som en form for matematisk

stenograﬁ i undervisningen. Ofte gjør vi

dette uten forklaring, eller vi gir forkla-

ringen bare i forbifarten. I det følgende

kapitlet om mengdelære blir det gitt en

tilsvarende kort innføring i begreper og

symb oler fra mengdelæren. Igjen en god

middelvei mellom en strengt uangripelig

matematisk fremstilling og en bruker-

vennlig veiledning for ingeniørstudente-

ne. Så kommer et kapittel om implika-

sjon, et tema som mange studenter ﬁn-

ner vanskelig men som her får en utfyl-

lende behandling, og et kort kapittel til

om mengdelære, med mengdealgebra og

bruk av Venn-diagram. Det femte kapit-

let handler om bevisteknikk: Direkte og

indirekte bevis, motbevis ved eksempel

og «matematisk induksjon».

I kapittel 6 blir det gitt en kort inn-

føring i utvidelsen av tallbegrepet, med

de naturlige tallene 1, 2, 3, osv. som

utgangspunkt og frem til de komplek-

se tallene. Dette er svært prisverdig i

en norsk lærebok, for elevene som kom -

mer fra den videregående skolen her i

Norge har knapt fått noen systematisk

innføring i tallbegrepets utvikling. Fra

de naturlige tallene til de hele tallene,

med null og negative tall, og innføringen

av de rasjonale tallene, er fremstillingen

grei. Men ved innføringen av de reel-

le tallene blir det muligens litt knapt.

Dessuten er utvidelsen av addisjon og

multiplikasjon et tema som mange be-

gynnerstudenter lurer på også. Hvorfor

er egentlig (1)(1) = 1? Når en først

tar opp dette temaet med utvidelsen av

tallb egrepet, bør kanskje disse momen-

b oks palte.tex,v 1.5

46 Bøker Normat 1/2005

tene tas med. Det behøver jo ikke bli

mange linjene. En annen bemerkning

til dette kapitlet er at det virker litt

for symboltungt. De logiske tegnene for

«og», «eller», «medfører» osv. trenger vi

jo ikke dra med i senere tekst, det er vel

for eksempel nok å fortelle at en fra nå

av bruker ordene «og», «eller» isteden-

for tegnene  og . Innføringen av de

komplekse tallene er klar og forståelig.

Med kapittel 7 om tallfølger og diﬀe-

rensligninger innledes behandlingen av

b okens kjernestoﬀ. I behandlingen av

diﬀerensligninger får vi en grundig be-

handling av Fibonacci-tallene via en

diﬀerenslignings karakteristiske ligning.

Kapittel 8 er viet grunnleggende kombi-

natorikk og sannsynlighetsregning.

Fra og med kapittel 9 og frem til ka-

pittel 13 som er det siste kapitlet med

teori, behandles lineær algebra. Dette er

altså den største delen av boken, når

en ser bort fra de fem innledende ka-

pitlene. Etter deﬁnisjonen av en matrise

komm er eksemplene knyttet til lineære

ligningssystemer, veivalg, koblingsskje-

ma. Matriseaddisjon og -multiplikasjon

samt multiplikasjon med skalar innfø-

res, transponering, etc. Gaussisk elimi-

nasjon i lineære ligningssystemer knyt-

tes til operasjonene på systemets total-

matrise. Matrisers betydning for skif-

te av koordinatsystem behandles, her-

under en smakebit på den generelle bru-

ken av rotasjon for å bringe et kjegle-

snitt på normal form. Determinanten

innføres og den inverse matrisen be-

handles.

Kapittel 10 handler om vektorrom.

Det begynner med en geometrisk inn-

føring av vektorer. Addisjon og multi-

plikasjon med en skalar innføres geome-

trisk. Deretter kommer den algebraiske

deﬁnisjonen av vektorer som elementer

i R

, R

og mer generelt i R

. Nå gjen-

nomgås den vanlige teorien med under-

rom, basis, ortogonalitet etc. Så, i sek-

sjon 10.5 kommer abstrakte vektorrom,

her kalt generelle vektorrom, over de re-

elle tall. Kapittel 11 har tittelen «Fun-

damentalse tningen for lineære liknings-

systemer». Denne setningen er det re-

sultatet at et ligningssystem har løsning

hvis og bare hvis systemets (koeﬃsient-)

matrise har sam me rang som dets total-

matrise, og at det i så fall har entydig

løsning dersom denne felles rangen er lik

antall ukjente, og uendelig mange løs-

ninger e llers. Crame rs te orem oppstilles

uten bevis. Dette ser en ofte, for Cra-

mers regel går for å være vanskelig å

b e vise. Men dette er faktisk helt galt,

siden Cramers Teorem lett lar seg be-

vise ved hjelp av Gaussisk eliminasjon.

Faktisk gir dette også det aller enklest

tenkelige beviset for «Fundamentalset-

ningen» også. Denne obse rvasjonen ser

ut til å ha unngått de ﬂeste lærebokfor-

fattere. Metoden ble derfor publisert av

Helge Tverberg og undertegnede i Nor-

mat, hefte 4 for 1990.

Kapittel 12 handler om transforma-

sjoner, og det avsluttende kapittel 13

om egenverdier og egenvektorer. Her

komm er også metoden for å bringe et

kjeglesnitt på normalform. Også disse

kapitlene er gjennomarbeidet og stoﬀet

er godt tilrettelagt.

Boke n har mange eksempler og opp-

gaver, med fasit i det avsluttende kapit-

tel 14.

Jeg kan uten forbehold anbefale bo-

ken for det formål den er skrevet, nemlig

for ingeniørhøyskolenes matematikkun-

dervisning. Men dessuten vil jeg gå litt

videre.

Da den første utgaven kom ut i 1996,

for snart 10 år siden, ville man nok ha

ment at den er noe for elementær, ikke

ambisiøs nok matematisk sett, til at det

er naturlig å bruke den på våre universi-

teter. Slik er imidlertid situasjonen ikke

lenger. I dag opplever vi at begynner-

studentene har vanskeligheter når de får

presente rt en abstrakt, symbolsk tekst.

Resultatet er blitt at gode tradisjonelle

b oks palte.tex,v 1.5

Normat 1/2005 Bøker 47

læreb øker ikke lenger kan brukes i den

innførende undervisningen. Selv har jeg

for eksempel lært lineær algebra etter

en dansk lærebok av Andersen, Bohr og

Petters en, for 45 år siden. Senere har

jeg forelest etter en utmerket lærebok av

Fr. Fabricius-Bjerre. Dess verre vil ingen

av disse kunne benyttes i dag. Isteden

har vi fått overﬂadiske, glorete og støy-

ende illustrerte amerikanske lærebøker,

der matematikken spiller annen ﬁolin.

Ingen nevnt, ingen glemt.

Da bør vi heller dele den lineære alge-

braen inn i to kurs. Ett innføringskurs,

Lineær Algebra 1, en jordnær og prak-

tisk vinklet variant som med fordel kun-

ne basere seg på boken av Kleive som vi

har sett på her. Deretter kan en følge

opp med Lineær Algebra 2, en mer teo-

retisk og videregående fortsette lse av li-

neær algebra.

Andrejs Dunkels, Bengt Kläfsjö, Ingmar

Nilsson, Reinhold Näslund: Mot bättre

vetande i matematik. Tredje opplag.

Studentlitteratur, Lund, 2002. ISBN

91–44–01919–X.

Formålet med boken er å være en s tøt-

te i repetisjon og oppdatering av basis-

kunnskaper for studenter ved universi-

teter og høyskoler, innen lærer- og inge-

niørutdanning. Det opplyses på bokens

bakside at forfatterne i mange år har

undervist ved Luleå tekniske universi-

tet, der de er kjent som dyktige lærere

og har fått ulike utmerkelser for fremra-

gende undervisning.

Ut fra dette tar man fatt på lesningen

med en viss forventning, og det må kun-

ne sies at boken innfrir forventningene.

Samtidig opplever anmelderen en hyg-

gelig overraskelse: Ut fra baksideteksten

kan det nemlig melde seg en viss frykt

for at boken tar en «soft approach»til

matematikke n, og pakker vanskelighete-

ne inn i bomull. La det med en gang

være sagt at dette på ingen måte er til-

felle her. Isteden leves det opp til løf-

tet om å fremme «allmänn räknefärdig-

het, ekvationer, polynom, rötter, olik-

heter, potenser och logaritmer, trigono-

metri, kurvritning, derivator, integraler

och komplexa tal».

Dette stoﬀet gjennomgås i ni kapit-

ler, uten frykt for formler og avskrek-

kende symbolbruk, men myket opp ved

enkle men illustrative og noen ganger

humoristiske skisser. Det tiende kapit-

let inneholder ﬁre diagnostiske tester,

en glimrende idé i en bok som også

skal egne seg for selvstudium. Boken har

tallrike oppgaver, med en detaljert fasit

i det ellevte kapitlet. Et kort men fyl-

destgjørende emneregister gjør at boken

også egner seg s om oppslagsbok og for-

melsamling.

Det vil alltid ﬁnnes ting en anmel-

der kunne ønske annerledes. I kapitlet

om ligninger får vi formelen for røttene

i en annengradsligning, mens Cardan-

os formel for tredjegradsligningen ikke

en gang nevnes. De grunnleggende fak-

ta om algebraiske ligningers løsning ved

rottegn kunne vel godt nevnes i en bok

som også retter seg til lærerstudenter.

Den norske matematikeren Niels Henrik

Ab e l ga jo et betydelig bidrag her. Men

også en svenske, som arbeidet i Lund

der denne boken er utgitt, ga et inter-

essant og betydningsfullt bidrag til den-

ne teorien. Hans navn var Erlend Samu-

el Bring, 1736–1798. Han var professor,

ikke i matematikk, men i historie.

Men slike kommentarer er bagateller

i den store sammenheng. Boken fortje-

ner å bli lest og brukt av mange. Den

kan så absolutt anbefales.

b oks palte.tex,v 1.5