54 Normat 53:2, 54–71 (2005)
Hvad søgte de og hvad fandt de?
Kombinatoriske løsningsformler til algebraiske ligninger
– fra Cardano til Cauchy – Del 1
*
Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak
Institut for Matematik og Fysik
Roskilde Universitetscenter
Box 260
DK–4000 Roskilde
utj@ruc.dk, neslihan@ruc.dk
1 Indledning
Efter man i århundreder havde søgt den algebraiske løsning
1
til den generelle
n’tegradsligning, indtog den unge norske matematiker Niels Henrik Abel (1802–
1829) et nyt standpunkt, nemlig at den generelle n’tegradsligning er algebraisk
uløselig for n>4. Der var tidligere blevet stillet spørgsmålstegn ved femtegradslig-
ningens uløselighed af blandt andre Carl Friedrich Gauss (1777–1855) i 1801 og den
italienske matematiker Paolo Ruffini (1765–1822), hvoraf sidstnævnte i årene 1799–
1813 også havde givet et par bud på et bevis herfor, men det var først med Abels
bevis anno 1826, at resultatet blev anerkendt i samtidens matematiske kredse.
Et andet ungt matematisk geni, franskmanden Evariste Galois (1811–1832), fulg-
te op på Abels og Ruffinis resultat. Galois inddrog i sin teori dele af vore dages
gruppeteori og satte således m ed sit studie af klasser af løsbare ligninger prikken
over i’et inden for den algebraiske ligningsløsningsteori, ved at vise hvilke klasser
af ligninger der er algebraisk løsbare, og dermed hvilke klasser der ikke er.
2
*
Artiklen er grundet dens længde og omfang delt i to. Anden del kommer i næste nummer af
Normat.
1
Med en algebraisk løsning menes en løsning givet ved et algebraisk udtryk. Se definition 4.
2
En moderne fremstilling af Galoisteori kan f.eks. findes i [31].
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 55
Galois’ nyskabende arbejde, som forbinder algebraisk ligningsløsning og grup-
peteori, opfattes i dag som et paradigmeskift indenfor algebraen. Selv om der er
tale om et paradigmeskift markerede Galois’ »streg i sandet« dog ikke en fuld-
stændig overraskende ny begyndelse. Målet med nærværende artikel er at vise, at
forbindelsen mellem algebraisk ligningsløsning og gruppeteori i virkeligheden har
udviklet sig mere kontinuert og med bidrag fra adskillige matematikere, hvis formål
oftest var uopnåeligt, nemlig at bestemme algebraiske løsningsformler til generelle
ligninger.
Vi skal nedenfor se på den algebraiske ligningsløsning i perioden før Gauss, Abel
og Galois. Nærmere bestemt på de tiltag indeholdende kombinatoriske elementer,
såsom permutationer samt invariansbetragtninger, der har haft betydning for den
videre udvikling af den algebraiske ligningsløsningsteori. Mere præcist skal vi se på
perioden fra Cardanos udgivelse af Ars Magna i 1545 til Cauchys behandling af
symmetriske funktioner i 1815, altså en periode på små 300 år.
Niels Henrik Abel (1802–1829) Evariste Galois (1811–1832)
Forsøgene på at nå frem til en algebraisk løsning til den generelle n’tegradsligning
i ovennævnte periode er mange og tilgangene vidt forskellige. Cardano og Ferrari
lægger i 1545 ud med at anvende substitutioner af rødderne og hjælpeligninger
til at løse såvel tredje- som fjerdegradsligningen. Viète (1591) og Girard (1629)
opdager den symmetriske sammenhæng mellem koefficienterne og rødderne i et
polynomium og kan på den måde udtrykke koefficienterne i termer af rødderne.
Tschirnhaus (1683), Euler (1732) og Bézout (1764) forsøger med variabelskift og
elimination at finde en generel løsningsformel for n’tegradsligningen. Denne tidlige
del af perioden synes præget af den alkymistiske tankegang som på dette tidspunkt
huserer i det vestlige Europa. På samme måde som alkymisterne havde en fast
tro på, at de kunne lave guld ved systematisk variation af kemiske forbindelser,
havde disse matematikere en fast tro på, at når koefficienterne kunne udtrykkes ved
rødderne, så måtte ogs å rødderne kunne udtrykkes ved systematisk kombination
af koefficienterne – det gjaldt blot om at finde det rette »blandingsforhold«.
I årene 1770–1771 tager udviklingen for alvor fart, og der udkommer tre vigtige
afhandlinger af henholdsvis Waring, Vandermonde og Lagrange. Hvor disse tres
forgængere er præget af den alkymistiske tilgang til ligningsløsningen, er disse tre
langt mere analyserende i deres tilgange. Waring fremsætter sin hovedsætning for
56 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
symmetriske polynomier. Vandermonde viser noget tilsvarende, men underkaster
også de allerede kendte løsningsformler en mindre analyse. Lagrange udfører en
omfattende og grundig analyse af de kendte løsningsformler og de tidligere fore-
slåede løsningsmetoder til den generelle n’tegradsligning. Ruffini søger i årene fra
1799 til 1813 at vise, at den generelle femtegradsligning ikke kan løses algebraisk
og udvikler ved denne lejlighed sit permutationsbegreb. Også Cauchy giver i 1815
væsentlige bidrag til den i dag kendte permutationsteori. Mange elementer af så-
vel Ruffinis som af Cauchys arbejder er i dag at finde som dele af den velkendte
gruppeteori.
Umiddelbart kan det se ud som om, at de ca. 200 år fra Cardanos Ars Magna
og frem til de tre afhandlinger i 1770–1771 er »sløve« og uden de store fremskridt.
Dette mener vi imidlertid ikke er rigtigt. Det er netop i disse år, at Viète indfører
»bogstavregningen«, et tiltag der på alle måder er banebrydende, da det danner
grundlaget for den moderne videnskabelige fremgangsmåde, og det er også i denne
periode at symmetribetragtningerne angående forholdet mellem et polynomiums
koefficienter og dets rø dder for alvor vinder frem. Overordnet kan man sige, at
hovedparten af de i denne artikel fremstillede matematiske arbejder ikke i deres
samtid blev opfattet som revolutionerende, i og med at de ikke opnåede deres mål,
men set i »bagklogskabens lys« må disse, via deres nye tiltag og forskellige tilgange
til problemet, siges at have lagt fundamentet for Abels og Galois’ teorier.
Efter e n gennemgang af de ovennævnte matematikeres vigtigste bidrag til den
algebraiske ligningsløsning samt en løbende undersøgelse af deres anvendelse af
kombinationer, permutationer og invariansbetragtninger, skal vi afslutningsvis sø-
ge at fremdrage generelle træk ved disse matematikeres forskellige tilgange til lig-
ningsløsningen. Disse er aspekter af historien bag ligningsløsningsteorien, som synes
forbigået i litteraturen.
2 Kvadratkompletering og substitutionstrick
Den første kendte løsning til andengradsligningen kendes fra en babylonsk tavle
og kan dateres tilbage til 2000 f.v.t. [17], senere forefindes løsningerne hos s åvel de
græske (ca. 300 f.v.t.) som de arabiske og indiske matematikere (700-tallet) [5], [33].
De generelle algebraiske løsningsformler for tredje- og fjerdegradsligningen fremkom
dog ikke førend midt i 1500-tallet – altså ca. 3500 år efter at man kendte løsningen
til andengradsligningen. Hvorfor skulle der gå så lang tid før der skete noget nyt på
ligningsløsningsområdet? Og hvorfor skulle der gå henved 300 år yderligere inden
man fandt ud af, at den generelle femtegradsligning ikke kan løses algebraisk? Det
er nogle af de spørgsmål man unægteligt stiller sig selv, når man studerer historien
bag den algebraiske ligningsløsning. En stor del af svaret skal findes i de teknikker
og angrebsmetoder, der er blevet anvendt op igennem tiden.
Den ældste og mest vedholdende teknik til løsning af den generelle andengrads-
ligning
(1) x
2
+ a
1
x + a
0
=0
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 57
bygger på teknikken kvadratkompletering. Kvadratkompletering består i følgende;
først omskrives (1) til x
2
+ a
1
x = a
0
og dernæst lægges (
1
2
a
1
)
2
til på begge sider
(2) x
2
+ a
1
x +
⇣
a
1
2
⌘
2
=
⇣
a
1
2
⌘
2
a
0
.
Nu observeres det at venstresiden af (2) er kvadratet på en to-leddet størrelse (også
kaldet et perfekt kvadrat), hvorfor man får
⇣
x +
a
1
2
⌘
2
=
⇣
a
1
2
⌘
2
a
0
, x +
a
1
2
= ±
r
⇣
a
1
2
⌘
2
a
0
.
Ud fra denne opnås de velkendte løsninger af andengradsligningen
x =
a
1
2
±
r
⇣
a
1
2
⌘
2
a
0
.
Kvadratkompletering e r en blændende teknik, men desværre lader den sig ikke
generalisere. Babylonerne benyttede sig af kvadratkompletering [17], men selvom
fremskridtene inden for matematikken har været store siden da, skulle der alligevel
gå mere end 3500 år førend nogen fandt en metode til løsning af tredjegradslig-
ningen. Man kan således være tilbøjelig til at mene, at kvadratkompleteringen, i
og med at det netop er en så forblændende teknik, bærer en stor del af s kylden for
den manglende udvikling af nye metoder til løsning af algebraiske ligninger. Den
har altså om man så må sige skygget for nye initiativer.
2.1 Cardanos Ars Magna
I midten af 1500-tallet be gyndte matematikerne at skabe »nyt«, i stedet for blot at
fortolke og videreudvikle gamle skrifter. Det første gennembrud med hensyn til alge-
braiske løsningsmodeller for tredjegradsligningen fandt sted i renæssancens Italien
med matematikere som Scipione del Ferro (1465–1526) og Niccolò Fontana (1499–
1557), også kaldet Tartaglia [10]. Hverken del Ferro eller Tartaglia offentliggjorde
dog noget om løsningen af tredjegradsligninger, dette skete først med udgivelsen
af den italienske matematiker, læge og astrolog Girolamo Cardanos (1501–1576)
værk Ars Magna fra 1545.
3
Heri fremlægger Cardano, foruden Tartaglias og si-
ne egne løsningsformler til tredjegradsligningen, også sin elev Lodovico Ferraris
(1522–1565) løsning for fjerdegradsligningen.
På Cardanos tid var tilgangen til ligningsløsningen geometrisk, og man betrag-
tede leddene i ligningen som egenskaber ved en geometrisk figur (f.eks et kvadrat),
og løsningen til ligningen som et liniestykke. Ars Magna er derfor også præget af
denne geometriske tilgang, hvilket ikke mindst fremgår af de mange skitser til de
forskellige typer af tredjegradsligninger – Cardano betragter ligesom sine forgæn-
gere de forskellige typer af tredjegradsligninger (x
3
+ cx = d, x
3
= cx + d osv.)
seperat. Denne geometriske anskuelse af ligningsløsning bevirker ligeledes, at det
3
Historien om del Ferros løsning af tredjeg radsli gnin gen, hans elevs dyst med Tartaglia samt
hvorl edes Cardano fik løsningsformlerne af Tartaglia er at finde adskillige steder i litteraturen,
f.eks. i [4] og [5].
58 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
ikke er naturligt at beskæftige sig me d fjerdegradsligningen. Ikke desto mindre
præsenterer Cardano, som han selv udtrykker det »af nødvendighed eller af ren og
skær nysgerrighed« [10], Ferraris løsning til fjerdegradsligningen. Vi vil ikke gen-
nemgå Ferraris løsning her,
4
men blot pointere at metoden bygger på anvendelsen
af en hjælpeligning af grad 3 samt anvendelsen af kvadratkompletering. I og med
at kvadratkompletering ikke lader sig generalisere, kan Ferraris metode ikke s iges
at være særligt fremadpegende.
Cardano opdelte som ovenfor nævnt ligningerne i forskellige typer, hvorfor han
ikke får udtrykt en løsningsformel for den generelle tredjegradsligning, men derimod
en løsningsformel for hver af de forskellige typer af tredjegradsligninger. Følgende
moderne gennemgang af løsningen til den generelle tredjegradsligning adskiller sig
ikke fundamentalt fra Cardanos oprindelige tilgang, om end der er visse afvigelser.
Nogle af disse er for eksempel, at Cardano indsætter specifikke værdier for koeffi-
cienterne samt at han anvender udtrykket y = u v i stedet for det nedenstående
y = u + v [10].
Ligesom løsningen af andengradsligningen bygger løsningen af tredjegradslig-
ningen på et trick (kvadratkompletering er jo i en vis forstand et trick), blot er
dette trick af en fundamentalt anderledes karakter. Det går ud på først at foretage
en substitution og dernæst udtrykke den ubekendte som summen af to andre ube-
kendte; y = u + v (et af de mest symmetriske udtryk man kan forestille sig), og
på den måde til sidst reducere en tredjegradsligning til én andengradsligning og to
trivielle tredjegradsligninger. Men først en nødvendig definition for nedenstående
gennemgang.
Definition 1 Med en primitiv n’te enhedsrod ! forstås en løsning til ligningen
x
n
1=0, med den egenskab at de n rødder til denne ligning er !, !
2
,!
3
,...,!
n
hvor !
n
=1.
5
Bemærk at hvis n er et primtal, så er enhver n’te enhedsrod forskellig
fra 1 en primitiv n’te enhedsrod.
Lad os nu betragte den generelle tredjegradsligning
(3) x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
=0.
Første skridt i løsningsproc eduren er at man i (3) fjerner andengradsleddet ved
substitutionen x = y
1
3
a
2
. Indsat i (3) opnås da
(4) y
3
+ py + q =0,
hvor p = a
1
1
3
a
2
2
og q =
2
27
a
3
2
1
3
a
2
a
1
+ a
0
. Vi benytter nu tricket m ed at sætte
y = u + v, hvilket ved indsættelse i (4) giver
(5) u
3
+ v
3
+ (3uv + p)(u + v)+q =0.
Uanset hvad summen af de to tal u og v er, er det altid muligt at vælge deres
produkt, uv, vilkårligt. Hvis u + v = A og vi ønsker at uv = B, fås da v = A u,
at
u(A u)=B , u
2
Au + B =0,
4
For en uddybende gennemgang se f.eks. [33].
5
Eksempelvis har x
4
1=0fjerderødderne 1, 1, i, i, hvor kun i og i er primitive.
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 59
hvorfor det er tilstrækkeligt at u er en løsning til denne andengradsligning, da vi
jo ved at enhver andengradsligning enten har reelle e ller komplekse rødder.
I dette tilfælde er u + v jo lig den ønskede rod y i tredjegradsligningen, og
produktet uv vælger vi at underlægge betingelsen 3uv = p, det vil sige
(6) u
3
v
3
=
p
3
27
.
Af (5) får man da
(7) u
3
+ v
3
= q.
Nu følger af (6) og (7) at u
3
og v
3
er rødder i andengradspolynomiet
6
(eller hjæl-
peligningen)
(8) t
2
+ qt
p
3
27
=0.
Løses (8) ved den sædvanlige formel findes rødderne
(9) u
3
=
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
og v
3
=
q
2
r
q
2
4
+
p
3
27
.
Løsningen af den generelle tredjegradsligning er således reduceret til løsningen af
en andengradsligning og til ligningerne (9). Tager man i betragtning, at 3uv = p,
og at kubikrødderne kun er bestemt op til en tredje enhedsrod, så følger det af
y = u + v, at de tre rødder y
1
, y
2
og y
3
til (4) er givet ved formlerne
y
1
=
3
s
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
+
3
s
q
2
r
q
2
4
+
p
3
27
,
y
2
= !
2
3
s
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
+ !
3
s
q
2
r
q
2
4
+
p
3
27
,
y
3
= !
3
s
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
+ !
2
3
s
q
2
r
q
2
4
+
p
3
27
.
Her er ! en primitiv tredje enhedsrod.
Den lære der viderebringes fra året 1545 til senere matematikere er altså at;
andengradsligningen løses ved hjælp af kvadratkompletering, tredjegradsligningen
ved hjælp af brugen af substitutioner samt en hjælpeligning og fjerdegradsligningen
ved hjælp af en hjælpeligning samt kvadratkompletering. Cardanos vigtigste bidrag
til eftertidens matematikere er altså brugen af et substitutionstrick til løsning af
tredjegradsligningen.
Til trods for den geometriske indgangsvinkel i Ars Magna vidner Cardanos sub-
stitutionstrick samt undersøgelserne af fjerdegradsligninger ikke desto mindre om
6
Det følger eksempelvis af Viète-relationerne (se afsnit 3).
60 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
en vis abstraktion. I vore dages terminologi fremgår brugen af et udvidelseslegeme
(her C) således tydeligt i ovenstående moderne og helt formelle gennemgang af
Cardanos formler.
Det matematiske abstraktionsniveau hæves dog først op til hidtil usete højder
af Viète, der med sit værk fra 1591 på det nærmeste lægger grundlaget for hele den
abstrakte matematik.
Girolamo Cardano (1501–1576) François Viète (1540–1603)
3 Sammenhængen mellem rødder og koefficienter
De i dag såkaldte Viète-relationer giver en sammenhæng mellem koefficienterne i
et polynomium og dets rødder, og de defineres som følger: Har man det generelle
n’tegradspolynomium
x
n
+ a
n1
x
n1
+ ...+ a
1
x + a
0
=0,
hvor x
1
,x
2
,...,x
n
er rødderne, fås faktoriseringen
x
n
+ a
n1
x
n1
+ ...+ a
1
x + a
0
=(x x
1
)(x x
2
) ···(x x
n
).
Ganger man nu højresiden ud og sammenligner koefficienterne opnås Viète-relatio-
nerne
a
n1
= x
1
+ x
2
+ ...+ x
n1
+ x
n
= s
1
a
n2
= x
1
x
2
+ ...+ x
1
x
n
+ x
2
x
3
+ ...+ x
n1
x
n
= s
2
.
.
.
(1)
n
a
0
= x
1
x
2
···x
n1
x
n
= s
n
,
hvor s
1
,s
2
,...,s
n
kendes som de elementære symmetriske polynomier (eller de
elementære symmetriske funktioner) i de n variable x
1
,...,x
n
. Med et symmetrisk
polynomium menes følgende:
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 61
Definition 2 (Symmetri sk polynomium) Et polynomium f(x
1
,...,x
n
) i de n
variable x
1
,...,x
n
over et givet legeme kaldes symmetrisk, hvis
f(x
(1)
,x
(2)
,...,x
(n)
)=f(x
1
,x
2
,...,x
n
)
for enhver permutation af symbolerne 1, 2,...,n. Indføres notationen
f
(x
1
,x
2
,...,x
n
)=f(x
(1)
,x
(2)
,...,x
(n)
),
bliver betingelsen da f
= f.
Viète-relationerne i ovennævnte generelle form blev fremsat af Albert Girard (1595–
1632) i hans artikel Invention nouvelle en l’algèbre fra 1629, men de er opkaldt efter
François Viète (1540–1603) grundet hans tidligere delvise observationer af disse.
Viète hæver i sit værk In Artem Analyticem Isagoge [38] fra 1591 abstraktions-
niveauet markant, idet han introducerer e n ny systematisk algebraisk notation. Et
sådant tiltag var påkrævet, da den tidligere algebraiske notationsform var så uegnet
og omstændelig, at det ofte satte praktiske begrænsninger. Viète foreslår med sin
notation at anvende bogstaver som symboler for matematiske størrelser; vokaler til
de ukendte størrelser og konsonanter til de kendte. I øvrigt er det også Viète, der
indfører betegnels erne »polynomium« og »koefficient« i algebraen [30]. Et andet
område hvor Viète ligeledes udførte banebrydende arbejde var indenfor kryptogra-
fi og kodebrydning [8], discipliner der base rer sig på studier af kombinationer og
således ikke lå fjernt fra datidens tilgang til algebraisk ligningsløsning.
Viète p ointerer i sit værk fra 1591 vigtigheden af at forstå strukturen i et po-
lynomium, det vil sige sammenhængen mellem koefficienterne og rødderne. Dette
udmønter sig i et studie af specifikke ligningstyper, f.eks. tredjegradsligningen
(10) B
p
X X
3
= Z
s
.
Her henviser »eksponenterne« for koefficienterne B og Z til koefficienternes dimen-
sion. Det vil sige, at p og s står for henholdsvis »plano« (planen med dimension 2)
og »solido« (en rumlig figur med dimension 3). Viète tænker altså på leddene som
geometriske størrelser og sørger derfor for at alle leddene får samme dime nsion.
7
Viète lader nu A og E være rødder i (10) og antager at A>E. Han betragter
dernæst ligningerne
(11) B
p
A A
3
= Z
s
og
(12) B
p
E E
3
= Z
s
.
Da højresiderne af (11) og (12) begge er lig Z
s
, kan han sætte venstresiderne lig
hinanden
(13) A
3
E
3
= B
p
A B
p
E , A
2
+ E
2
+ AE = B
p
,
7
Eksempelvis er B
s
koefficienten til førstegradsleddet i en fjerdegradsligning. Se f.eks. [38].
62 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
hvor anden del af (13) fås ved at dividere igennem med A E. Viète har således
vist, at B
p
er summen af kvadraterne af de to rødder plus deres produkt. Ligeledes
viser han, at
Z
s
= A
2
E + E
2
A,
hvilket fås ved at erstatte B
p
med A
2
+ E
2
+ AE i (11).
Viètes ovenstående resultater stemmer fint overens med Viète-relationerne. Dog
ser han kun på to af rødderne i tredjegradsligningen, som i moderne notation svarer
til ligningen
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
=0,
hvor a
2
=0, a
1
= B
p
og a
0
= Z
s
. Han kalder disse rødder for A og E. Vi kan nu
med henvisning til Viète-relationerne bestemme den sidste rod, som vi vil kalde I,
og vi får
a
2
= A + E + I =0 ) I = (A + E)
(bemærk at denne rod for A, E > 0 er negativ). Med kendskab til den sidste rod
kan vi opskrive følgende relationer
a
1
= B
p
= AE + AI + EI = AE A(A + E) E(A + E)
) B
p
= A
2
+ E
2
+ AE,
a
0
= Z
s
= AEI = AE(A + E)
) Z
s
= A
2
E + AE
2
,
hvilket e r de samme resultater som dem Viète opnår. Altså bestemmer Viète for
specifikke ligningstyper koefficienterne udtrykt ved rødderne, men blandt andet på
grund af en manglende beskrivelse af alle rødderne til en ligning lykkes det ham ikke
at generalisere sammenhængen fuldstændigt. Viète accepterer ikke negative rødder
til polynomier [19], hvilket må anses som en mulig forklaring på hans manglende
succes i formuleringen af relationerne i en mere generel kontekst.
Den første det derimod lykkedes at formulere sammenhængen mellem koeffici-
enter og rødder i det generelle n’tegradspolynomium (i den enkle form vi kender
i dag) var som nævnt Girard. Det at der virkelig findes n komplekse rødder til en
n’tegradsligning viser Girard naturligvis ikke – det blev først endeligt bevist med
algebraens fundamentalsætning. Set med moderne matematiske øjne kan man dog
sige, at Girard viser eksistensen af et udvidelseslegeme, hvori polynomier har n
rødder.
4 Eliminationsmetoderne
De ca. 200 år fra 1545 til 1770 bød på diverse metoder af såvel Tschirnhaus som
Euler og Bézout, hvis mål alle er at løse den generelle n’tegradsligning. Selvfølgelig
formår ingen af meto derne dette, men ikke desto mindre er de stadigvæk interessan-
te, da de har fået senere mate matikere – specielt Lagrange – til at tænke nærmere
over, hvorfor de ikke fungerer.
Men først et par for afsnittet nødvendige definitioner.
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 63
Definition 3 Et rationalt udtryk er et udtryk sammensat af koefficienter fra et
givet legeme ved operationerne addition, subtraktion, multiplikation (og dermed po-
tensopløftning) samt division.
Definition 4 Et algebraisk eller et radikalt udtryk er et rationalt udtryk, hvorom
det gælder, at også roduddragning er en tilladt operation.
Definition 5 Med en ren ligning (eller et monom) forstås en ligning af formen
x
n
r =0.
4.1 Tschirnhaus’ transformation
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651–1708) var ligeledes en matematiker med
adskillige interesseområder. I dag er han dog nok mest kendt for udviklingen af en
metode til fremstilling af porcelæn; endnu et biprodukt af datidens alkymistiske
aktiviteter. I 1683 gav Tschirnhaus i en 4-siders »note« sit bidrag til den algebraiske
ligningsløsning i form af sin »metode til at e liminere alle mellemliggende led i
en given ligning«.
8
Metoden skulle ifølge Tschirnhaus selv kunne løse vilkårlige
ligninger af enhver grad, hvad den selvfølgelig ikke kan.
Metoden bygger videre på, at det altid er muligt at eliminere andet led i et
vilkårligt n’tegradspolynomium [22]. Mere præcist tager den udgangspunkt i, at
n’tegradspolynomiet
(14) x
n
+ a
n1
x
n1
+ ...+ a
1
x + a
0
=0,
når der foretages følgende generelle variabelskift
(15) y = x
m
+ b
m1
x
m1
+ ...+ b
1
x + b
0
(for m<n), kan omskrives til en ligning, hvori et antal led er elimineret. Man
vil med passende valg af de m parametre b
0
,b
1
,...,b
m1
således opnå følgende
resulterende ligning i y
y
n
+ c
n1
y
n1
+ ...+ c
1
y + c
0
=0,
hvor m vilkårlige af koefficienterne c
i
kan elimineres. Dette kan lade sig gøre idet
c
i
er udtrykt ved koefficienterne i (14) og (15) og da (b
0
,b
1
,...,b
m1
) giver m
frihedsgrader til at opfylde m betingelser. Specielt vil man, hvis m = n 1, kunne
få alle led elimineret på nær eksempelvis det første og sidste. Ligningen i y bliver
således en ren ligning på formen
y
n
+ c
0
=0,
og kan derved åbenlyst løses algebraisk. Sættes y =
n
p
c
0
ind i (15) fås en løsning
til den oprindelige n’tegradsligning (14), ved at løse en ligning af grad m = n 1:
x
n1
+ b
n2
x
n2
+ ...+ b
1
x + b
0
=
n
p
c
0
.
8
Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione.
64 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
Ved hjælp af induktion efter graden følger det, at ligninger af enhver grad kan løses
ved radikaler [33].
Der er imidlertid et problem ved metoden, og det er, at for at få alle koeffi-
cienterne c
1
,c
2
,...,c
n1
til at »gå ud« skal man løse et system af ligninger af
forskellig grad i parametrene b
i
, og dette system kan være særdeles svært at løse.
Faktisk svarer det til at løse en enkelt ligning af grad (n 1)!, og umiddelbart
virker metoden altså ikke for n>3, undtagen hvis ligningen af grad (n 1)! har
karakteristika som gør, at den kan reduceres til ligninger af grad mindre end n [33].
Dette viser sig at være tilfældet for n =4, hvor den resulterende sjettegradsligning
kan faktoriseres til et produkt af faktorer af grad 2, hvis koefficienter er løsninger
til tredjegradsligninger. For n 5 findes der ingen sådan åbenbar simplifikation.
9
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus
(1651–1708)
Leonhard Euler (1707–1783)
Den s venske matematiker Erland Samuel Bring (1736–1798) udviklede ligeledes en
metode til løsning af femtegradsligningen og viste i denne forbindelse, at enhver
femtegradsligning kan transformeres til y
5
+ d
1
y + d
0
. Vi vil imidlertid ikke komme
nærmere ind på metoden her, bortset fra blot at nævne at den er et ikke-trivielt spe-
cialtilfælde af Tschirnhaus’ transformation. Brings transformation blev genopdaget
og generaliseret uafhængigt af englænderen George Birch Jerrard (1804–1863) i år-
ene 1832–1835. For en videre diskussion af Tschirnhaus’, Brings og Jerrards metoder
se f.eks. [3].
4.2 Kommentarer til Eulers og Bézouts metoder
Også Leonhard Euler (1707–1783) foreslog en eliminationsmetode, som er meget
lig den af Tschirnhaus [26]. Af denne grund vil den have de samme problemer
som Tschirnhaus’ metode, hvilket Lagrange da også påpeger i sin gennemgang af
metoderne. Euler bragte i sit betydningsfulde værk Vollständige Anleitung zur Al-
gebra [14] (som udkom på tysk i 1770) imidlertid også en modifikation af Cardanos
metode til løsning af tredjegradsligningen samt en ny metode til løsning af fjerde-
gradsligningen.
9
For sammensatte tal n kan Tschirnhaus’ metode anvendes på anden (og formentlig nemmere)
vis. I f.eks. tilfældet n =4kan man ved at eliminere y-ogy
3
-leddet opnå en andengradsligning i
y
2
.
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 65
Étienne Bézout (1730–1783) skrev i 1764 en artikel, Sur le degré des équations
résultantes de l’évanouissement des inconnues, som er speciel interessant, da han
som den første matematiker her foreslår en eksplicit brug af enhedsrødder til løs-
ning af ligninger af grad op til og med fire [33]. Bézout var bekendt med de tidligere
metoder af Tschirnhaus og Euler, og hans metode trækker da også en hel del på
Tschirnhaus’. Men Bé zout var også bekendt med problemet omhandlende den re-
sulterende ligning af grad (n 1)! i Tschirnhaus’ metode, og rent faktisk var han
den første der viste at det forholdt sig sådan. Bézout vurderede dog stadig, ligesom
Tschirnhaus g jorde det om s in, at hans metode ville virke for polynomier af grad
større end fire [33]. Men Lagrange viser i sin store afhandling fra 1771 at og hvorfor
det ikke forholder sig sådan.
En ting som ved gennemgangen af de ca. 200 år fra 1545 til 1770 er påfaldende,
er måden, hvorved matematikerne forsøgte at komme frem til de rigtige løsninger
på deres problemer. Hele tiden forsøgte de at opnå større generalitet ved at ændre
blot en lille s mule på de allerede etablerede metoder. Også i dette aspe kt synes pe-
riodens matematike re påvirket af tidens alkymistiske tankegang. På samme måde
som alkymisterne forsøgte at lave guld ved hele tiden at blande forskellige metaller
på forskellig vis, forsøgte disse matematikere at bestemme rødder udfra forskelli-
ge kombinationer af ligningernes koefficienter: Ved at »rafle« tilstrækkeligt længe
med koefficienterne, kan man håbe på at være heldig, at »slå« netop den kombina-
tion som fører til en afsløring af rødderne. Parallellen me d alkymien bliver således
dobbelt; (1) den faste tro på, at alt kunne opnås og afdækkes ved systematisk at
kombinere forskellige »ingredienser« på forskellig vis, og (2) den indædte søgen ef-
ter det uopnåelige (guld, henholdsvis algebraiske løsningsformler for den generelle
n’tegradsligning), en søgen som måske i længden, med kombinatorikkens grund-
lægning, skulle vise sig at give langt mere værdifulde resultater end de oprindeligt
søgte.
Den alkymistiske tankegang som herskede i vores del af Europa er noget helt
specielt i den forstand, at den ikke var udbredt i andre dele af verden. Rusland, for
eksempel, var slet ikke præget af denne tanke [1]. Som nævnt synes Tschirnhaus
især påvirket af den alkymistiske tanke ikke mindst grundet hans arbejde med
fremstilling af porcelæn, men også Cardano og Viète synes under denne påvirkning,
hvilket underbygges bl.a. af Cardanos interesse for astrologi og Viètes arbejde med
kodebrydning og kryptering.
5 En mere analytisk tilgang
Årene 1770–1771 blev skelsættende i ligningsløsningsteoriens historie. Her blev
der nemlig offentliggjort tre
10
betydelige afhandlinger alle viet til ligningsløsnings-
teorien. Afhandlingerne blev præsenteret ved akademierne i London, Paris og Berlin
af henholdsvis Waring, Vandermonde og Lagrange [30]. Hver af disse afhandlinger
indeholder vigtige bidrag til teorien om løsningen af ligninger, og samtidig benyt-
ter forfatterne sig her af nye metoder og angrebsvinkler, hvori der indgår såvel
symmetribetragtninger som permutationer.
10
Faktisk er der tale om fire, idet Gianfrancesco Malfatti (1731–1807) også offentl iggjorde sin
afhandling De aequationibus quadratocubicis dissertatio analytica ved akademiet i Siena, Italien,
i 1771.
66 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
Betegnelsen resolvent bruges ofte som et synonym for en hjælpeligning, men en
resolvent er ikke altid til »hjælp«, idet resolventen kan være et udtryk, som har
større grad end den oprindelige ligning. Vi vil i det følgende bruge resolventen i
denne bredere betydning og bringer derfor her et par definitioner.
Definition 6 En ligning, hvis rødder er samtlige permutationer af et udtryk i rød-
derne x
1
,x
2
,...,x
n
af den oprindelige ligning, kaldes en resolvent.
Definition 7 Med en Lagrange-resolvent forstås udtryk af formen
x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
+ ...+ !
n1
x
n
,
hvor ! er en primitiv n’te enhedsrod.
Edward Waring (1734–1798) Joseph Louis Lagrange (1736–1813)
5.1 Warings hovedsætning
Edward Waring (1734–1798) bringer sin hovedsætning for symmetriske polyno-
mier i sit værk Meditationes Algebraicæ [39], der udkom i forskellige udgaver i
årene 1762–1782. Warings arbe jde er omfattende, og han går – i forhold til n’te-
gradsligningens løsbarhed – ud af mange tangenter underve js. Det for nærværende
gennemgang essentielle i Warings arbe jde er hans dybdegående (og utrættelige)
behandling af symmetriske rationale funktioner. Det er også her vi finder, hvad der
i dag anses for værende Warings umiddelbart vigtigste bedrift indenfor algebraen,
nemlig det at han som den første viser hovedsætningen for symmetriske polynomier
samt en noget omstændelig metode til at udtrykke et symmetrisk polynomium ved
de elementære symmetriske polynomier [33].
Allerede i 1762-udgaven af sit værk havde Waring vist, at alle rationale symme-
triske funktioner af rødderne i den generelle n’tegradsligning kan udtrykkes som
rationale funktioner af koefficienterne i ligningen [34]. Dette gør han ved først at
udlede en direkte formel til at udtrykke potenssummerne
r
m
= x
m
1
+ x
m
2
+ ...+ x
m
n
i koefficienterne til den n’tegradsligning som x
1
,...,x
n
er rødder i. Dernæst ser
han på funktioner af formen
x
↵
1
x
2
x
3
...+ x
1
x
↵
2
x
3
...+ ...,
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 67
hvor ↵, , , . . . 0, og hvert led i ovenstående udtryk opnås ved en permuta-
tion af eksponenterne fra et af de andre led. Han viser, at disse er repræsentanter
for alle rationale symmetriske polynomier og kan udtrykkes som en funktion af
potenssummer, hvis koefficienter er heltal. Således har Waring vist, at alle symme-
triske rationale funktioner i x
1
,...,x
n
kan udtrykkes i de elementære symmetriske
polynomier til den oprindelige ligning, det vil sige koefficienterne i denne.
I 1770 kom så det, der senere er blevet kendt som Warings hovedsætning for
symmetriske polynomier.
Sætning 1 (Hovedsætning for symmetriske polynomi er) Et polynomium i
de n ubekendte x
1
,...,x
n
over et legeme, kan udtrykkes som et polynomium i
s
1
,...,s
n
(de elementære symmetriske polynomier i x
1
,...,x
n
) hvis og kun hvis
det er symmetrisk.
Vi vil ikke gennemgå beviset for sætningen her, men en fyldig gennemgang kan
findes i [33]. Warings eget bevis er lige som meget andet af hans arbejde noget
usystematisk opbygget og ikke altid let at finde den røde tråd i. Ydermere led hans
originale udgaver, som var skrevet på latin, under mange trykfejl og deslige [39].
Dette kan være nogle af grundene til, at Warings arbejde aldrig blev genstand for
den store opmærksomhed og dermed heller ikke havde den store indflydelse på den
videre udvikling af algebraen i resten af Europa.
5.2 Vandermondes betragtninger
Også Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796) viste hovedsætningen for
symmetriske polynomier i sin afhandling Sur la résolution des équations [35] fra
1770. Vandermondes afhandling omhandler dog primært hans metode, hvis mål
han sammenfatter i følgende tre hovedpunkter:
1. Find den funktion af rødderne, om hvilken det kan siges, at den er lig med
hver af disse rødder i overensstemmelse med den mening som funktionen er
givet.
2. Bring denne funktion på en form, således at den ikke ændrer sig, når rødderne
ombyttes.
3. Udtryk denne funktion som en funktion af de elementære symmetriske funk-
tioner af rødderne.
Vandermonde tager udgangspunkt i de til anden- og tredjegradsligningen kendte
løsninger. Han behandler således andengradsligningen
(16) (x x
1
)(x x
2
)=x
2
s
1
x + s
2
=0,
hvor s
1
og s
2
er de elementære symmetriske polynomier i rødderne. Han opskriver
løsningen til andengradsligningen på formen
(17)
1
2
✓
x
1
+ x
2
+
q
x
2
1
+ x
2
2
2x
1
x
2
◆
68 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
og viser tilmed, at dette udtryk indsat i (16) giver nul. Bemærk at de to rødder
fremkommer ved at lade kvadratroden være henholdsvis positiv og negativ. Der-
næst omskriver han denne til
(18)
1
2
✓
s
1
+
q
s
2
1
4s
2
◆
,
og får således en løsningsformel indeholdende udelukkende udtryk i de elementære
symmetriske polynomier i rødderne.
I andengradsligningens tilfælde opfylder (17) det første hovedpunkt, da dennes
løsning er en funktion af x
1
og x
2
, som er lig værdierne x
1
eller x
2
afhængig af
kvadratrodens fortegn. Andet hovedpunkt er ligeledes opfyldt da (17) ikke ændres,
når x
1
og x
2
ombyttes. Tredje hovedpunkt kræver en evaluering af (17) i termer af
s
1
og s
2
, man får
x
1
+ x
2
= s
1
og (x
1
x
2
)
2
= s
2
1
4s
2
og opnår således (18).
Nu udsætter han tredjegradsligningen for en lignende behandling, men da denne
minder meget om Lagranges (se artiklens del 2), vil vi ikke give en gennemgang
her. Vi vil blot se på hans resultater i forhold til hovedpunkterne. Som den funktion
der skal opfylde hovedpunkterne foreslår han udtrykket
(19)
1
3
⇣
x
1
+ x
2
+ x
3
+
3
p
(x
1
+ !
1
x
2
+ !
2
x
3
)
3
+
3
p
(x
1
+ !
2
x
2
+ !
1
x
3
)
3
⌘
,
hvor !
i
her er en primitiv tredje enhedsrod. Funktionen i (19) er et udtryk i rød-
derne x
1
, x
2
og x
3
, og den antager værdierne x
1
, x
2
og x
3
, hvilket opfylder første
hovedpunkt. Hvis udtrykkene indenfor kubikrødderne ganges ud, fås udtryk der
består af led som er forskellige produkter af rødderne samt enhedsrødderne. F.eks.
er den første kubikrod i (19) lig
(20)
x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
+6x
1
x
2
x
3
+3!
1
(x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
3
+ x
2
3
x
1
)
+3!
2
(x
2
1
x
3
+ x
2
2
x
1
+ x
2
3
x
2
)
1/3
.
Den anden kubikrod i (19) er lig det udtryk, der fremkommer, når der i (20) byttes
om på !
1
og !
2
. Med kendskab til disse udtryk ses det, at (19) er symmetrisk i
rødderne og dermed også opfylder andet hovedpunkt. Angående tredje hovedpunkt
påpeger Vandermonde, at dette er let at opfylde, omend han indfører en ny notation
for symmetriske udtryk til formålet.
Han indser herefter, at de funktioner som opfylder andet hovedpunkt, det vil
sige ikke ændrer sine værdier ved en permutation af rødderne, må være funktioner
af de symmetriske udtryk. Nu går problemet ud på at vise, at symmetriske udtryk
altid kan skrives som funktioner af de elementære symmetriske polynomier. Dette
er det samme problem som Waring med sin hovedsætning løser [40].
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 69
På baggrund af sine observationer for anden- og tredjegradsligningen foreslår
Vandermonde en lignende funktion for den generelle n’tegradsligning
1
n
(x
1
+ ...+ x
n
)+
1
n
n
p
(!
1
x
1
+ ...+ !
n
x
n
)
n
+
1
n
n
q
(!
2
1
x
1
+ ...+ !
2
n
x
n
)
n
+ ...+
1
n
n
q
(!
n1
1
x
1
+ ...+ !
n1
n
x
n
)
n
,
hvor !
1
,...,!
n
er n’te enhedsrødder. Funktionen for tredjegradsligningen har oven-
stående form, men også i andengradsligningens tilfælde er løsningsformlen på oven-
stående form. Vandermondes observation for andengradsligningen er jo således, at
en rod til denne kan skrives på formen
1
2
(x
1
+ x
2
)+
1
2
⇣
p
(1 · x
1
1 · x
2
)
2
⌘
,
hvor !
1
=1og !
2
= 1.
Vandermondes arbejde bærer præg af en dybere indsigt end Warings, og han
finder ligesom Lagrange (se artiklens del 2) på at benytte sig af hjælpeligninger
(resolvente). Vandermonde ser også på permutationer baseret på studiet af sym-
metriske funktioner og det faktum, at disse kan udtrykkes ved de elementære sym-
metriske funktioner. Han må således formodes enten at have kendt til Warings
arbejde fra 1762, eller have vist samme resultat uafhængigt af Waring. Det mest
bemærkelses værdige ved Vandermondes studier af disse permutationer er dog, at
han introducerer, hvad der i dag svarer til cykliske permutationer (se definition i
artiklens del 2). Hans introduktion til permutationerne er dog ganske omstændelig
og ikke nær så klart formuleret som den af Lagrange. Alligevel skal hans idéer og
arbejder på dette felt senere have spillet en vigtig rolle i udviklingen af permuta-
tionsteorien [25].
Litteratur
[1] The Great Soviet Encyclopedia, Udkommet i 31 bind i oversættelse fra russisk.
Macmillian, Inc. New York, 1970–1979/1973–1982.
[2] Dictionary of Scientific Biography, Udkommet i 18 bind. Charles Scribner’s Sons,
New York, 1970–1980.
[3] Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, Polynomial Transformations of
Tschirnhaus, Bring and Jerrard, ACM SIGSAM Bulletin 37 (2003), no. 3, 90–94.
[4] A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, and M. A. Lavrent’ev, Mathematics: Its
Content, Methods, and Meaning, i oversættelse fra russisk, The M.I.T. Press,
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, 1956/1969.
[5] Kirsti Andersen, Inge Andersen, Kirsten Garm, Klaus Holth, Ivan Tafteberg
Jakobsen, and Lars Mejlbo, Kilder og kommentarer til ligningernes historie,
Forlaget Trip, Vejle, 1986, Editor: Kirsti Andersen.
[6] Raymond G. Ayoub, Paolo Ruffini’s Contributions to the Quintic, Archive for
History of Exact Sciences 23 (1980), 253–277.
70 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 2/2005
[7] David Heiberg Backchi, Uffe Thomas Volmer Jankvist, and Neslihan Saßlanmak,
Algebraisk l igningsløsning fra Cardano til Cauchy – et studie af kombinationers,
permutationers samt invariansbegrebets betydning for den algebraiske
ligningsløsning før Gauss, Abel og Galois, Tekster fra IMFUFA nummer 409, 2002.
[8] F. L. Bauer, Decrypted Secrets – Methods and Maxims of Cryptology,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997.
[9] Heinrich Burkhardt, Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini,
Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 38
(1892), 119–159.
[10] Girolamo Cardano, Artis Magnæ Sive De Regulis Algebraicis, i engelsk
oversættelse, Ars M agna or the Rules of Great Art, af T. Richard Witmer fra 1968,
Dover Publications, Inc., New York, 1545/1968.
[11] A. L. Cauchy, Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une function peut acquérir,
lorsqu’on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu’elle renferme,
Journal de l’Ecole Polytechnique 10 (1815), 1–28.
[12] Edgar Dehn, Algebraic Equations – An Introduction to the Theories of Lagrange
and Galois, Dover Publications, Inc., New York, 1960.
[13] Jean Dieudonné, Mathematics – The Music of Reason, oversat fra fransk af H.G.
og J.C. Dales, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1987/1992.
[14] Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, i engelsk oversættelse,
Elements of Algeb ra, af John Hewlett fra 1840, Springer Verlag, New York, Berlin,
Heidelberg, Tokyo, 1770/1972.
[15] Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, i engelsk oversættelse af Arthur
A. Clarke fra 1966, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo,
1801/1966.
[16] Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups, Chelsea Publishing Company, New York,
1976.
[17] Jens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces – A Portrait of Old Babylonian Algebra
and Its Kin, Springer Verlag New York Inc., 2002.
[18] B. Melvin Kiernan, The Development of Galois Theory from Lagrange to Artin,
Archive for History of Exact Sciences 8 (1971), 40–154.
[19] Morris Kline, Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times, Oxford
University Press, New York, 1972.
[20] Georg Simon Klügel, Mathematisches Wörterbuch, 1. Abtheilung, Die reine
Mathematik, 1. Theil von A bis D, Leipzig, 1803.
[21] Rudolf Kochendörffer, Introduction to Algebra, Wolters-Noordhoff Publishing,
Groningen, 1972.
[22] Manfred Kracht and Erwin Kreyszig, E. W. von Tschirnhaus: His Role in Early
Calculus and His Work and Impact on Algebra, Historia Mathematica 17 (1990),
16–35.
[23] Joseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations i
œuvres de Lagrange Tome III 1867–1892, Gauthier-Villars, Paris, 1770–1771,
Editor: J.-A. Se rret.
Normat 2/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 71
[24] , Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés,
Courcier, Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques, Paris, 1808.
[25] Lubo˘s Nov˝, Origins of Modern Algebra, Academia Publishing House of the
Czechoslovak Academy of Sciences, Prague, 1973.
[26] Julius Petersen, De algebraiske Ligningers Theori, Andr. Fred. Høst & Søns Forlag,
Kjøbenhavn, 1877.
[27] J. Pierpont, Lagrange and His Place in The Theory of Substitutions, Bulletin of the
American Mathematical Society 2 (1895), 196–204.
[28] , On the Ruffini-Abelian Theorem, Bulletin of the American Mathematical
Society 2 (1896), 200–221.
[29] Paolo Ruffini, Opere matematiche di Paolo Ruffini – tomo primo, Tipografia
Matematica di Palermo, 1799/1915, Editor: Ettore Bortolotti.
[30] Christian Skau, Gjensyn med Abels og Ruffinis bevis for umuligheten av å løse den
generell e n’tegradsligningen algebraisk når n 5, Normat 38 (1990), 53–84.
[31] Ian Stewart, Galois Theory Second Edition, Chapman and Hall, London, New
York, 1989.
[32] Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations, History of
Science Department, University of Århus, Denmark, 1999.
[33] Jean-Pierre Tignol, Galois’ Theory of Algebraic Equations i oversættelse fra fransk,
John Wiley & Sons, Inc. New York, 1980/1988.
[34] B. L. van der Waerden, A History of Algebra – From al-Khwarizmi to Emmy
Noether, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1985.
[35] N. Vandermonde, Sur la résolution des équations, i tysk oversættelse,
Abhandlungen aus der reinen Mathematik, af Carl Itzigsohn fra 1888, Berlin Verlag
von Julius Springer, 1770/1888.
[36] V.S. Varadarajan, Algebra in Ancient and Modern Times, American Mathematical
Society and Hindustan Book Agency, 1998.
[37] François Viète, In Artem Analy ticem Isagoge, i tysk oversættelse, Einführung in
die Neue Alge bra, af Karin Reich og Helmuth Gericke fra 1973, Werner Fritsch,
München, 1591/1973.
[38] , In Artem Analyticem Isagoge, i engelsk oversættelse, The Analytic Art, af
T. Richard Witmer fra 1983, The Kent State University Press, Ohio, 1615/1983.
[39] Edward Waring, Meditationes Algebraicæ, i engelsk oversættelse af Dennis Weeks
fra 1991, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1782/1991.
[40] Hans Wussing, Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, VEB Deutscher Verlag
der Wissenschaften, Berlin, 1969.
[41] Hans Wussing and Wolfgang Arnold, Biographien bedeutender Mathematiker, Volk
und Wissen Volkseigener Verlag, Berlin, 1975.
Redaksjonen takker følgende for portrettene brukt i artikkelen: Institut Mittag-Leffler (Cardano,
Euler, Lagrange, Viète), Matematisk institutt, Universitetet i Oslo (Abel), The MacTutor History
of Mathematics archive, University of St. Andrews (Galois, Ruffini, Tschirnhaus, Waring).
