Normat 53:2, 93–95 (2005) 93

Bøker

A. D. Alexandrov: Convex Polyhedra.

Springer 2005. ISBN: 3–540–23158–7.

Denne boken er en utvidet oversettelse

til engelsk av Alexandrovs b ok fra 1950

(på russisk, tysk overs. 1959). Boken fra

1950 er blitt en klassiker og det er bare

grundig, samtidig som den inneholder

mange videregående forskningsresulta-

ter og problemer.

Utgangspunktet er det vanlige tredi-

mensjonale rom og mengder i dette. Et

konvekst polyeder er en mengde som er

snittet av endelig mange lukkede halv-

rom (et lukket halvrom består av punk-

tene i et plan og på den ene siden av

dette). Er polyedret i tillegg begrenset,

les, og hvilke metoder som skal brukes, i

de etterfølgende kapitler. Ikke-eksperter

vil finne interessant stoff allerede her,

slik som Cauchys bevis for at to kon-

vekse polytoper med parvis kongruente

sideflater selv er kongruente, forutsatt

at sideflaten i det ene e r koblet sammen

på samme måte som de i det andre. Det

er rimelig å tro at tidlige anvendelser av

Eulers polyedersats på 4-fargeproblemet

kan brukes i mange forbindelser, og

jeg vil gjerne skissere forfatterens eget

bevis (nevnt i boken) for algebraens

fundamental-teorem ved hjelp av det-

te. Se på mengden av alle n-mengder av

komplekse tall. Den kan oppfattes som

en mangfoldighet A av dimensjon 2n.

Mengden B av alle moniske polynomer

i z av grad n, med komplekse koeffisi-

enter, og uten multiple røtter er også

en mangfoldighet av dimensjon 2n. De-

finer nå en avbildning fra A til B ved

at f avbilder åpne mengder i A på åpne

mengder i B. En ser lett at f avbilder en

lukket mengde i A på en lukket mengde

i B og at B er sammenhengende. Siden

A er både åpen og lukket i A er f (A)

både åpen og lukket i B og derfor lik

hele B, og vi er ferdig.

I de følgende ni kapitler brukes så

verktøyet fra de første til å bevise en

lang rekke resultater om eksistens og en-

flatene har areal F

,...,F

overrettede enhetsnormaler henholdsvis

~v

,...,~v

. Her bruker forfatteren Brou-

wers resultat, nevnt ovenfor, men Min-

kowskis opprinnelige bevis gjengis også.

I tillegg til de mange interessante re-

sultater og bevis, får vi også bemerknin-

ger om mulige generaliseringer til rom

av dimensjon større enn 3, og til hyper-

94 Bøker Normat 2/2005

bolske rom. En rekke uløste problemer

og 1967).

dagogisk praktstykke, med en rikdom av

interessant, viktig og aktuelt stoff, pre-

måte, så utgivelsen på engelsk er abso-

lutt velkommen. Jeg ble først litt s kep-

tisk da jeg på side 1 leste «the first ge-

neral uniqueness theorem was proved by

Cauchy [C] in 1913» og så «Cauchy’s

disse eksemplene på trykkfeil og merke-

baums Convex Polytopes (1967) vil jeg

gjerne nevne også denne. Forskjellen på

de to bøkene er blant annet at den sis-

te er mye mer kombinatorisk orientert,

mens den første også tenderer i retning

av differensialgeome tri. Den siste har et

fortrinn mht. referanselister, idet det for

hver referanse angis hvor i boken den er

brukt. Men ellers er begge bøkene svært

gode, hver på sin måte og begge bør fin-

Number Theory (Third edition).

Springer 2004. ISBN: 0–387–20860–7.

Tallteori er en urgammel del av mate-

matikken, ja så gammel (og delvis så

elementær) at den en tid ble regnet som

umoderne i visse kretser. Ti år e tter at

en yngre Bourbakist fortalte meg at tall-

teori ikke var «in» arrangerte American

Mathematical Society et stort sympo-

sium med den begrunnelse at det had-

de skjedd så ekstra mye på feltet i de

der den rike tradisjonen er nærmest ut-

observere enkelte mer uformelt sirku-

lerende problemlister, og i tillegg Paul

ErdÆs’ ustoppelige problemspredning,

både skriftlig og muntlig. Første utga-

ve av boken kom i 1981, og den ble en

suksess. Tredje utgave er mye tykkere

enn første, både fordi nye problemer er

kommet til og mye har skjedd med de

gamle. Blant annet har lesere produsert

en mengde ny informasjon. Et særtrekk

ved denne utgaven er samarbeidet med

USA-matematikeren Neil Sloane i for-

kanskje særlig tallteoretiske, leder til

en følge av naturlige tall. Kjenner man

de første leddene i en s lik følge, vil

databasen ofte kunne fortelle om pro-

blemer som har generert en følge med

denne starten, og dette kan være nyt-

tig. (Eksempel: I vinter ble vårt insti-

tutt kontaktet av to skolejenter i Kongs-

berg som lurte på hvor mange trekan-

ter som fremkommer når man trekker

ser til denne databasen.

En grov klassifisering av problemene

er gitt ved A, . . . , F som angir katego-

teori, diofantiske ligninger, heltallsføl-

ger og diverse annet. Stikkprøver: A.7 er

hennes arbeid med Fermats siste sats),

d.v.s. slike der p og 2p+1 begge er prim.

slike. Man vet heller ikke om det finnes

Normat 2/2005 Bøker 95

kjeder p, 2p +1, 2(2p + 1) + 1,... som

tatt x selv. C.7 vedrører Frobe nius’ pro-

d er en divisor i alle, så er d =1. Finn

g(a

en a

. Ingen formel er kjent for n  4.

(Den for n =3ble gitt av min tidligere

kollega Ernst S. Selmer og hans hoved-

fagsstudent Øyvind Beyer i 1977.)

Neste punkt, D.7, handler bl.a. om

løsninger i det hele tatt, og iallfall ikke

med henvisninger til Math. Rev. Den fra

1949 er til en oppgave av Paul ErdÆs,

og det er ingen overraskelse at han også

dukker opp i E.7, med sitt problem om

konvergens av rekken 1/2+2/33/5+

ten umulige å løse. Den inneholder også

et ypperlig referansemateriale, og den

gir mange konkrete eksempler. (Dette

i kontrast til André Weils kjente Basic

Number Theory; i en anmeldelse av den

ble det påpekt at stort sett fant man

ikke andre tall i den enn de som num-

mererte sidene.)

Tidligere utgaver av boken har sti-

mulert og vært nyttig for mange ma-

tematikere, og denne utgaven vil helt

sikkert bli et enda nyttigere forsknings-

klarheten i fremstillingen gjør boken til

interessant lesning for alle matematikk-

interesserte. Richard K. Guy har stor

ære av sitt prosjekt.