Normat 54:1, 27–39 (2006) 27

Noen glimt fra matematikkens historie:

Kontroversen mellom Newton og Leibniz,

og litt til

Audun Holme

Matematisk institutt

Universitetet i Bergen

Johs. Brunsgate 12

NO–5008

holme@uib.no

Geniet Isaac Newton

Isaac Newton (1642–1727) var en engelsk matematiker og fysiker. Han er en av de

største matematikere og fysikere som har levd. Isaac ble født i landsbyen Woolt-

horpe, og hadde ikke noen lykkelig barndom. Moren ble enke før han ble født, og

etter et par år giftet hun seg igjen med presten i en nabolandsby. Isaac vokste opp

hos sine besteforeldre, men kom tilbake til sin mor etter at hennes andre mann

døde da Isaac var elleve år gammel. Skolegangen gikk det så som så med, m oren

ville at han skulle læres opp til å styre driften av hennes gård, men det var Isaac

lite interessert i. Tilslutt ﬁkk en onkel overtalt moren til å sende ham til det vi

kaller videregående skole. Da skjedde det avgjørende i Isaacs liv at han ﬁkk hybel

hos skolens rektor, som var en kunnskapsrik og opplyst mann, vel bevandret i ma-

tematikken og i geometrien. Han oppdaget Newtons talent, og onkelen og rektoren

sørget for at han ble innskrevet ved Trinity College i Cambridge der også onkelen

hadde studert.

Universitetet hadde få obligatoriske fag, og dette var en fordel for Newton: Slik

kunne han studere det som interesserte ham mest. I 1663 ble Isaac Barrow professor,

han var den første som ﬁkk det prestisjetunge Lukasprofessoratet, the Lucasian

Chair. Newton ﬁkk etter hvert god kontakt med ham. Barrow forsto at Newton var

et utvilsomt talent, og sørget for at han ﬁkk et stipendium i 1664.

Sommeren 1665 ble universitetet stengt på grunn av et pestutbrudd, og Newton

måtte reise hjem til morens gård på landet. I de neste to årene mens han oppholdt

seg her begynte han sin eksplosive utvikling innen mate matikk, optikk, fysikk og

astronomi. Han var da enda ikke fylt 25 år. Det var i denne tiden at han gjorde

Denne artikkelen er i all hovedsak et utdrag fra forfatterens bok [2]. Portrettet av Abel tilhører

Matematisk Institutt ved Universitetet i Oslo, de øvrige illustrasjonene er hentet fra [3].

28 Audun Holme Normat 1/2006

sine viktigste oppdagelser, fortalte han senere. Det er blitt sagt at dette er den

mest produktive perioden innen matematikken og fysikken noensinne. Da pesten

tok slutt, returnerte han til Cambridge, der han ﬁkk en stipendiatstilling i 1667.

I 1669 trakk Barrow seg fra sitt professorat, og Newton ﬁkk etterfølge ham i

stillingen, i the Lucasian Chair, bare 27 år gammel. Den ikke ukjente Stephen

Hawking innehar denne læres tolen i dag. Barrow var en betydelig matematiker,

men også teolog og nå viet han seg teologien. Men på sine mange reiser hadde han

pådradd seg en febersykdom, sannsynligvis malaria. Da han ﬁkk et anfall i London

i 1677, brukte han sin tids mest brukte kur, nemlig faste og opium. Men det døde

han av.

Isaac Barrow, 1630–1677.

Newton hadde en uvanlig sterk konsentra-

sjonsevne. Det fortelles at han også kunne være

svært distré, og anekdoter av samme type som

fortelles om Arkimedes, ﬁnnes også om Newton.

En gang han hadde middagsgjester gikk han inn

på sitt arbeidsværelse for å hente en ﬂaske god

vin mens gjestene s att ved bordet og ventet. Det

varte og rakk uten at Newton kom tilbake. Det

viste seg at han hadde fått en innskytelse og

hadde glemt gjestene sine: Han satt ved skri-

vebordet, fordypet i matematikken. Som uni-

versitetslærer ville han hatt problemer ved da-

gens universiteter. Studentene hadde vanskelig-

heter med å forstå forelesningene hans, og der-

for «kom det få for å høre ham, og færre forsto

ham», slik at det ikke sjelden var tomt i audito-

riet. Da skal han ha holdt forelesningen til veggen!

Isaac Newton, 1642–1727.

Newton sa senere dette: «Dersom jeg har sett

lengre enn andre, er det fordi jeg har stått på

skuldrene til kjemper.» Det e r ingen tvil om at

en av disse kjempene må ha vært Isaac Bar-

row, som hadde lagt en god del av grunnlaget

for det vi i dag kaller matematisk analyse, og

som Newton og Leibniz skapte mer eller mindre

uavhengig av hverandre. Men en annen av disse

kjempene var matematikeren og presten John

Wallis.

I en periode av sitt liv brukte Wallis mye tid

på en nidkjær og bitter feide med den store en-

gelske ﬁlosofen Thomas Hobbes. Hobbes var en

farlig fritenker, som mente at han kunne arbeide

seg frem til all sannhet med de samme metode-

ne som i ge ometrien, etter Euklids metode med

logiske slutninger ut fra selvinnlysende sannheter. Men da han så brukte denne

metoden til å utlede helt gale geometriske setninger, slo Wallis ned på ham med en

knusende idiotforklaring. Striden varte så lenge Hobbes levde, og forsuret utvilsomt

begges liv.

Normat 1/2006 Audun Holme 29

John Wallis, 1616–1703.

Men Hobbes hadde mange tilhengere

på kontinentet, og denne striden kan en

se som et forvarse l for den ødeleggende

striden me llom Newton og Leibniz sene-

re. Dessuten så var ikke ﬁlosofen Hobbes

så dum som Wallis ville ha det til, heller

ikke matematisk. For Hobbes arbeidet i

virkeligheten med en annen slags geome-

tri enn vi matematiske geometere, som al-

le er av Platons og Euklids skole. Hobbes

ville resonnere med virkelige objekter slik

vi ﬁnner dem i naturen, ikke de idealiser-

te tankemessige objektene som den mate-

matiske geometrien arbeider med. Under

sitt studium av Wallis’ bok Arithmetica

Inﬁnitorum kom New ton på den idéen at istedenfor å studere arealet under en

kurve mellom to faste verdier av den variable og x-aksen, så kunne en med fordel

studere det varierende arealet en får ved å la endepunktet til høyre variere. Slik

ble han ledet til det vi i dag kaller analysens fundamentalsetning, nemlig at den

deriverte av denne arealfunksjonen er den opprinnelige funksjonen.

Striden med Leibniz

Newtons diﬀerensialregning var basert på hans teori om ﬂuksjoner.

Allerede i 1666 forfattet Newton et skrift om dette temaet, og i 1669 skrev han et

manuskript med en tittel som i norsk oversettelse blir noe i retning av Om analyse

av ligninger med uendelig mange ledd.

Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646–1716.

Verket «Avhandling om metoden med

rekker og ﬂuksjoner» ble skrevet på latin

i 1671, men Newton publiserte det ikke,

boken kom først ut oversatt til engelsk

i 1736. Disse manuskriptene sirkulerte i

Newtons miljø. Den tyske matematikeren

og ﬁlosofen Gottfried Wilhelm von Leib-

niz kom frem til den samme teorien uav-

hengig av Newton.

Han publiserte først og hadde dessuten

gitt teorien en mer fullendt og forståelig

form, slik at hans arbeid ﬁkk stor innﬂy-

telse. Dette førte til e n bitter prioritets-

strid mellom disse to store matematiker-

ne. Newton ble etter hvert overbevist om

at Leibniz hadde stjålet hans ideer. Dette

synet ble støttet av s å å s i alle m atematikere på de britiske øyer.

Leibniz hadde imidlertid mange tilhengere på kontinentet, og feiden ble bitter og

uforsonlig. Det endte med at det britiske vitenskapsakademiet, the Royal Society,

30 Audun Holme Normat 1/2006

fordømte Leibniz for plagiat, det skjedde i en tid da Newton selv hadde meget stor

makt i dette akademiet. Leibniz tapte denne striden fullstendig, og en av grunnene

til at han kom så forferdelig dårlig ut av den kan være politisk. Leibniz bodde

og arbeidet ved slutten av sin karriere i Hannover, der han hadde en stilling i

kurfyrstens administrasjon.

Saken er at katolikker ble fratatt arveretten til den engelske tronen i 1701.

Kurfyrsten Johann Friedrich av Hannover var død i 1680, og ble etterfulgt av

broren Ernst August, og han var godt gift med Soﬁa av Pfalz, en datterdatter

av Jacob 1. av England. Da nå alle katolikker mistet arveretten, ble deres sønn

Georg tronarving i Storbritannia. I 1698 etterfulgte han sin far som kurfyrste av

Hannover, og han ble konge av Storbritannia da dronning Anna døde i 1714. I

1714 var det altså vanskelig for Leibniz å få støtte fra kurfyrsten, siden han var

blitt konge av Storbritannia. Og kongen på de britiske øyer var langt fra eneveldig,

han måtte tvert imot trå meget varsomt.

Så mens Leibniz gikk i graven fattig og venneløs i 1716, hans båre ble bare fulgt

av hans sekretær, ble Newton stedt til hvile i Westminister Abbey under store

æresbevisninger.

Men selv om Newton vant prioritesstriden, tapte matematikken i Storbritannia.

Utveksling av ideer mellom Storbritannia og kontinenet stoppet opp, og i Stor-

britannia arbeidet matematikerne med Newtons metoder og notasjon, mens en på

kontinentet videreutviklet Leibniz’ fremgangsmåte. Siden den siste er mer logisk og

lettere å bruke, ble det kontinentet som tok ledelsen i den matematiske utviklingen

for lang tid fremover.

Newtons oppdagelse av analysens fundamentalteorem skjedde selvsagt ikke i et

tomrom. Men han skar på en genial måte gjennom hele datidens innsikter i tangent-

og arealberegninger og sammenfattet det hele i en eneste mektig metode.

Problem 2 i Avhandling om metoden med rekker og ﬂuksjoner er å ﬁnne distan-

sen når hastigheten er kjent. Newton innså tidlig at dette er ekvivalent med å ﬁnne

arealet under en (plan) kurve når ligningen for den er kjent. Fra Wallis viss te han

også hvordan dette skulle gjøres når ligningen til kurven var av en bestemt type,

en sum av e t endelig antall ledd. Han oppdaget da at den samme fremgangsmåte n

også kan brukes når summe n har uendelig mange ledd. Dette var et langt sprang

fremover i matematikkens utvikling.

Newton oppfattet kurver som noe generert av bevegelser eller om han sa, ﬂuenter.

Vi kan forestille oss at han tenkte seg et punkt som beveget seg bortover et papirark

eller gjennom rommet og tegner opp en kurve. I dag ville vi si at kurven er gitt

på parameterform etter tiden t, og at ﬂuentene er koordinatene til punktet når

tiden varierer. For å beskrive arealet en slik kurve avgrenser, eller tangentlinjene

til kurven, innførte han begreper ﬂuksjoner. Det ville vi i dag s i er hastigheten

koordinatene endrer seg me d, dessuten momentet til ﬂuksjonen, det ville vi kalle

endringen i et inﬁnitesimalt tidsrom. Men da er vi over i Leibniz’ b e tegnelse r.

Newtons egen teori var langt fra klar eller lett å forstå. En av grunnene til dette

var at grensebegrepet i matematikken enda ikke var formulert med tilstrekkelig

matematisk presisjon. Det kom mye senere, den endelige avklaringen ble først gitt

av Abels samtidige, den franske greven Augustin Louis de Cauchy.

Newton selv kan ha følt seg usikker på stringensen. Det hevdes i hvert fall av

mange matematikkhistorikere at grunnen til at han forsinket oﬀentliggjørelsen av

sine arbeider på dette feltet, og lenge bare sirkulerte dem blant en engere krets,

Normat 1/2006 Audun Holme 31

var at han grudde seg for å få negativ kritikk. Men stringensen til Newton var så

god som det var mulig på den tiden. Hans rival Leibniz hadde ikke en matematisk

sett mer stringent utledning, men han hadde en mer attraktiv notasjon, slik at

han kan hende virket mer overbevisende på samtiden. Forøvrig utviklet Newton

et grensebegrep som han først og fremst brukte i sine arbeider med fysikk. Dette

grensebegrepet ligger nær opp til våre dagers versjon.

Kritikken fra George Berkeley

Men det var langt fra klart. Og de vanskelighetene som forståelsen av Newtons

ﬂuksjoner trakk med seg, ledet til mye forvirring og krass kritikk fra biskop B erkeley

i 1734.

George Berkeley, 1685–1753.

Den irske ﬁlosofen George Be rkeley stu-

derte ved Trinity College i Dublin og opp-

holdt seg så i London og på fastlandet til

1720. Fra 1721 arbeidet han i Irland, og

i 1734 ble han biskop i Cloyne. Her viet

han seg arbeidet for å lette den økonomis-

ke og sosiale nød i Irland. Han var dypt

religiøs og vendte seg mot tidens ﬁlosoﬁs-

ke fritenkeri. I sin ﬁlosoﬁ skar han gjen-

nom diverse mer eller mindre teoretiske

forstillinger om hva det vil si at noe eksi-

sterer, og lærte kort og go dt at tingenes

væren eller eksistens består i at de kan

iakttas med sansene. Esse est percipi.

Med dette som utgangspukt stilte han

seg meget skeptisk til det logiske grunn-

laget for Newtons matematiske analyse. Han la ikke ﬁngrene imellom da han angrep

Newton i sitt skrift «Analytikeren: eller et foredrag rettet til en vantro matema-

tiker», The analyst: or a discourse addressed to an inﬁdel mathematician. Her

argumenterer han for det synet at selv om den matematiske analysen leder til rik-

tige resultater, er grunnlaget for den ikke sikrere enn grunnlaget for religionen. Han

erklærte at analysen begikk en logisk kardinalfeil ved å endre sin utgangshypotese,

men at de riktige svarene en ﬁkk, skyldes to feil som kompensertet hverandre. Han

skrev:

«Og hva er disse ﬂuksjonene? Hastigheter til raskt forsvinnende forøkelser. Og

hva er så disse samme raskt forsvinnende forøkelsene? De er hverken endelige stør-

relser eller størrelser som er uendelig små, dog heller ikke ingenting. Kan vi ikke

da kalle dem gjenferdene etter avgåtte størrelser?»

Berkeleys kritikk ﬁkk betydning fordi den satte fokus på behovet for klargjøring

av matematikkens logiske grunnlag. Men det var nok også et element av teologisk

nidkjærhet i dette. Newton hadde vært protestant og dessuten tilhenger av læren

til kjetteren Arius, selv om han gikk stille i dørene med det.

32 Audun Holme Normat 1/2006

Striden med Hooke

Newtons første forelesningsrekke s om professor tok til i januar 1670. Emnet var

ikke om matematikk, men optikk. I de to årene pesten varte, hadde han utviklet

sin egen teori for lys og farger. Han hadde kommet til at vanlig hvitt lys ikke er

et enkelt og usammensatt fenomen, slik naturﬁlosofer og fysikere hadde gått ut fra

siden før Aristoteles’ tid. Newton hadde kommet til at fargeforstyrrelsene i datidens

teleskoper, som en hadde ment bare var en plagsom feil, i virkeligheten viste noe

svært viktig om lyse ts natur. Ved å la en lyss tråle falle på et prisme ﬁkk han dette

bekreftet. Det han da så, var et helt fargespektrum.

Newton hevdet at de hvite lysstrålene består av en blanding av lysstråler med

alle disse fargene han kunne se. Når disse passerer sammen gjennom et prisme eller

gjennom en linse, vil de avbøyes forskjellig, slik at fargene kommer til syne. Han

mente at den eneste måten å bli kvitt fargeforstyrrelsene i et linseteles kop på, var å

bruke et parabolsk speil istedenfor en linse. Han konstruerte et slikt teleskop, som

han skjenket til the Royal Society da ble han innvalgt som medlem der. Det var i

1672.

Samme år publiserte han sin første artikkel om lys og fargelære i Philosophical

Transactions of the Royal Soc iety. Artikkelen ﬁkk en god mottakelse, bortsett fra

at Hooke og Huygens reiste innvendinger. De var kritiske til at Newton ville be-

vise eksperimentelt at lys besto av partikler, og at det ikke dreide seg om bølger.

Newtons partikkelteori var imidlertid enerådende helt til det 19. århundret, men

denne striden bestyrket Newton i hans skepsis til publisering. Hooke ble nå en

mann som Newton både hatet og fryktet.

Robert Hooke, 1635–1703, var en betydelig engelsk fysiker, oppﬁnner og astro-

nom. Desuten kan vi si han var naturﬁlosof og i en noe mindre grad matematiker.

Allerede i sin tidlige barndom viste han et eksepsjonelt talent for konstruksjon av

mekaniske ting, for matematikk og naturvitenskap og også for tegning.

På skolen studerte han blant annet Euklids Elementer, før han begynte studiet

ved Oxford. Her ﬁkk han kontakt med John Wallis og andre be tydelige vitenskaps-

folk. Etter hvert ble man oppmerksom på denne talentfulle ungdommen, og han

ﬁkk stilling som assistent for Robert Boyle og deltok i arbeidet med å konstruere

en luftpumpe. Dette førte til at Hooke tegnet og bygde e n luftpumpe s om i det

vesentlige er den teknologien vi bruker i dag. Samtidig arbeidet Hooke med kro-

nometere, og med det såkalte lengdeproblemet. Det var et viktig problem, med

en stor belønning utlovet for løsningen: Finn en metode slik at et skip sikkert kan

bestemme sin posisjons lengdegrad. Det kan man ﬁnne ved å ha et nøyaktig ur som

viser tiden ved Greenwich, for eksempel, og så avlese tiden når solen står høyest på

himmelen. Breddegraden kan en ﬁnne uten et slikt ur, ved å måle solhøyden over

horisonten. Huygens arbeidet med å lage et pendelur som kunne brukes ombord i

et rullende skip, der noen pendelutslag kan bli store, slik at svingetiden vil variere

ganske mye. Han fant mye interessant matematikk, men i praksis var uret han fant

opp ikke nøyaktig nok likevel. Hooke var overbevist om at pendelur ikke egnet seg,

og mente at en isteden måtte basere seg på fjærer. Det var ut fra dette arbeidet at

han i 1660 gjorde de første oppdagelsene som ledet til Hookes lov: For et elastisk

legeme er den elastiske kraften proporsjonal med form- eller volumforandringen.

I 1662 ble Hooke utnevnt til en ulønnet stilling som kurator for eksperimenter ved

the Royal Society. Her skulle han demonstrere tre eller ﬁre eksperimenter på hve rt

Normat 1/2006 Audun Holme 33

møte, og det ga opphav til en ﬂom av ideer over et vidt spektrum. Han ble medlem

fra 1663, ﬁkk fortsatt ikke lønn som kurator, men ble fritatt for medlemsavgiften.

Han ﬁkk en beskjeden lønn fra 1664, men fra 1665 ﬁkk han dessuten et professorat

i geometri ved Gresham C ollege i London.

Hooke publiserte nøyaktige og vakre tegninger av observasjoner han gjorde med

et selvlaget mikroskop, observerte Jupiter og planeten Mars, og bestemte solens

rotasjon ved å observere solﬂekker. Han studerte gjennom me r enn 30 år fossiler

og ble overbevist om at store endringer hadde skjedd på jordens overﬂate gjennom

tidene, og at tidligere havbunn var blitt løftet opp til høye fjellkjeder, og han la

frem for sine kolleger i the Royal Society oppdagelser innen et bredt spektrum av

vitenskapene: varme og lys, fjellarter og fossiler, fysiologi for ulike dyrearter. Men

Hooke hadde overdrevne forestillinger om sin egen optiske teori. Så da Newton

publiserte sin teori om lys, sa Hooke at det s om var riktig i denne teorien, hadde

Newton stjålet fra ham, og det som var originalt hos Newton, det var galt. Dette

var startskuddet på en bitter strid mellom disse to.

I 1672 forsøkte Hooke å bevise at jorden går i en elliptisk bane rundt solen, og

seks år senere foreslo han en variant av det vi kaller Newtons gravitasjonslov for

å forklare planetbevegelsene. Han skrev til Newton om dette og hevdet senere s in

prioritet til gravitasjonsloven. Newton reagerte ved å fjerne alle henvisninger til

Hooke fra sitt store verk Principia, som jeg forteller om nedenfor.

Forholdet mellom Hooke og Newton var altså ikke godt, men de hadde likevel

en vitenskapelig sett interessant korrespondanse i perioden 1678–80. Saken er at

sekretæren for the Royal Society, Henry Oldenburg, døde i september 1677. Newton

hadde hatt er rimelig godt forhold til Oldenburg, som hadde holdt ham i kontakt

med det vitenskapelige miljøet og glattet over irritasjonsmomenter og friksjoner.

Men nå ble Oldenburg etterfulgt av Hooke.

Det var ikke bare Hooke og Huygens som hadde innvendinger mot Newtons

fargelære. En engelsk jesuitt i Liège ved navn Anthony Lucas hadde angrepet far-

gelæren hans og samtidig krenket Newton på det groveste. Newton følte at han ble

beskyldt for å ha forfalsket sine eksperimenter, det var en uhyrlighet som ingen av

de andre motstanderne hadde kommet i nærheten av. Oldenburg hadde arbeidet

med å samle brevene mellom Newton, Lucas og andre for å utgi denne korrespon-

dansen slik at kontroversene kunne bli greid ut. Skulle dette prosjektet bli sluttført

i regi av the Royal Society, måtte Newton samarbeide med Hooke. Dette ga stø-

tet til en høﬂig korrespondanse mellom dem i tiden 1678–80. Noen av de brevene

Newton hadde, var brent opp i en brann hjemme hos ham. Spekulasjoner til tross

var denne brannen sikkert ikke noe annet enn en ulykkelig hendelse med et glemt

vokslys. Newton var som kjent meget distré. Han skrev til Hooke: «Mr. Oldenburg

er død, og det e r min hensikt, om Gud vil, å sørge for at de [brevene] blir trykt

slik han hadde ønsket, sammen med noen andre ting [en mener Newton foreslår

et sammendrag av høydepunkter fra alle sine arbeider om optikk] som kan inngå i

pressen.» Samtidig takker han Hooke for å ha g jentatt i the Royal Society hans eget

grunnleggende eksperiment der sollyset brytes i et spektrum når det går gjennom

et prisme. Hooke svarte og forsikret at eksperimentet hadde vært vellykket, men

han beklaget at han ikke kunne bistå videre.

Korresp ondansen fortsatte litt til, en av de interessante tingene en ﬁnner, er at

de diskuterer mulige eksperimenter for å påvise rent fysisk at jorden roterer. Et

slikt eksperiment ville være å la e n kule falle ned i en loddrett sjakt, den vil på

34 Audun Holme Normat 1/2006

grunn av jordens rotasjon treﬀe litt øst for punktet loddrett under der den slippes.

For på grunn av høydeforskjellen vil jordens rotasjon gi kulen større hastighet mot

øst enn punktet loddrett under.

Et slikt ekspe riment ble utført av matematikeren Giovanni Battista Guglielmini

fra Bologna. Seksten kuler ble sluppet fra en høyde av 241 fot, i et tidsrom mellom

1791 og 1792. Han fant et avvik, men m ålinger og utregninger var beheftet med

feil. Imidlertid ble forsøket gjentatt etter samme modell av Benzenberg (1802 og

1804) og Reich (1831). Reich utførte sitt forsøk i en gruvesjakt i Freiburg. Med et

fall på 160 meter ﬁkk han et gjennomsnittlig avvik fra loddlinjen med 2.5 cm mot

øst.

Men Newton vendte seg etter hvert bort fra the Royal Society, han så Hooke

som en av lederne som han ikke hadde tillit til. Han forsinket publikasjonen av den

fulle teksten til sine arbeider om optikk til etter Hookes død i 1703. Boken Opticks

kom ut i 1704. Men boken inneholder ikke bare optikk, vi ﬁnner også et appendiks

med den første fullstendige fremstillingen av hans teori om ﬂuksjoner. I e t annet

appendiks gir han sin klassiﬁkasjon av tredjegradskurver.

Dette arbeidet utførte han sannsynligvis så tidlig som i 1676. Appendikset har

tittelen Enumeratio linearum tertii ordinis, «Klassiﬁkasjon av kurver av grad tre».

Det var et viktig bidrag til grunnleggelsen av algebraisk geometri som en selvstendig

gren av matematikken. Her betrakter han punkter i planet med positive og negative

koordinater, dette var nytt på denne tiden. Før dette arbeidet var det bare kurver

av grad to som var blitt gitt en generell klassiﬁkasjon, dessuten hadde en studert

enkeltkurver mer eller mindre ad hoc. Newtons klassiﬁkasjon ledet til hele 72 ulike

typ e r av tredjegradskurver. I dag kan vi behandle slike problemer ved å ta med de

imaginære punktene og punktene i det uendelig fjerne, da får vi bare tre typer av

ikke-degenererte tredjegradskurver i planet.

Halleys innsats for Newton

Det var Halley som overtalte Newton til å publisere en fullstendig fremstilling av

sine oppdagelser i fysikk og anvendelsene på astronomi.

I 1687 publiserte han Philosophiae naturalis principia mathematica, eller bare

Principia, s om verket kalles. Principia er ett av vitenskapenes største verk. Det er

her han gir sine tre bevegelseslove r og loven om universell gravitasjon.

Halley var astronom og matematiker. Han viste tidlig talenter i matematikk og

naturvitenskap og studerte ved Oxford. Ved siden av studiene begynte han å jobbe

for Kongelig astronom John Flamsteed i 1675 med observasjoner både i Oxford og

Greenwich. Men i forbindelse med åpningen av observatoriet i Greenwich skulle

Flamsteed utarbeide et stjernekart over den nordlige stjernehimmelen. Dette ﬁkk

Halley til å slutte med studiene og i jobben som assistent for Flamsteed i 1676

og seile av sted til St. Helena for å komplettere dette med et stjernekart over den

sydlige s tjernehimmelen. Prosjektet var sponset av ﬂere. Kongen Karl 2. støttet med

penger og entusiasme. St. Helena var en naturlig base siden det var den sydligste

britiske besittelse n. Halley foretok seg mye annet på denne reisen også, blant annet

observerte han at en pendel svinger langsommere ved ekvator.

Normat 1/2006 Audun Holme 35

Da han kom tilbake til England i 1678 og publiserte sin s tjernekatalog, ﬁkk han

sin universitetsgrad fra Oxford uten eksamen, universitetsgraden ble tildelt ham

etter kongelig forordning. Han var med ett slag blitt en av Englands fremste astro-

nomer og ble som 22-åring medlem av the Royal Society, en av de yngste noensinne.

Dette var ikke lett å svelge for hans tidligere sjef John Flamsteed. Han kom til å

forbli en svoren ﬁende av Halley resten av livet, og han sto i et motsetningsforhold

til Newton, mens Halley ble en av Ne wtons nære venner og støttespiller.

Halley hadde bevist at Keplers tredje lov medfører at tiltrekningskraften til solen

er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden, og diskuterte med Hooke og

andre om det lot seg gjøre å bevise det omvendte, at denne inverse kvadrat-loven

medførte Keplers tredje lov. Men da Halley besøkte Newton i Cambridge, oppdaget

han at Newton allerede hadde bevist dette. Halley var stor nok til å anerkjenne

Newtons geni og forrang, han overtalte den motvillige Newton til å publisere sitt

arbeid, han betalte trykkingsomkostningene, han leste korrektur og la til side alt

sitt andre arbeid. Uten ham, er det sagt, ville Principia ikke ha eksistert.

Newton forlot Cambridge i 1696 og ble Warden of the Royal Mint, i 1699 ble

han så Master of the Mint, som gjorde ham til en meget rik mann. Istedenfor å

betrakte dette som en honorær posisjon nedla han e t stort og fortjenstfullt arbeid

i dette embetet. 1703 ble han valgt til president for the Royal Society og gjenvalgt

til sin død.

I Newtons presidenttid ﬂyttet the Royal Society til en ny bygning. Inventar,

bøker og tallrike malerier var med på ﬂyttelasset. Merkelig nok forsvant da det

eneste eksisterende portretter av Hooke, som hadde vært med på å pryde veggen i

den gamle bygningen, ganske sporløst.

Familien Bernoulli

Jacob (Jacques) Bernoulli ble født i 1654 i Basel, Sveits.

Johann Bernoulli, 1667–1748.

Han var den første i en svært in-

teressant familie med mange mate-

matikere. Broren Johann ble født

i 1667, han ble også matematiker.

Dessuten kom det til the sønner

av Johann, og en nevø av Jacob

og Johann. De levde ikke bare i

fred og fordragelighet, men had-

de en god del strid og kiv mellom

de to brødrene der de beskyldte

hverandre for å ha stjålet hverand-

res idéer. De to brødrene Bernoulli

spilte en vesentlig rolle for konti-

nental europeisk matematikk fordi

de var blant de første som forsto

Leibniz’ nye teknikk og brukte den

til å løse nye problemer. De sto fullt og helt på Leibniz’ side i striden med Newton.

36 Audun Holme Normat 1/2006

Da en ung gutt som faren ville sette i prestelære kom til Johann og ba om

privatundervisning i matematikk, sa den store professoren forskrekket absolutt nei!

Men han oppdaget raskt at denne ungdommen hadde matematisk talent, og ga

ham tillatelse til å besøke seg hver søndag ettermiddag. Og da han tok kontakt

med guttens far, ﬁkk han overbevist ham om at gutten måtte settes til å studere

matematikk, i stedet for teologi. Slik ble Leonhard Euler reddet for matematikken,

og opptatt i den matematiske søskenﬂokken. Vår egen Niels Henrik Abel ﬁkk viktige

impulser fra Euler da han som ung elev leste noen av Eulers meget betydelige verker.

Johann stilte en berømt oppgave i tidsskriftet Acta Eruditorum i juni 1696.

Det fortelles at Leibniz ﬁkk ham til å forlenge tidsfristen til påske neste år, slik

at som han sa også utlendinger kunne delta. Da var det nok Newton han hadde i

tankene, de trodde ikke at Newton ville klare å løse oppgaven. Dessuten tenkte de

kanskje på den franske baronen l’Hôpital, s om hadde leid Johann til privatlærer

og deretter utgitt forelesningsnotatene som sitt eget verk. Han ville Johann sikkert

gjerne avsløre. Her er problemet:

Det er gitt to punkter A og B som ikke ligger rett under hverandre. En partikkel

skal falle fra A til B s lik at den følger en kurve gjennom de to punktene. Finn

den kurven som gir den raskeste falltiden. Denne kurven kalles den brakystokrone

kurven fra A til B.

Johann gir vinket at kurven er «velkjent for geometere». Han skriver videre: «Be-

lønningen er hverken gull eller sølv, men vi lover en pris satt sammen av ære, lovord

og bifall. Vi skal således krone, hedre og berømme, oﬀentlig og privat, skriftlig og

muntlig, dette skarpsinn overfor den store Apollon.»

Dette overdrevne ordgyteriet er morsom lesning for oss i dag, men var det nepp e

for Isaac Newton da han ﬁkk utfordringen etter en vanskelig dag i The Royal Mint,

i ﬁretiden om ettermiddagen 29. januar 1697. Newton tok straks fatt på oppgaven.

Da han var ferdig klokken ﬁre neste morgen, hadde kan løst problemet fullstendig.

Svaret er at kurven er en del av en sykloide, som passerer gjennom punktene A

og B. Denne kurven får en frem ved å merke av et punkt på omkretsen til et hjul,

som så ruller bortover. Da vil punktet følge denne kurven. Den ser ut som en rekke

av ﬂatklemte halvsirkler, satt etter hverandre. Når vi tar en av disse halvsirklene

og snur den opp-ned, får vi en skålform. Når en kule ruller nedover denne skålen,

blir tiden til den når bunnen uavhengig av hvor høyt oppe den ble sluppet! Og

dessuten har den altså egenskapen formulert i Johanns oppgave. Når vi merker av

to punkter under hverandre på skålen, da er falltiden raskere enn langs en hvilken

som helst annen kurve gjennom de to punktene.

Denne isokrone kurven var funnet av Huygens, i i hans arbeid med å konstruere

et pendelur der svingetiden til pendelen er uavhengig av utslaget, selv når utslaget

er stort. Hans idé var å la pendelen svinge inne mellom to krumme vegger, som

tvang pendelkulen til å følge en slik opp-ned sykloide. Men friksjonen og andre ting

gjorde at kans pendelur ikke ble nøyaktig nok.

Niels Henrik Abel tar opp tråden

Da Niels Henrik Abel var 21 år gammel, hadde han publisert to artikler i Magazin

for Naturvidenskaperne, på norsk eller rettere sagt, på dansk.

Normat 1/2006 Audun Holme 37

Christopher Hansteen, som var professor i anvendt matematikk og hadde tatt

seg av Abel, hadde bedt Abel om å velge ut noen av sine mindre arbeider til det

nye tidsskriftet han hadde startet. Den andre av de artiklene Abel kom med var en

samling på ﬁre resultater, under en felles tittel «Løsning av et par oppgaver ved

hjelp av bes temte integraler».

Artikkelen sto på trykk i 1823, Abel var da 21 år gammel. Han behersker sin

tids ypperste matematikk fullstendig og begynner med en elegant utledning av

den isokrone kurven, som først ble funnet av Huygens. Men som den fremragende

matematikeren Abel var allerede som 21-åring, gjør han et grep som kjennetegner

matematisk storhet: Han be gynner med å generalisere problemet enormt, i form

av en integralligning som vi i dag kaller en Abelsk integralligning. Deretter løser

han denne generelle integralligningen og spesialiserer deretter til å gi løsningen på

det opprinnelige problemet. Og løsningen som han ﬁnner på denne måten er mer

elegant, og trenger dypere inn i matematikken enn noe en kunne ha kommet med

ut fra den opprinnelige formuleringen! Dessuten aner vi i hans utledning omrisset

av den geniale ideen som ligger til grunn for hans senere arbeider med de elliptiske

transcendente funksjonene, og videre inn i selve den såkalte Pariseravhandlingen

og til slutt kappestriden med Jacobi, nemlig Abels inversjonsprinsipp.

Men ikke nok med det. Den moderne røntgentomograﬁen som er så uunnværlig i

dagens legevitenskap, ble belønnet med Nobe lprisen i medisin i 1979. Det er mindre

kjent at det matematiske grunnlaget for denne teknikken kommer direkte fra løs-

ningen av en slik abelsk integralligning, ved et spesialtilfelle som ble gjenoppdaget

først i 1913 og deretter i 1963.

Niels Henrik Abel, 1802–1829.

Det hører også med at Abel her for

første gang innfører såkalt brud-

den derivasjon, altså den n-te de-

riverte av en funksjon y = f (x)

der n er en positiv eller negativ

brøk. Abel utledet så en formel

for en slik brudden derivert som i

dag kalles ved det feilaktige navnet

Riemann–Liouvilles formel. Grun-

nen til at det ikke var kjent at det-

te var en oppdagelse av Abel, er

at da Abels lærer Holmboe utga

den første vesjonen av Abels sam-

lede verker i 1838, tok han ikke

med denne delen av avhandlingen.

Hverken Holmboe eller Hansteen

var i nærheten av å forstå alt det matematiske stoﬀet de satt med etter Abel.

Og denne artikkelen var det bare de som kunne lese den gangen, for den var jo

skrevet på norsk. Først da Lie og Sylow utga Abels samlede verker i 1881, ble hele

denne artikkelen tilgjengelig på fransk.

Vi kan våge den påstanden at om Abel bare hadde fått publisert sine to første

avhandlinger på fransk, ville det alene ha gitt ham en hederlig plass i matematik-

kens historie. Det er nesten litt forunderlig når en så betydelig matematiker som

Øystein Ore skriver dette: «... de ﬂeste av disse bidrag [var] uten stor b etydning,

de var begynnerforsøk og hovedsakelig ﬁkse regninger». Men så føye r han til: «Men

38 Audun Holme Normat 1/2006

løven var begynt å vise sine klør». Og da er det nettopp denne integralligningen

Ore har i tankene, «... et emne som først lange tider etterpå s kulle utvikle seg til

et meget viktig område av matematikken».

Denne bemerkningen av Ore er sannsynligvis inspirert av en tilsvarende vur-

dering i C.A. Bjerknes’ Abel-biograﬁ fra 1880. Der står følgende: «Skjønt allerede

disse arbeider inneholder smukke ting, hører de dog til de mindre betydelige, særlig

i forhold til de etterfølgende». Men i 1929 kom det ut en forkortet og omarbeidet

utgave av denne biograﬁen, redigert av V. Bjerknes. Her er denne bemerkningen

fra 1880 gjengitt, men med en meget interessant fotnote:

Dette stemmer ikke helt med vitensk apens syn nå. Men ordene er beholdt

uforandret som C.A. Bjerknes skrev dem for 50 år siden, fordi de nettopp

derved på en så utmerket måte illustrerer utviklingen av synet på Abels be-

tydning. Den gang da annen utgave av Abels verker ble besørget, og Bjerknes

samtidig skrev sin biograﬁ, ble de t fra mest autoritativt utenlandsk hold gjort

gjeldende at Abel «burde beskjæres», han skulle fremtre helt som den uan-

gripelige klassiker. Mot dette hevdet både Bjerknes og de som foretok utgivel-

sen, Sylow og Lie, at intet måtte utelates av det en som Abel hadde etterlatt.

Ingen kunne vite hva en enda kunne oppdage hos ham. Om i så fall denne

avhandling nr. 2 hadde falt som oﬀer for beskjæringen, vet man ikke. Men

i hvert fall: Denne avhandlingen har dannet utgangspunktet for den teorien

for integralligninger som danner ett av vårt århundredes viktigste fremskritt

i matematikken.

Referanser

[1] A. Holme. Matematikkens historie 1. Fra Babylon til mordet på Hypatia.

Fagbokforlaget, Bergen 2001, annet opplag 2002.

[2] A. Holme. Matematikkens historie 2. Fra de arabiske vise til Niels Henrik Abel.

Fagbokforlaget, Bergen 2004.

[3] University of St. Andrews. The MacTutor History of Mathematics archive. Nettsted

med adresse: www-history.mcs.st-and.ac.uk