Normat 53:4, 145–154 (2005) 145

Peter D. Lax

Abelprisvinner 2005

Helge Holden

Institutt for matematiske fag

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

NO–7491 Trondheim

holden@math.ntnu.no

Innledning

Statsminister Stoltenberg annonserte høsten 2001 at Regjeringen ville etablere en

Abelpris i matematikk. Fondet på 200 millioner kroner ble etablert året etter, og

den første prisen ble utdelt i 2003. Formålet er beskrevet slik:

Hovedformålet med å opprette Niels Henrik Abels minnefond er å tildele

en internasjonal pris for fremragende vitenskapelig arbeid i matematikk.

Prisen skal bidra til å heve matematikkfagets status i samfunnet og sti-

mulere barn og unge til å bli interessert i matematikk.

Prisen, som er på 6 millioner norske kroner, ble første gang tildelt Jean-Pierre Serre,

og i 2004 ble den delt mellom Sir Michael Atiyah og Isadore Singer, mens årets

vinner er Peter D. Lax. Vi skal her gi en kort innføring i noen av de matematiske

temaene han har arbeidet med.

Basert på en presentasjon i Det Norske Videnskaps-Akademi den 17. mars 2005 i anled-

ning oﬀentliggjøringen av Abelprisvinneren 2005. Engelsk oversettelse av deler av teksten ﬁns

på web-siden www.abelprisen.no, der man også kan ﬁnne datamaskinsimuleringer som illus-

trerer eksemplene diskutert her. Spansk oversettelse ﬁns i Boletin del departemento de ma-

temáticas, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, nr. 167–8, 2005, og Matematicalia, se

www.matematicalia.net.

146 Helge Holden Normat 4/2005

Peter D. Lax — en kort biograﬁsk skisse

Peter D. Lax

Peter D. Lax ble født i Budapest i Ungarn i

1926, og han vokste opp i en intellektuell jødisk

familie. Budapest var på den tiden et inte llektu-

elt sentrum i Europa. Lax’ matematiske evner

var tidlig tydelig, og han ﬁkk ekstraundervis-

ning. I 1941 ﬂyktet familien til USA, og bos atte

seg i New York, der Lax har tilbrakt hele sitt

liv. Han ble tatt med til von Neumann for å få

råd om utdannelse. Han ble anbefalt å kontakte

Richard Courant, en annen immigrant fra Euro-

pa, som da holdt på å bygge opp et matematisk

miljø ved New York University. Det gjorde Lax,

og han tok i 1949 sin doktorgrad samme sted

med Kurt O. Friedrichs som veileder. Men før

det ble han i 1944 innkalt til militærtjeneste,

og istedenfor å bli sendt til strid i Europa eller

Østen, ble han sendt til Los Alamos for å del-

ta på Manhattan-prosjektet. Oppholdet der ble

skjellsettende for hans videre virke. I 1946 returnerte han til New York og tok som

sagt doktorgraden der i 1949. Han har forblitt ved det som nå heter Courant Insti-

tute of Mathematical Sciences ved New York University. Vi skal beskrive noen av

hans matematiske bidrag nedenfor, men først vil vi konsentrere oss om biograﬁske

data. Han var Director ved Courant i perioden 1972–80, og President i American

Mathematical Society i 1980–82. Han ledet National Science Board (1980–86), en

komité som var viktig for å styrke bruken av matematiske simuleringer i naturviten-

skap, teknologi og industri. Lax har mottatt en rekke hedersbevisninger og priser

for sitt matematiske virke; vi nevner her noen av dem: Han er medlem av Ameri-

can Academy of Arts and Sciences (1966) og National Academy of Sciences (1970).

I 1974 mottok han Chauvenet-prisen fra Mathematical Association of America for

sin populærartikkel om hyperbolske konserveringslover, i 1975 mottok han Norbert

Wiener-prisen i anvendt matematikk fra American Mathematical Society og Socie-

ty for Industrial and Applied Mathematics. I 1986 ble han tildelt National Medal

of Science, den høyeste utmerkelse en amerikansk forsker kan få. Wolf-prisen, som

deles ut i Israel, mottok han i 1987, og i 1993 ble han tildelt Steele-prisen fra the

American Mathematical Society «for his numerous and fundamental contributions

to the theory and applications of linear and nonlinear partial diﬀerential equations

and functional analysis, for his leadership in the development of computational and

applied mathematics, and for his extraordinary impact as a teacher.»

Men la oss nå konsentrere oss om matematikken. Lax’ første arbeid ble publisert

i 1944 da han var 17 år, og det ga svar på en formodning som ErdÆs hadde fremsatt.

Bernsteins ulikhet sier at om man har et polynom P av grad n, så gjelder at

max

|z|1

(z)|n max

|z|=1

|P (z)|.

Ulikheten er skarp siden polynomet P (z)=z

gir likhet. Dersom man legger på

ytterligere krav på polynomet P , kan det tenkes at man kan erstatte konstanten n

Normat 4/2005 Helge Holden 147

med et mindre tall. ErdÆs’ hypotese var at om P ikke har noen nullpunkter i det

indre av enhetssirkelen, dvs for |z| < 1, så kan man erstatte n med n/2. Og n/2

gjør ulikheten skarp siden polynomet P (z)=(z

+ 1)/2 oppfyller kravene og gir

likhet. Lax viste i arbeidet i 1944 at ErdÆs’ formodning var sann.

Lax har gitt fundamentale bidrag til en rekke sentrale områder av matematikken.

Hans bidrag inngår i en lang tradisjon der vekselvirkningen mellom fysikk og mate-

matikk er sentral. Fysikken gir opphav til utfordrende problemer samtidig som den

gir intuisjon om egenskaper ved løsningen. Matematikk kan avdekke dype, indre

sammenhenger og egenskaper, og rigorøse matematiske bevis gir et solid grunnlag

for vår innsikt.

John von Neumann, som hadde stor innﬂytelse på Lax, fastslo i 1945 at

«virkelig

eﬀektive høyhastighets datamaskiner kan, innenfor ikke-linære partielle diﬀerensia-

ligninger såvel som innen mange andre områder av matematikken der matematisk

analyse har liten eller ingen eﬀekt, gi oss den heuristiske innsikten vi trenger for

å få ytterligere fremskritt». Lax uttalte i 1986 at

«anvendt og ren matematikk er

nærmere knyttet sammen nå enn noen gang tidligere de siste 70 årene». Det er i

denne ånd Lax har arbeidet.

I denne korte artikkelen vil vi fokusere på to områder, begge innenfor teorien

for diﬀerensialligninger der Peter Lax har gitt fundamentale bidrag som fortsatt

dominerer feltet. Vi vil her understreke Lax’ bidrag der de anvendte aspektene er

mest sentrale og har store konsekvenser for vårt moderne samfunn. På den måten

vil vi dessverre ikke kunne diskutere hans fundamentale bidrag innenfor klassisk

matematisk analyse og spredningsteori,

særlig den pene Lax–Phillips’ sprednings-

teori.

Det første temaet er teorien for sjokkbølger. Sjokkbølger opptrer i mange feno-

mener i dagliglivet. Lettest å forklare er sjokkbølgene som oppstår når et ﬂy bryter

lydmuren eller ved eksplosjoner. Men sjokk fremkommer også i fenomener ved langt

lavere hastigheter. Av spesie ll interesse er ﬂyt av hydrokarboner i porøse medier,

eller, for å være mer konkret, ﬂyt av olje i et oljereservoar. Det er velkjent at olje

og vann ikke blander seg, og grensesjiktet mellom områder med olje og områder

med vann er matematisk sett et sjokk. Dynamikken til sjokkene er av avgjørende

betydning for utvinningen av hydrokarboner fra oljereservoarene. Men selv i dag-

ligdagse fenomener som rushtraﬁkk kan man observere sjokkbølger når det er en

fortetting med biler. Sjokkene kommer ikke av at bilene kolliderer, men de oppstår

når tettheten til bilene gjennomgår en brå endring.

Det andre temaet er teorien for solitoner. Denne teorien har en lang og innﬂøkt

historie, men tilhører nå sentrale deler av ren og anvendt matematikk med bety-

delige anvendelser innen ﬂere områder av teknologi. Opprinnelig var denne teorien

en obskur del av ﬂuiddynamikken. Men bl.a. på grunn av oppdagelsen av Lax-par

ble det avdekket nye og oppsiktsvekkende sammenhenger mellom ﬂere områder av

matematikken. Videre har solitonteorien funnet anvendelser innen ﬂere ulike om-

råder av fysikken, f.eks. i kvantefeltteorien og i faststoﬀysikken og som modell for

biologiske systemer. I tillegg brukes solitoner for kommunikasjon i optiske ﬁbre.

Collected works of John v. Neumann, vol. V, 1963, s. 1–32.

Mathematics and its applications, The Mathematical Intelligenzer 8 (1986) 14–17.

I forbindelse med tildelingen av Wolf-prisen til Lax ble hans matematiske virke beskrevet i [1].

P. Sarnak omtalte resultatene til Lax innen klassisk analyse og spredningsteori, og som altså ikke

omhandles her, mens Lax selv beskrev sine bidrag til hyperbolske konserveringslover og solitoner.

148 Helge Holden Normat 4/2005

En mer omfattende diskusjon av ﬂere aspekter ved Peter Lax’ bidrag til mate-

matikken er å ﬁnne i [1], og en svært kort diskusjon er i [4]. Intervjuer med ham

kan leses i [2] og [5], og en samlet oversikt over hans bidrag kan studeres i hans

utvalgte arbeider som nylig er gitt ut [3].

Før vi drøfter disse emnene litt mer inngående, må vi forklare hva en diﬀeren-

sialligning er.

Hva er en diﬀerensialligning?

For å kunne diskutere diﬀerensialligninger må vi først introdusere den deriverte.

Anta at du kjører i bilen din. På kilometertelleren kan du måle avstanden fra start-

punktet, og når du kjenner det, kan du bestemm e posisjonen din. Den avstanden

du tilbakelegger per tidsenhet kalles hastigheten og er selvsagt den du leser av på

speedometeret. Matem atisk er hastigheten ikke noe annet enn den deriverte av po-

sisjonen. For å gjøre det mer presist lar vi x be tegne bilens posisjon målt langs veien

fra et eller annet startpunkt. Posisjonen avhenger av tiden, t, så vi skriver x = x(t).

Hastigheten, som vi betegner v, og som også avhenger av tiden, v = v(t), er endring

i posisjon i et kort tidsintervall, og matematisk kaller vi det den deriverte

av x,

og vi skriver x

(t). Dermed er v(t)=x

(t).

Hvis en passasjer i bilen hele tiden skriver ned hastigheten, burde det være mulig

å beregne bilens p os isjon til enhver tid hvis vi kjenner tid og sted der turen startet.

Vi kan gjøre det mer presist på følgende måte: Dersom vi kjenner startpunktet x

(og synkroniserer klokkene slik at vi starter ved tiden t =0), dvs. x(0) = x

, og vi

kjenner v(t) for alle tider t, burde vi være i stand til å beregne posisjonen x som

en funksjon av tiden, dvs. bestemme x = x(t). For å løse dette problemet, må vi

løse diﬀerensialligningen x

(t)=v(t).

Diﬀerensialligninger er simpelthen ligninger som involverer deriverte. Du synes

kanskje at vi gjør mye ut av et lite problem. Men det viser seg at alle naturens

fundamentale lover er gitt ved diﬀerensialligninger, slik følgende liste viser:

– gravitasjon (Newtons lover),

– kvantemekanikk (Schrödinger-ligningen),

– elektromagnetisme (Maxwells ligninger),

– relativitetsteori (Einsteins ligninger),

– bevegelse av gasser og væsker (Navier–Stokes’ ligninger).

Planetenes bevegelser, datamaskiner, elektrisk lys, GPS (Global Positioning Sy-

stem) og været kan alle beskrives ved hjelp av diﬀerensialligninger.

La oss nå gå videre til et mer komplisert eksempel enn posisjon og hastighet for

biler. Betrakt temperaturen i det romme t der du sitter. I ethvert punkt (x, y, z) i

rommet og tid t lar vi T = T (x, y, z, t) betegne temperaturen. Ved å anta at varme

ﬂyter fra varme steder til kalde steder med en rate proporsjonal med temperatur-

forskjellen, at varme ikke forsvinner (hvilket betyr at rommet er fullstendig isolert

Vi kan gjøre det mer presist på følgende måte: Anta at du kjører fra posisjon x(t) ved tiden t til

posisjon x(t+s) i løpet av et tidsintervall s. Da er hastigheten ved tid t tilnærmet (x(t+s) x(t))/s

(«hastighet er avstand delt på tid»), og tilnærmingen blir bedre jo kortere intervall s du bruker.

Matematisk er hastigheten ved tiden t lik grensen for (x(t + s)  x(t))/s når s går mot null.

Normat 4/2005 Helge Holden 149

fra omgivelsene), og at det ikke er noen varmekilder, kan man vise at temperatur-

fordelingen er gitt ved den såkalte varmeledningsligningen s om kan skrives

= T

+ T

Her bete gner T

den deriverte av temperaturen med hensyn på tiden t mens T

betegner den deriverte av den deriverte, begge ganger me d hensyn på romvariablen

x, og tilsvarende for de andre leddene. Selv enkle problemer gir opphav til kompli-

serte diﬀerensialligninger! Anta at vi kjenner den initielle te mperaturfordelingen,

dvs. vi kjenner T = T (x, y, z, t) for t =0. Da sier vår intuisjon oss at temperaturen

skulle være bestemt for alle senere tidspunkter. Dette kalles et initialverdiproblem.

Den matematiske utfordringen er å vise at denne påstanden er riktig, og å utlede en

metode for å b eregne den faktiske temperaturen. Dette er den generelle problem-

stillingen (for mer avanserte ligninger enn varmeledningsligningen) som er kjernen

i Lax’ bidrag til teorien for diﬀerensialligninger.

Når vi har en diﬀe rensialligning, ønsker vi ideelt at ligningen skal være velstilt i

den forstand at

– problemet skal ha minst én løsning (det eksisterer en løsning),

– problemet skal ikke ha mer enn én løsning (entydighet av løsningen),

– løsningen skal være stabil med hensyn til perturbasjoner (stabilitet).

De to første betingelsene sier at problemet skal ha en entydig løsning, og den tredje

betingelsen sier at en liten endring i initialbetingelsene skal gi e n liten endring i

løsningen. Dessverre er det slik at diﬀerensialligninger normalt ikke har løsninger

som er gitt ved formler, og derfor føyer vi til vår «ønskeliste» at man ogs å skal ha

en metode for å beregne en løsning. Problemet er ofte svært komplekst og krever

hurtige datamaskiner for å bestemme en tilnærmet eller numerisk løsning. Løsnin-

ger på diﬀerensialligninger kan være svært kompliserte og det ﬁns ingen enhetlig

teori som innbefatter alle eller de ﬂeste diﬀerensialligningene. Flesteparten av de

interessante diﬀerensialligningene er ikke-lineære slik at summen av to løsninger

ikke er en ny løsning, noe som ytterligere kompliserer situasjonen. Ulike klasser av

diﬀerensialligninger krever ganske forskjellige metoder. Men selv på dette generelle

nivået har Lax gitt to meget nyttige resultater som blir beskrevet i alle lærebøker på

dette området. Lax–Milgram teoremet gir en betingelse som medfører at diﬀeren-

sialligninger som kan beskrives ved et abstrakt variasjonsproblem, har en entydig

løsning. Lax’ ekvivalensprinsipp sier at om man har et velstilt lineært initialverdi-

problem, vil enhver konsistent numerisk metode være stabil hvis og bare hvis den

konvergerer. (Ekvivalensprinsippet kan f.eks. anvendes på varmeledningsligningen.)

Det er passende her å kommentere samspillet mellom matematikk og datama-

skiner. Peter Lax har alltid vært en sterk talsmann for at datamaskiner er viktige

for matematikk og vice versa, og han har sagt at

«[Hurtige datamaskiners] inn-

ﬂytelse på matematikk, både ren og anvendt, kan sammenlignes med den rollen

teleskoper har i astronomi og mikroskoper i biologi». Den logiske konstruksjonen

til datamaskiner og deres operativsystem e r matematisk i sin natur. Men datama-

skiner virker også som laboratorier for matematikere. Her kan du teste idéene dine:

Nye matematiske relasjoner kan oppdages, og dine hypoteser og antagelser kan bli

The ﬂowering of applied mathematics in America, SIAM Review 31 (1989) 533–541.

150 Helge Holden Normat 4/2005

motbevist eller gjort mer sannsynlige ved bruk av datamaskiner. Lax har selv gitt

eksemplet med den store amerikanske matematikeren G. D. Birkhoﬀ som brukte

hele livet på å prøve å bevise ergodehypotesen. Hvis Birkhoﬀ hadde hatt tilgang

på en datamaskin og hadde tes tet hypotesen på denne, ville han innsett at hypo-

tesen ikke kunne vært riktig generelt sett. På et mer teknisk nivå krever dessuten

problemene innen moderne teknologi, som simulering av kompliserte systemer som

ﬂy, oljeplattformer eller værmeldinger, ikke bare kraftige datamaskiner, men også

at det utvikles nye og bedre matematiske algoritmer for at de kan løses. Faktisk

er det slik at utviklingen av hurtige datamaskiner (maskinvare) og utviklingen av

nye numeriske teknikker (programvare) i store trekk bidrar like mye til den totale

ytelsen vi observerer i simuleringer. Peter Lax har selv gitt gjennomgripende bidrag

til utviklingen av nye matematiske metoder som har satt oss i stand til å forstå og

simulere viktige fenomener.

Sjokkbølger

B. Riemann

I 1859 betraktet den fremragende tyske matematikeren Berhard

Riemann (1826–66) følgende problem: Dersom du har to gasser

med ulikt trykk skilt av en membran i en sylinder, hva skjer om du

fjerner membranen? Dette problemet er senere blitt kalt Riem ann-

problemet, og det viser seg å være svært komplisert. Gassers dy-

namikk blir beskrevet av Euler-ligningene, som kan skrives

⇢

+(⇢v)

=0,

(⇢v)

+(⇢v

+ P )

=0,

+(v(E + P ))

=0,

P = P (⇢),

der p, v, P og E betegner henholdsvis gassens tetthet, hastighet, trykk og energi.

Selv i dag er de generelle Euler-ligningene et uløst problem.

Gasstrøm forbi tre sylindre.

Euler-ligningene er et spesialtilfelle av

en klasse av diﬀerensialligninger som kal-

les hyperbolske konserveringslover. Løs-

ningen av disse ligningene er svært kom-

plisert, som ﬁgurene viser. Ligningene er

svært fundamentale innen ﬂere områder

av naturvitenskap og teknologi, idet de

uttrykker at en størrelse er bevart el-

ler konservert. Dette gir opphav til man-

ge anvendelser siden masse, massefart og

energi i følge fysikkens lover er bevart i

isolerte systemer. I tillegg til gassers be-

vegelse inkluderer anvendelsene ﬂyt av

Riemann betraktet det noe enklere problemet der man ser bort fra den tredje ligningen, den

som gjelder energien. Senket skrift angir deriverte med hensyn på angitt variabel.

Normat 4/2005 Helge Holden 151

olje i oljereservoarer. Et mindre opplagt eksempel er traﬁkkﬂyt i rushtraﬁkk på

en vei uten av- og tilkjørsel; her er den bevarte størrelsen antall biler.

Hovedproblemet med hyperbolske konserveringslover, uavhengig av om de be-

skriver traﬁkkﬂyt eller ﬂyt av olje i et petroleumsreservoar, er at løsningen vil

utvikle singulariteter, eller diskontinuiteter, kalt s jokk. Sjokk svarer til s vært raske

overganger i tetthet eller trykk. Numeriske metoder har problemer med å beregne

slike sjokk, og de matematiske egenskapene er svært kompliserte. De matematiske

modellene tillater mer enn én løsning, og det er vanskelig å bestemme et almen-

gyldig prinsipp – et utvelgelsesprinsipp – for å velge ut en entydig fysisk korrekt

løsning.

På dette punktet gjorde Riemann en feil og valgte en ufysikalsk løsning ved

implisitt å anta at entropien var bevart. Sjokkets hastighet ble bestemt av den

skotske ingeniøren Rankine og den franske matematikeren Hugoniot, men det var

Peter Lax som i 1957 foreslo et helt generelt og enkelt kriterium som kalles Lax’

entropibetingelse for å velge den fysisk korrekte løsningen for generelle systemer av

hyperbolske konserveringslover. De tillatte sjokkene kalles idag Lax-sjokk. Løsnin-

gen av Riemann-problemet, passende generalisert fra gassdynamikk til generelle

konserveringslover, er bes krevet i Lax’ teorem, som fortsatt er en hjørnestein i

teorien for hyperbolske konserveringslover. Hans løsning har stimulert omfattende

videre forskning på ulike entropibetingelser. Spesielt er Lax’ teorem byggesteinen

i løsningen av det generelle initialverdiproblemet som Glimm i 1965 konstruerte

ved sin «random choice method». I 2000 viste Bressan, Liu og Yang ved bruk

av frontfølgingsteknikken at løsningen som Glimm hadde konstruert, var entydig

og stabil. Dermed er det såkalte Cauchy-problemet for systemer av hyperbolske

konserveringslover velstilt i den presise betydningen gitt ovenfor.

Trykkfordelingen til en gass som

eksploderer i en boks.

Når man har bestemt et utvelgelsesprinsipp,

må man fortsatt beregne løsningen. Her har Pe-

ter Lax introdusert to av standardteknikkene,

eller «skjemaene», for å løse hyperbolske konser-

veringslover, nemlig det såkalte Lax–Friedrichs-

skjemaet og Lax–Wendroﬀ-skjemaet. Disse skje-

maene er standardskjemaer for sammenligning

med andre numeriske metoder. De har også vært

utgangspunkt for teoretisk analyse. For eksem-

pel ble Lax–Friedrichs-skjemaet brukt av den

russiske matematikeren Ole˘ınik i hennes kon-

struktive b evis for å vise at det eksisterte løs-

ninger av den ikke-viskøse Burgers-ligningen og

at løsningene var entydige. Et annet svært nyt-

tig resultat er Lax–Wendroﬀs teorem som sier

følgende: Om e t numerisk skjema for en ikke-

lineær hyperbolsk konserveringslov konvergerer mot e n grense, da vil grensen være

en løsning av ligningen. Sammen med Glimm har Lax vist avanserte resultater for

hvordan løsningen av systemer av hyperbolske konserveringslover oppfører seg når

tiden blir stor.

Peter Lax’ resultater innen teorien for hyperbolske konserveringslover er grunn-

leggende. De har løs t gamle problemer og stimulert til omfattende videre forskning

i feltet. Hans resultater er forsatt helt sentrale i denne delen av matematikken.

152 Helge Holden Normat 4/2005

Solitoner

J. Scott Russell

Starten på studiene av solitoner kan tidfestes til august 1834

da den skotske ingeniøren John Scott Russell (1808–82) gjor-

de følgende observasjon: Mens han red på sin hest langs en

kanal nær Edinburgh, observerte han en lekter som ble truk-

ket av hester. Idet lektere n stoppet, kom det en isolert bølge

ut fra baugen av lekteren, og Scott Russell kunne følge denne

bølgen som ikke endret form, i mer enn en kilometer. Mot all

intuisjon beholdt bølgen sin form over lang tid. Scott Russell

var fullstendig fascinert av fenomenet, som mange må ha observert før ham uten

å innse viktigheten av fenomenet, og han studerte i ﬂere år denne bølgen som han

kalte «solitær bølge».

To solitoner illustrert ved tre ulike tidspunkt.

Det store solitonet tar igjen det lille, og formen på begge forblir uendret.

En moderne gjenskaping av en

solitær bølge.

Hans observasjoner var kontroversielle, og ﬂe-

re fremstående vitenskapsmenn som Airy og

Stokes tvilte på hans observasjoner. Da de ne-

derlandske matematikerne Korteweg og de Vries

i 1895 publiserte en modell for vannbølger som

viste en slik oppførsel, var det imidlertid klart

at fenomenet var reelt, om dog noe sært. Mo-

dellen de utledet, kalles nå Korteweg–de Vries-

ligningen, eller KdV-ligningen. For å gjøre en

lang historie kort ble KdV-ligningen glemt i

lengre tid, og det var ikke før Zabusky og Kru-

skal i 1965 igjen fant den interessant, at den

vakte ny interesse. I sin analyse fant de ved å be-

nytte numeriske simuleringer at KdV-ligningen

hadde løsninger som vekselvirket som partik-

ler — de kunne kollidere uten å endre form.

Zabusky og Kruskal kalte disse bølgene «solito-

ner» siden de hadde partikkel-lignende egenska-

per som elektroner, protoner etc. (Se ﬁguren ovenfor.) Det var nå klart at ligningen

hadde avansert struktur og et potensial for anvendelser på ﬂere områder. I et epoke-

gjørende arbeid fra 1967 oppdaget Gardner, Greene, Kruskal og Miura en opp-

siktsvekkende metode, kalt inversspredningstransformen, for å løse KdV-ligningen.

Metoden var imidlertid sterkt tilpasset KdV-ligningen og ﬂere «mirakler» gjorde at

metoden virket. Som en del av metoden studerte de en assosiert lineær ligning som

Normat 4/2005 Helge Holden 153

hadde den egenskapen at ﬂere viktige størrelser forble uforandret eller invariante

etter som tiden endret seg. Den lineære ligningen er den (stasjonære) Schrödinger-

ligningen som beskriver ikke-relativistisk kvantemekanikk. Ligningen hadde vært

studert av matematikere i lang tid, og er blitt utsatt for et nitid studium etter

at sammenhengen med kvantemekanikk ble klar. De tidsinvariante størrelse ne var

assosiert med den tilhørende spredningsteorien

. Så kom Peter Lax. Han fokuserte

på invariansen for det lineære problemet, og ga to lineære operatorer, som nå kal-

les Lax-par, som viste den indre mekanismen til inversspredningstransformen. Når

Lax-paret tilfredsstiller Lax-relasjonen, er det ekvivalent med KdV-ligningen. La

oss gjøre denne sammenhengen mer presis. KdV-ligningen er gitt ved

 6uu

+ u

xxx

der u angir avstanden (skalert) fra bunnen til vannoverﬂaten i Scott Russells opp-

rinnelige observasjon. Lax-paret L, P er gitt ved operatorene

L = @

+ u, P = 4@

+3u@

+3u

Tidsinvariansen i det lineære problemet sier at det ﬁns en unitær op e rator U = U(t)

slik at U

1

LU er tidsuavhengig, dvs. at den tidsderiverte er null. Om vi postulerer

at U tilfredsstiller en førsteordens diﬀerensialligning U

= PU for en operator P ,

viser en kort utregning at

(1) L

 (PL LP )=u

 6uu

+ u

xxx

=0.

Vi kaller uttrykket PLLP for kommutatoren til P og L og vi skriver PLLP =

[P, L] slik at Lax-relasjonen tar formen L

=[P, L]. Her er det overraskende at

høyresiden reduserer seg til en diﬀerensialligning, siden man på venstresiden har

kompliserte diﬀerensialoperatorer som i utgangspunktet skulle tilsi at også høyre-

siden var en diﬀerensialoperator, dvs inneholdt en eller ﬂere av operatoren @

Men den inneholder altså ikke en eneste diﬀerensialoperator. Lax viste samtidig

at P ikke var den eneste operatoren som hadde den egenskapen. Tvertimot kun-

ne han omhyggelig konstruere en uendelig følge av diﬀerensialoperatorer P

2n+1

odde orden (dvs den høyeste antall deriverte er et oddetall; for KdV-ligningene er

ordenen 3) slik at L

=[P

2n+1

,L] fortsatt var en diﬀerensialligning, og ikke en

diﬀerensialoperator. Dette gav opphav til det såkalte KdV-hierarkiet som har vært

utgangspunktet for en utrolig utvikling mellom teorien for diﬀerensialligninger, al-

gebraisk geometri samt geometri og topologi. Idéen me d Lax-par satte igang en

omfattende jakt på Lax-par for andre ikke-lineære diﬀerensialligninger. Utfordrin-

gen var å ﬁnne diﬀerensialoperatorer P og L slik at L

 [P, L] var lik den gitte

diﬀerensialligningen. Det ﬁns ingen generell fremgangsmåte for dette, og man må

lete i hvert enkelt tilfelle. Litt upresist kan man si at ligninger med egenskaper som

ligner på KdV-ligningens egenskaper, kalles fullstendig integrerbare.

Et advarende ord her: Tidsvariablen det snakkes om, er ikke tiden i det tilhørende kvanteme-

kaniske problem. Det er er mer korrekt å si at vi studerer Schrödinger-ligningen der potensialet

er parametrisert ved en ekstra variabel som viser seg å være tidsvariablen i et annet problem.

L og P er operatorer, dvs. at de er funksjoner hvis argumenter også er funksjoner. Operatoren

angir den n-te deriverte av en funksjon med hensyn på variablen x.

154 Helge Holden Normat 4/2005

Med denne inngående og overraskende innsikten var det klart at inversspred-

ningstransformen ikke var begrenset til KdV-ligningen. Sammen med null-krum-

ningsformuleringen («zero curvature formulation») til Zakharov og Shabat ble det i

løpet av kort tid slått fast at ﬂere av de sentrale diﬀerensialigningene i matematisk

fysikk var fullstendig integrerbare, f.eks. sine-Gordon ligningen, den ikke-lineære

Schrödinger-ligningen, det mass ive Thirring-systemet, Boussinesq-ligningen, Ka-

domtsev–Petviashvili-ligningen og Toda-kjeden, for bare å nevne noen få.

De s pesielle egenskapene til disse ligningene har hatt enorme konsekvenser innen

ﬂere områder av matematikk og fysikk i tillegg til ﬂere om råder av teknologi. Vi

kan nevne ett eksempel her. Man har eksperimentert med å bruke solitoner for

høyhastighets kommunikasjon i optiske ﬁbre. Det digitale signalet benytter «ene-

re» og «nuller», og vi kan la «enerne» bli representert ved solitoner. En sentral

egenskap ved solitoner er at de er usedvanlig stabile over lange avstander. Dette

gir mulighet for betydelig større kapasitet for kommunikasjon i optiske ﬁbre over

lange avstander. Videre har soliton-teorien avdekket nye og ukjente sammenhenger

mellom forskjellige deler av matematikken.

Etterord. Lax anser seg selv som både ren og anvendt matematiker. Hans råd

til unge matematikere er følgende:

«Jeg anbefaler alle yngre matematikere å prøve

sine evner i anvendt matematikk. Den er en gullgruve av avanserte problemer hvis

løsning krever begrepsmessige så vel som teknologiske gjennombrudd. Den viser en

enorm variasjon som gir noe for enhver smak, og gir matematikere mulighet til å

delta i en større vitenskapelig og teknologisk aktivitet. God jakt!»

Takk t il : Portrettet av Scott Russell er fra The MacTutor History of Mathe-

matics Archive. Bildet av et soliton er fra The Solitons Home Page. Simuleringene

er laget av K.-A. Lie (SINTEF) og X. Raynaud (NTNU).

Referanser

[1] The Wolf Prize to P. D. Lax. I: The Wolf Prize in Mathematics. Volume 2.

(Red. S. S. Chern, F. Hirzebruch) World Scientiﬁc, Singapore, 2001, s. 219–262.

[2] P. D. Lax. I: More Mathematical People. (Red. D. J. Albers, G. L. Alexanderson,

og C. Reid) Hartcourt Brace Jovanovich Publishers, Boston, 1990, s. 139–158.

[3] P. D. Lax. Selected Papers. Volume I and II. (Red. A. J. Majda and P. Sarnak)

Springer, New York, 2005.

[4] H. Holden. Matematikkens bidrag til Olje-Norge. Kronikk, Aftenposten, 24. mai

2005.

[5] M. Raussen og C. Skau. Intervju med Peter D. Lax. Infomat, august–september

2005. www.matematikkforeningen.no/infomat/, og Newsletter of the European

Mathematical Society, september 2005. Intervjuet kan ses på www.abelprisen.no.

The ﬂowering of applied mathematics in America, SIAM Review 31 (1989) 533–541.