112 Normat 53:3, 112–117 (2005)
Generalisering fra Pascals 6-kantsetning
til (4n +2)-kanter
Hans Georg Killingbergtrø
NO-7120 Leksvik
Norge
Historisk stoff om 16-åringen Pascals 6-kantsetning er godt behandlet i [1]. La meg
innlede med å sitere fra de første avsnittene av denne lesverdige artikkelen.
«Blaise Pascal (1623–1662) publiserte i 1640, bare 16 år gammel, en kort av-
handling om kjeglesnitt der han gir Desargues æren for å ha gjort ham kjent med
de projektive metoder. Dette arbeidet inneholder setningen som han selv kalte
Hexagramma Mysticism, av ettertiden kjent som Pascals setning. Setningen sier
dette: Hvis en sekskant er innskrevet i et kjeglesnitt, så skjærer motstående sider
hverandre i tre punkter som ligger på en rett linje.
Pascal beviste ikke setningen i sin avhandling. Han bare konstaterte at den
gjelder for sirkler og derfor for vilkårlige kjeglesnitt. Og det er sannsynlig at Pas-
cal brukte Desargues’ metoder i sitt bevis. Girard Desargues (1591–1661) studerte
Normat 3/2005 Hans Georg Killingbergtrø 113
kjeglesnitts-egenskaper som b evares under sentralprojeksjon. Han innførte begrepe-
ne uendelig fjernt punkt og uendelig fjern linje. Parallelle linjer møtes i et uendelig
fjernt punkt. Og totaliteten av uendelig fjerne punkter i et plan utgjør dette pla-
nets uendelig fjerne linje. Således er Pascals setning opplagt riktig i tilfellet med
en regulær sekskant innskrevet i en sirkel (eller mer generelt for en sekskant der
motstående sider er parallelle). I Desargues’ framstilling kan ethvert kjeglesnitt
oppfattes som sentralprojeksjonen av en sirkel.»
Det er tidvis gått sport i å søke et enklest mulig bevis for setningen. Ett
slikt søk avstedkom noe uventet en åpen dør til å generalisere fra 6-kanter til
(4n + 2)-kanter, der Pascals setning svarer til n = 1. Ved sentralprojeksjon får som
vi antydet ovenfor setningen enten den vanlige versjonen eller en parallellversjon,
og det holder å bevise den ene.
For interesserte med mulig behov for en rask tematisk innføring e ller repetisjon,
er parallellversjonen og tilfellet med en sirkel godt egnet: I figur 1 er et punkt K
1
fritt valgt på en gitt sirkel. Med tre ulike sikteretninger s
1
, s
2
, s
3
får vi punktene
på sirkelen, K
2
,K
3
,K
4
ved å gå i s
1
-retningen fra K
1
til K
2
,is
2
-retningen fra K
2
til K
3
, og i s
3
-retningen fra K
3
til K
4
. Da vil K
4
vanligvis ikke havne nøyaktig i
K
1
.
Figur 1
Men bruker vi de samme sikteretningene s
1
,s
2
,s
3
en runde til, kommer vi fra K
4
til K
5
, fra K
5
til K
6
, og fra K
6
til K
7
, som alltid vil ligge nøyaktig i K
1
. Vi kan si
at en sirkel og tre ulike retninger brukt syklisk to ganger, lukker en sekskant. Dette
følger av sirkelens rikholdige symmetrier, som viser at buene mellom to parallelle
sekanter er like lange. Det Pascals setning sier, er at samme lukking skjer også om
sirkelen er byttet ut med kjeglesnitt generelt, slik det antydes med ellipse, hyperbel
og parabel i figurene 2, 3 og 4.
Figur 2 Figur 3 Figur 4
114 Hans Georg Killingbergtrø Normat 3/2005
Vi skal se at ellipsen reddes av sirkelen. Men for hyperbe l og parabel må vi søke
noe annet enn buer mellom parallelle sekanter. I figur 5 er C sirkelens sentrum. Da
vil trekantene CK
4
K
1
,CK
2
K
5
,CK
6
K
3
og det som måtte være CK
4
K
7
, ha like
store omløpsorienterte arealer, som viser at K
7
ligger i K
1
.
Figur 5
Om det er å håpe at dette vil virke for hyperbelen, trengs det noe annet for
parabelen, da den mangler sentrum. Derfor lanseres
Påstand 1 : Nevnte areallikheter gjelder også for hyperbelen.
Påstand 2 : Når K
i
(x
i
,y
i
), i =1,...,7, er punkter på parabelen y = x
2
i figur 4 og
K
1
K
2
k K
4
K
5
,K
2
K
3
k K
5
K
6
og K
3
K
4
k K
6
K
7
, er x
1
x
4
= x
5
x
2
= x
3
x
6
=
x
7
x
4
, slik at x
7
= x
1
, med andre ord at K
7
og K
1
er samme punkt.
De to påstandene har et påfallende enkelt bevis. Det bygger på to så troskyldige
midler som hyperbelens og parabelens riktignok fåtallige symmetrier, og på affi-
nitet, en avbildningsmåte som fortjener større påaktelse enn den har fått. Reelt
handler affinitet om en figur som er parallellprojisert fra et plan til et annet, i en
fast, men fritt valgt skråretning, bare ikke parallelt med noe av de to planene. Men
formelt har den et eneste krav å oppfylle, nemlig å be vare lengdeforholdet mellom
parallelle linjestykker. Vel er det ikke uttalt at de parallelle linjenes bilder også skal
være parallelle, men det enerådende forholdskravet er sterkt nok til å opprettholde
både parallellitet, planstykkers arealforhold, og type kjeglesnitt: Ellipse og sirkel
avbildes i ellipse eller sirkel, hyperbel avbildes i hyperbel, og parabel avbildes i
parabel.
Eksempelvis kan en affinitet gjøre bildet av en gitt ellipse kongruent med en figur
der korder i lilleaksens retning be holder retning og lengde, mens korder i storaksens
retning beholder retning, men krympes så bildet av ellipsen blir en sirkel. Parallelle
ellipsekorder er avbildet i parallelle sirkelkorder, så parallellversjonen av Pascals
setning er uten videre gyldig også for ellipsen.
For hyperbe len kan vi, ut fra vinkelen mellom en symmetriakse og korder K
2
K
3
og K
5
K
6
i figur 3, finne en affinitet som setter disse kordenes bilder normalt på
en symmetriakse i hyperbe lens bilde. C er asymptotenes skjæringspunkt. Om det
ikke er lett a se at trekanter CK
5
K
2
og CK
3
K
6
har samme areal, vil bildets
symmetri borge for at trekantenes bilder har samme areal, og derfor må arealene
av originaltrekantene være like store.
I figur 6 tenker vi oss et kartesisk koordinatsystem med origo i C og en hyperbel
med asymptoter y = x og y = x. Koordinataksene her og i figur 7 er sløyfet
Normat 3/2005 Hans Georg Killingbergtrø 115
for a avlaste figurene litt. En korde skjærer asymptotene i A(a, a) og i B(b, b),
0 <b<a. Midtpunktet på [AB] er M((a + b)/2, (a b)/2), og når N ligger på
hyperbelen og CN er parallell med AB, er tangenten i N parallell med CM. Vi
søker en affinitet, vist i figur 7, der bildet av CM er blitt symmetriakse i bildet av
hyperbelen ved at \NCM er avbildet som 90
. Det oppnår vi ved at ethvert punkt
(x, y) avbildes i (x hy, ky), der h =(a
2
+ b
2
)/(a
2
b
2
) og k =2ab/(a
2
b
2
).
Figur 6 Figur 7
Vi rekapitulerer at A og B i figur 6 er asymptotepunktene på en korde [K
2
K
3
]
i figur 3, der den er parallell med en korde [K
5
K
6
]. Da vil symmetrien i det affine
bildet, figur 7, vise at bildene av trekantene CK
2
K
5
og CK
6
K
3
har like store areal,
og da må originaltrekantene også ha like store areal.
For hvert av parene som er parallelle korder i figur 3, fins det en affinitet som
helt enkelt ved sin symmetri viser at trekantene CK
4
K
1
, CK
2
K
5
og CK
6
K
3
har
like store areal. Påstand 1 er dermed be vist.
For Påstand 2 om parabelen y = x
2
bruker vi likeså en affinitet for hvert par
parallelle korder, her affiniteten som avbilder (x, y) i (x, y kx), der k er stig-
ningstallet for vedkommende kordepar. Bildene av disse kordene står da normalt
pa parabelbildets akse, og igjen vil symmetrien vise at når bildene av eksempelvis
K
2
K
3
og K
5
K
6
er horisontale, er x
5
x
2
= x
3
x
6
. Og x-verdiene er uforandret
ved denne avbildningen. Det viser at Påstand 2 er riktig.
Når parallellversjonen av Pascals s etning nå e r bevist gjennom tre likhetsbeva-
rende affiniteter, melder det seg en mulighet for generalisering ut fra de tilsvarende
tre korderetningene som skal brukes gjennom to runder: Er det noe i veien for å
bruke fire retninger eller flere? Og hva med mer enn to runder på andre kurver enn
kjeglesnitt?
Det siste spørsmålet er ikke mitt, men en annens, og blir ikke behandlet her,
men nevnes som en spennende utfordring for den som matte ha lyst.
Det første spørsmålet kan skilte med e n tallmessig raritet. Om vi i sirkeltilfellet
prøve r med fire sikteretninger i stedet for tre, skulle to omganger gi håp om en
8-kant, men vi vil se at prosessen oftest ikke lukker noe oktogon. Buen mellom K
l
og i dette tilfellet K
5
etter en runde, er doblet etter neste runde i stedet for a være
nullet ut, om den ikke er 180
. Men med fem sikteretninger vil avviket mellom K
1
og nå K
6
oppve ies av avviket mellom K
6
og her K
11
= K
1
så prosessen gir alltid
en lukket 10-kant. Generelt vil 2n sikteretninger bare unntaksvis lukke en 4n-kant
etter to runder, men 2n +1sikte-retninger vil alltid lukke en 4n +2-kant etter to
116 Hans Georg Killingbergtrø Normat 3/2005
runder. Beviset er nøyaktig som det jeg har vist for 6-kanter, bare at en må bruke
2n +1affinitetsavbildninger i stedet for tre.
Den «dramatiske» forskjellen på partalls og oddetalls sikteretninger ligger i at
en skal tenke seg oriente rte trekantarealer F , der F (ABQ)=F (BAQ). Fra gang
til gang skifter orienteringen fortegn (dreieretning). Dermed er orienteringen slik
den var for 2n ganger siden, men motsatt hva den var for 2n +1ganger siden.
Skal den stridige partalls-situasjonen unntaksvis oppføre seg pent, må feilen etter
første runde (2n ganger) som sagt være 180
, for da vokser den ti1 360
etter 4n
ganger, og K
4n+1
ligger i K
1
. Vi kan altså velge bare de 2n 1 første retningene
fritt, for så å sørge for at den siste av de 2n retningene fullfører første runde med
å bringe K
2n+1
til sirkelpunktet diametralt motsatt K
1
. I løpet av hele den neste
runden vil alle tenkte linjer K
i
K
2n+i
dermed gå automatisk gjennom sirkelens
sentrum. Dette kan, om vi går fra parallell- til ordinærversjonen, muligens vekke
skoleminner om pol og polare.
Det som skiller ordinærversjonen fra parallellversjonen, er at sikteretninger s
1
,
s
2
, s
3
,... er byttet ut mot siktepunkter S
1
S
2
,S
3
,.... Men skal analogien bevares,
må vi huske at retninger i planet er det samme som uendelig fjerne punkter som,
vel å merke, ligger på linje, nemlig på planets uendelig fjerne linje. Derme d krever
analogien at S
1
,S
2
,S
3
,... ligger på linje.
Linjen s som ordinære siktepunkt ligger på, kalles gjerne pascallinjen. Om den
skjærer s irkelen, skal vi her se bort fra at noe siktepunkt ligger i et av skjæ-
ringspunktene, enda dette er fullt mulig med vise tilleggsregler, men disse krever
kompliserende differensialbetraktninger.
Figur 8 viser eksempel på «den reale» oddetallssituasjonen, der 2n +1 = 7
siktepunkter S
1
,...,S
7
kan velges fritt på pascallinjen s, som her ligger helt utenfor
sirkelen. Også K
l
er fritt valgt på sirkelen, og så går første runde slik: K
1
S
1
gir
K
2
,K
2
S
2
gir K
3
,K
3
S
3
gir K
4
,K
4
S
4
gir K
5
,K
5
S
5
gir K
6
,K
6
S
6
gir K
7
,K
7
S
7
gir
K
8
. Og annen runde forløper sånn: K
8
S
1
gir K
9
,K
9
S
2
gir K
10
,K
10
S
3
gir K
ll
,K
11
S
4
gir K
12
,K
12
S
5
gir K
13
,K
13
S
6
gir K
14
,K
14
S
7
gir K
1
! – en lukket 14-kant.
Figur 8
Normat 3/2005 Hans Georg Killingbergtrø 117
En vanligvis så ustyrlig partalls situasjon er eksemplifisert i figur 9, med 2n =4
fritt valgte siktepunkter på en pascallinje s og K
1
fritt valgt på sirkelen. Første
runde: K
1
S
1
gir K
2
,K
2
S
2
gir K
3
,K
3
S
3
gir K
4
, og K
4
S
4
gir K
5
. Neste runde:
K
5
S
1
gir K
6
,K
6
S
2
gir K
7
,K
7
S
3
gir K
8
,K
8
S
4
gir K
9
, som ikke ligger i K
1
og
dermed ikke lukker en oktogon, bare fordi antall siktepunkter, tallet 4, er partall.
Figur9
Figur10
Til slutt vil figur 10 vise unntaket der et enn så udisiplinert partalls-tilfelle kan
pålegges «å lukke etter seg». Det eneste som skiller situasjonen i figur 10 fra den i
figur 9, er at bare S
1
,S
2
og S
3
er fritt valgt på s og bestemmer K
2
,K
3
og K
4
ut
fra et valgt K
1
. Så er K
5
spesialbestemt til å ligge på K
1
S, der S er pol med s som
polare. I stedet for at K
4
og S
4
skulle ha bestemt K
5
, er rollene nå byttet så K
4
og K
5
bestemmer S
4
. Deretter går annen runde som vanlig. Men merk at tenkte
linjer K
2
K
6
,K
3
K
7
og K
4
K
8
går alle automatisk gjennom S.
Referanser
[1] H. E . Borgersen og I. H. Skau, Tettere inn på Pascals setning, Normat 46 (1998),
26–32.
