186 Normat 53:4, 186–187 (2005)

Bøker

Lennart Berggren, Jonathan Borwein,

Peter Borwein: Pi: A Source Book.

3rd. ed. Springer-Verlag 2004.

ISBN 0-387-20571-3

Dette er en kildebok om tallet ⇡. Forfat-

terne har satt seg det ambisiøse mål å

gi en beretning om ⇡ fra matematikkens

demring og frem til i dag. Dette gjøres

som i alle kildebøke r hovedsakelig ved

gjengivelse av omhyggelig utvalgte ori-

ginale tekster.

Noe av det som g jør den enorme lit-

teraturen om ⇡ så fascinerende, er den

store spennvidden fra dype matematis-

ke emner til underholdende og populært

stoﬀ. Dette over et tidsrom på mer enn

ﬁre årtusener.

Selv om desimalbrøkutviklingen til ⇡

ikke ser ut til å vise no e mønster, så

ﬁns det kjedebrøkutviklinger nært for-

bundet med ⇡ som er regelmessige. En

av disse står på omslaget til denne bo-

ken. Det er denne utviklingen, som in-

volverer alle de odde kvadrattallene og

ble funnet av George Wallis:

⇡

=1+

2+···

Denne tredje oppdaterte utgaven har

med nye oversettelser til engelsk av noen

sentrale arbeider av Viète og Huygens.

Et annet nytt tillegg i den tredje ut-

gaven er appendikset «A Pamphlet on

Pi» der vi blant annet ﬁnner noe om

den nyere historien til ⇡. Vi ﬁnner em-

ner som spenner fra dype matematiske

problemer som om ⇡ er «normal», i den

forstand at alle sifre forekommer med en

viss regelmessighet i desimalbrøkutvik-

lingen, til det underholdende nettstedet

der man kan ﬁnne sitt personnummer

i den samme rekken av sifre. En «ran-

dom walk» basert på en million sifre av

⇡ ﬁnnes også her, dessuten Irving Kap-

lanskys «Song about Pi». Ludolph van

Ceulen (1540–1610) var den siste mate-

matikeren i tradisjonen som som bereg-

net stadig nøyaktigere verdier av ⇡ ved

Arkimedes’ gamle metode. Han regnet

ut 39 sifre, hvorav 35 var riktige. Han

ﬁkk dette tallet, for ettertiden kjent som

Ludolfs tall, hugget inn på sin gravsten

i Leiden. Den gravstenen er forsvunnet,

men ble rekonstruert i 2000. Her får vi

se et bilde av rekonstruksjonen.

Boken anbefales på det varmeste.

Den bør ﬁnnes i ethvert skolebibliotek,

og alle som er interessert i matematik-

ken for dens egen skyld vil ﬁnne en rik

kilde til rekreasjon og inspirasjon.

Sylvestre Gallot, Domenique Hulin og

Jacques Lafontaine: Riemannian

Geometry. Tredje utgave Universitext.

Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii+248

pp. ISBN 3-540-17923-2

Det ﬁnnes et utall bøker på marke-

det om diﬀerensialgeometri, med et litt

avanset publikum i tankene. Denne bo-

ken fokuserer på den geometriske delen

av temaet.

Å anmelde en bok av denne typen

uten å ha forelest fra den, eller i det

minste å ha vurdert den seriøst for et

kurs, blir naturlig nok noe overﬂadisk.

Ta høyde for det!

Dette ikke er en bok som man bør

forsøke på studenter som er helt nye i

Normat 4/2005 Bøker 187

faget. Til det synes den for omfangsrik

og avansert, og det er ikke noen umid-

delbar klar vei gjennom boken bortsett

fra å starte på begynnelsen og arbei-

de seg utover. Dessuten henvises store

deler av den grunnleggende teorien for

senere kapitler ve kk, mens boken foku-

serer på aspektene og anvendelsene av

denne teorien som faller inn under bo-

kens tittel. Dette er nok en god idé med

tanke på å begrense omfanget og for å

holde fokus, men gjør stundom teksten

vanskelig tilgjengelig.

Som et gjennomgangstema benytter

forfatterne seg av et knippe av eksemp-

ler av mangfoldigheter som de tester ut

nye deﬁnisjoner og teoremer på. Forkla-

ringene synes gjennomgående gode, og

boken er rikt utsyrt med interessante

sidebemerkninger.

Boken er fascinerende klar hva sitt

franske opphav angaar (mange trykkfeil

og franskklingende setninger), og inne-

holder humor (av typen «musical iso-

morphisms» der de bruker symbolene [

og ]), men dette virker stort sett bare

oppkvikkende.

Boken er delt inn i fem kapitler. Hver

kapittel starter med en uformell intro-

duksjon. Disse forklaringene synes gode,

men e r kanskje stundom for tekniske for

å være til mye hjelp for de minst erfar-

ne leserne. På den annen side henviser

de til «forklaringer» i Misner, Thorne

and Wheelers bok Gravitation som er så

uformelle at undertegnede aldri egentlig

har forstått dem («bongs of bell»).

Det første kapitlet gir en rask gjen-

nomgang av teorien for glatte mangfol-

digheter. Dette kapitlet er forholdsvis

knapt, og forfatterne har nok tenkt at

mye av stoﬀet burde være kjent fra et

tidligere kurs, og at dette bare skulle ut-

gjøre en repetisjon og utfylling av even-

tuelle tema som studenten måtte mang-

le.

I det andre kapitlet innføres Rie-

mannske metrikker, og også et lite glimt

av pseudo-Riemannsk geometri for å til-

fredsstille lesere med interesser i gene-

rell relativitetsteori (nytt i tredje utga-

ve). Det tredje kapitlet, «Curvature»,

utgjør kjernestoﬀet i boken, og er inn-

om tema som man ellers ikke ser i lære-

bøker. Kapitlet om analyse på mangfol-

digheter dekker den geometriske videre-

føringen av stoﬀet som presenteres i et

naturlig første kurs om temaet. Det siste

kapitlet omhandler Riemannske under-

mangfoldigheter.

Boken ender med løsninger til de ﬂes-

te oppgavene. I et kurs av denne typen

kan tilgang til løsninger være verdifullt

for studentene da det øker omfanget av

eksempler, og under vellykkede forhold

vil denne måten å presentere eksemple-

ne få leseren til å ta dem mer alvorlig.

Det negative er selvsagt at oppgaver i

ordets klassiske forstand blir en mangel-

vare.

Bjorn Dundas