72 Normat 53:2, 72–81 (2005)

Følger det fra Gödels ufullstendighetsteoremer

at vi ikke er maskiner?

Ståle Gundersen

Filosoﬁsk institutt

Universitetet i Bergen

Sydnesplassen 7

NO–5007 Bergen

stale.gundersen@ﬁl.uib.no

Innledning

I denne artikkelen skal jeg gi en kortfattet presentasjon av Kurt Gödels to ufullsten-

dighetsteoremer. Jeg skal ikke gi noe bevis for ufullstendighetsteoremene ettersom

dette ville sprenge rammene for artikkelen.

Senere skal jeg vise hvordan disse

to teoremene kan benyttes som premisser i et argument som konkluderer med at

det ikke er mulig å programmere en robot eller computer slik at den kan opp-

vise de samme matematiske ferdigheter som mennesker. (Bete gnelsene «maskin»,

«computer» og «datamaskin» vil i denne artikkelen bety det samme.) La oss kalle

hypotesen som sier at det er mulig å programmere en robot til å oppvise de samme

matematiske ferdigheter som menneske r for computerhypotesen. Computerhypote-

sen hevder at hjernen manipulerer symboler på grunnlag av visse regler; omtrent

på samme måte som du ﬂytter på («manipulerer») brikkene («symbolene») på

sjakkbrettet. Ifølge computerhypotesen er våre matematiske ferdigheter et resul-

tat av symbolmanipuleringer i hjernen i henhold til visse regler, og alt dette kan

beskrive s fullstendig ved hjelp av et dataprogram. Tilhengerne av computerhypo-

tesen hevder vanligvis at en computer eller robot ikke bare kan oppvise de samme

Originalartikkelen er Gödel (1931). Det ﬁnnes en enkel , men glimrende fremstilling av Gödels

bevis i Nagel & Newman (1989). Smullyan (1992, kap. 1–3) er en god teknisk fremstilling.

Normat 2/2005 Ståle Gundersen 73

matematiske ferdigheter som mennesker, men at den kan simulere (etterligne) all

menneskelig adferd. En riktig programmert robot kan i prinsippet, for eksempel

en gang i fremtiden, tenke, føle og oppføre seg som et menneske. Jeg skal i denne

artikkelen begrense meg til å diskutere m atematis ke ferdigheter.

Oxford-ﬁlosofen John Randolph Lucas, og i s enere tid også fysikeren og mate-

matikeren Roger Penrose, har argumentert mot computerhypotesen.

De hevder at

det følger fra Gödels ufullstendighetsteoremer at computerhypotesen m å være feil.

Lucas’ og Penroses argument for denne påstanden er i kortformat at mennesker

har visse matematiske ferdigheter som maskiner, i kraft av å være programmert

på en bestemt måte, ikke kan ha. Svært få akse pterer dette argumentet til Lucas

og Penrose, og jeg skal presentere noen innvendinger som har blitt rettet mot det.

Diskusjonen omkring Lucas/Penrose-argumentet er til tider svært teknisk, m en jeg

skal kun beskrive de mest grunnleggende trekkene i dette argumentet.

Maskiner og aksiomsystemer

Vi kan aksiomatisere en mate matisk disiplin (for eksempel aritmetikk) ved å kon-

struere en mengde med aksiomer og regler slik at vi kan utlede matematiske sann-

heter (teoremer) innenfor disiplinen ved å anvende reglene på aksiomene. (Euklids

geometri er et godt eksempel på et aksiomsystem.) Et aksiomsystem er fullstendig

hvis alle matematiske sannheter innenfor den matematiske disiplinen kan utledes

innenfor aksiomsystemet. Moderne aksiomsystemer er rent syntaktiske eller for-

melle systemer. Dette innebærer at det ikke er nødvendig å tillegge symbolene

noen bestemt mening for å kunne utlede teoremer. En kalkulator forstår ikke be-

tydningen av symbolene på displayet, men den klarer likevel å gi oss svaret på

ulike regnestykker i kraft av å følge visse regler. Her er et enkelt eksempel på et

aksiomsystem.

De eneste symbolene er «p», «q» og «-». Disse kan settes sammen til setninger

eller symbolstrenger. Det e r ett aksiomskjema: xp-qx-, hvor x er en sekvens av «-».

(Dette kalles et aksiomskjema fordi det gir opphav til potensielt uendelig mange

ulike symbolstrenger med status som aksiomer.) Den eneste regelen er: La x, y og

z være sekvenser av «-». Hvis xpyqz er et teorem, så er xpy-qz- et teorem.

Her er et eksempel på en utledning innenfor aksiomsystemet.

-p-q-- (aksiom hvor vi har satt x lik «-»)

-p--q--- (fra 1 via regel)

-p---q---- (fra 2 via regel)

Linje 2 og 3 er teoremer, det vil si symbolstrenger som kan bevises eller utledes

innenfor aksiomsystemet.

En computer kan lett foreta utledningene nevnt ovenfor. Slike utledninger kre-

ver kun at computeren kan gjenkjenne symbolstrengene ut fra deres fysiske form,

og at vi har programmert computeren med aksiomskjemaet og regelen. Vi sier da

at computeren eller maskinen realiserer dette aksiomsystemet. Når jeg i det føl-

gende bruker betegnelsen «maskin» så vil jeg mene det samme som «maskin som

realiserer et bestemt aksiomsystem». En slik maskin vil rent mekanisk fortsette å

Se Lucas (1961) og Penrose (1990 & 1995).

Basert på Hofstadter (1980, kap. 2).

74 Ståle Gundersen Normat 2/2005

utlede (bevise ) teoremer. Dette innebærer at hvis en symbolstreng er et teorem, så

vil maskinen ﬁnne et bevis for dette teoremet. Vi er imidlertid ikke garantert at

maskinen vil ﬁnne et motbevis dersom symbolstrengen ikke er et teorem.

I et aksiomsystem er symbolene og symbolstrengene meningsløse i den forstand

at de ikke representerer eller står for noe utenfor seg selv. Symbolstrengene tilleg-

ges ikke sannhetsverdier (sann eller usann) ettersom sannhet i denne sammenheng

betyr det samme som korrespondanse mellom symbolstrengen og en virkelighet

utenfor aksiomsystemet. Denne virkeligheten omtales gjerne som en modell eller

tolkning. En symbolstreng er altså sann hvis og bare hvis den korresponderer (sam-

svarer eller er i overensstemmelse med) virkeligheten. Dette kan illustreres ved

hjelp av et eksempel fra dagligspråket. Setningen «min bil er rød» er sann hvis

og bare hvis bilen min faktisk er rød. Hvis bilen min er blå så vil ikke setningen

korrespondere med virke ligheten, og den vil derfor være usann.

Symbolstrengene i et aksiomsystem beskriver i seg selv ingenting – de handler

ikke om noe – og kan derfor ikke ha s annhetsverdier. Det er imidlertid mulig

å gi symbolene en mening ved å tolke dem. Når vi tolker symbolene så gir vi

symbolene mening ved å la dem stå for noe i virkeligheten utenfor aksiomsystemet.

Symbolstrengene blir da setninger som kan være sanne eller usanne avhengig av om

de korresponderer med tolkningen/modellen eller ikke. La oss med utgangspunkt i

aksiomsystemet ovenfor foreta følgende tolkninger. (« » betyr «tolkes som».)

p + q = - 1 -- 2 --- 3 osv.

Utledningen ovenfor blir ifølge denne tolkningen:

1+1=2

1+2=3

1+3=4

Målet eller hensikten med dette aksiomsystemet (som røpes først nå!) var å konstru-

ere et aksiomsystem som skulle gjenspeile strukturen til addisjon av naturlige tall.

De naturlige tallene med relasjonen addisjon blir derfor modellen til dette aksiom-

systemet.

Tolkningen ovenfor var meningsfull, me n vi kan ogs å tolke symbolene

på andre måter:

p gener q evolusjon

 hest  hest hest  hest hest hest osv.

Utledningen ovenfor tolkes da på følgende måte:

Hest gener hest evolusjon hest hest

Hest gener hest hest evolusjon hest hest hest

Hest gener hest hest hest evolusjon hest hest hest hest

Det ﬁnnes strengt tatt to måter å bedrive matematikk på: Enten så er man opptatt av å utlede

logiske konsekvenser av en mengde aksiomer uten å gi disse aksiomene noen bestemt tolkning,

eller så har man et håp om at en mengde aksiomer skal være sanne om e n bestemt modell (for

eksempel aritmetikken), og at vi på bakgrunn av dette skal kunne utlede alle aritmetiske sannheter

fra aksiomene. Gödel beviste, som vi snart skal se, at dette ikke lar seg gjøre.

Normat 2/2005 Ståle Gundersen 75

Dette kan betraktes som et særdeles mislykket forsøk på å aksiomatisere vår zoo-

logiske kunnskap!

Alle utledninger innenfor et aksioms ystem er noe en computer kan utføre et-

tersom utledningene ikke er noe annet enn manipuleringer av symbolstrenger ved

hjelp av visse fastlagte regler.

Det er stort sett dette datamaskiner er i stand til å

gjøre.

Det er alltid mulig å omskrive et aksiomsystem til et dataprogram som deretter

kan programmeres i en maskin. Et slikt dataprogram består av en mengde med reg-

ler som s ier hvordan symboler og symbolstrenger skal manipuleres. I vårt eksempe l

består dataprogrammet av en mengde med aksiomer (bare ett aksiomskjema) og en

mengde med regler (i vårt eksempel bare én regel) slik at maskinen rent mekanisk

kan se tte i gang med å bevise teoremer. Vi sier at en maskin som er programmert

med dette dataprogrammet realiserer aksiomsystemet.

Det har vært et viktig mål å forsøke å konstruere aksiomsystemer som skal kunne

gjenspeile vår matematiske kunnskap innenfor de ulike matematiske disiplinene.

Dette innebærer at alle matematiske sannheter innenfor en bestemt matematisk

disiplin (for eksempel aritmetikk) skal kunne utledes innenfor et aksiomsystem.

Eller sagt på en mer presis måte: målet e r at alle matematiske sannheter innenfor

en matematisk disiplin skal være identisk med tolkninger av symbolstrenger som

kan utledes innenfor et aksiomsystem. Bevisbare symbolstrenger kalles som sagt

teoremer, og mange ﬁlosofer og matematikere var tidligere av den oppfatning at

mengden av matematiske sannheter er identisk med mengden av teoremer, slik at

matematisk sannhet kunne identiﬁseres med bevisbarhet. Gödel beviste i 1931 at

mengden av matematiske sannheter er større enn mengden av teoremer. Det er

derfor umulig å utlede alle matematiske sannheter innenfor en matematisk disiplin

fra et aksiomsystem – uansett hvor mange aksiomer og slutningsregler vi legger til.

Dette er essensen i Gödels første ufullstendighetsteorem, og dette er utvilsomt et

av de viktigste og mest oppsiktsvekkende res ultater i logikkens og matematikkens

historie.

Gödels ufullstendighetsteoremer

Gödels bevis for de to ufullstendighetsteoremene er svært komplekse bevis. Bevise-

nes kompleksitet består i at Gödel opererer med tre ulike språklige nivåer, nemlig

aksiomsystemet med dets «meningsløse» symboler og symbolstrenger, vanlig arit-

metikk (de naturlige tallene, addisjon, multiplikasjon m.m.) og et metamatematisk

nivå hvor vi snakker om aksiomsysteme t «fra utsiden» – for eksempel om det er

konsistent, fullstendig m.m. Utsagnet «dette aksiomsystemet inneholder ﬁre ak-

siomer» er et eksempel på et metamatem atisk utsagn fordi det sier noe om selve

aksiomsystemet. I sine bevis benyttet Gödel en teknikk som i dag kalles for «Gödel-

nummerering». Gödelnummerering innebærer at vi kan uttrykke metamatematiske

utsagn innenfor systemet selv, slik at systemet får en slags «selvbevissthet» – det

vil si at det kan «snakke om seg selv». Symbolstrenger innenfor systemet kan med

andre ord tolkes slik at de sier noe om systemet selv.

Betegnelsene «system» og «aksiomsyste m» vil i det følgende bety det samme.

76 Ståle Gundersen Normat 2/2005

Gödels første ufullstendighetsteorem sier at i ethvert konsistent (selvmotsigelses-

fritt) aksiomsystem hvor vi kan utlede aritmetiske sannheter (det vil si at systemet

inneholder blant annet operasjonene addisjon og multiplikasjon), så vil det ﬁnnes

et aritmetisk utsagn G som ikke kan bevises i aksiomsystemet, men som vi kan

bevise er sant. Dette utsagnet kalles aksiomsystemets Gödelsetning. Gödelsetnin-

gen G sin (litt merkelige) metamatematiske tolkning er at «G kan ikke bevises i

dette aksiomsystemet».

(Jmf. poenget ovenfor om at symbolstrenger kan tolkes

på svært ulike måter.) Det første ufullstendighetsteoremet innebærer altså at det

ﬁnnes et utsagn G som er sant, men hvor G verken kan bevises eller motbevises

i systemet. Gödel var i stand til å konstruere en slik Gödelsetning for et bestemt

aksiomsystem for aritmetikk.

Ut fra G’s metamatematiske tolkning er det lett å se at G må være sann. La oss

først anta at G kan bevises. Dette medfører en selvmotsigelse ettersom G faktisk

sier at G ikke kan bevises. (Vi forutsetter at systemet er konsistent og at vi bare kan

utlede sannheter. Dette er et ufravikelig krav til ethvert aksiomsystem.) Følgelig

kan ikke G bevises, men dermed må jo G være sann ettersom G jo sier at G

ikke kan bevises! G er derfor en sannhet som ikke kan bevises innenfor systemet.

Gödels argument har en viss likhet med det klassiske løgnerparadokset, ettersom

det gjør bruk av et utsagn G som «snakker om» eller refererer til seg selv. Følgende

setning er en versjon av løgnerparadokset: «Denne setningen er usann.» Dette er

et paradoks, for hvis vi antar at setningen e r sann så er den usann, og hvis vi antar

at den er usann så er den sann. Gödelsetningen G er derimot ikke paradoksal i

denne forstand, for vi kan lett se at den må være sann. Løgnerparadokset synes

derimot ikke å ha noen sannhetsverdi. Vi kan ikke bevise Gödelsetningen G innenfor

systemet, men vi kan ut fra argumentet ovenfor se at G må være sann. G spiller

en viktig rolle i Lucas/Penrose-argumentet. Dette vil jeg komme tilbake til senere.

Gödels andre ufullstendighetsteorem sier at det ikke er mulig å bevise innenfor

et aksiomsystem at det er konsistent (selvmotsigelsesfritt). Hvis aksiomsystemet er

konsistent, så kan det med andre ord ikke bevise sin egen konsistens.

Gödel be-

viste det andre ufullstendighetsteoremet ved å konstruere et aritmetisk utsagn som

kan tolkes (m etamate matisk) som at «dette systemet er konsistent». Han beviste

deretter at dette utsagnet ikke lar seg bevise innenfor systemet.

Gödels ufullstendighetsteoremer har utvilsomt hatt stor innvirkning på mate-

matisk logikk og matematikkens ﬁlosoﬁ. Gödel selv mente at det første ufullsten-

dighetsteoremet kunne benyttes som et premiss i et argument for matematisk pla-

tonisme, det vil si det synspunkt at det ﬁnnes abstrakte objekter hinsides tid og

rom, og at det er matematikerens oppgave å oppdage sannheter om disse objektene.

Dette er et kontroversielt synspunkt.

Gödel synes imidlertid å ha bevist at bevisbarhet og sannhet ikke er det samme,

og dette åpner for at sannhet i matematikk er «noe mer» enn bare å bevise noe ut

Mer presist så er G et aritmetisk utsagn som også kan formuleres (eller har sitt motstykke)

innenfor aksiomsystemet (det vil si at G kan uttrykkes ved hjelp av aksiomsystemets symboler),

og utsagnet G kan dessuten gis en bestemt metamatematisk tolkning, nemlig at «G ikke kan

bevises innenfor aksiomsystemet». Uttrykkene i kursiv blinker ut de tre ulike språknivåene som

Gödel opererer med i sitt bevis.

Fra dette følger at hvis vi kan bevise at et system er konsistent, så er det ikke konsistent. Dette

tilsynelatende paradoksale resultatet følger fra det logiske prinsipp et at fra en selvmotsigelse så

kan vi utlede eller bevise hva som helst.

Normat 2/2005 Ståle Gundersen 77

fra aksiomer. Også dette er imidlertid kontroversielt, og det faller utenfor rammene

av denne artikkelen å drøfte disse problemene nærmere.

Lucas/Penrose-argumentet mot computerhypotesen

Gödel var den første som så at ufullstendighetsteoremene kunne benyttes som pre-

misser i et argument mot computerhypotesen. Lucas og Penrose har imidlertid

gjort dette argumentet mer eksplisitt og detaljert. Lucas og Penrose hevder at gitt

en maskin M som realiserer et aksiomsystem S, så vil det alltid være mulig for

et menneske å se at Gödelsetningen til M (eller S) er sann, men maskinen kan

derimot ikke konkludere med at Gödelsetningen er sann fordi maskinen kan ikke

bevise den. Vi kan da spørre om det ikke er mulig å konstruere en maskin som

er så avansert at den kan gi som output alle de matematiske sannhetene som et

menneske kan bevise. Argument A nedenfor er ment å vise at dette ikke er mulig,

det vil si at computerhypotesen er feil. Argument A sier i kortformat at enhver

maskin inneholder en Gödelsetning s om ikke kan bevises av maskinen selv, men

som vi mennesker kan se er sann. Vi har med andre ord en ferdighet som maskiner

ikke kan ha. Ergo er computerhypotesen feil. Mine matematiske ferdigheter består

med andre ord ikke i at jeg er en maskin M som realiserer et aksiomsystem, fordi

jeg har en e vne til å se G’s sannhet som M ikke har. (G er Gödelsetningen til M.)

La oss sette opp dette argumentet på en mer oversiktlig måte.

Argument A Hvis Kurt er en maskin M som realiserer et konsistent aksiomsy-

stem S, så vil han ikke være i stand til å bevise at Gödelsetningen til M (eller

S) er sann. (Dette følger fra det første ufullstendighetsteoremet som innebærer

at M eller S ikke kan bevise sin egen Gödelsetning.) Kurt kan derimot bevise

at Gödelsetningen til M (og S) er sann ved å anvende Gödels fremgangsmåte.

Ergo er Kurt ikke en maskin, og computerhypotesen er feil.

Det første premisset bygger på det faktum at en maskin bare kan holde det som

kan bevises innenfor aksiomsystemet for å være sant. Det andre premisset fastslår

at mennesker (for eksempel Kurt) kan bevise en sannhet, nemlig Gö delse tningen til

en maskin, som maskinen selv ikke kan bevise. Dette viser at vi ikke er mas kiner,

det vil si at våre matematiske ferdigheter ikke er bestemt av at vi er maskiner som

realiserer aksiomsystemer.

Man kan innvende mot dette argumentet at det burde være mulig å legge til et

program P som kan konstruere Gödelsetningen G til M slik at denne nye maskinen

(som er M programmert med P ) kan oppvise de samme matematiske ferdighe-

tene som Kurt. Lucas hevder imidlertid at M

vil ha en Gödelsetning G

som Kurt

kan se er sann, men som M

ikke kan bevise. Vi kan da konstruere en ny maskin

ved å legge inn et program P

i M

slik at M

kan bevise både G og G

. M

vil derimot ha en Gödelsetning G

som Kurt kan se er sann, men som M

ikke

kan bevise osv. For enhver maskin M

000

... så vil altså Kurt «ligge et hode

foran». (Det er for øvrig viktig å legge merke til at det ikke er mulig å konstruere

et dataprogram som kan bevise G til enhver maskin.) Konklusjonen er følgelig at

For eksempel den som Gödel selv b e nyttet i Gödel (1931).

78 Ståle Gundersen Normat 2/2005

vi har en ferdighet som maskiner ikke kan ha, og vi er derfor ikke maskiner. Dette

innebærer at computerhypotesen er feil.

Argument B Et annet argument mot computerhypotesen (basert på Gödels and-

re ufullstendighetsteorem) sier at ingen maskin kan vite at den er konsistent, men

vi mennesker kan derimot vite at vi er konsistente.

Følge lig har mennesker en

egenskap som maskiner ikke har.

Ergo er mennesker ikke maskiner, og computerhypotesen er feil.

Jeg skal senere vise at begrepet konsistens utgjør selve akilleshælen til alle de

nevnte argumentene mot computerhypotesen.

Argumentene A og B utgjør til sammen Lucas/Penrose-argumentet mot com-

puterhypotesen.

Kritikk av Lucas/Penrose-argumentet

Det er vanskelig å skille kritikken av argumentene A og B fra hverandre, men

jeg skal likevel forsøke å gjøre det for oversikten sin del. En kritikk som rammer

argument A vil som regel også ramme argument B (og omvendt).

Kritikk av argument A

Det er viktig å legge merke til at ifølge Gödels første ufullstendighetsteorem så

kan vi bare bevise at en Gödelsetning er sann hvis vi kan bevise at systemet er

konsistent. Det andre premisset i argument A er sånn sett et tvilsomt premiss, og

det er nettopp dette premisset jeg vil kritisere.

Anta at vi har konstruert et program (ut fra et bestemt aksiomsystem) som vi

deretter programmerer en maskin med. Spørsmålet er nå om denne maskinen M vil

være i stand til å simulere (etterligne) matematikernes ferdigheter. Nesten all ma-

tematikk kan utledes fra mengdelæren, og vi kan derfor late som om mengdelæren

er det aksiomsystemet som best uttrykker matematikernes ferdigheter. Vi lar med

andre ord M realisere mengdelæren. Det følger da fra Gödels andre ufullstendig-

hetsteorem at M ikke kan bevise at mengdelæren er konsistent, og M kan følgelig

ikke bevise at Gödelsetningen G til mengdelæren er sann. Men vi mennesker kan

heller ikke bevise at mengdelæren e r konsistent, og derfor kan vi (eller Kurt!) ikke

bevise at den tilhørende Gödelsetningen G er sann. Det eneste vi og M kan bevise

er at hvis systemet er konsistent, så er Gödelsetningen sann.

Det er mulig at mengdelæren faktisk er inkonsistent. (Den bygger blant annet

på en del kontroversielle aksiomer.) Det er sånn sett mulig at vi beﬁnner oss i

samme situasjon som logikeren Gottlob Frege da han i 1902 mottok et brev fra

ﬁlosofen Bertrand Russell som påviste en inkonsistens i hans mengdelære. Frege

hadde arbeidet i ﬂere tiår med sin teori, men hadde likevel oversett en inkonsistens.

Verken vi eller en maskin kan med andre ord bevise eller «se» at mengdelæren eller

matematikken som sådan er konsistent. Følgelig kan verken vi eller maskiner bevise

at Gödelsetningene er s anne. Her stiller vi med andre ord likt med maskinene.

Det faktum at en maskin i kraft av å realisere et aksiomsystem ikke kan bevise sin egen

konsistens innebærer at den ikke kan bevise (eller vite) at den ikke en gang i fremtiden vil skrive

en selvmotsigelse, slik som for eksempel «0=1».

Normat 2/2005 Ståle Gundersen 79

Lucas hevdet i argumentet ovenfor at selv om vi konstruerer stadig mer avanserte

maskiner (M

, M

000

osv.), så kan vi stå utenfor en hvilken som helst av disse

maskinene og konstruere en Gödelsetning som maskinen selv ikke kan bevise. Det er

imidlertid tvilsomt om vi faktisk er i stand til å konstruere Gödelsetningen til enhver

maskin. Denne vanskeligheten bunner blant annet i det faktum at det ikke lar seg

gjøre å lage et dataprogram som vi kan bruke for å konstruere Gödelsetninger for

vilkårlige maskiner. Det kan med andre ord bli svært vanskelig for oss å konstruere

Gödelsetninger til komplekse maskiner. Som vi har sett kan vi heller ikke vite

at Gödelsetningene som vi klarer å konstruere faktisk er sanne, ettersom dette

forutsetter at vi må vite at maskinene er konsistente. For komplekse maskiner kan

det imidlertid være svært vanskelig å avgjøre hvorvidt maskinene er konsistente

eller ikke. Også her stiller vi derfor likt med maskinene.

La oss oppsummere og eksplisere argument A mot computerhypotesen. Anta at

det ﬁnnes en maskin M som realiserer det s amme aksiomsystemet som jeg, det

vil si at M kan bevise alle de aritmetiske utsagnene som også jeg kan bevise. Ved

hjelp av Gödels argument kan jeg bevise Gödelsetningen G til M , men denne kan

imidlertid ikke M selv bevise. Ergo kan ikke mine matematiske ferdigheter bestå i

at jeg er en mas kin som realiserer et bestemt aksiomsystem, fordi jeg har en evne

som M ikke har, nemlig en evne til å bevise at G er sann.

Jeg kritiserte dette argumentet fordi vi faktisk ikke kan bevise at Gödelsetningen

G til M er sann. Vi kan bare bevise følgende kondisjonal:

hvis M er konsistent,

så er G sann.VerkenM eller jeg kan bevise G, men både M og jeg kan bevise

kondisjonalen.

Vi stiller med andre ord helt likt m ed maskinene. Hvis M er en

kompleks maskin, noe som i dette tilfellet er svært plausibelt, så vil det være svært

vanskelig å bevise at M er konsistent, og dermed vil det være vanskelig for oss å

bevise at G er sann. I motsetning til hva Lucas og Penrose hevder er det tvilsomt

om vi har en evne til å «se» M’s konsistens og G’s sannhet direkte (hva nå det

skulle bety). Det er vanskelig å spesiﬁsere hva en slik evne skulle bestå i, særlig

tatt i betraktning eksemplet ovenfor som viste at selv begavede matematikere har

«viklet seg inn i» inkonsistenser. Heller ikke matematikere er ufeilbarlige!

Kritikk av argument B

I det andre ufullstendighetsteoremet beviser Gödel at aksiomsystemer eller maski-

ner ikke kan bevise sin egen konsistens. Men kan vi det? Lucas og Penrose svarer

ja på dette spørsmålet, og fastslår dermed at vi har en egenskap som maskiner ikke

har. Følgelig er computerhypotesen feil.

Lucas presenterer et argument for at vi (i motsetning til M ) har en evne til å

vite at vi er konsistente, fordi et inkonsistent system vil generere «massevis med

tull og tøys», noe vi vanligvis ikke gjør.

Dette følger fra det logiske prinsippet

(som vi ikke skal bevise her) at fra en inkonsistens så kan vi utlede hva som helst.

Men anta nå at mine oppfatninger er av en slik karakter at jeg kunne ha utledet

En kondisjonal er kort fortalt en «hvis-så»-setning.

Se Chihara (1972: 507–508).

Lucas (1961) sier at vi må være «basically consistent », og Penrose argumenterer for det

samme. Uttrykket «basically consistent» virker imidlertid litt merkelig ettersom konsistens er et

enten-eller fenomen. Enten så er et system konsistent eller så er det inkonsistent. På sam me måte

er en kvinne enten gravid eller ikke-gravid. Konsistens og graviditet kommer ikke i grader.

Se Lucas (1961).

80 Ståle Gundersen Normat 2/2005

både en setning P og dens negas jon (benektelse) ikke-P , men uten at jeg faktisk

gjør det. Det er vanskelig å se at det fra dette skulle følge at jeg vil si omtrent hva

som helst av tull og tøys. Det kan med andre ord ﬁnnes en inkonsistens gjemt et

eller annet s ted i oss eller i maskiner (en lokal eller isolert inkonsistens) uten at

dette vil ha de dramatiske følgene som Lucas skisserer.

Det er rimelig å anta at et normalt menneske ikke vil akseptere en inkonsistent

mengde med oppfatninger som vedkommende har rettet oppmerksomheten sin mot.

De ﬂeste av våre oppfatninger har vi imidlertid ikke rettet oppmerksomheten vår

mot. De ﬂeste av oss tror at leger går med undertøy og at 11 + 11 = 22, men

det er svært sjelden vi retter oppmerksomheten mot disse oppfatningene. Det er

derfor plausibelt at det kan gjemme seg minst én inkonsistens blant våre millioner

av oppfatninger, men uten at dette vil ha slike radikale konsekvenser som Lucas

skisserer. Det er faktisk stor grunn til å tro at det ﬁnnes slike inkonsistenser i vårt

enorme nettverk av oppfatninger. Rasjonalitet er som kjent et ideal vi streber mot,

men aldri når.

Anta at en maskin M simulerer en matematikers evner. Jeg har vist ovenfor at

M ikke kan bevise at den er konsistent, men det kan heller ikke vi. Det er med

andre ord like vanskelig for oss som for maskiner å påvise egen og andres konsistens.

Mennesker synes med andre ord å ha de samme begrensninger som maskiner, og

derfor kan vi være maskiner.

Svakheten med argumentene A og B (Lucas/Penrose-argumentet) er ikke at dis-

se argumentene fratar maskinene evner som de faktisk besitter, men at Lucas og

Penrose gir mennesker en evne til å «se» matematiske sannheter og til å «se» at

systemer er konsistente som vi faktisk ikke har. Feilen ligger ikke i en nedvurde-

ring av maskinenes potensielle ferdigheter, men i et urealistisk syn på menneskets

matematiske ferdigheter.

Konklusjon

Hensikten med denne kritikken av Lucas/Penrose-argumentet er ikke å argumen-

tere for computerhypotesen. Det er en hypotese jeg ikke tilslutter meg. Det ﬁnnes

mange gode argumenter mot denne hypotesen, men Lucas/Penrose-argumentet er

ikke et av dem. Computerhypotesen er antakeligvis altfor enkel når det gjelder å

forklare menneskers komplekse ferdigheter og adferd. Hvordan vi skal forklare våre

ferdigheter, opplevelser og adferd er naturligvis omfattende psykologisk spørsmål,

men det synes uansett å være urealistisk å tro at våre matematiske ferdigheter bare

består i å utlede teoreme r fra aksiomer.

Man kan til og med argumentere for at inkonsistens i en viss forstand er ønskelig og rasjonelt.

Det er for eksempel rasjonelt av deg å tro at du, som ikke er et allvitende vesen, har noen usanne

oppfatninger. Men enhver person som har en oppfat ning om at han eller hun har minst én usann

oppfatning, vil ha en inkonsistent mengde med oppfatninger. En mengde med oppfatninger er

konsistent hvis og bare hvis det er mulig for alle oppfatninger å være sanne, noe som i dette

tilfellet er umulig. I denne forstand kan man si at det er rasjonelt å være inkonsistent. Man kan

kanskje betegne dette som en «godartet inkonsistens». Det følger fra dette at mennesker som sier

at de vet at de er konsistente ikke kan være rasjonelle!

Se Putnam (1995).

Normat 2/2005 Ståle Gundersen 81

Referanser

Chihara, C.S. (1972). On alleged refutations of mechanism using Gödel’s incompleteness

results. Journal of Philosophy 64, 507–526.

Gödel, K. (1931). Über formal unentschiedbare Sätze per Principia Mathematica und

verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physic 38, 173–198.

Hofstadter, D.R. (1980). Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. London:

Penguin Books.

Lucas, J.R. (1961). Minds, Machines and Gödel, Philosophy 36, 112–127.

Nagel, E. & Newman, J.R. (1989). Gödel’s Proof. London: Routledge.

Penrose, R. (1990). The Emperor’s New Mind. London: Vintage.

Penrose, R. (1995). Shadows of the Mind. London: Vintage.

Putnam, H. (1995). (Anmeldelse av Penrose (1995).) Bulletin of the American

Mathematical Society 32, 370–373.

Smullyan, R. (1992). Gödel’s Incompleteness Theorem. Oxford: Oxford University Press .