Normat 53:2, 49–53 (2005) 49

Karl Egil Aubert 1924–1990

Erik M. Alfsen

Matematisk Institutt

Universitetet i Oslo

Postboks 1053 Blindern

NO–0316 Oslo

alfsen@math.uio.no

Artikkelen som følger er basert på Alfsens minnetale over Karl Egil Aubert, holdt i

Det Norske Videnskaps-akademi den 11. april 1991 og trykt i akademiets årbok for

1991. Aubert døde i 1990, og i september 1991 holdt Dan Laksov et foredrag i Norsk

Matematisk forening og Svenska Matematikersamfundet om hans matematiske inn-

sats, trykt under tittelen Aubert-systemer i hefte 4 av Normat for 1993. Allerede

i 1992 ble Auberts matematiske arbeider samlet og utgitt i bokform av Pablo Ri-

benboim under tittelen Collected Papers of Karl Egil Aubert, trykt som nummer

89 i serien Queens Papers in Pure and Applied Mathematics, Kingston , Ontario.

Aubert spilte en sentral rolle i norsk og nordisk matematikk i en stor del av etter-

krigstiden, og derfor er det naturlig at en omtale av hans liv og virke formidles til

et bredere nordisk publikum enn den engere kretsen av kolleger og fagfeller. Normat

vil takke Erik Alfsen og Det Norske Videnskaps-akademi for tillatelse til å trykke

denne artikkelen, som her gjengis i en litt forkortet og redigert form.

— Audun Holme

50 Erik M. Alfsen Normat 2/2005

Karl Egil Aubert hadde en helt sentral plass i Norges matematiske miljø. For yngre

kolleger og studenter var han selve nestoren – den kloke og erfarne rådgiver og den

avholdte lærer som alltid hadde tid til å ta imot på kontoret med den åpne dør i 7.

etasje. For de eldre av oss var han også initiatoren – den som tok initiativ og åpnet

for det nye. Vi husker den unge Karl Egil som kom hjem fra Paris på 50-tallet

og blåste nytt liv i det matematiske instituttet på Blindern. Han var den gang

universitetsstipendiat, og hans første initiativ var å starte seminaret i moderne

analyse. Dette var en uformell arbeidsgruppe av studenter og universitetslærere

som gikk sammen om å orientere seg i alt det nye som hadde skjedd i faget og som

ennå ikke hadde nådd fram til vårt lille miljø etter årene med krig og isolasjon.

Her var det ingen rolledeling mellom lærer og elev. Vi var alle studenter i ordets

egentlige forstand, og vi arbeidet s amme n med den glød og entusiasme som følger

med følelsen av å bryte nytt land. Om det ikke fantes noen formell leder, var det

likevel klart at Karl Egil sto sentralt. Med sitt vide overblikk og kontakt med

internasjonal forskningsfront la han opp kursen, og med sitt engasjement og sin

entusiasme hjalp han oss alle framover.

Karl Egil Aubert ble født i Oslo den 19. august 1924. Han studerte ved Universi-

tetet i Oslo der han ble cand. real. i matematikk i 1951. Han hadde ﬂere langvarige

studieopphold i Paris, først med fransk statsstipend, senere som universitets stipen-

diat ved Universitetet i Oslo. I 1957 ble han Docteur ès Sciences ved Universitetet i

Paris med avhandlingen [1]. I 1960 ble han utnevnt til dosent og i 1962 til professor

i matematikk ved Universitetet i Oslo, e n stilling han hadde til han ble senior-

stipendiat NAVF i 1990. Han var imidlertid også knyttet til andre universiteter

såvel før den faste ansettelsen i 1960 som under permisjon fra stillingen i Oslo.

Således har han undervist ved alle universitetene i Norge, foruten Universitetet i

Oslo også NTH i Trondheim, Universitetet i Bergen og Universitetet i Tromsø der

han var med å bygge opp det matematiske fagmiljøet ved vårt yngste og nordligste

universitet. I årene 1958–60 var han stipendiat ved Institute for Advanced Study i

Princeton, og han var senere gjes teprofessor ved University of Washington i Seattle

og ved Tufts University ved Boston. Ved Universitetet i Oslo hadde han en lang

rekke tunge tillitsverv, og han var meget brukt som sakkyndig i inn- og utland.

Han var norsk redaktør i det anerkjente tidsskriftet Acta Mathematica, og han var

i mange år styremedlem ved Mittag-Leﬄer Instituttet i Stockholm, som nok er det

nærmeste man kommer et «Institute for Advanced Study» i Norden.

Karl Egil Auberts fagområde var algebra der han spesielt interesserte seg for

det generelle idealbegrep, som kan føres tilbake til Kummers «Ideale Zahlen» og

Dedekinds presisering av Kummers ideer i forrige århundre, men som skulle vise

seg å spille en helt sentral rolle i den moderne algebra, ikke minst gjennom Emmy

Noethers abstrakte oppbygging av teorien på 1920-tallet. Auberts forskning bygde

videre på arbeider av H. Prüfer og W. Krull fra første halvdel av 1930-tallet, og

ikke minst på P. Lorenzens doktoravhandling «Abstrakte Begründung der Mul-

tiplikativen Idealtheorie» fra 1939. Om denne skriver Aubert i et senere arbeid,

[5]:

Dedekind’s ideal concept is a ring theoretical concept and not a purely multiplica-

tive one. . . . Thus a somewhat blurring and irrelevant additive structure was

brought into the theory of divisibility right from the start. The true multiplicative

liberation came with Lorenzen’s thesis in 1939.

Normat 2/2005 Erik M. Alfsen 51

I sin avhandling innførte Lorenzen de såkalte «r-idealene», som kan deﬁneres i

en generell delvis ordnet kommutativ gruppe G. (I det klassiske spesialtilfellet

vil G være delelighetsgruppen til en ring R med forkortningsregel.) Aubert gikk

videre og oppnådde maksimal generalitet gjennom sine «x-idealer», som kan deﬁ-

neres i en generell semigruppe S med identitet. (S erstatter semigruppen G

positive elementer hos Lorenzen og den opprinnelige ringen R i det klassiske til-

fellet.) Disse x-idealene er deﬁnert ved ﬁre aksiomer som tilsvarer aksiomene for

r-idealene, men er mindre restriktive. Det siste og avgjørende aksiomet får nå form

som et kontinuitets-utsagn (for multiplikasjonsoperatoren i S). Når dette enkle

«kontinuitets-aksiomet» kombineres med en naturlig algebraisk betingelse om at

systemet av x-idealer skal være av «endelig karakter», kan man generalisere en

rekke av de tidligere kjente setningene fra idealteorien. F.eks. vil Krulls teorem om

at det nilpotente radikal til et ideal er snittet av de (minimale) primidealene som

inneholder det, gjelde for ethvert system av x-idealer av endelig karakter. Hoved-

trekkene i teorien for x-idealer ﬁnnes allerede i Auberts doktoravhandling fra 1957.

En omfattende og fullstendig framstilling er gitt i artikkelen [2], som senere har

vært standardreferansen for alle som har interessert seg for dette emnet.

Som de ﬂeste abstrakte generaliseringer kunne heller ikke teorien for x-idealer

gjenskape alle tidligere kjente resultater. Her var det en avgjørende hindring at en

del viktige klassiske konstruksjoner faktisk trekker inn den «irrelevante» additive

struktur. Blant annet gjelder dette noe så sentralt som kvotientringen modulo et

ideal. Aubert fortsatte å arbeide med dette problemet, og omkring 1970 fant han en

løsning idet han kunne innføre et «additivitets-aksiom» som i sin formulering er rent

multiplikativt, men likevel gjør det mulig å overføre viktige additive resonnementer

og spesielt resonnementer som involverer kvotientringer. Omtrent samtidig viser

han hvordan det viktige begrepet «lokalisering» kan behandles innenfor teorien

for x-idealer. Relevante referanser her er artiklene [4] og [3]. Aubert arbeidet også

videre med aritmetiske anvendelser av den generelle idealteorien. I [5] avgrenset han

studiet til det han kalte «divisor-idealer av endelig karakter» eller kort «t-idealer».

Innledningsvis siterer han Hermann Weyl:

Therefore, when one widens the realm of elements to that of ideals in a given

ring, one sometimes gains and sometimes looses. One gets the impression that,

generally speaking, the truth lies halfway: if the domain of integers is in many

cases too narrow, the domain of ideals is in most cases too wide.

Litt senere i artikkelen skriver han så:

Our main objective will be to present some of the evidence which points in favour

of t-ideals as the building blocks of a general arithmetic. In fact, it is not far

fetched to say that the t-ideals represent the “truth that lies halfway”, which is

alluded to in the above quotation of Hermann Weyl.

Selv om Auberts egen forskning i det vesentlige var konsentrert om ren algebra,

var han også opptatt av samspillet mellom algebra og andre felter av matematik-

ken som analyse og topologi. Under studieoppholdet i Paris ble han kjent med de

russiske arbeidene om normerte ringer (Banachalgebraer) som hadde revolusjonert

den harmoniske analysen. Aubert var fascinert av Gelfands tolkning av Fourier-

transformene som funksjoner på rommet av maksimale idealer og hans enkle be-

grepsmessige bevis for Wieners teorem, som tidligere krevde et komplisert analytisk

52 Erik M. Alfsen Normat 2/2005

bevis. Dette teoremet skulle bli emne for det nye seminaret i moderne analyse som

Aubert satte i gang i Oslo i 1955, og han publiserte også selv noen mindre arbeider

på dette feltet. For andre seminardeltagere som enda ikke hadde noe eget spesial-

felt, skulle aktiviteten i seminaret bety begynnelsen på en vitenskapelig karriere,

og ﬂere av dem skrev sine første arbeider om beslekte de emner.

Etter ett år ble seminaret i moderne analyse supplert med et seminar B som

rekrutterte en ny gruppe interesserte studenter. Noen år senere ﬁkk vi enda et nytt

kull – og en ny kameratgjeng. Denne gangen var den samlet i det nye leseværelset

«Topologisk Hage» hvor Karl Egil Aubert var en ﬂittig gjest og en sentral inspirator.

Opp gjennom årene har Karl Egil Aubert veiledet en rekke studenter. En periode

på 60–70 tallet hadde han over 10 hovedfagsstudenter samtidig, og mange av disse

sitter i dag i ledende stillinger. Karl Egil Aubert var også ivrig opptatt av å hjelpe

yngre matematikere å komme ut. Han gikk inn for «internasjonalisering» lenge før

dette var blitt populært blant forskningspolitikere. Med sine gode kontakter ved

franske og amerikanske universiteter kunne han hjelpe en hel generasjon norske

matematikere til å få store deler av sin utdannelse ved noen av verdens beste

læresteder.

I Karl Egil Auberts egen forskning var det grunnidéene, de enkle og generelle

begrepsdannelsene, som var det viktigste. Men han b eundret også kompliserte kon-

struksjoner og teknisk vanskelige bevis, og han holdt gjerne avanserte forelesninger

og deltok i seminarer om aktuelle emner langt utenfor sitt eget spesialfelt. Særlig

vil jeg nevne hans innsats for å få arrangert det store internasjonale seminaret om

tallteori, sporformler og diskrete grupper, som ble holdt i Oslo i 1987 til ære for

Atle Selberg i anledning av hans 70-årsdag, og som samlet en rekke ledende spe-

sialister fra hele verden. Karl Egil Aubert var også en drivende kraft bak møtene

i serien «Ski og matematikk» som i mange år ble holdt på et høyfjellshotell, og

som alle husker med stor glede. Denne tradisjonen er i dag tatt opp igjen av Norsk

Matematisk Forening.

Karl Egil Aubert kunne også ta initiativ utenfor det rent faglige området når

han fant det nødvendig, og han hadde mot og kraft til å gjennomføre dem selv om

det viste seg å bli mer problematisk enn han kanskje hadde forestilt seg. Særlig

gjelder dette hans innsats for å styrke kvinnenes representasjon ved universitetet.

På midten av 80-tallet tok han et initiativ som som førte til ﬁre nye kvinnelige

professorer ved Universitetet i Oslo. Dette skjedde på e t strengt faglig grunnlag.

Karl Egil Aubert tok også opp andre viktige universitetsspørsmål. Gjennom sin

kritikk av den gamle ordningen med forb e redende prøve ved Universitetet i Oslo

satte han i gang en reformprosess, og han deltok i det konstruktive arbeidet som

førte til en ny og bedre examen philosophicum i pakt med det han selv formulerte

som begrunnelse og mål for en slik institusjon: «Å skape et felles grunnlag for

akademisk virksomhet basert på rasjonalitet og res onnement.»

For Karl Egil Aubert var kravet om intellektuell redelighet et dypt moralsk an-

liggende. Han kunne aldri godta lettvint og overﬂadisk argumentasjon selv om den

kunne tjene en god sak. Denne moralske indignasjon over en argumentasjon som

etter hans syn ikke holdt mål, kommer klart til syne i hans sterke og vedvarende

engasjement i Treholt-saken. Han godtok ikke at man kunne unnlate å føre sann-

hetsbevis for at det forelå konkrete brudd på spesiﬁserte lovbestemmelser i hvert

enkelt tilfelle, og isteden nøye seg med «en samlet vurdering». I sin egen lange

praksis som sakkyndig og «referee» hadde han sett hvor ofte feilslutninger innledes

Normat 2/2005 Erik M. Alfsen 53

med uttrykk av formen: «Evidently. . . » eller «It is clear that. . . ». Derfor visste han

hvor fristende det kan være å oppnå en ønsket konklusjon ved å fremstille den som

åpenbar eller innlysende, og at man i slike tilfeller aldri må gi slipp på kravet om

et stringent bevis.

For Karl Egil Aubert var den matematiske vitenskap en del av det generelle

kulturliv. Han var allsidig interessert og deltok ivrig i debatter o m ﬁlosoﬁ og sam-

funnsspørsmål. Her stilte han samme krav til stringent og redelig argumentasjon

som i sitt eget fag, og han kunne nok være skarp mot dem han mente forsyndet

seg på dette punkt. Men han hadde dyp respekt for det ekte talent og for mestrene

som reiste byggverket. Det er derfor ingen tilfeldighet at nettopp Karl Egil Aubert

skulle spille en avgjørende rolle ve d utformingen av kurset «Matematikkens utvik-

ling og egenart», som var spesielt beregnet på vordende lærere i faget. Her ville

han gi dem den nødvendige ballast, ikke først og fremst ny kunnskap og tekniske

ferdigheter, men innsikt og forståelse som kunne sette dem i stand til å formidle

videre noe av den entusiasme og glede ved faget s om han selv følte.

I de siste 10 år var Karl Egil Aubert sterkt opptatt av å stimulere interessen

blant de helt unge, og hans innsats var helt avgjørende for at Abel-konkurransen

kunne bli en årviss massekonkurranse på skolene over hele landet. Han var selv hele

tiden formann i juryen, tok imot ﬁnalistene i Oslo og gjennomgikk oppgavene med

dem etter konkurransen.

Karl Egil Auberts personlige egenskaper var av avgjørende betydning for den

rolle han spilte i vårt akademiske miljø. Han var åpen og utadvendt og hadde

mange venner og et imponerende internasjonalt kontaktnett. Han var også meget

språkmektig og var en stor beundrer av fransk kultur og matematikk – ikke minst av

den franske holdningen til matematikk slik den kan sammenfattes i Poincarés ønske

om å kunne «substituer des idées au calcul». Men han var også glad i turer i Alpene,

gikk lange skiturer og klatret i fjellet. Han gjennomførte ﬂere store klatreturer

i Alpene, Amerika og Norge sammen med gode venner og sammen med broren

Vilhelm som han hele livet var nært knyttet til. Her ﬁkk han bruk for noen av

sine beste og mest karakteristiske egenskape r, opplevelseslyst, mot, likevektig godt

humør og kameratskap.

Karl Egil Aubert var først og fremst miljøskaper. For oss alle var han den trofaste

venn vi alltid kunne stole på. Ingen kan erstatte ham. Men de verdier han sto for,

lever videre hos alle som var hans elever, kolleger og venner gjennom et langt liv.

Referanser

[1] Contributions à la théorie des idéaux et à la théorie des valuations. Thèse, Paris

1957.

[2] Theory of x-ideals. Acta Math. 107, 1–52 (1962).

[3] Localization dans les systémes d’ideaux. C. R. Acad. Sci. Paris 272, 465–468 (1971).

[4] Additive ideal systems. J. Algebra 18, 511–528 (1971).

[5] Divisors of Finite Character. Ann. Math. Pura et Appl., 133, 221–226 (1983).