Normat 53:3, 97–111 (2005) 97
Hvad søgte de og hvad fandt de?
Kombinatoriske løsningsformler til algebraiske ligninger
– fra Cardano til Cauchy – Del 2
*
Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak
Institut for Matematik og Fysik
Roskilde Universitetscenter
Box 260
DK–4000 Roskilde
utj@ruc.dk, neslihan@ruc.dk
7 Lagranges store analyse
Joseph Louis Lagranges (1736–1813) Reflexions sur la résolution algébrique des
équations [23] fra 1770–71 står som en milepæl i den algebraiske ligningsløsnings-
teori. I stedet for direkte at springe ud i at udvikle en – e ller arbejde videre med en
allerede opfundet – metode til løsning af n’tegradsligningen, analyserer Lagrange
de allerede etablerede metoder til tredje-, og fjerdegradsligningens løsning. Lagran-
ge be tegner sin tilgang til problemet som en a priori tilgang, i modsætning til en
a posteriori tilgang. Således er Lagranges mål ikke at finde en metode der virker,
hvilket var den tilgang matematikere før Lagrange fortrinsvist havde benyttet sig
af. Hensigten med Lagranges a priori tilgang er derimod at finde ud af, hvorfor og
hvordan metoder som Cardanos, Ferraris, Tschirnhaus’, Bezouts og Eulers giver en
løsning til generelle tredje- og fjerdegradsligninger, og hvorfor de fejler med hen-
syn til den generelle femtegradsligning. A priori tilgangen består i, at Lagrange
så at sige arbejder »baglæns«, det vil sige, at han bestemmer rødderne til hjælpe-
ligningen som rationale funktioner af rødderne til den oprindelige ligning. Hermed
*
Artiklen er grundet dens længde og omfang delt i to. Første del og litteraturlisten er trykt i
forrige nummer af Normat.
98 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
bliver egenskaberne ved hjælpeligningens rødder åbenlyse og viser klart, hvorfor
disse rødder giver rødderne til den oprindelige ligning. Lagrange viser altså, at pro-
blemet med ligningsløsning afhænger af egenskaberne ved de rationale funktioner
i rødderne.
Lagrange begynder med en udlægning af Cardanos metode til løsning af den
generelle tredjegradsligning
(1) x
3
+ px + q =0.
Ved substitutionen x = u + v fås
(2) u
3
+ v
3
+ q +(u + v)(3uv + p)=0,
som underlægges betingelsen
(3) 3uv + p =0 ) v =
p
3u
.
Indsættes nu udtrykket for v i ligning (2), som herefter ganges igennem med u
3
,
fås en sjettegradsligning i u
(4) u
6
+ qu
3
⇣
p
3
⌘
3
=0.
Dette er hjælpeligningen som Cardanos formel bygger på, og som Lagrange i sin
afhandling kalder den reducerede ligning (la réduite).
I stedet for at gå direkte til beregningen af løsningen,
11
altså bestemme rødderne
x
i
til (1) som funktion af u
i
, rødderne til (4), så bestemmes u
i
som funktion af
x
i
. Da (4) er en sjettegradsligning har den seks rødder, altså ender man med seks
rødder til den oprindelige tredjegradsligning. Til al »held« er disse seks rødder
u
1
,...,u
6
parvis ens, hvilket Lagrange viser på essentielt følgende vis: Da (4) er en
andengradsligning i u
3
, antager de seks rødder opløftet i tredje potens u
3
1
,...,u
3
6
kun to værdier; y
1
og y
2
, hvor y
1
y
2
ifølge Viète-relationerne er lig det konstante
led (
1
3
p)
3
. Man kan, eventuelt ved omnummerering, antage at
u
3
1
= u
3
2
= u
3
3
= y
1
og u
3
4
= u
3
5
= u
3
6
= y
2
.
Kaldes u
1
,u
2
,u
3
for »1. gruppe« er således de tre løsninger til u
3
= y
1
3
p
y
1
,!
3
p
y
1
,!
2
3
p
y
1
,
i en eller anden rækkefølge, hvor ! er en primitiv enhedsrod. Kaldes u
4
,u
5
,u
6
»2. gruppe«, er de tre løsninger til u
3
= y
2
3
p
y
2
,!
3
p
y
2
,!
2
3
p
y
2
,
i en eller anden rækkefølge. Altså haves at
(5) u
2
= !u
1
,u
3
= !
2
u
1
,u
5
= !u
4
,u
6
= !
2
u
4
.
11
Hvilket er muligt da (4) er en andengradsli gnin g i u
3
.
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 99
Da man fra Viète-relationerne har at y
1
y
2
= (
1
3
p)
3
, må nogle af produkterne
af et u
i
fra 1. gruppe og et u
j
fra 2. gruppe være lig
1
3
p; antag, evt. efter om-
nummerering indenfor de to grupper, at u
1
u
4
=
1
3
p. Dette bevirker, at også
u
2
u
6
= !
3
u
1
u
4
=
1
3
p og ligeledes at u
3
u
5
=
1
3
p. Da man ifølge (3) har, at
uv =
1
3
p, haves, hvis man lader v
i
betegne den værdi af v som korresponderer
med u
i
, at
v
1
= u
4
,v
2
= u
6
,v
3
= u
5
,v
4
= u
1
,v
5
= u
3
,v
6
= u
2
.
Følgeligt er der altså kun tre forskellige værdier af u
i
+ v
i
, nemlig
u
1
+ u
4
,u
2
+ u
6
= !u
1
+ !
2
u
4
,u
3
+ u
5
= !
2
u
1
+ !u
4
,
som altså er tre rødder til den oprindelige tredjegradsligning (1)
(6) x
1
= u
1
+ u
4
,x
2
= !u
1
+ !
2
u
4
,x
3
= !
2
u
1
+ !u
4
.
Men tilbage til bestemmelsen af u
1
,...,u
6
som funktioner af rødderne x
1
,x
2
,x
3
.
Dette gøres nemt, hvis man benytter, at !
2
+ ! +1=0og ganger anden ligning
af (6) med !
2
henholdsvis ! og tredje ligning med ! henholdsvis !
2
, og dernæst
lægger disse til den første ligning i (6). Herved får man
x
1
+ !
2
x
2
+ !x
3
=3u
1
+ (1 + ! + !
2
)u
4
henholdsvis
x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
=3u
4
+ (1 + ! + !
2
)u
1
.
Altså er
u
1
=
1
3
(x
1
+ !
2
x
2
+ !x
3
) og u
4
=
1
3
(x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
).
Den reducerede lignings resterende rødder følger direkte af udtrykkene i (5)
u
2
=
1
3
(!x
1
+ x
2
+ !
2
x
3
),u
3
=
1
3
(!
2
x
1
+ !x
2
+ x
3
),
u
5
=
1
3
(!x
1
+ !
2
x
2
+ x
3
),u
6
=
1
3
(!
2
x
1
+ x
2
+ !x
3
).
Lagrange ser altså, at man kan udtrykke alle rødderne til hjælpeligningen (4),
som altså med rette også kan kaldes en resolvent, ved at permutere rødderne
x
1
,x
2
,x
3
i udtrykket
1
3
(x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
),
hvilket er et rationalt
12
udtryk i x
1
,x
2
,x
3
.
12
Med rational menes implicit, her og i det følgende , rationalt over et koefficientlegeme; her
indeholdende n’te enhedsrødderne.
100 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
Pointen i at løse den reducerede ligning er at bestemme nogle, og dermed alle,
u
i
. Deraf drager Lagrange følgende sindrige konklusioner: A priori forklarer det,
hvorfor hjælpeligningen har grad 6. Da hjælpeligningens koefficienter er rationale
funktioner af koefficienterne i den oprindelige ligning, hvis koefficienter er de ele-
mentære symmetriske polynomier, e r hjælpeligningens koefficienter symmetriske i
x
1
,x
2
,x
3
. Derved gælder, at hvis et udtryk i x
1
,x
2
,x
3
er en rod til hjælpeligningen,
så er samtlige permutationer af x
1
,x
2
,x
3
i udtrykket også en rod til hjælpeligning-
en. Da eksempelvis 3u
4
= x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
ved permutation af rødderne har seks
forskellige værdier
13
, gælder at disse er rødder til den reducerede ligning, som derfor
må have grad 6. Yderligere forklarer Lagrange ved dette, hvorfor hjælpeligningen
er en andengradsligning i u
3
. F.eks. antager u
3
4
kun to forskellige værdier ved de
3! = 6 permutationer af rødderne, hvilket ses på følgende vis: Da
x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
= !
2
(!x
1
+ !
2
x
2
+ x
3
)=!(!
2
x
1
+ x
2
+ !x
3
)
så gælder
(x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
)
3
=(!x
1
+ !
2
x
2
+ x
3
)
3
=(!
2
x
1
+ x
2
+ !x
3
)
3
,
(x
1
+ !
2
x
2
+ !x
3
)
3
=(!
2
x
1
+ !x
2
+ x
3
)
3
=(!x
1
+ x
2
+ !
2
x
3
)
3
,
hvilket giver, at
✓
1
3
◆
3
(x
1
+ !
2
x
2
+ !x
3
)
3
og
✓
1
3
◆
3
(x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
)
3
er rødderne til en ligning, der altså har grad 2. Generelt vil Lagranges observation
kunne formuleres som
Proposition 1 Lad f være et rationalt udtryk i n ubekendte x
1
,...,x
n
. Hvis f
antager m forskellige værdier f
1
,f
2
,...,f
m
ved alle permutationer af x
1
,...,x
n
,
så er f en rod i en monisk ligning ✓(t)=0af grad m
✓(t)=(t f
1
)(t f
2
) ···(t f
m
),
hvis koefficienter er symmetriske i x
1
,...,x
n
og altså kan udtrykkes som rationale
funktioner af de elementære symmetriske polynomier. Yderligere gælder, at hvis f
er rod i en anden ligning =0med koefficienter symmetriske i x
1
,...,x
n
så er
graden af m.
Proposition 1 er dermed et første skridt på vejen til en generel metode til at finde
rødderne til et n’tegradspolynomium. Hvis man finder et rationalt udtryk i de n
rødder, f(x
1
,...,x
n
), s om antager færre end n værdier ved permutation, så kan
alle f
i
(x
1
,...,x
n
) bestemmes som rødder til ✓(t)=0, hvor ✓(t)’s koefficienter kan
bestemmes rationalt ved koefficienterne i den oprindelige ligning. Hvordan ✓(t)’s
13
Med en værdi mener Lagrange udtrykkets formelle værdi og ikke den numeriske værdi [23].
Han antager implicit, at addition og multiplikation er kommutative, det vil sige, at ab = ba og
a + b = b + a [18].
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 101
koefficienter bestemmes i koefficienterne til den oprindelige ligning er i og for sig
irrelevant; pointen er, at det kan gøres ved rationale operationer. Derudover gælder
selvfølgelig, at f(x
1
,...,x
n
) er af en sådan beskaffenhed, at man kan beregne
x
1
,...x
n
ud fra f og dets værdier ved permutation af rødderne.
Efter yderligere at have taget Tschirnhaus’, Eulers og Bezouts metoder til løs-
ning af tredjegradsligningen samt Ferraris løsning af fjerdegradsligningen under
behandling, når Lagrange frem til en konklusion. Nemlig den, at samtlige af me-
toderne går ud på at finde funktioner af rødderne til den oprindelige ligning på en
sådan måde at; (1) den resulterende ligning (eller ligninger) er af m indre grad end
den oprindelige ligning eller kan splittes op i andre ligninger af mindre grad end
denne, og (2) værdierne af de søgte rødder nemt kan udledes fra dem. Lagrange
stiller dernæst spørgsmålet om, hvorvidt det altid vil være muligt at bestemme
sådanne funktioner for ligninger af enhver grad, det vil sige et vilkårligt antal rød-
der, hvorefter han påpeger, at det lader til at være særdeles svært at besvare dette
spørgsmål generelt. For ligninger af grad 4 kan de simpleste funktioner, som
afslører disses rødder skrives på følgende form
x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
+ ...+ !
n1
x
n
,
hvor x
1
,x
2
,x
3
,...,x
n
er rødderne til den oprindelige ligning. Det ville på baggrund
af dette, fortsætter Lagrange, være nærliggende ved induktion at konkludere, at
en hvilken som helst ligning af vilkårlig grad ville kunne løses ved hjælp af en
resulterende ligning, hvis rødder kan repræsenteres på samme form
x
1
+ !x
2
+ !
2
x
3
+ !
3
x
4
+ ...
Bemærk iøvrigt, at udtryk som ovenstående er de såkaldte Lagrange-resolvente.
Forsøget med at løse femtegradsligningen ud fra en generalisering af ovenstående
vil gå ud på at finde et polynomium
f
1
= f(x
1
,...,x
5
)=x
1
+ !x
2
+ ...+ !
4
x
5
,
hvor x
1
,...,x
5
er rødderne og ! er en primitiv femte enhedsrod. Ved permutation
af rødderne er der i alt 5! = 120 forskellige værdier (f
1
,f
2
,...,f
120
), men man
observerer også, at der for f
i
gælder, at også !f
i
, !
2
f
i
, !
3
f
i
og !
4
f
i
er indeholdt i
mængden af de 120 væ rdier. Sammenholdt med denne observation fås af proposition
1, at ✓(t) indeholder faktoren
14
(t f
1
)(t !f
1
)(t !
2
f
1
)(t !
3
f
1
)(t !
4
f
1
)=t
5
f
5
1
,
hvor ✓ i alt vil indeholde 24 af ovenstående udtryk hvert med forskelligt f
i
. Dette
giver, at ✓ er et polynomium af grad 24 i t
5
. Hvis man kan finde rødder til dette
specielle polynomium af grad 24, viser Lagrange, at man derudaf kan bestemme
rødderne x
1
,...,x
5
. Problemet er imidlertid, at det ikke er muligt for ham at
bestemme de 24 rødder og det på trods af at han ved e t genialt ræsonnement
yderligere formår at reducere hjælpeligningen til en ligning af grad 6 [30] [6].
14
Lighedstegnet indses ved at (x 1)(x !)(x !
2
)(x !
3
)(x !
4
)=0.
102 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
Lagrange koncentrerer sig på bemærkelsesværdig vis om de essentielle egenska-
ber for en lignings løsbarhed; det vil sige a priori studiet af funktioner f(x
1
,...,x
n
)
og deres værdier ved samtlige permutationer af x
1
,...,x
n
. Lagrange kalder s elv
denne procedure for »ligningernes metafysik«. Således er Lagrange altså at be-
tragte som en pioner med hensyn til eksplicit brug af permutationer inden for
algebraen, omend heller ikke han kommer med en streng definition af en permuta-
tion. Desværre for gruppeteoriens udvikling ligger Lagranges opmærksomhed ved
udtrykket f (x
1
,...,x
n
) og ikke ved selve permutationen. Lagrange opfandt af den
årsag en ad hoc notation til at betegne, om et udtryk blev ændret ved en p e r-
mutation eller ej, i stedet for at besvære sig med at opfinde en notation for selve
permutationen
15
[18].
Lagrange indser det fundamentale i at klassificere udtryk efter den indvirkning
en permutation har på dem, men af ovenstående grund e r de af Lagranges sæt-
ninger, som i dag er en del af gruppeteorien, formuleret med udgangspunkt i de
algebraiske udtryk og ikke permutationerne se lv. Et andet og vigtigt eksempel på
Lagranges bidrag til gruppeteorien (og dermed permutationsteorien), som udsprang
af hans søgen efter at kunne klassifice re udtrykkene f(x
1
,...,x
n
), er hans sætning
om, at graden af ✓ i proposition 1, altid er n! eller en divisor i n!.
16
For Lagrange
tjener denne sætning primært til at få begreb om, hvilke grader en resolvent kan
have i forhold til graden n af den oprindelige ligning, men det er ikke desto min-
dre denne sætning, som i en me re generel gruppeteoretisk kontekst er navngivet
efter Lagrange.
17
Dermed er denne sæ tning et biprodukt af en af Lagranges andre
sætninger, som kan siges at være en udvidelse af proposition 1, hvor to funktioner
sammenholdes relativt til hinanden. Her gengives den i en moderne version.
Sætning 1 Lad og være rationale funktioner i rødderne x
1
,...,x
n
til den
oprindelige ligning. Hvis antager m forskellige værdier ved de permutationer som
lader invariant, så er en rod i en ligning af grad m, hvis koefficienter er
rationale udtryk i og i koefficienterne i den oprindelige ligning. Specielt gælder,
hvis er invariant ved de permutationer som lader invariant, at kan udtrykkes
rationalt i og koefficienterne i den oprindelige ligning.
18
Eftersom Lagrange ikke eksplicit udtaler sig om, hvorvidt han tror femtegradslig-
ningen kan løses algebraisk eller ej, er der således blandt nutidige matematikere
delte opfattelser om netop dette. Den mest gængse opfattelse har dog været, at
Lagrange ikke troede på løsbarheden af femtegradsligningen, men man kan ikke
underbygge det ud fra hans arbejde, og spørgs målet er, om ikke det er den store
anseelse Lagrange nyder, der har præget tolkningen af hans vage udtalelser omkring
emnet [25]. Faktum er i hvert fald, at han lader begge muligheder stå åbne.
15
I denne notation betyder f[(x
1
)(x
2
)(x
3
)],atf ændrer værdi ved alle permutioner på nær
identiteten, og f[(x
1
,x
2
)(x
3
)] at f forbliver uændret ved permutationen (angivet i cykelnotation
ved x’ernes fodtegn) (12)(3), men ændres af enhver permutation som substituerer x
1
eller x
2
med
x
3
.
16
Mere præcist viser Lagrange at m = n!/|I(f)| , hvor I(f) er stabilisatoren til f , det vil sige
undergruppen af permutationer som lader f invariant.
17
Lagranges sætning: I en endelig gruppe vil ordnen af en undergruppe altid være en divisor i
gruppens orden.
18
Selve sætningen er hos Lagrange meget løst formul eret, og det fremgår først præcist, hvad
den implicerer, når beviset for den gennemgås [23].
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 103
Fra et Galoisteoretisk synspunkt ser vi, at Lagrange (og Vandermonde) med
Lagrange-resolventene tager et skridt i Galois’ retning. Og oversætter man til grup-
peteoretisk terminologi, har m an den letteste implikation i Galois’ sætning anvendt
på den generelle n’tegradsligning: Hvis S
n
er en opløselig gruppe, så er den generelle
n’tegradsligning algebraisk løsbar [30] [25].
Det er først rigtigt med Lagrange og Vandermonde, at permutations- og inva-
riansbetragtninger bliver en etableret del af den algebraiske ligningsløsningsteori.
Deres, om man så må sige, genistreg er, at de projicerer den gamle alkymistiske
kombinationstanke over på udtryk i rødderne og indser, at det netop er sådanne
udtryk samt deres værdier ved samtlige permutationer, der er ligningsløsningens
»metafysik«. I be gges arbe jder er der ligheder til Cauchys permutationer, omend
der stadig er nogen vej endnu, da de behandler udtryk i rødderne og ikke selve
permutationerne.
8 Anvendelsen af permutationer
Som vi så i foregående afsnit, studerede matematikere som f.eks. Vandermonde og
Lagrange permutationer af rødderne i et polynomium. Deres studium af permuta-
tioner var dog altid knyttet til en bestemt kontekst, nemlig den af polynomier, og
deres notation var ikke altid lige bekvem.
Ruffini anvendte permutationerne på en mere direkte vis, omend stadig i for-
bindelse med ligningsløsning, i sine afhandlinger (1799–1813). I Ruffinis bevis fo-
rekommer tilmed elementer af, hvad vi i dag vil betegne som gruppeteori. Med
Cauchys artikel fra 1815 blev der sat fokus på selve permutationerne, der blev
udviklet »regneregler« for disse, en mere sindrig notation og i det hele taget blev
permutationsteorien i højere grad en selvstændig disciplin.
Paolo Ruffini (1765–1822) Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
Først en for det efterfølgende vigtig definition.
Definition 1 Med en cykel menes en permutation af elementerne x
1
,x
2
,...,x
k
,
hvorom der gælder at (x
1
)=x
2
,...,(x
k1
)=x
k
,(x
k
)=x
1
.
104 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
8.1 Ruffinis permutationsbegreb
Det kan diskuteres, hvorvidt Paolo Ruffini (1765–1822) var den første matematiker,
der var overbevist om den generelle femtegradslignings uløselighed, men han er den
første som søger at bevise det, hvilket han gør i sit værk fra 1799.
19
Imidlertid er
der ingen af hans samtidige kollegaer som vil anerkende beviset, og Ruffini kæmper
således en forgæves kamp i årene fra 1799 til 1813, hvor han løbende udgiver nye
udgaver af sit bevis [29]. Heller ikke forsøget på at optage en korrespondance med
Lagrange fører til noget, idet Lagrange ikke lader høre fra sig. Vi skal ikke her
redegøre i detaljer for Ruffinis bevis e ller dets eventuelle mangler,
20
men derimod
skitsere nogle af de biprodukter, der opstod som følge af hans bevis.
Ruffini søge r i sit værk, med udgangspunkt i Lagranges arbejde omhandlende
funktioners opførsel ved permutation af variablene (rødderne), at bestemme samtli-
ge sådanne permutationer af variablene, som lader funktionerne invariante. Ruffinis
permutationsbegreb er dog anderledes end det i dag udbredte, men forstås alligevel
bedst ved brug af moderne termer [32]: Hvis f er en given funktion i n variable,
forstår Ruffini med e n permutazione en mængde G af omarrangementer (nutidens
permutationer) fra den symmetriske gruppe S
n
, hvorom der gælder
8 2 G : f = f,
for et givet f. Vi vil nedenfor referere til Ruffinis permutazione som permutations-
gruppen
21
G til f.
Ruffini deler s ine permutationsgrupper op i to hovedtyper; simple (semplice) og
sammensatte (composte) permutationsgrupper. Med en simpel permutationsgrup-
pe forstår han en mængde af permutationer, som er frembragt ved potensopløftning
af et enkelt element. Simple pe rmutationsgrupper kan ifølge Ruffini være af to ty-
per; enten er de potenser af en permutation, som består af én cykel, eller også er
de potenser af en permutation, som er et produkt af flere cykler. De sammensatte
permutationsgrupper er frembragt af flere end en permutation og er derfor ikke-
cykliske. Disse inddeles i to hovedtyper, som svarer til transitive og intransitive
undergrupper.
Definition 2 En permutationsgruppe G kaldes intransitiv, hvis der eksisterer to
værdier a og b i mængden af argumenter for f (x
1
,...,x
n
), hvorom det gælder, at
8 2 G : (a) 6= b,
og transitiv hvis et sådant par (a, b) ikke eksisterer.
De transitive permutationsgrupper kan være henholdsvis primitive eller imprimi-
tive.
Definition 3 En transitiv gruppe G kaldes imprimitiv, såfremt der eksisterer en
ikke-triviel delmængde H af de n argumenter, hvis billede under enhver permutation
i gruppen G er enten H selv eller disjunkt med H, det vil sige
8 2 G : (H)=H _ (H) \ H = ;,
19
Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle
equazioni generali di grado superiore al quarto.
20
En sådan gennemgang kan findes i [30].
21
Fremover vil vi nøjes med at betegne denne som G.
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 105
og primitiv hvis en sådan delmængde ikke eksisterer.
Ruffinis inddeling i de ovennævnte fem typer kan anskueliggøres ved tabel 1 [32].
simple permutationsgrupper • potenser af en cykel
(permutazioni semplici ) • potenser af en ikke- cykel
• intransitive
sammensatte permutationsgrupper • transitive, imprimitive
(permutazioni composte) • transitive, primitive
Tabel 1 : Ruffinis klassifikation af permutationsgrupper [32]. Med en ikke-
cykel menes en p e rmutation, som er et produkt af flere cykler.
Efter at have klassificeret permutationsgrupperne går Ruffini i gang me d sit be-
vis. Vi vil her blot gennemgå et par af elementerne i dette bevis. Ruffini viser, at
der for den generelle femtegradsligning ikke eksisterer nogen resolvent af mindre
grad end 5. Mere præcist viser han, at der ikke eksisterer et rationalt udtryk i de
n objekter, som kun antager 3, 4 eller 8 værdier under permutationerne af de n
rødder, når n>4. Til dette benytter Ruffini Lagranges resultat; antallet af forskel-
lige værdier, som et udtryk i n variable kan antage, er en divisor i n!. Ruffinis idé
er at bestemme, hvilke divisorer af n! der i dette tilfælde er mulige – altså hvilke
grader femtegradsligningens resolve nt ifølge Langranges proposition 1 kan antage.
Til dette formål definerer han graden af ækvivalens (grado de uguaglianza) af en
funktion f iden rødder af en ligning, som antallet af de forskellige permutationer,
der ikke ændrer f; altså antallet af permutationer i permutationsgruppen til f. H-
vis p betegner graden af ækvivalens, haves således ifølge Lagranges resultat, at p er
en divisor i n!, og at n!/p er antallet af forskellige værdier af f. Med udgangspunkt
i dette bestemmer Ruffini de mulige værdier af p for alle de fem typer af permuta-
tionsgrupper (jf. tabel 1) ved omstændelige udregninger, og han viser, at værdien
af p ikke kan være et multiplum af 5. Det vil sige, at for femtegradsligningen, n =5,
haves
n!
p
=5k,
hvor k 2 N, altså n!/p 5, og ifølge proposition 1 er resolventen således mindst
en femtegradsligning.
Ruffini antager uden bevis, at et hvilket som helst algebraisk udtryk indeholdt
i en antaget løsning kan udtrykkes rationalt i rødderne af ligningen og n’te en-
hedsrødderne.
22
En mulighed er, at udtrykket f giver en resolvent, som e r en ren
femtegradsligning
z
5
r =0.
Lad os sige, at (f
1
,...,f
120
) er værdierne af f under permutation af rødderne
x
1
,...,x
5
. Ruffini undersøger alle disse og observerer, at enten er alle f
i
’er ens
(hvilket kan udelukkes da z
5
r =0i hvert fald har fem forskellige rødder), eller
at f antager fem forskellige værdier. Er det sidste tilfældet, viser Ruffini, at r ikke er
rational i rødderne, hvilket er i modstrid med hans ovenstående korrekte antagelse
22
Det er denne antagelse uden bevis som er »hullet« i Ruffinis bevis af femtegradsligningens
algebraiske uløselighed og som først vises af Abel i ca. 1824 [32].
106 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
[18]. For en mere indgående gennemgang af Ruffinis bevis henvises til [29] samt
moderne fremstillinger i [9], [28] og [30].
Historien om Ruffinis kamp for at få anerkendt sit bevis for femtegradsligningens
algebraiske uløselighed må siges at være lidt af en matematisk tragedie. Måske
var sandheden i virkeligheden den, at datidens matematikmiljø ikke rigtig ville
eller var modent til at indse uløseligheden af femtegradsligningen. En af de eneste
som tog en interesse i Ruffinis arbejde var ironisk nok Cauchy, da han ellers var
kendt for at være en af de værste matematikere med hensyn til det at give andre
kredit og anerkendelse. Men Cauchy var inspireret af Ruffini, og i sit arbejde om
permutationer fra 1815 generaliserer han da også netop nogle af Ruffinis resultater,
samtidig med at han præsenterer en helt ny notationsform. Dette er måske den
eneste måde, hvorpå Ruffinis arbejde kom til at spille en rolle i udviklingen af
matematikken [2].
8.2 Cauchys »substitutioner«
Augustin Louis Cauchys (1789–1857) i særdeleshed vigtigste bidrag til gruppeteo-
rien er hans sætning om, at hvis p er et primtal som deler ordenen af gruppen G,
så findes der i G en undergruppe af orden p. Denne sætning førte senere Sylow til
en ge neralisering, kendt som Sylows tre sætninger, som fortsat er en af milepælene
indenfor gruppeteorien.
23
I nærværende artikel vil vi imidlertid koncentrere os om Cauchys tidlige arbejde
med gruppeteoretiske elementer i hans artikel
24
[11] fra 1815. Cauchys primære
formål med denne artikel er at bevise følgende sætning:
Sætning 2 Antallet af forskellige værdier R, som et ikke-symmetrisk udtryk K,
i n ubekendte antager, kan ikke være mindre end det største primtal p, som ikke
overstiger n, med mindre R =2.
Cauchy deler beviset for denne sætning op i beviserne af de følgende tre proposi-
tioner:
1. Hvis R<p, så vil enhver værdi af K ikke kunne ændres ved en permutation
25
af orden p.
2. Hvis en værdi K er invariant ved en permutation af orden p, så forbliver den
uændret under enhver 3-cykel.
3. Hvis en værdi K er invariant under enhver 3-cykel, så er K enten symmetrisk
i dets variable eller antager præcis to værdier under samtlige permutationer.
Cauchy pointerer, at dette er en generalisering af et af Ruffinis resultater; umulig-
heden af at have et udtryk i fem eller flere variable, som antager netop tre eller fire
forskellige værdier. Vi skal også her koncentrere os om biprodukterne af Cauchys
bevis; bidrag til den i dag kendte permutationsteori. For en gennemgang af beviset
se foruden [11] f.eks. [18].
23
Moderne formuleringer af Cauchys og Sylows sætninger kan bl.a. findes i [21].
24
Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une function peut acquérir, lorsqu’on y permute de
toutes les manières possibles les quantités qu’elle renferme.
25
Ved permutation menes det som Cauchy kalder en substitution (se senere).
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 107
Cauchy bevæger sig i sin artikel ud over permutationers tilknytning til lignings-
løsningsteorien og nævner kun i forbifarten, at variablene kan anses som værende
rødder i et eller andet polynomium. Hans egen motivation, påpeger han, for sit
studium af permutationer stammer fra talteorien, som han har sammenkædet med
Ruffinis arbejde. Bem ærkelsesværdigt er det ligeledes, at Cauchy i sit bevis af oven-
stående sætning introducerer begreber og notationer som stadig benyttes i moderne
terminologi. F.eks. benytter han to-rækkersnotationen for en permutation, hvilket
han er den første der gør; en sådan findes hverken hos Lagrange eller Ruffini. Ta-
ger vi f.eks. de fire objekter 1, 2, 4, 3 i given rækkefølge, og lader 2, 4, 3, 1 være
permutationen af disse, så etablerer Cauchy for denne permutation »loven«
1 7! 2, 2 7! 4, 4 7! 3, 3 7! 1.
Dette er den samme lov, som man også benytter for permutationer i dag, nemlig
en bºektiv afbildning af mængden {1, 2,...,n} på sig selv. Cauchy kalder denne
lov for en substitution – altså det der for os er en permutation – og han skriver den
som
26
✓
1243
2431
◆
.
Altså er en substitution en to-liniers notation; øverste linie er objekternes oprinde-
lige rækkefølge, og nederste linie er billederne af objekterne. Med en permutation
mener han derimod en en-linies notation, det vil sige rækkefølgen af objekterne a
1
,
a
2
,...,a
n
, f.eks. som før 2, 4, 3, 1. Cauchy er dog udmærket klar over, at rækkeføl-
gen, hvori de fire objekter bliver omarrangeret, ikke har nogen betydning for hans
definition af en permutation (en permutation af n objekter kan således opskrives
på n! forskellige måder). F.eks. gælder at
✓
1243
2431
◆
=
✓
4231
3412
◆
.
Cauchy begrænser sig dog ikke til kun fire objekter, men forsøger at håndtere et
vilkårligt antal objekter, men selv om han foreslår en generel notation
✓
abc...l
↵...
◆
for en vilkårlig permutation, er det klart at dette »billede« kun er praktisk for et
mindre antal af objekter. Selv benytter han derfor den forkortede notation
✓
A
1
A
2
◆
,
hvor A
1
og A
2
er vilkårlige permutationer af de pågældende objekter.
I relation til ovenstående redegørelse af Cauchys arbejde skal det påpeges, som
eksempelvis sætning 2 antyder, at Cauchys abstraktionsniveau ikke er mere vidt-
løftigt end, at han tager udgangspunkt i netop et udtryk i n variable, samt hvilke
26
Cauchy benyttede punktum og ikke mellemrum mellem objekterne, hvorfor han f. eks. skriver
(1 2 4 3) som (1.2.4.3).
108 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
egenskaber dette måtte have under den symmetriske gruppe S
n
. Dette er ikke meget
forskelligt fra f.eks. Lagranges tilgang, men Cauchy indser altså, at det essentielle
i udtrykket er variablenes indbyrdes placering, hvorfor udtrykket udmærket kan
erstattes af en »pladsholder« – det han kalder en pe rmutation, og det er netop
disse, og ikke udtrykkene selv, som Cauchy grupperer i forhold til visse egenska-
ber. Derved tager Cauchy et stort skridt fremad i udviklingen af den generelle
permutations- og gruppeteori, da han ligeledes har udviklet regneregler for disse.
Cauchys måske vigtigste bidrag i sin 1815-artikel er sammensætningen (le pro-
duit) af to permutationer. Ved sammensætningen
A
2
A
3
A
4
A
5
skal forstås den sub-
stitution, der fremkommer ved først at foretage substitutionen
A
2
A
3
og derefter
A
4
A
5
. Han definerer, at
A
2
A
3
A
4
A
5
anvendt på A
1
giver en ny »permutation« A
6
,
med samme resultat som når A
6
anvendes på A
1
. Altså
✓
A
1
A
6
◆
=
✓
A
2
A
3
◆✓
A
4
A
5
◆
.
Lad os illustrere dette med et eksemp el. Vi vælger A
1
og A
2
ligesom Cauchy
gør, A
3
, A
4
og A
5
vælger vi selv, da Cauchy ikke giver eksempler på disse. Lad os
f.eks. antage, at vi har »permutationerne«
A
1
= (1 2 4 3) A
2
= (2 4 3 1) A
3
= (4 3 2 1)
A
4
= (3 4 1 2) A
5
= (4 1 2 3).
Vi har nu at
(7)
✓
A
2
A
3
◆✓
A
4
A
5
◆
=
✓
2431
4321
◆✓
3412
4123
◆
=
✓
2431
4321
◆✓
4321
1432
◆
=
✓
2431
1432
◆
.
Når (7) anvendes på A
1
får vi, ifølge Cauchys betragtning,
✓
1234
1243
◆✓
2431
1432
◆
=
✓
1234
1243
◆✓
1243
2143
◆
=
✓
1234
2143
◆
,
som vi altså døber A
6
,
A
6
= (2 1 4 3).
Ligeledes har vi at
(8)
✓
A
1
A
6
◆
=
✓
1243
2143
◆
=
✓
2431
1432
◆
,
hvorfor vi altså, i overensstemmelse med Cauchy, har at (7) er lig (8).
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 109
Cauchy viser også, at der altid findes et naturligt tal N, således at
27
✓
A
1
A
t
◆
N
=
✓
A
1
A
1
◆
og betegner herefter det mindste N som graden (degré) af substitutionen. Han
definerer også en cyklisk permutation, dennes potenser s amt en transposition.
Med Ruffini og Cauchy bliver der sat et helt andet fokus på permutationerne.
Måderne hvorpå Ruffini og Cauchy indfører deres permutationer er dog som set vidt
forskellige. Cauchys permutationer, altså substitutionerne, svarer til vore dages per-
mutationer, hvorimod Ruffinis permutationer (permutazioni) svarer til, hvad vi i
dag vil betegne som en stabilisator G
f
af f, det vil sige G
f
= {g 2 S
n
| g(f)=f}.
Karakteriseringen af disse undergrupper G
f
i
i forskellige typer er alle meget grun-
digt behandlet hos Ruffini. Dette er ikke det eneste »forklædte« element fra grup-
peteorien i Ruffinis arbejde, også hans »grad af ækvivalens« kan oversættes til et
moderne gruppebegreb, nemlig det af indexet af en permutationsgruppe. Man kan
således argumentere for, at Ruffini i sit arbejde benytter sig af vore dages gruppete-
ori, eller i alt fald elementer af denne. Ruffini er således den første, der introducerer,
hvad der svarer til stabilisatoren, indexet, cykelopløsningen af en permutation (per-
mutationsgruppe) samt primitive og imprimitive permutationer. Derudover viser
han, at S
5
ikke indeholder nogen undergrupper af index 3 eller 4.
Cauchys behandling af permutationer som en selvstændig disciplin og ikke kun
som et virkemiddel på et udtryk i flere variable er af stor vigtighed. Med dette fulgte
regneregler så som sammensætning og potensopløftning af permutationer, som i
forhold til tidligere notationsformers kunnen medførte klart nemmere beregninger,
og man kan ikke overvurdere disse værktøjers betydning for udviklingen af f.eks.
Galoisteorien.
Også eksempler på brugen af invarians og symmetri kan findes i teksterne. Hos
Ruffini har vi tilfældet med en transitiv imprimitiv gruppe indeholdende delmæng-
den H, hvorom det gælder, at den kan være invariant overfor en permutation
2 S
n
; (H)=H. Hos Cauchy har vi underinddelingen af sætning 2 i de tre
propositioner, i hvis formuleringer der indgår såvel udtryk der er invariante overfor
permutationer som udtryk der er symmetriske i deres variable, samtidig med at der
i selve sætningen (sætning 2) optræder udtrykket K, som er ikke-symmetrisk i de
n ubekendte.
Cauchys to-liniers substitutionsbegreb lider af ikke at være entydigt. Men man
må formode, at denne opskrivning for fremtidige matematikere har haft den fordel,
at gruppestrukturen, det vil sige aksiomerne om lukkethed, associativitet samt
eksistens af et inverst element og identiteten, har været mere åb enlys end, hvis
Cauchy i et hug havde opfundet cykelnotationen.
9 Konklusion
Formålet med nærværende artikel har været at vise, at Galois’ banebrydende ind-
arbejdelse af gruppeteori i teorien for algebraiske ligninger ikke markerede en så
27
Med notationen
`
A
1
A
t
´
N
skal forstås sammensætningen af N substitutioner lig substitutionen
`
A
1
A
t
´
.
110 Uffe Thom as J ankvist og Neslihan Saßlanmak Normat 3/2005
pludselig overgang, s om man måske kunne tro, men at ligningsløsningsteorien der-
imod har været underlagt en mere kontinuerlig udvikling med adskillige frugtbare
tiltag i de ca. 300 års forskning før Abels og Galois’ arbejder. Disse tidligere til-
tag og angrebsmetoder til løsningen af den generelle n’tegradsligning har, med sit
indhold af kombinatoriske og gruppeteoretiske elementer, såsom permutations- og
invariansbetragtninger, i større eller mindre omfang, ledt mere eller mindre natur-
ligt frem til Galois’ resultater.
Selve udviklingen af de matematiske begreber kombination, permutation og in-
varians kan derimod ikke beskrives som værende en kontinuert proces, den er som
sådan mere sporadisk. F.eks. er udviklingen af kombinationsbegrebet en i særdeles-
hed spredt affære, hvilket et opslag under »Combination« i Krügels Mathematisches
Wörterbuch fra 1803 da også viser [20]. Udviklingen af kombinationer finder sted
inden for så forskellige discipliner som lykkespil, forsikring, kryptering, musik m ed
flere, hvilket rækker langt ud over denne artikels problemfelt. Målet i denne artikel
har dog også kun været at se på, hvorledes de tre ovennævnte begreber har influe-
ret på ligningsløsningsteorien i kraft af de forskellige tilgange til denne, og hvilken
udvikling begreberne herunder har gennemgået.
Overordnet kan man sige, at tiden fra Cardano til Cauchy er karakteriseret
ved tre forskellige tilgange i metoderne til den algebraiske løsning af ligninger;
(1) symmetriske udtryk i rødderne, (2) substitutioner, variabelskift og elimination
og (3) brugen af n’terødder og Lagrange-resolvente.
Brugen af symmetriske udtryk i rødderne finder vi først og fremmest hos Viète og
Girard i forbindelse med formuleringen af Viète-relationerne. Symmetriske udtryk
i rødderne findes ogs å hos Waring og Vandermonde i forbindelse med hovedsæt-
ningen for symmetriske p olynomier. I Vandermondes elegante løsning af anden-
gradsligningen v.h.a. de elementære symmetriske polynomier anvendes ligeledes
symmetribetragtninger.
Cardano anvender substitution i sin løsningsformel for tredjegradsligningen. Va-
riabelskift og elimination af de mellemliggende led i en ligning er bærende elementer
i Tschirnhaus’ metode (og Eulers lignende metode). Bezouts metode bygger lige-
ledes på elimination. Det overordnede sigte her er, at substitution, variabelskift
og elimination skal føre til en ny ligning. Denne ligning skal være af lavere grad
end den oprindelige, og dens rødder skal indgå i udtrykket for rødderne til den
oprindelige ligning.
Brugen af n’terødder finder vi først hos Bezout, idet han som den første anvender
disse eksplicit. Også Vandermonde anvender n’terødder i sit forsøg på at opstille
en funktion for den generelle n’tegradsligning. Såvel Vandermonde som Lagrange
benytter sig af resolve nte. Brugen af n’terødder er et vigtigt element i Lagranges
gennemgang af metoderne samt i de såkaldte Lagrange-resolvente. Ruffini tager
udgangspunkt i Lagranges arbejde, nærmere bestemt proposition 1, hvorfor brugen
af resolvente også er et bærende element i hans bevis; Ruffini viser jo, at der for
den generelle femtegradsligning ikke findes en resolvent af grad 5.
I de ca. 200 år fra Cardano til Lagrange, forsøgte matematikerne uden held, ved
hjælp af ovennævnte tre tilgange, at finde algebraiske løsninger til højeregradslig-
ninger. Man kan måske derfor ved første øjekast mene, at matematikerne i denne
periode ikke var synderlig succesfulde, da ingen af dem jo nåede deres mål – at
løse den generelle n’tegradsligning algebraisk. Im idlertid skulle selve rejsen vise sig
at være vigtigere end destinationen, da det var ud af biprodukterne af periodens
Normat 3/2005 Uffe Thomas Jankvist og Neslihan Saßlanmak 111
kontinuerlige søgen, at de første optrin til gruppeteorien opstod, f.eks. i form af
den i artiklen beskrevne alkymistiske kombinationstanke. Disse ca. 200 år kan der-
for på ingen mådes siges at have været sløve, faktisk var det i denne periode at
grundlaget for Vandermondes og Lagranges store arbejder blev grundlagt, hvorfor
disse års betydning for Abels og Galois’ res ultater heller ikke kan overvurderes.
Lagranges arbejde har som bekendt haft en enorm betydning for Abel og Galois,
som de også selv påpegede, og hele permutationsbetragtningen for at bestemme
Galoisgruppen i moderne abstrakt algebra stammer fra netop Lagrange og Van-
dermonde. Ligeledes er Ruffinis og især Cauchys arbejde om permutationer i den
efterfølgende periode
28
enkeltstående og har således også været en uundgåelig kilde
til inspiration for den næste generations matematikere, såvel Abel som Galois.
10 Taksigelser til . . .
Tak til David Heiberg Backchi for sin medvirken i udarbejdelsen af den rapport
29
som ligger til grund for nærværende artikel. Tak til Bernhelm Booß-Bavnbek for
flittig vejledning og rådgivning i forbindelse med såvel rapport som artikel. Tak til
Tinne Hoff Kjeldsen for hjælp undervejs samt ideen om at lave rapporten til en
artikel. Ligeledes tak til Kirsti Andersen og Henrik Kragh Sørensen for henholdsvis
kommentarer og inspiration til den oprindelige rapport.
28
Cauchy udgiver ikke selv noget nyt omhandlende permutationer førend i 18 44, hvor han
ven der tilbage til sit 1815-arbejde og videreudvikler dett e. [25]
29
Nærværende artikel er baseret på en projektrapport [7] udført på kandidatoverbygningen ved
Roskilde Universitetscenter. Rapporten kan anskaffes via http://mmf.ruc.dk/
