82 Normat 53:2, 82–92 (2005)

Begreppet funktion i historisk belysning

Johan Häggström

Institutionen för pedagogik och didaktik

Göteborgs universitet

Box 300

SE–405 30 Göteborg

johan.haggstrom@ped.gu.se

Funktionsbegreppet är ett av de viktigaste och m es t använda begreppen, inte bara

inom matematiken. Funktioner används i stort sett i alla vetenskaper och har haft

en mycket stor betydelse för de senaste seklernas oerhörda framsteg, inte minst

inom de naturvetenskapliga och tekniska områdena. Med tanke på den centrala

roll som funktionsbegreppet spelat i matematiken och den vidsträckta användning

det haft borde väl innebörden vara precist och entydigt formulerad? En snabb titt

i några olika läromedel och i begreppshistorien visar att så inte är fallet. Det ﬁnns

ett stort antal olika sätt att deﬁniera b egreppet funktion. I artikeln ges exempel på

den variation som ﬁnns i framställningen i läromedel och i hur begreppet uppfattats

och använts i ett historiskt perspektiv.

Nedslag i läromedel

I läromedel för grundskolan görs sällan ens informella deﬁnitioner av begreppet

funktion. Istället använder man ofta något eller några exempel för att illustrera

betydelsen. Koordinatsystem och diagram tas ofta upp i anslutning till funktioner.

Det är, som i citatet nedan, vanligt att man i framställningen använder uttryck

som samband, beror på och liknande.

Hur stor omkrets har en uppblåst ballong? Det beror förstås på hur mycket luft man

har blåst in i den. Om man mäter om kretse n efter t ex vart 5:e pumptag kan man

visa sambandet mellan antalet pumptag och omkretsen i ett diagram. [. . . ] Ballongens

omkrets är en funktion av antalet pumptag. Kurvan du ritat i diagrammet kallas

funktionens graf. (Skoogh m ﬂ., 1996, sid.8)

Normat 2/2005 Johan Häggström 83

I läromedel för gymnasieskolan används också beskrivningar av mer eller mindre

välbekanta situationer som utgångspunkt. Det är också vanligt att man använ-

der ﬂera olika representationsformer för att beskriva funktionsbegreppet och att

informella deﬁnitioner formuleras.

Eftersom vi vet att tågets fart är 120 km/h kan vi räkna ut hur långt tåget hinner

köra på en viss tid:

sträckan = 120 km/h · tiden

[. . . ]

Om vi betecknar sträckan med s (km) och tiden med t (h), så kan vi skriva

s = 120 · t

Denna formel anger hur körsträckan för ett tåg beror av tiden, om tåget färdas med

farten 120 km/h. Vi säger att formeln beskriver sträckan s som en funktion av tiden t.

[. . . ]

En funktion är en regel, som beskriver hur värdet av en variabel bestäms med hjälp

av värdet av en annan variabel. (Andersson, 1996, sid. 310)

En regel som till varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde kallas en funktion. Vi säger

då att y är en funktion av x. (Björk m ﬂ., 1992, sid.55)

I gymnasielitteraturen ﬁnns ett ofta uttalat krav att den beroende variabeln skall

kunna beräknas enligt en bestämd regel och att denna beräkningsföreskrift är själva

funktionen. Det illustreras i vissa fall med en s.k. funktionsmaskin där ett tal från

deﬁnitionsmängden kan matas in i ena änden och ut ur andra änden kommer

resultatet. Detta är en väldigt dynamisk framställning av funktionsbegreppet. Även

i läromedel för högskolan kan man ﬁnna en liknade dynamik i användningen av

termen regel, som då ses som att man utgår från den oberoende variabeln och

därefter beräknar funktionsvärdet (skrivningar som ”från A till B” antyder en

sådan ”rörelse”).

Låt A och B vara två icke tomma mängder. En funktion f från A till B är en regel

som till varje element x i A ordnar exakt ett element i B. Detta senare element kallas

bilden av x genom f och skrivs f (x). (Vretblad, 1995, sid. 54)

Det kanske mest spridda läromedlet i analys deﬁnierar funktionen på ett liknande

sätt.

A function f on a set D into a set S is a rule that assigns a unique element f(x) in S

to each element x in D. (Adams, 1999, sid. 26)

En viktig skillnad mellan deﬁnitionerna i litteratur för gymnasiet och för högskolan

är att man i de senare har generaliserat variablerna från att vara ”talvärden” till

att vara ”element”, samt att begreppet regel inte längre är begränsat till att vara

en beräkningsföreskrift.

Ytterligare en variant är att utgå ifrån begreppet relation i deﬁnitionen.

En funktion f : A ! B är en relation från A till B sådan att

(1) För varje a 2 A ﬁnns ett b 2 B sådant att af b,

84 Johan Häggström Normat 2/2005

(2) Om afb

och afb

, så gäller b

= b

I stället för afbskriver man i detta fall normalt b = f (a). (Vretblad, 1995, sid. 62)

I det kanske mest spridda matematiklexikonet i Sverige används termen avbildning.

Under uppslagsordet funktion hittar man följande,

funktion. En avbildning från X till Y , där Y är en talmängd, t ex Z, Q, R eller C. En

funktion f från X till Y skrivs f : X ! Y . Den deﬁnieras genom x 7! f (x), där f(x)

kallas funktionsvärdet till x. Det bör nämnas att funktion ibland används synonymt

med avbildning. (Thompson, 1991b, sid. 131)

Noteras bör att i denna deﬁnition talas endast om talmängder. Det innebär en be-

gränsning i hur funktionen kan tillämpas. Mängderna X och Y måste enligt den

här deﬁnitionen innehålla tal och därmed utesluts en höjning av abstraktionsni-

vån till att omfatta exempelvis funktioner av funktioner, dvs. att en funktion kan

beskriva en avbildning mellan mängder av funktioner. I deﬁnitionen från Mate-

matikterminologi i skolan, en skrift från Skolöverstyrelsen, talas det däremot om

element istället för tal och mängderna är således inte begränsade till mängder av

tal. Här är alltså funktionsbegreppet i den meningen mer generellt än i deﬁnitionen

ovan. Dessutom framhäver terminologin från mängdläran funktionsbegreppet som

en statisk struktur snarare än som en procedur eller operation.

Om varje element i en mängd A entydigt tillordnas ett element i en m ängd B säger

man att man har en funktion från A till B. Om funktionen betecknas f, betecknas det

element i B som är tillordnat x i A, med f(x).[...]f(a) kallas funktionsvärdet för

x = a. A kallas deﬁnitionsmängd och kan betecknas D

. Mängden av funktionsvärden

f(x) kallas värdemängd och kan betecknas V

. (Skolöverstyrelsen, 1979, sid. 96)

Redan dessa spridda nedslag i litteraturen ger vid handen att funktionsbegreppet

kan beskrivas och deﬁnieras på många olika sätt. Hur olika författare väljer att

uttrycka sig har naturligtvis att göra med tänkt målgrupp. I deﬁnitionerna före-

kommer termer som Samband, Avbildning, Regel, Relation och Entydig tillordning

för att beskriva innebörden i funktionsbegreppet. Dessa är relativt moderna ter-

mer och funktionsbegreppet kan rimligtvis inte alltid ha hanterats eller uppfattas

på dessa vis. Det är snarare så att de här deﬁnitionerna är resultatet av en lång

utveckling. Det krävs o ckså en hel del förförståelse av en läsare för att kunna tolka

deﬁnitionerna.

Nedslag i begreppshistorien

Många matematiska begrepp, metoder och idéer har genomgått en lång och ofta

krokig utveckling. De t gäller inte minst begreppet funktion. Hur många människor

som på olika sätt bidragit till dess framväxt, hur m ånga olika blindspår man varit

inne på, hur många goda idéer som inte fått någon spridning och glömts bort (och

som därmed kanske måste återﬁnnas och utvecklas på nytt) osv är förstås omöjligt

att säga. Varje beskrivning av hur begreppet funktion utvecklats genom historien

måste därför med nödvändighet bli förenklad och översiktlig.

Normat 2/2005 Johan Häggström 85

Redan i den sumeriska kulturen ﬁnns spår av vad man skulle kunna uppfatta

som ett mer intuitivt funktionsbegrepp i form av tabeller skrivna me d kilskrift på

brända lertavlor. Sumererna hade tabeller över inverterade tal, kvadratrötter mm.

En sådan tabell kan ses som en funktion där relationen mellan tal i två mängder

är entydigt beskriven. Sumererna har också lämnat efter sig astronomiska tabeller

där olika fenomen på himlen, t ex månens positioner, beskrivs som en funktion av

tiden.

I den antika grekiska kulturen fanns också idén om beroende storheter. Ett

exempel är Ptolemaios (grekisk astronom verksam i Alexandria på 100-talet, för-

fattare till Almagest, vilken behandlar den geocentriska världsbilden), som inte

bara använde tabeller utan också gav beskrivningar av hur man kan räkna fram

”funktionsvärdet” för ett givet värde på den ”oberoende variabeln”. Katz (1993)

menar att det är uppenbart att Ptolemaios var helt införstådd med ett modernt

funktionsbegrepp, även om han inte använde ett modernt symbolspråk. Det verkar

som att de procedurer som används tas för givna av Ptolemaios och Katz drar

därför slutsatsen att dessa procedurer och metoder måste ha varit väl bekanta för

hans läsare och antagligen använts av astronomer långt före hans tid.

Utvecklingen mot ett mer explicit funktionsbegrepp tar fart i Europa i slutet av

1500-talet. Vid den tiden tar algebran och symbolspråket ett kvalitativt viktigt steg

framåt, vilket gör det möjligt att använda bokstäver som symboler för variabler

och att skriva allt mer kompakta formler. Fram till den här tiden hade algebra i

stort handlat om ekvationslösning. Bokstäver användes före 1500-talet endast som

symboler för obekanta tal. François Viète (1540–1603) anses vara den som först

börjar använda bokstäver också för att beteckna givna eller kända tal. Bokstäver-

na i uttryck kunde nu tolkas som variabler, symboler som samtidigt betecknar ett

stort antal olika tal. Det blev möjligt att uttrycka generella, icke-numeriska lös-

ningar på olika problem. Den nya rollen hos bokstäverna var nödvändig för att den

matematiska formeln skulle bli möjlig.

På 1600-talet hamnade studiet av rörelse i fokus hos ﬂera vetenskapsmän, bl a

Galileo Galilei (1564–1642) och Johannes Kepler (1571–1630). Pendelrörelse, fallrö-

relse och planetrörelse studerades intensivt. Galilei studerade t ex pendlars rörelse

och fallrörelsen. Han gjorde bland annat experiment med kulor som rullade i rännor.

Kepler intresserade sig för planetrörelse. Med hjälp av Tycho Brahes observationer

kunde han formulera sina lagar över hur planeterna rör sig, de s k Keplers lagar.

De säger bland annat att planetbanorna är ellipser med solen i ena brännpunkten.

Morris Kline (1979) menar att Galileo Galilei spelade en speciellt betydande roll i

utvecklingen av funktionsbegreppet i och med att han överger den, ända från an-

tiken förhärskande, uppfattningen att vetenskapen ska försöka avslöja syftet med

olika naturfenomen och ersätter den med att kvantitativt försöka beskriva fenome-

nen.

It was Galileo’s decision to seek the mathematical formulas that de scribe nature’s be-

haviour. This thought, like most thoughts of genius, may leave the reader unimpressed

on ﬁrst contact. There seems to be no real value in these bare mathematical formulas.

They explain nothing. They simply describe in precise language. Yet such formulas

have proved to be the most valuable knowledge man has ever acquired about nature.

(Kline, 1979, sid. 216)

86 Johan Häggström Normat 2/2005

Fram till Galilei formulerades de samband och regelbundenheter, som upptäcktes,

i första hand med det naturliga språket. I motsats till Kline (se ovan) menar dock

Katz (1993) att Galilei föredrog att uttrycka sig i ge ometriska termer snarare än

algebraiska. Redan ett par hundra år tidigare hade den franske matematikern Ni-

cole Oresme (1320–1382) utvecklat en metod, att med hjälp av en kurva, beskriva

sambandet mellan hastighet och tid. Denna teknik dyker nu upp igen och kopplas

ihop med idén att beskriva rörelse, som sambandet mellan varierande storheter

uttryckt med hjälp av formler. René Descartes (1596–1650) och Pierre de Fermat

(1601–1665) utvecklar nästan samtidigt koordinatsystemet och börjar använda ek-

vationer för att representera kurvor. I slutet av 1600-talet ﬁnns alltså ﬂera olika

sätt att beskriva funktionssamband – naturligt språk, tabeller, grafer och formler

– samt möjligheter att göra ”översättningar” mellan dem.

När det gäller den fortsatta utvecklingen mot ett modernt funktionsbegrepp kan

insatserna av Isaac Newton (1643–1727) och Gottfrid Wilhelm Leibniz (1646–1716)

knappast övervärderas. Vem som egentligen var först med att utveckla inﬁnitesi-

malkalkylen, början på analysen som en egen gren inom matematiken, har tidvis

debatterats livligt. De grundläggande idéerna utvecklade de troligtvis först obe-

roende av varandra. Senare kom de också att via brev diskutera sina teorier. De

använde olika benämningar och symboler i sina arbeten. De av Leibniz utvecklade

symbolerna visade sig vara mer livskraftiga och många av dem som fortfarande an-

vänds kommer från honom. Leibniz var också den som introducerade benämningen

funktion, för ett samband mellan olika sträckor som beskriver punkter på en kurva,

t ex sambandet mellan abskissa och ordinata (Vilenkin, 1995). Både Newton och

Leibniz försökte lösa problem som handlade om ett speciellt fenomen, nämligen

den momentana förändringshastigheten hos varierande storheter. Behovet att kun-

na hantera den momentana hastigheten (till skillnad från medelhastigheten) upp-

står när ett föremål rör sig med varierande hastighet. För att matematiskt kunna

hantera kroppar som faller, planeter som rör sig, pendel- och projektilrörelser etc.

är det helt nödvändigt att kunna bestämma momentanhastigheten. Svårigheten

ligger i att den momentana hastigheten inte kan beräknas på samma sätt som me-

delhastigheten. I ett viss ”fruset” ögonblick förﬂyttar sig föremålet sträckan noll

under tiden noll (och att dividera dessa är ju meningslöst). Newton och Leibniz

utvecklade metoder för att hantera kvoten mellan sträcka och tid när man studerar

allt kortare tidsintervall och framför allt när tidsintervallet blir oändligt litet. I det

här sammanhanget skapades s k inﬁnitesimaler, oändligt små tal, som mått på

t ex ett oändligt kort tidsintervall. Den allvarliga kritik från den irländske bisko-

pen och ﬁlosofen George Berkeley (1685–1753), som riktades mot Newtons arbete,

handlade just om det sätt på vilket Newton hanterade dessa inﬁnitesimaler i sina

kalkyler. Kritiken gick ut på att Newton omväxlande lät inﬁnitesimalerna ibland

vara mycket små tal, väldigt nära noll men skilda från noll och ibland exakt lika

med noll. Berkeley hävdade att antingen är en inﬁnitesimal lika med noll eller så

är den inte lika med noll (Hall, 1970). Varken Newton eller Leibniz lyckades reda

ut hur man först kan använda ett tal, som är skilt från noll, i olika beräkningar och

sedan när man är klar sätta talet lika med noll. Inﬁnitesimalkalkylen var visserligen

fantastiskt framgångsrik i att beskriva rörelse , men den matematiskt logiska un-

derbyggnaden lämnade mycket att önska. ”. . . nevertheless, mathematicians went

on using inﬁnitesimals for another century, and with great success. Indeed physi-

cists and engineers have never stopped using them” (Davis & Hersh, 1990). Alla

Normat 2/2005 Johan Häggström 87

är dock inte överens om att Newton och Leibniz verkligen arbetade med funktio-

ner. ”The calculus of Newton and Leibniz was not cast in the mould of functions,

but was rather an ingenious collection of problem-solving methods applicable to

curves, which were paths generated by moving points” (Selden & Selden, 1992).

Kanske kan man säga att Newton och Leibniz använde funktionsbegreppet på ett

relativt intuitivt och informellt sätt när de sökte hantera svårigheterna med den

momentana hastigheten.

Behovet att utvidga och precisera funktionsbegreppet utöver vad som kunde

beskrivas algebraiskt med en formel blev tydligt i samband med ett berömt gräl

mellan Leonhard Euler (1707–83), Jean d’Alembert (1717–83) och Daniel Bernoul-

li (1700–82) angående ett problem med vibrerande strängar. Två olika lösningar

på problemet med att beskriva svängningen hos vibrerande strängar hade presen-

terats. Bernoulli hade en lösning uttryckt i en enda formel, medan d’Alemberts

lösning innehöll ﬂera formler. Kontroversen som bröt ut runt denna fråga handlade

i grunden om funktionsbegreppet, kopplingen mellan funktionssamband och möj-

ligheten att uttrycka dessa med hjälp av formler. Den ena ståndpunkten var att en

funktion måste gå att formulera med en formel eller med ett uttryck.

In Euler’s time it was thought that a function must be expressed by means of a single

formula, so a relation not so expressible was regarded as ‘sewn together’ from functions.

For example, the relation

y =

⇢

x, if x<0

, if x  0

was thought to consist of two diﬀerent functions. (Vilenkin, 1995, sid. 76)

Den deﬁnitiva upplösningen av oenigheten lät vänta på sig ända till i början av

1800-talet då den franske matematikern Joseph Fourier (1768–1830) visade att

summan av trigonometriska funktioner kan uttryckas med olika formler över olika

intervall (Vilenkin, 1995).

En av de första som mer explicit uttryckte innebörden i begreppet funktion

var Jean Bernoulli (1667–1748), en av många framstående matematiker från den

schweiziska familjen Bernoulli och far till Daniel. Hans deﬁnition från 1718 är vag

och lyder enligt Boyer (1985, sid 462) ”[a function is] a quantity composed in

any manner of a variable and any constants”. Innebörden av ”composed in any

manner” förklaras inte närmare, men troligen var tolkningen snävare då än den

är idag (Selden & Selden, 1992). En funktion skulle kunna uttryckas i en formel

med variabeln, konstanter och aritmetiska operationer så att funktionsvärdet kan

beräknas för varje givet värde på variabeln.

Euler, som introducerar beteckningen f (x) år 1734, deﬁnierar en funktion på

ett liknande sätt. ”I sin Introductio från 1748 skriver Euler att en funktion av en

varierande storhet är ett analytiskt uttryck, som på något sätt är sammansatt av

variabeln i fråga och tal eller konstanta storheter” (Thompson, 1991b. sid.131).

Detta är den första av Eulers deﬁnitioner och innebörden i ett analytiskt uttryck

är enligt Katz (1993) att en funktion måste gå att skriva med en formel. Euler

generaliserar efter hand funktionsbegreppet och frigör det till slut från den symbo-

liska tvångströjan. Redan år 1755 har han bytt ut sin ursprungliga deﬁnition mot

en annan, ”a quantity should be called a function only if it depends on another

quantity in such a way that if the latter is changed, the former undergoes change

88 Johan Häggström Normat 2/2005

itself” (Sfard, 1992, sid. 62). I den här deﬁnitionen ﬁnns inte längre kravet att en

funktion ska vara uttryckt med symboler i en formel. I princip är varje samband

där en storhet beror på en annan en funktion, helt oavsett hur vi beskriver det. En

graf t ex, som beskriver ett samband mellan x och y-koordinater, kan representera

en funktion även om sambandet inte är möjligt att uttrycka symboliskt med en

formel. Vill man tänja betydelsen av den senaste deﬁnitionen, kan man hävda att

det i själva verket inte har någon betydelse, om vi över huvud taget kan beskriva

sambandet eller ej, bara det existerar så är det en funktion. Jag är tveksam till om

Euler själv hade gått med på den tolkningen.

Fram till 1800-talet användes funktioner för att beskriva den fysikaliska verk-

ligheten kvantitativt. De ledande fysikerna och matematikerna var i de ﬂesta fall

samma personer. Det var först under 1800-talet som intresset började vändas mot

funktionerna i sig. Oklarheter, som huruvida inﬁnitesimalerna är noll eller ej, måste

redas ut. Euler och andra matematiker var säkert inte tillfreds med inﬁnitesimalkal-

kylens vaga begrepp och icke-rigorösa uppbyggnad. Varje matematisk teori borde

ha samma karaktär som den Euklidiska geometrin, där preciserade deﬁnitioner och

stringenta bevis säkerställer resultaten. Den euklidiska myten var fortfarande för-

härskande (Davis & Hersh, 1990). Den säger att den rigorösa framställningen av

geometrin i Euklides Elementa beskriver eviga sanningar. Genom att utgå från

uppenbart sanna påståenden kan man härleda ny kunskap som är sann, objektiv

och universell. Troligen bortsåg man från bristerna hos inﬁnitesimalkalkylen för att

man intuitivt kände att den omfattade viktiga idéer även om man ännu inte riktigt

kunde styrka allt på ett tillfredsställande sätt.

Leonhard Euler [. . . ] still believed that the calculus was unsound but gave correct

results only because errors were oﬀsetting each other. [. . . ] It was a fortunate circum-

stance that mathematics and science were closely linked in the Newtonian era and that

physical reasoning could guide mathematicians and keep them on the right track. [. . . ]

the calculus worked so well and to such great advantage that at times mathematicians

willingly closed their minds to problem of rigor. (Kline, 1979, sid. 267)

När nu mer renodlade matematiker dök upp under 1800-talet och intresset vändes

mot de matematiska objekten i sig, blev det tydligt att stora delar av matematiken

vilade på osäker grund. Geometrin organiserades och presenterades på ett deduktivt

sätt redan före Jesu födelse. Däremot saknades explicita grundvalar för aritmetiken

och algebran. De naturliga talen och de positiva rationella talen (bråk) hade sedan

länge accepterats utifrån erfarenheter av den fysikaliska omvärlden. De togs mer

eller mindre för givna. Leopold Kronecker (1823–91) uttryckte det så här vid e tt

möte i Berlin 1886, ”Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere

ist Menschenverk” (Gud skapade de hela talen, allt annat har människan hittat

på) (Struik, 1966). Från de naturliga talen har sedan talområdet successivt utvid-

gats och räkneregler och räknelagar, som accepterats på mer eller mindre empirisk

väg, har börjat tillämpats på de nya talen. Så länge de matematiska resultaten

visade sig korrekta och funktionella vid tillämpning inom andra vetenskaper och

verksamheter hölls eventuella tvivel tillbaka, men när matematiken själv började

synas mer närgånget upptäcktes bristerna. I detta sammanhang genomgår funk-

tionsbegreppet en fortsatt utveckling mot ett alltmer generellt, abstrakt begrepp

och deﬁnitionerna blir allt mer inommatematiska. Det ﬁnns en strävan mot att

göra innebörden av funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp.

Normat 2/2005 Johan Häggström 89

Thompson (1991b) menar att det moderna funktionsbegreppet skapas av Le-

jeune Dirichlet (1805–59) år 1837 då han formulerar sin allmänna deﬁnition av en

funktion.

“if a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned

to x there is a rule according to which a unique value of y is determined, then y is said

to be a function of the independent variable x”. (Sierpinska, 1992, sid 46)

Dirichlets deﬁnition innebär att det till varje värde på x ﬁnns ett unikt värde

på y. Kieran (1996) menar att funktionsbegreppet därmed övergår från att vara

en ”beroenderelation” till ett godtyckligt samband (korrespondens) mellan reella

tal. Sambandet behöver inte heller vara möjligt att beskriva med matematiska

operationer. En hel del av ”dynamiken” i de tidigare deﬁnitionerna har försvunnit.

Anna Sfard har beskrivit hur olika matematiska begrepp genomgår en liknande

historisk utveckling, från dynamiska procedurer till statiska strukturer (se t ex

Sfard, 1991). Funktionsbegreppet tar med Dirichlets deﬁnition ett steg mot en mer

strukturell innebörd, vilket gör det möjligt att betrakta en funktion som ett objekt

i sig på vilket man kan operera.

[. . . ] to see the reason for such a general notion, not only must one have seen the uses

of its particular examples; the need must be felt for statements on classes or spaces of

functions. T he conceptualisation of function has to go beyond the stage of “process”

[. . . ] the concept must become an object which the mind can manipulate as an element.

(Sierpinska, 1992, sid 47)

Men i och med att funktionsbegreppet ”matematiseras” allt mer avlägsnar det sig

också från sitt ursprung och blir svårare att uppfatta. Å andra sidan så möjliggör

en mer formell framställning att funktioner som länge var otänkbara, pga av att

de s vårligen kan tänkas ha någon motsvarighet i ”verkligheten”, nu kan betraktas

som ”vilken funktion som helst”.

[. . . ] as soon as they regressed the notion of a function, mathematicians embarked

on its thorough study. Then it turned out that many of the objects covered by the

rigorous deﬁnition were most unlikely to have been studied by mathematicians of past

centuries. For example, Dirichlet observed that the correspondence

y =

⇢

0, if x is irrational

1, if x is rational

is a function. No 18

-century mathematician would have studied such a correspon-

dence. They only studied functions that described dependencies between physical or

geometrical magnitudes. (Vilenkin, 1995, sid. 78)

Detta kan vara det första exemplet på en funktion som inte är given av ett eller

ﬂera ”analytiska uttryck” eller som en kurva. Det är också en funktion som är

diskontinuerlig överallt, men s om ändå uppfyller villkoret på parbildning mellan

element i två mängder.

Det sista steget i utvecklingen av funktionsbegreppet till en fullständigt stel,

statisk struktur togs i början av 1900-talet drygt hundra år efter Dirichlet. Den

i huvudsak franska gruppen av matematiker, som använde sig av pseudonymen

90 Johan Häggström Normat 2/2005

Nikolas Bourbaki, deﬁnierade en funktion som en relation mellan element i två

mängder. Framställningen har stora likheter med den tidigare beskrivna statiska

deﬁnitionen från Matematikterminologi i skolan (Skolöverstyrelsen, 1979), även om

en mer dynamisk operation används i andra halvan av deﬁnitionen.

In 1939, Bourbaki oﬀered the following deﬁnition of function:

Let E and F be two sets, which may or may not be distinct. A relation between a

variable element x of E and a variable element y of F is called a functional relation in

y if, for all x in E, there exists a unique y in F which is in the given relation with x.

We give the name of function to the operation which in this way associates with every

element x in E the element y in F which is in the given relation x; y is said to be the

value of the function at the element x, and the function is said to be determined by

the given functional relation. Two equivalent functional relations determine the same

function. (Kleiner, 1989, sid. 299)

En funktion kan så till slut betraktas som en mängd av ordnade par av element,

en mängd som är ett objekt på vilket man kan utföra operationer av olika slag.

Funktional- och diﬀerentialekvationer, där den obekanta är en funktion och inte

ett tal, är exempel på hur funktioner kan betraktas och hanteras som egna objekt i

mer sammansatta sammanhang. Funktionsbegreppets utveckling från en dynamisk

operation eller beräkningsföreskrift till en statisk struktur eller ett objekt i sig är

klar.

Att ge en fullständig beskrivning av hur funktionsbegreppet utvecklats är själv-

fallet inte möjligt. Den fragmentariska framställningen ovan måste betraktas som

ett försök till en översiktlig beskrivning, där några aspekter lyfts fram. Under he-

la utvecklingen av matematiken har olika begrepp vävs in i och växelverkat med

varandra. När förståelsen av ett begrepp utvecklats eller klarnat har det i sin tur

påverkat förståelsen av andra som i sin tur påverkat det första igen osv. I sam-

band med utvecklingen av funktionsbegreppet är det många andra matematiska

begrepp och idéer som har växelverkat. Ett e xempel är begreppet tal, som i och

med den s k symboliska abstraktionen (Thompson, 1991a) utvecklades från greker-

nas mer ”konkreta” talbegrepp, där talet alltid är sammankopplat med en ”enhet”,

till ett mer abstrakt begrepp. Det hänger samman med utvecklingen av det alge-

braiska symbolspråket, som starkt påverkade utvecklingen av funktionsbegreppet.

Introduktionen av bokstäver, som beteckningar för givna eller kända tal, banade

vägen för den matematiska formeln som gjorde det möjligt att symboliskt uttrycka

funktioner. Detta i s in tur påverkade talbegreppet. Nya symboler bidrog till att

man kunde tänka sig tal, som inte bara var frikopplade från enheter, utan dess-

utom kunde generaliseras till helt godtyckliga tal, tal vilka som helst. Man ﬁck

också symboler, som på en och samma gång representerade en hel klass av tal.

Variabelbegreppets utveckling är nära kopplad till och har påverkat/påverkats av

utvecklingen av symbolspråket och funktionsbegreppet.

Några avslutande reﬂektioner

Det är möjligt att betrakta den kollektivt-historiska utvecklingen av funktionsbe-

greppet ur många olika perspektiv. Jag har valt att lyfta fram tre as pekter som

blivit synliga i beskrivningen ovan.

Normat 2/2005 Johan Häggström 91

1. Från intuitiva idéer till exakta deﬁnitioner.

Thompson (1991b) menar att funktionsbegreppet har en stark intuitiv förank-

ring i kausalitetsprincipen. Vår erfarenhet från omgivningen av att all verkan har

en orsak leder till kausalitetsprincipen. Det intuitiva funktionsbegreppet uppstår i

praktiska situationer som en dynamisk operation, som börjar med en orsak vilken

något senare leder till en verkan. Denna innebörd uttrycks först på ett relativt

informellt sätt, med stora inslag av vardagliga termer. Allteftersom blir formule-

ringarna mer och mer formaliserade för att slutligen hamna i formella deﬁnitioner,

där exakthet och precision eftersträvas.

The majority of mathematical concepts underwent a long period of development. They

ﬁrst arose as generalisations of intuitive ideas derived from everyday expe rience. With

gradual elimination of details and accidental aspects, these intuitive ideas slowly crys-

tallised into exact mathematical deﬁnitions. (Vilenkin, 1995, sid. 74)

2. Från dynamiska procedurer till statiska strukturer.

Den tidiga uppfattningen av funktionen, som en dynamisk operation eller proce-

dur, utvecklas successivt till en uppfattning där funktionen framstår som en statisk

struktur. Funktionen kan slutligen betraktas som ett eget objekt. Anna Sfard har

i ett antal olika artiklar (se t ex Sfard, 1991, 1992) visat att den här utvecklingen

är likartad för många matem atiska begrepp och att den är nödvändig för att ett

matematiskt begrepp ska kunna utgöra grund för en fortsatt utveckling. Det går

inte att skapa nya procedurer ovanpå andra, tidigare procedurer hur långt som

helst.

[. . . ] mathematics as a hierarchy in which what appears to be a process at one level

must be transformed into a full ﬂedged abstract object at a higher level to become a

building block of more advanced mathematical constructs. (Sfard, 1992, sid. 94)

3. Från fysikaliska samband till abstrakt matematiskt begrepp.

En intressant aspekt av funktionsbegreppets utveckling är den tidiga kopplingen

till experimentella studier av den fysiska verkligheten. Från början uppmärksam-

mas inte funktionsbegreppet i sig, utan det används som ett redskap för att beskriva

olika skeenden. Denna tidiga användning präglas av en pragmatisk syn. Så länge

det fungerar och man lyckas förklara och förutsäga resultat från olika experiment

ifrågasätts inte verktygen. Det är först när intresset vänds mot funktionsbegreppet

i sig som utvecklingen mot ett alltmer abstrakt begrepp tar fart. Det är ett av

kännetecknen för matem atiken som vetenskap, att den strävar efter att avkontex-

tualisera begreppen, så att de bli generella och abstrakta. De rena matematiska

begreppen ska inte vara beroende av den fysiska verkligheten utan stå helt fria och

därmed vara möjliga att tillämpa utan begränsningar.

I många läromedel beaktas tyvärr sällan de matematiska begreppens ofta intressan-

ta utvecklingshistoria, annat än möjligen som fotnoter. Man nöjer sig ofta med att

presentera ett färdigt resultat av utvecklingen. Förutom rent bildningsmässiga skäl

till att bättre belysa förbindelsen mellan matematiska begrepp i modern tappning

och deras ursprung, borde sådana beskrivningar också kunna bidra till en bättre

förståelse för begreppen hos läsekretsen.

92 Johan Häggström Normat 2/2005

Referenser

Adams, R. A. (1999). Calculus: a complete course. Don Mills: Addison-Wesley.

Andersson, P. (1996). MerIT Matematik A. Lund: Studentlitteratur.

Björk, L-E, m ﬂ (1992). Matematik 2000 kurs B. Stockholm: Natur och kultur.

Boyer, C. (1985). A History of Mathematics. Princeton: Princeton University Press.

Davis, P. J. & Hersh, R. (1990). The Mathematical Experience. London: Penguin Books.

Hall, T. (1970). Matematikens utveckling. Lund: Gleerups.

Harel, G. & Dubinski, E. (Red.) (1992). The Concept of Function. Aspects of

Epistemology and Pedagogy (MAA Notes Volume 25). Washington: Mathematical

Association of Ame rica.

Katz, V. J. (1993). A History of Mathematics. New York: Harper Collins College

Publishers.

Kieran, C. (1996). Chapter 19: Introducing algebra by means of a technology-supported,

functional approach. In N. Bednarz et al. (eds.), Approaches to Algebra. Perspectives for

Research and Learning. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Kline, M. (1979). Mathematics in Western Culture. London: Penguin Books.

Kleiner, I. (1989). Evolution of the function concept: A brief survey. College

Mathematics Journal 20, 282–300.

Selden, A. & Selden, J. (1992). Research perspectives on conceptions of function,

summary and overview. In Harel & Dubinski (1992).

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reﬂections on

processes and objects as diﬀerent sides of the same coin. Educational Studies in

Mathematics Education 22, 1–36.

Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandry of

reiﬁcation – the case of function. In Harel & Dubinski (1992).

Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In Harel & Dubinski

(1992).

Skolöverstyrelsen (1979). Matematikterminologi i skolan. Vällingby: Liber

Utbildningsförlaget.

Skoogh, L. m ﬂ (1996). Möte med matte D. Stockholm: Liber.

Struik, D. (1966). Matematikens historia. Stockholm: Bokförlaget Prisma.

Thompson, J. (1991a). Historiens matematik. Lund: Studentlitteratur.

Thompson, J. (1991b). Matematiklexikon. Helsingborg: Wahlström & Widstrand.

Vilenkin, N. Y. (1995). In Search of Inﬁnity. Boston: Birkhäuser.

Vretblad, A. (1995). Algebra och kombinatorik. Malmö: Gleerups.