130 Normat 53:3, 130–138 (2005)
Matematik i en Nautilusskal
Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen
Institut for Matematik
Danmarks Tekniske Universitet
Matematiktorvet, Bygning 303
2800 Kgs. Lyngby
V.L.Hansen@mat.dtu.dk
Der er udvist megen kreativitet i forsøg på at finde det gyldne snits forhold repræ-
senteret i naturens former; se fx [4], [5]. Mange af de postulerede sammenhænge er
dog ikke begrundede og kan næppe betragtes som fuldt videnskabeligt dokumente-
rede. En af de ofte fremførte påstande knytter sig til den smukke skal i blæksprutten
Nautilus. Gennemskæres skallen ser man en logaritmisk spiral. Gennem de såkald-
te hvirvlende kvadrater knyttes denne spiral (fejlagtigt) til Fibonacci talrækken og
derved til det gyldne snit. En logaritmisk spiral er equiangulær, idet vinklen som
tangenten i et kurvepunkt danner med halvlinien fra centrum i spiralen gennem
kurvepunktet er konstant langs spiralen; denne konstante vinkel fastlægger spiralen
fuldstændigt pånær en skaleringsfaktor. Spiralen knyttet til de hvirvlende kvadra-
ter er derimod ikke equiangulær; den tilhører en anden spiraltype, kendt under
navnet Fibonacci spiraler.
Med udgangspunkt i en logaritmisk spiral, konstrueres i [3] en matematisk Nau-
tilusskal ved at placere krumningscirklerne for den logaritmiske spiral vinkelret
på både spiralen selv og dens plan, så krumningscentrene falder i de tilhørende
kurvepunkter. Konstruktionen er første gang beskrevet i [2]. For netop én vinkel
i den logaritmiske (equiangulære) spiral, vil fladens vinding lukke pænt sammen
om s piralen lag mod lag og fremstå som en Nautilus-lignende skal. Denne vinkel
er eks perimentelt bestemt i [3] og ligger tæt på halvdelen af den gyldne vinkel.
I den matematiske Nautilusskal er der således en nær sammenhæng mellem den
logaritmiske spiral og det gyldne snit. Det e r dog tvivlsomt om den fundne vinkel
svarer til en vinkel, der kan måles i en Nautilusskal i naturen. Men den fundne
sammenhæng illustrerer måske alligevel på den anden side, at der bag afvigelserne
fra de perfekte former og mønstre, som findes i naturens overvældende rigdom af
Normat 3/2005 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen 131
strukturer, er en stærk forbindelse til enkle matematiske principper og modeller.
De bemærkelsesværdige bøger af Theodore Andrea Cook [1] og D’Arcy Wentworth
Thompson [6] bærer vidnesbyrd derom.
t
xO
f
e
P(t)
r
y
Figur 1 : Logarit-
misk spiral
I denne artikel gives en kort fremstilling af de geo-
metriske begreber, der indgår i konstruktionen af den
matematiske Nautilusskal i [3]. Konstruktionen tager ud-
gangspunkt i en logaritmisk spiral (se figur 1), eller ækvi-
valent en equiangulær spiral. Den entydigt bestemte vin-
kel, for hvilken krumningscirklerne i den logaritmiske
(equiangulære) spiral kan anbringes omkring spiralen i
en Nautilus-lignende skal, fastlægges ved et system af to
ligninger og bestemmes derefter numerisk. Der argumen-
teres endelig for, at der i den matematiske Nautilusskal
er en nærliggende forbindelse mellem den logaritmiske
spiral og det gyldne snits forhold, repræsenteret ved den
gyldne vinkel.
Logaritmiske og equiangulære spiraler
Igennem hele artiklen betragter vi en fast euklidisk plan, som vi orienterer med om-
løbsretningen imod uret som den positive omløbsretning. Planen udstyres med et
fast retvinklet koordinatsystem med origo i punktet O og koordinater (x, y). Punk-
ter P i planen fastlægges ved deres koordinater P (x, y) eller ved deres stedvektorer
ud fra origo
!
OP.
En fri vektor v i planen kan angives ved koordinaterne for den tilhørende sted-
vektor ud fra origo. Drejes vektoren v vinklen
⇡
2
i positiv retning fremkommer
tværvektoren
ˆ
v til v.
For t 2 R, defineres et bevægeligt retvinklet koordinatsystem i planen med origo
i O og med førsteaksen fastlagt af enhedsvektoren
e(t)=
cos(t), sin(t)
,
og andenaksen af den tilhørende tværvektor f (t)=
ˆ
e(t),
f (t)=
sin(t), cos(t)
.
For ethvert par af positive, reelle tal a, b > 0, defineres den tilhørende logaritmi-
ske spiral som den kurve, der gennemløbes af punktet P (t) med stedvektor
!
OP(t)=r(t)=a exp(bt)e(t) for t 2 R .
I denne fremstilling repræsenterer t fysisk set tiden i punktets bevægelse i planen
og geometrisk set måler t retningsvinklen for stedvektoren til punktet i forhold til
førsteaksen i det faste koordinatsystem.
132 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2005
v(t)
x
C(t)
y
O
u
r
P(t)
Figur 2 : Equiangu-
lær spiral
Spiralbevægelsens hastighedsvektor v(t), som geo-
metrisk fastlægger kurvens tangent, findes ved differen-
tiation,
v(t)=r
0
(t)=ab exp(bt)e(t)+a exp(bt) f (t) .
Dette udtryk for v (t) viser, at vinklen u (figur 2) mellem
e(t) og v(t), hvor 0 <u<
⇡
2
, er bestemt ved formlen,
tan(u)=
1
b
.
Vinklen u mellem r(t) (ensrettet med e(t)) og v(t) er
således uafhængig af parameteren t. Den logaritmiske
spiral har derfor følgende geometriske egenskab.
Sætning 1. I en logaritmisk spiral skærer halvlinierne fra origo gennem kurvepunk-
terne de tilsvarende tangenter under en konstant vinkel u i intervallet 0 <u<
⇡
2
.
I almindelighed vil vi ved en spiralkurve i planen forstå e n kurve der gennemløbes
af et punkt P (t) med stedvektor
!
OP(t)=r(t)=r(t)e(t) for t 2 R ,
hvor r(t) > 0 er en positiv reel funktion, som forudsættes at være differentiabel
med kontinuert differentialkvotient r
0
(t) > 0 for alle t 2 R.
En spiralkurve med egenskaben i Sætning 1 kaldes en ligesidet, eller mere ram-
mende, en equiangulær, spiral. En logaritmisk spiral er altså en equiangulær spiral.
Man kan vise, at også det omvendte gælder, og vinkelegenskaben er dermed karak-
teristisk for klassen af logaritmiske spiraler.
Sætning 2. Enhver equiangulær spiral er en logaritmisk spiral.
Bevis. Betragt en spiralkurve fastlagt ved
!
OP(t)=r(t)=r(t)e(t) for t 2 R ,
hvor r(t) > 0 er en positiv reel funktion, som er differentiabel med positiv differen-
tialkvotient r
0
(t) > 0 for alle t 2 R.
En tangentvektor til spiralkurven bestemmes ved differentiation,
v(t)=r
0
(t)=r
0
(t)e(t)+r(t) f (t) .
Hvis spiralkurven er equiangulær følger, at
d
dt
ln(r(t)) =
r
0
(t)
r(t)
=
1
tan(u)
= b,
Normat 3/2005 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen 133
for en konstant b>0. Så følger straks, at
ln(r(t)) = bt + c,
for en konstant c, og dermed, at
r(t) = exp(c) exp(bt)=a exp(bt) .
Dette er netop formlen for en logaritmisk spiral.
Navnet equiangulær spiral skyldes den franske matematiker og filosof René Descar-
tes (1596–1650), der som den første beskrev denne kurveform og dens egenskaber i
et brev fra 1638. Den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli (1654–1705) var så
fascineret af spiralen, at den blev sat på hans gravmæle; i et værk fra 1691 omtalte
han som den første spiralen som en logaritmisk spiral.
Krumning i en logaritmisk spiral
Vi ser nu igen på den generelle logaritmiske spiral givet ved
!
OP(t)=r(t)=a exp(bt)e(t) for t 2 R .
Længden af hastighedsvektoren i spiralbevægelsen kaldes farten i bevægelsen og
betegnes v(t). Da hastighedsvektoren er givet ved
v(t)=r
0
(t)=ab exp(bt)e(t)+a exp(bt) f (t) ,
kan farten v(t) straks bestemmes til
v(t)=a
p
1+b
2
exp(bt) .
Den med fortegn regnede buelængde s(t) af spiralkurven fra punktet P (0) til punk-
tet P (t), er dermed givet ved
s(t)=
Z
t
0
v(⌧) d⌧ = a
p
1+b
2
Z
t
0
exp(b⌧) d⌧ = a
p
1+b
2
b
exp(bt) 1
.
Ved spiralkurvens tangentdrejning ✓(t) ud fra punktet P (0) forstås den vinkel
(regnet med fortegn), som tangenten drejer på kurvepunktets vej langs kurven fra
P (0) til P (t). Da den logaritmiske spiral er equiangulær følger umiddelbart, at
✓(t)=t.
For en vilkårlig kurve beregnes kurvens krumning (t), som tangentdrejningen
for kurven per enhed af buelængden. Krumningen for en logaritmisk spiral kan
dermed let bestemmes ved udregningen,
(t)=
dt
ds
=
1
ds/dt
=
1
v(t)
.
134 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2005
Vi kan nu indføre krumningscirklen i ethvert kurvepunkt P (t). Krumningscirklen
giver den b e dste tilnærmelse med en cirkel til kurven i nærheden af P (t). Radius
⇢(t) i krumningscirklen kaldes krumningsradius i kurvepunktet; den bestemmes
som den reciprokke til den absolutte værdi af krumningen i kurvepunktet. For den
logaritmiske spiral kan krumningsradius umiddelbart beregnes,
⇢(t)=
1
(t)
= v(t) .
Stedvektoren til centrum C(t) i krumningscirklen (figur 2), det såkaldte krumnings-
centrum, er givet ved
!
OC (t)=r(t)+⇢(t)
ˆ
v(t)
v(t)
= r(t)+
ˆ
v(t)=ab exp(bt)f (t).
Dette udtryk viser, at krumningscentret C(t) også gennemløber en logaritmisk
spiral, når P (t) gennemløber den oprindelige spiral. Desuden ser man, at
!
OC (t)
fremkommer ved at dreje
!
OP(t) vinklen
⇡
2
om origo O efterfulgt af en s kalering
med faktoren b.
En matematisk Nautilusskal
Den matematiske model for en Nautilusskal foreslået i [2], og udbygget i [3], tager
udgangspunkt i en logaritmisk spiral givet ved
!
OP(t)=r(t)=a exp(bt)e(t) for t 2 R .
Som det vil fremgå, reduceres de mulige problemer i forbindelse med konstruktionen
af fladen, som modellerer den matematiske Nautilusskal, til et spørgsmål om den
gensidige beliggenhed af to kurver i planen, der indeholder den logaritmiske spiral.
Konstruktionen af den efterspurgte flade forløber således. I e thvert punkt P (t) af
den logaritmisk spiral placeres den tilhørende krumningscirkel, så krumningscentret
falder i P (t), og samtidigt drejes den ud i rummet til vinkelret stilling i forhold til
både spiralkurven selv og planen for spiralkurven. Derved fremkommer en flade i
rummet. For små vinkler u i den logaritmiske spiral er der luft mellem vindingerne
i fladen og for store vinkler har den selvgennemskæringer. Som vi nu skal vise,
findes der netop én vinkel u for hvilken fladens vinding lukker pænt sammen om
spiralen lag mod lag.
Den beskrevne flade skærer planen for den logaritmiske spiral i to kurver. Den
indre skæringskurve (i forhold til origo) er netop den logaritmiske s piral, som gen-
nemløbes af krumningscentrene C(t) for den oprindelige logaritmiske spiral. For
senere nem reference, omtaler vi denne skæringskurve som den indre spiral. Den
indre spiral er bestemt ved
!
OC (t)=r(t)+⇢(t)
ˆ
v(t)
v(t)
= r(t)+
ˆ
v(t)=ab exp(bt)f (t).
Normat 3/2005 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen 135
w
x
t
C*(t)
v(t)
C(t)
P(t)
O
y
Figur 3 : Den ydre spiral
Den ydre skæringskurve (i forhold til origo) omtaler vi som den ydre spiral. Den
ydre spiral gennemløbes af punkterne C
⇤
(t) (figur 3), som fremkommer ved spejling
af krumningscentrene i den oprindelige logaritmiske spiral. Den ydre spiral er derfor
bestemt ved
!
OC
⇤
(t)=r(t) ⇢(t)
ˆ
v(t)
v(t)
= r(t)
ˆ
v(t)
=2a exp(bt) e(t) ab exp(bt)f (t) .
Heraf følger let, at
|OC
⇤
(t)| = a
p
4+b
2
exp(bt) .
Vinklen \
C
⇤
(t)OP(t)
spiller en afgørende rolle; den benævnes med w (figur 3).
Ved regning med skalarproduktet r(t)
!
OC
⇤
(t) får man, at
cos(w)=
2
p
4+b
2
,
som giver ligningen
(1) w = arccos
⇣
2
p
4+b
2
⌘
.
Punktet C
⇤
(t) ligger også på en logaritmisk spiral, idet
!
OC
⇤
(t)=a
p
4+b
2
exp(bt)e(t w) .
For at vindingen i modelfladen for den matematiske Nautilusskal skal lukke pænt
sammen lag mod lag, skal den indre spiral løbe sammen med den ydre spiral efter
en forskydning af parameteren. Mere præcist skal punktet C(t +
3
2
⇡ w) falde i
punktet C
⇤
(t) for alle t 2 R. Dette kan kun opfyldes hvis
b exp
b(t +
3
2
⇡ w)
=
p
4+b
2
exp(bt) ,
136 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2005
som giver ligningen
(2) w =
3
2
⇡
1
2b
ln
⇣
1+
4
b
2
⌘
.
Ved e n grafisk betragtning ses det, at ligningerne (1) og (2) har en entydig bestemt
løsning. Løsningen bestemmes numerisk til
b =0,3741
w =0,1849 rad .
Der findes derfor netop én vinkel u i den underliggende logaritmiske spiral for
hvilken fladen lukker pænt sammen. Ved at benytte formlen tan(u)=1/b får man
numerisk u = 69,5 grader.
Resultatet kan gives følgende formulering.
Sætning 3. For netop én vinkel i den logaritmiske spiral kan krumningscirklerne
anbringes omkring spiralen i en Nautilus-lignende skal.
Figur 4 viser en computertegnet Nautilus.
Halvlinien fra origo O gennem kurvepunktet P (t) på den logaritmiske spiral deler
krumningscirklen i P (t) ved en korde, hvor den mindste af de to derved fremkomne
cirkelbuer har længden 2 u radianer (se figur 5). Dette følger ved at bemærke, at
korde-tangentvinklen i P (t), der spænder over denne bue, netop er vinklen u.Den
omtalte korde deler altså krumningscirklen i forholdet u/⇡.
Figur 4 : Com puter Nautilus
u
2u
P(t)
C(t)
O
Figur 5 : Deling af k rumningscirklen
Det gyldne snit og Nautilus
Hvis et liniestykke AB ved et punkt C deles i to stykker på en sådan måde, at det
mindste delstykke AC forholder sig til det største delstykke CB, som det største
delstykke CB forholder sig til hele stykket AB, altså hvis
|AC |
|CB |
=
|CB |
|AB |
,
Normat 3/2005 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen 137
siges punktet C at dele AB i det gyldne snits forhold . En simpel udregning viser,
at
=
p
5 1
2
.
På tilsvarende måde kan man ved en korde dele en cirkel i to delbuer. Hvis de
to delbuer opfylder betingelse n svarende til betingelsen ved deling af liniestykker,
siger man, at cirklen er delt i det gyldne s nits forhold, og den mindste af de to
delbuer siges at repræsentere den gyldne vinkel. Målt i grader har den gyldne vinkel
størrelsen 137,5 grader med en decimals nøjagtighed.
På sin hjemmeside [4] omtaler R. Knott, hvordan tallene og 1 kan sættes
i forbindelse me d forhold i naturen, fx i placeringen af blade på en plante. Her kan
der være en vinkel mellem to på hinanden følgende blade på ca. 137,5 grader, altså
den gyldne vinkel.
I den matematiske Nautilusskal deles krumningscirklen for den underliggende
logaritmiske spiral i ethvert kurvepunkt i to buer af linien gennem origo og kurve-
punktet. Den mindste af buerne har størrelsen 2u, som med en decimal er 139,0
grader. Når man iagttager, at skallen også skal have en vis tykkelse, er dette meget
tæt på den gyldne vinkel. Der afsløres dermed en hidtil upåagtet sammenhæng
mellem den logaritmiske spiral og det gyldne snits forhold. I figur 6 vises tværsnit-
tet i en matematisk Nautilusskal konstrueret med halvdelen af den gyldne vinkel
som vinkel i den underliggende logaritmiske spiral. Som vi nu skal vise, levner dette
plads til en skaltykkelse på ca. 0,9% af skalåbningens diameter.
Figur 6 : Sk altykkelse og den gyldne vinkel
Overvejelser vedrørende skaltykkelsen
Antager man, at vinklen u mellem stedvektoren til et punkt på spiralen og tangen-
ten i samme punkt er lig med halvdelen af den gyldne vinkel, altså 180(1 ) '
68,7538 grader, så får man følgende:
b =1/ tan(u) ' 0,3888
w = arccos
⇣
2
p
4+b
2
⌘
' 0,1920 rad .
138 Leif Andersen og Vagn Lundsgaard Hansen Normat 3/2005
Hvis spiralen består af flere vindinger, måles tykkelsen d(t) af skallen svarende
til parameterværdien t som halvdelen af forskellen mellem den ydre spiral ved
parameterværdien og den indre spiral i den næstfølgende vinding, altså ved
d(t)=
1
2
⇣
|
!
OC (t +
3
2
⇡ w)||
!
OC
⇤
(t)|
⌘
=
1
2
⇣
ab exp
b(t +
3
2
⇡ w)
a
p
4+b
2
exp(bt)
⌘
= a
1
2
⇣
b exp
b(
3
2
⇡ w)
p
4+b
2
⌘
exp(bt)
= aK exp(bt) ,
hvor K ' 0,1084. Tykkelsen af skallen er således eksponentielt voksende med sam-
me vækstrate som den oprindelige logaritmiske spiral.
Forholdet mellem skallens tykkelse og skalåbningens diameter kan herefter be-
stemmes som forholdet mellem d(t) og diameteren i krumningscirklen ved parame-
terværdien t +
3
2
⇡ w. Man finder,
d(t)
2⇢(t +
3
2
⇡ w)
=
aK exp(bt)
2a
p
1+b
2
exp(b(t +
3
2
⇡ w))
=
K
2
p
1+b
2
exp(b
3
2
⇡ bw)
' 0,0087 ,
altså ca. 0,9%.
Litteratur
[1] T.A. Cook, The Curves of Life, 1914. Dover Publications, 1979.
[2] V.L. Hansen, Den geometriske dimension, Nyt Nordisk Forlag Arnold Busck, 1989.
[3] V.L. Hansen, Mathematics of a Nautilus Shell, Institut for Matematik, Danmarks
Tekniske Universitet, 2001. Personlig hjemmeside:
http://www.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/ .
[4] R. Knott, Fibonacci Numbers and the Golden Section, Surrey University, UK.
Personlig hjemmeside:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html .
[5] M. Livio, The Story of PHI, the World’s most Astonishing Number, Broadway,
2003.
[6] D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Cambridge University Press, 1917.
Anden udgave 1942.
