Normat 54:3, 101–115 (2006) 101

Reportage fra en Mars-mission

Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist

Institut for Matematik og Fysik

Roskilde Universitetscenter

Box 260, 4000 Roskilde, DK

bjto@ruc.dk, utj@ruc.dk

Den 4. januar 2004 gik Mars Exploration Rover A, med tilnavnet Spirit, ind i Mars’

atmosfære. Det 827 kg tunge fartøj havde på dette tidspunkt en fart på 19 300

km/h. I løbet af de næste 4 minutter blev farten ved mødet mellem atmosfæren

og fartøjets frontskal reduceret til 1 600 km/h. Fartøjets faldskærm blev på dette

tidspunkt foldet ud, og hastigheden faldt hurtigt til 300 km/h. Hver gang fartøjet

udførte en ny handling, blev en tone via satellit transmitteret til Jorden som tegn

på succes. 100 meter over Mars’ overﬂade aﬀyredes fartøjets bremseraketter, og til

sidst udfoldede de kæmpemæssige airbags sig. Det indhyllede fartøj ramte planetens

overﬂade med en hastighed på cirka 50 km/h. Derefter hoppede og rullede airbag-

kuglen omkring en kilometer henover Mars’ overﬂade, ligesom Mars Pathﬁnder

havde gjort det syv år tidligere. Da landingmodulet stoppede sin fremfærd blev

dets airbags afmonteret, dets kronblade udfoldet og den igennem seks måneder

indkapslede rover, Spirit, kunne endelig folde sine solpaneler ud. Tre timer senere

transmitterede Spirit sit første billede af Gusev-krateret til Jorden. Den 15. januar

forlod Spirit sit landingsmodul og kørte ud på Mars’ overﬂade. 10 dage senere,

den 25. januar gentog hele scenariet sig for Mars Exploration Rover B, også kaldet

Opportunity

De to roveres landinger blev fulgt med stor interesse. Ikke mindst på NASAs

Jet Propulsion Laboratory

(JPL), hvor der herskede en euforisk stemning og blev

grædt et utal af glædestårer, da det stod klart, at roverne havde klaret landingen

Informationerne stammer fra http://nssdc.gsfc.nasa.gov/database/MasterCatalog?sc=

2003-027A og http://nssdc.gsfc.nasa.gov/databas e/Ma ster Cata log? sc=2 003-032A

National Aeronautics and Space Administration.

Jet Propulsion Laboratory hører under California Institute of Technology (CalTech) og ligger

i Pasadena, Californien.

102 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

og var fuldt ud operationsdygtige. Euforien skyldtes, at Mars Exploration Rover -

missionen (MER) på det tidspunkt havde været en del af arbejdet på JPL igennem

en årrække. Et arbejde med at planlægge missionen ned til mindste detalje og med

at konstruere roverne og alt deres udstyr. Et arbejde af enormt omfang. Et arbejde,

der da MER-mis sionen var på sit højeste, beskæftigede over tusind folk; ingeniører,

radiofolk, geologer, fysikere, dataloger samt matematikere og mange, mange andre

videnskabelige medarbejdere. Denne »reportage« handler om den matematik, der

var involveret i disse folks arbejde.

Baggrund

I forbindelse med vores fælles speciale

på matematikoverbygningen ved Roskilde

Universitetscenter befandt vi os i en uge i marts 2005 på NASAs Jet Propulsion

Laboratory. Formålet med vores ophold var at blive klogere på det arbejde, som fo-

regår på JPL, i særdeleshed det matematiske arbejde. Vores tilgang var i realiteten

delvist humanistisk af natur – vi ville forsøge at opnå et indblik i de ansattes per-

sonlige motivation for at arbejde ved JPL samt arbejdsforholdene på institutionen.

Denne »menneskelige tilgang« ønskede vi at kombinere med en mere »matematisk

tilgang« i form af en selektiv undersøgelse af nogle af de matematiske problemstil-

linger, som skal behandles under en mission i rummet. Den overordnede ide var at

basere undersøgelsen på interviews med JPLs ansatte – ikke mindst på grund af

den manglende litteratur på området.

Figur 1 : Jet Propulsion Laboratory i Pasadena, Californien. Til venstre: JPL

set fra oven. http://ipac.jpl.nasa.gov/media_images/jpl_small.jpg Til højre:

En af JPLs hovedbygninger. http://www2.jpl.nasa.gov/files//images/browse/

jpl18161ac.gif

Drivkraften bag undersøgelsen var et ønske om at afdække i hvilken grad de

matematiske problemstillinger blev løst gennem nyudvikling af matematik eller

gennem allerede færdigudviklede løsninger. Med andre ord var vi interesserede i

at undersøge institutionens bidrag til matematisk grundforskning. Interessen for

Specialerapp orten består af teksterne [3], [4] og [5] og kan rekvirere s via IMFUFAs hjem-

meside http://mmf.ruc.dk/ eller kan ﬁ nde s som IMFUFA-tekst nr. 449 på http://mmf.ruc.dk/

imfufatekster/index.htm

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 103

JPL skyldtes en forestilling om, at de ekstreme forhold, der gør sig gældende for

en rummission, i en vis forstand ville smitte af på det matematiske arbejde i form

af ekstreme krav til den involerede matematik. Vi forestillede os altså, at et sted

som JPL ville udgøre et interessant grundlag for en undersøgelse af matematisk

grundforskning såvel som matematiske anvendelser.

Forskningsinstitution Jet Propulsion Laboratory er placeret et afsidesliggende

sted på vej op i bjergene, omgivet af skov lidt nord for Los Angeles’ forstad Pasa-

dena. Efter en halv times kørsel fra downtown Pasadena når man frem til områdets

indkørsel, hvor man hver dag mødes af uniformerede vagter, som undersøger bilen

og spørger, om man har en konkret aftale på stedet. Som udefra kommende får

man det førstehåndsindtryk, at indkørslen er en indgang til en »hemmelighedsfuld

verden«. Da vi ankom første dag blev vi hilst velkommen af en dame i receptionen

ved navn »Bobby«. Bobby informerede os om sikkerhedsprocedurerne på stedet og

telefonerede dernæst til dr. William Folkner for at meddele vores ankomst. Folkner

dukkede op efter et par minutter og tog os med rundt på JPLs arealer. I løbet af

den uge, vi tilbragte på stedet, mødte vi en håndfuld af JPLs ansatte, som vi i det

følgende skal forsøge at give et indtryk af.

JPLs mennesker

William Folkner var den person på stedet, vi havde mest kontakt med, og dermed

også den person vi havde ﬂest muligheder for at interviewe.

Vi talte med ham om de generelle betingelser for at arbejde med en rummission

og om typiske problemstillinger, der skal løses, eksempelvis beregning af banekurver

for fartøjerne. Desuden ﬁk vi lejlighed til at spørge ham om hans karriere og om

hans billede af de mennesker, der arbejder ved JPL. Folkner fortalte os, at han selv

havde taget en ph.d. inden for fysik fra University of Maryland. Derefter besluttede

han at søge ansættelse ved JPL for at væ re en del af den planetare udforskning.

Han har været på stedet siden 1988. Vi spurgte ham, om han mente, at hans vej

til JPL og efterfølgende karriere på stedet var typisk.

Figur 2 : Rundvisning på JPL. Til venstre: Uﬀe og dr. Albert Haldemann som viste os

rundt på JPL. Til højre: På besøg på JPLs museum for tidligere missioner sammen

med dr. William Folkner.

104 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

Most of the people I know has been here a long time or tend to be here

a long time. There aren’t many people who come here who just want

to b e here a year or two and then go away again. People who want to

do space work tend to want to do space work. I think this is the best

place in the world to do space work. The people here are all very, very

good. They are all very dedicated and they want to make these things

ﬂy. [1]

Ifølge Folkner skulle den stærkeste motivation for m ange af JPLs ansatte være

fascinationen af selve miss ionerne. Dette forhold ﬁk vi bekræftet adskillige gange

under opholdet. Mark Maimone, som var involveret i udviklingen af rovernes sty-

ring, fortalte at han ville blive på JPL, så længe det var muligt. Han er uddannet

ingeniør og færdiggjorde en ph.d. i Pittsburgh, Pennsylvania, efterfulgt af en post

doc. inden for space robotics, inden han ﬁk en stilling ved JPL i 1998. Om sin

baggrund for at tage arbejde ved JPL forklarede han:

When I was a kid I saw the Viking missions on Mars and I thought

that would be pretty neat, hunched over the terminal looking at these

pictures that nobody else would see for a year before it got published.

[9]

Om de personlige bevæggrunde for at komme til JPL talte vi også med Aaron Kiely

og Matthew Klimesh, som er hovedpersonerne bag ICER – den billedkomprime-

ringsalgoritme, som bliver benyttet af roverne til transmission af billeder. Begge

havde studeret i Michigan og havde ph.d. grader bag sig. De var kommet til JPL

kort tid efter færdiggørelse af deres studier og ønskede at blive der [7] [8].

JPLs forskere synes at være folk med det højeste uddannelsesniveau, som kom-

mer til JPL næsten umiddelbart efter afslutningen af deres universitetsstudie. De

er drevet af lysten til at arbejde med den planetare udforskning. For vores under-

søgelse var det interessant, at ingen af dem svarede, at de var på JPL, fordi det

gav mulighed for at arbejde med nye matematiske problemstillinger.

Figur 3 : På rundvisning ved JPLs »sandkasse«, hvor MER-roverne testkøres. Til

venstre: Bjørn Toldbod foran sandkassen. Til højre: Kopi af MER-rover, som an-

vendes til testkørsler på JPL.

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 105

Arbejdet på JPL

En af de første personer, som vi talte med om det matematiske arbejdet, var Jacob

Matºevic, som er uddannet matematiker og har været på JPL i en årrække. Vi

talte især med ham om det modelleringsarbejde, der foregår inden selve missionen

igangsættes.

En mission som MER handler i høj grad om at være i stand til at forudsige

diverse begivenheder. Når fartøjet ﬂyver oppe i rummet, er det umuligt at foretage

justeringer, som kræver mere end et radiosignal, og alting skal derfor fungere som

forventet.

Som eksempel kan nævnes Mars-miljøets påvirkning af instrumenterne om bord

på Spirit og Opportunity. Man er nødt til at have meget præcis viden om, hvor-

dan varme og kulde fordeler sig i roverens indre og påvirker instrumenterne. For

at opnå en sådan viden bygges virtuelle mo deller af roverne i software, som kan

simulere termiske forhold. Sådanne termiske modeller er typisk baseret på en række

diﬀerentialligninger, som løses i programmerne. Arbejdet for den ansatte på JPL

består i at bygge den virtuelle model af roveren. Den konkrete løsningsmetode, som

programmet implementerer er underordnet så længe den virker og ikke er alt for

langsommelig.

For at kunne forudsige den konkrete påvirkning af instrumenterne i de nævnte

modeller, er man ifølge Matºevic [10] også nødt til at have modeller for, hvordan

miljøet afhænger af årstiderne på Mars. Sådanne modeller baseres dels på data

fra de forskellige orbitere og dels på konkrete målinger foretaget på overﬂaden.

Korrektheden af sidstnævnte målinger afhænger i høj grad af, hvor god beskrivelsen

af instrumenternes opførsel i Mars-miljøet er, og kan altså ikke garanteres. Man kan

dog sammenligne sine orbiter-data med de konkrete målinger og på denne måde

modiﬁcere sine modeller, så disse langsomt bliver bedre og bedre. Alt dette foregår

i software. Me d hensyn til modellerne af årstidernes påvirkning af Mars-m iljøet er

det nok ikke urimeligt at sammenligne JPLs arbejde med arbejde, der foretages på

et meteorologisk institut. Matºevic fortalte følgende om dette arbejde:

When I ﬁrst arrived here over twenty years ago there were still eﬀorts

to hand-implement certain mathematical models for certain applica-

tions. And there were specialist applications here for specialists in the

applied mathematical sc ience s who worked here to make those appli-

cations possible. But over time much of that has been incorporated in

fairly standard and available simulation and modelling packages – com-

puter packages. Expansions have been introduced slowly over time to

these packages and that’s basically how the engineers here do their job.

Instead of going back to ﬁrst principles they apply these tools . . . the

foundation theories are from the eighteenth century to a large degree.

[10]

Der foregår altså en masse arbejde, s om involverer modellering og simulering, men

alt dette foregår i softwarepakker. Det kunne give én grund til at tro, at der sid-

der matematikere på JPL og udvikler sådanne pakker, men Matºevic fortalte, at

pakkerne for det meste stammer fra kommercielle ﬁrmaer.

Midt i ugen ﬁk vi mulighed for at interviewe en af JPLs ingeniører, Miguel san

Martin. Han fortalte med stor indlevelse om de udfordringer, som skal overvindes

106 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

når roverne skal orientere sig på Mars’ overﬂade. san Martin fortalte os, at navi-

gationen på overﬂaden er baseret på en velkendt teknik, som sømænd har brugt i

årtusinder på Jorden – man kigger på Solen. Sammen med en gravitationsvektor,

som kan måles af roveren, giver Solens position på himlen i store træk den infor-

mation, der er nødvendig for at kunne orientere sig på overﬂaden. Den matematik,

der er involveret, er forholdsvis simpel. san Martin fortalte, at stort se t al den

matematik, som indgår i hans arbejde er simpel af natur. Han sammenfattede det

således:

So that’s it. Not much. The mos t important is that you have millions of

these little, simple things. And that’s the trick; to make them all work,

and talk to each other and make sure that no parameter is tightened

too much or too little. The c omplexity of the space problem is keeping

it simple. [11]

William Folkner, der var til stede under interviewet, kommenterede:

Well, you hit a lot of mathematics in your descriptions, right, because

you need to know the positions of the axes of Mars around the Sun as a

function of time and you need to know what the orbits around the Sun

and the Earth were. There is a lot of mathematics hidden in what you

just said . . . We’ve worked all that out for us in the tables. So to know

where the Sun is now, you just look it up. Somebody had to ﬁgure it

out the ﬁrst time. [11]

Matematikken er altså klart tilstede i det videnskabelige arbejde på JPL, men den

forekommer til tider i form af informationer, som er en så integreret del af vores

»dagligdags viden«, at dens matematiske indhold glemmes. Samtalen illustrerer i

øvrigt, at ikke alle JPLs ansatte er så opmærksomme på disse matematiske forhold.

Arbejdets præmisser

Som omtalt i indledningen involverer et projekt som MER undertiden op imod tu-

sind mennesker ad gangen. Et så omfangsrigt projekt kræver naturligvis en enorm

mængde planlægning og ajourføring mellem forskellige afdelinger og arbejdsgrup-

per. Desuden kræves en utrolig høj pålidelighed af det arbejde, der udføres. En

enkelt fejl i et stykke teknologi eller en algoritme kan få alvorlige konsekvenser

og i værste tilfælde resultere i adskillige års spildt arbejde for mange hundrede

mennesker. En stor del af det arbejde, der foregår på JPL, er derfor præget af

omhyggelig udvikling og afprøvning. Jacob Matºevic fortalte følgende om arbejdet

med rovernes faldskærme:

We did drop tests. We did wind tunnel tests with the parachutes. But

even before this time it was through models of the proﬁles of these

devices that we came up with things like what the entry angles would

be, what sorts of release points should we be looking at, as well as

designing the algorithm that checks for height above the surface and

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 107

ﬁnding out at which time to deploy the parachute and at which time to

ﬁre the rockets for slowing the descent. All of this was based on what

we expected to be the environmental proﬁle that the vehicle would see

as it came down to the s urface. So this was all done in simulation. [10]

Figur 4 : Til venstre: Vindtunneltest af MER-landingsmodulets faldskærm. http:

//www.nasa.gov/centers/ames/images/content/79641main_picture_2.jpg

Til højre: MER-landingsmodulets airbags. http://photojournal.jpl.nasa.gov/

jpegMod/PIA04999_modest.jpg

Pålidelighed er altafgørende for missionerne. Står man og skal vælge mellem to

forskellige tilgange til en problemstilling, er man tilbøjelig til at vælge en velkendt,

gennemprøvet løsning i stedet for en ny og muligvis mere eﬀektiv løsning, som ikke

har været forsøgt tidligere. Vores samtale med en af JPLs ledende kodningsteore-

tikere, Jon Hamkins, bekræftede dette for brugen af de fejlkorrigerende koder der

anvendes til at korrigere for transmissionsfejl forårsaget af interferens på »linjen«

mellem Mars og Jorden.

The process of ﬂight qualiﬁcation is very long actually . . . and you

know missions that are signing up for a very complicated space craft

. . . they are out to minimize risks so they want stuﬀ that has been

ﬂown in previous missions, they don’t want something new. It’s kind of

contrary to the s pirit of exploration. They don’t want risks e ven though

we are conﬁdent that it works . . . it is a risk to a mission if it hasn’t

ﬂown before. [2]

Matematik og teknologi, som har været om bord på en tidligere mission, bliver

ikke betragtet som nær så usikke r og er derfor et mere attraktivt valg. Dette er et

forhold som gør sig gældende i alle områder af missionen. Matºevic omtalte dette

som »steady progress« [10]. Der foregår naturligvis en vis udvikling, men denne

udvikling foregår langsomt, og de nye ideer, som bliver introduceret i missionerne

vil for det meste være omkring ti år gamle ved opsendelsen, fordi de allerede skal

fastlægges under planlægningen af missionen.

Omfanget af projektet betyder også, at de forskellige afdelingers arbejde skal fær-

diggøres til bestemte deadlines. Deadlines virker ikke overraskende som en hæmsko

for udviklingen af nye ideer, da det er sværere at overholde deadlines, når man

arbejder m ed opgaver hvis løsninger ikke altid er velkendte . Det er helt utænkeligt

at gå igang med et stykke arbejde, hvis man ikke er sikker på, at der er tid til

108 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

at foretage tilstrækkelige afprøvninger af dette. William Folkner kommenterede,

hvordan de konstante deadlines påvirker sammensætningen af folk, der arbejder på

JPL:

There are ﬁve thousand pe ople here. How many post docs are there?

I don’t know, maybe a hundred and ﬁfty – something like that. We

don’t have a lot of graduate students and part of that is because almost

everything we do here has to be done on a particular time scale. Very

little of our budget is spent doing research where if we get the answer

next year or the year after that, it doesn’t matter. Everything has to

be done on a schedule. So it is not a good training environment for

graduate students. Graduate students here are not used much, because

the people who could supervise them are busy doing other things. [1]

Udover de faste deadlines er der et andet forhold, som klart forstærker tendensen

til at fravælge det nye og usikre: På JPL er man i nyere tid gået bort fra få store,

dyre missioner, og drejet i retning af mange små, men billige missioner. Pathﬁnder-

missionen fra 1996 havde således et samlet budget på kun 265 millioner dollars

hvilket sammenlignet med Viking-missionernes budget på 8 milliarder dollars må

betegnes som »low-cost«. MER-missionen har været dyrere end Pathﬁnder, men

stadig ikke i nærheden af Viking-beløbet.

Kan man genbruge noget fra en tidligere mission, kan man spare store mængder

af penge og tid, og de mange billige missioner må derfor nødvendigvis benytte en

del genbrug fra mission til mission. Genbruget gælder i en vis forstand også de

mennesker, som deltager i missionerne. Folkner fortalte:

A problem in doing the smaller missions is that you can only do them

with reasonably experienced people, and because they are small you

don’t have the budget to have an experienced person train an inexperi-

enced person. So JPL is getting older on the average, because we don’t

have a big mission to aﬀord enough people to have senior and junior

people. So JPL is short of junior people. That is not a problem yet,

but in ﬁve years or ten years it will be a disaster. The management

here knows that and is trying to deal with it but it is not often you

ﬁx problems until they occur. They are trying to get ahead of that,

but it is a diﬃcult thing. Because we are trying to do so many cheap

missions we depend on experienced people and we are not budgeting

training inexperienced people. It’s probably true throughout NASA and

the aerospace industry. [1]

Om matematikken i MER

Med hensyn til konkrete matematiske problemstillinger i missioner, så antyder de

beretninger, vi ﬁk gennem interviews, en række fælles træk for problemstillingerne.

Miguel san Martin fortalte os om ﬂere forskellige matematiske problemstilling-

er, som indgår i missionerne. Et problem, som altid er interessant for de planetare

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/database/MasterCatalog?sc=1996-068A

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 109

missioner, er Lost in Space problemet. Problemet indgår som fast element i transit-

fasen, i hvilken største delen af rejsen fra Jorden til Mars foregår. Problemet består

i at ﬁnde ud af, hvor i rummet man er ved at se på stjernerne. Hovedproblemet er

således at identiﬁcere de stjerner, man ser på. Det viser sig, at denne identiﬁcering

ikke er et trivielt problem. Man kan ikke identiﬁcere en stjerne alene ved dens lys-

styrke eller placering relativt til andre uidentiﬁcerede stjerner. Man er nø dt til at

se på de mønstre, som stjernerne danner. Imidlertid kan man simpliﬁcere opgaven

ved at se på Solen. san Martin fortalte:

People have been playing with variations of this since the ’60s. Some

versions are more clever than others. This one for instance cheated

because we used the Sun. »I’m in three dimensions and I don’t know

where I am. By looking at the Sun I know two dimensions.« Without

using the Sun, this problem is called the Lost in Space problem. [11]

Figur 5 : På rundvisning på JPL. Til venstre: Billede af en test af MER-rover forud

for opsendelsen. Til højre: Et af JPLs lab oratorier.

Problemstillingen, der forekommer i MER, er altså en forsimplet udgave af Lost

in Space problemet. Dette problem blev formuleret og løst allerede i tresserne, da

rummisionerne begyndte. Lost in Space problemet kræver, at man foretager en del

målinger fra rumfartøjet. Dette giver anledning til en ny problemstilling.

In the cruise we are spinning the spacecraft. We use conservation of

angular momentum to keep our spacecraft from turning. The most sop-

histicated piece of software that we have onboard during that time is a

Kalman ﬁlter. A Kalman ﬁlter is a statistical framework, or algorithm

perhaps, to mix information from diﬀerent sensors. So you have a dy-

namic model – in this c ase it’s a simple rigid body, which you represent

mathematically and then you have some sensors which measure where

the Sun is. And you have a statistical noisy model. [11]

Kalmanﬁlteret gør det muligt at kombinere data fra forskellige sensorer. Data fra

disse sensorer vil ofte være ufuldstændige, afhængige af måleudstyrets opførsel i

den konkrete situation eller måske påvirket af støj. Kalmanﬁlteret giver et estimat

af, hvordan målingerne ville have set ud uden alle disse forstyrrende elementer. san

Martin kommenterede brugen af ﬁltret:

110 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

You can come up with a sequential ﬁlter that allows you to optimally

combine the information from three things; your dynamic model, your

sensors and your star tracking into optimal information about your

attitude [rumfartøjets position relativt til en referenceramme] and the

inertial properties of your plant. So that is going on all the time. It’s a

well known aerospace industry. [11]

Kalmanﬁltreringen udgør altså ikke et stykke matematik, der er udviklet på JPL

til missionen, men er en del af et problem, der allerede var løst i tresserne.

Under vores interviews med William Folkner diskuterede vi blandt andet udfor-

dringen i at bestemme den rette banekurve for rejsen. Mars-missionerne gør altid

brug af den s amme banekurve, som kaldes Hohmann-banekurven. For to legemer

(Mars og Jorden), der kredser om et andet legeme (Solen) er Hohmann-banekurven

den løsning på banekurveproblemet, som kræver den mindste energi ved opsendel-

sen. Fordi Mars’ og Jordens bevægelser omkring Solen ikke ligger i samme plan,

fås i praksis to løsninger (type 1 og 2), som kræver den samme energi. Vi spurgte

Folkner, om banekurveproblemet er en standardøvelse:

Yes, for Mars it is a very standard exercise. For the other planets it tends

to be more complicated because you’ll trade ﬂybys of other planets for

angular momentum against the mission operations time . . . For going

to Mars it always comes down to: »Do you want to do type 1 or type

2?« [1]

Hohmann-banekurven, som stammer fra 1925

er endnu et eksempel på et mate-

matisk problem, som allerede er løst, og som blot skal pilles ned fra hylden fra

mission til mission.

De matematiske problemer og begreber, som vi har beskrevet ovenfor, er for-

holdsvist isolerede og afgrænsede. For at få et indtryk af en større sammenhængende

teori af betydning for missionen, udspurgte vi blandt andre Jacob Matºevic om den

kontrolteori, som ligger til grund for s tyringen af roverne. Han kunne dog afvise, at

denne del af missionen gør brug af nyudviklet matematik:

Mainly what we’re taking advantage of to at least create the driving

pattern, is the fact that each of the individual six wheels is controllable

at least for steering and so we can create in essence any kind of arc con-

dition. Because of the individual control we can modulate the speed of

the motor turns. That gives us a means for being able to accommodate

surface interactions between the wheels and the terrain. The foundation

is actually fairly simple. We’re using in each case a simple proportional

integral derivative; the control algorithm is very linear. [10]

Mere avanceret kontrolteori kunne muligvis opdages i Entry–Descent–Landing-

fasen (se ﬁgur 6). I denne fase styrer fartøjet ind gennem atmosfæren og lander på

planeten. Fasen indeholder en masse hændelser, hvis formål er at bremse fartøjet;

landeren bremses først af en faldskærm, som udfoldes, mens fartøjet er på vej ned

gennem atmosfæren. Herefter aﬀyres bremseraketter, og til sidst pustes landerens

Se eventuelt http://vesuvius.jsc.nasa.gov/er/seh/know2.html

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 111

Figur 6 : Ankomst, nedstigning og landing (Entry, Descent and Landing). [6]

airbags op. Når landeren er færdig med at hoppe henover planetens overﬂade luk-

kes luften ud af modulets airbags og dets tre kronblade åbnes. Når disse er åbne,

folder roveren sine solpaneler ud. I hver af disse trin, som er illustreret på ﬁgur 6,

er involveret en vis mængde kontrolteori. Vi spurgte William Folkner om de nye

missioner var mere avancerede i denne henseende end de tidligere:

The Viking had powered descent. They had rockets coming down, a

much more complex control than Pathﬁnder or MER. Much more com-

plex. [1]

Der synes altså heller ikke i denne henseende at være noget at komme efter med

hensyn til matematisk grundforskning. William Folkners svar antyder endda, at

kontrolteorien snarere er på vej ud end ind i missionerne.

Den skjulte matematik

Når man betragter en rummission udefra er det klart, at den matematik, som indgår

i arbejdet til en vis grad er »skjult«. Vi havde måske lidt naivt forestillet os, at

når man kørte ind på JPLs område, så var matematikken i missionen pludseligt

112 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

meget mere synlig. Vores empiriske arbejde har imidlertid overbevist os om, at

skjultheden ikke kun er et spørgsmål om at betragte missionen udefra eller indefra.

Skjultheden forekommer på ﬂere niveauer. For den almindelige oﬀentlighed er

matematikken skjult i en masse teknologi, hvis virkemåde sjældent diskuteres i det

oﬀentlige rum. Denne skjulthed er muligvis betinget dels af mediernes angst for at

frastøde læsere eller seere ved at formidle »kedelig« viden om missionerne og dels af

de besværligheder, der normalt er forbundet med at formidle abstrakt matematik

til ikke indviede. Denne skjulthed er ikke så interessant at diskutere for os, fordi

den er så åbenlys.

Mere interessant er det, at matematikken i et vist omfang også er skjult inden

for JPLs mure. Som omtalt tidligere er en stor del af den matematik, der udgør

grundlaget for at løse missionernes mange problemstillinger, indlejret og dermed

skjult i software-pakker. Disse software-pakker e r i vid udstrækning kommercielle

pakker, der er udviklet uden for JPL. For ansatte på JPL er det vigtigt at vide,

hvordan pakkerne benyttes på korrekt vis, og det kræver sandsynligvis et vist

matematisk kendskab, men den speciﬁkke matematik, der indgår i pakkerne, er

det ikke for JPL-folkene nødvendigt at forstå i detaljer.

Det er altså ikke urimeligt at sige, at matematikken i en vis forstand er udlici-

teret, og at implementeringen i pakker medvirker til at usynliggøre matematikken

for JPLs ansatte. Som samtalen mellem William Folkner og Miguel san Martin på

side 106 illustrerer, betyder dét at matematikken er usynlig, at den også i et vist

omfang fortrænges fra bevidstheden.

Et andet forhold i denne sammenhæng, som er værd at nævne, er at JPLs

projekter er så store, at sondringen mellem at være indenfor og udenfor til dels er

meningsløs. En ansat, som arbejder med en særlig del af missionen, har naturligvis

en overordnet opfattelse af, hvilken matematik, der er involveret i andre dele af

missionen, men som nedenstående uddrag af en af vores samtaler med William

Folkner viser, er detaljerne i høj grad skjulte. Samtalens indledende bemærkning var

en vittighed, som skulle illustrere, at matematikken i missionen e r så omfangsrig,

at det er nemmere at se på den matematik, som ikke er involveret.

– We don’t do any map theory for instance. Four color map problem. You know

that? We don’t do any of that. We don’t really use any abstract algebra, group

theory and that sort.

Except in the channel coding.

– They use abstract algebra and group theory in that?

The Reed–Solomon codes are based on Galois Fields.

– That’s news to me. I didn’t know that, all right, interesting. [11]

Channel coding – eller kanalkodning – er en teori, som gør det muligt ‘matematisk’

at gøre et signal, der transmitteres i rummet, modstandsdygtigt overfor interferens.

Teorien kendes også under navnet fejlkorrigerende koder. William Folkner kendte

tydeligvis ikke til teoriens fundament. Det er i øvrigt værd at bemærke, at Folkner

siger »They use abstract algebra and group theory in that?« Dette antyder, at

samhørigheden mellem de forskellige afdelinger på JPL ikke er så stor. Matema-

tikken i MER er altså også til dels skjult fra afdeling til afdeling. Vores interviews

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 113

antyder, at de ansatte kun kender til detaljerne i den matematik, som de arbejder

med til daglig.

JPL: Forbruger eller udvikler af matematik?

Vi har i det ovenstående forsøgt at beskrive nogle af de forhold, der gør sig gældende

på JPL – både med hensyn til de ansatte og med hensyn til arbejdets form og

indhold.

Det arbejde, der foretages på JPL, er ikke koncentreret om at ﬁnde nye og bedre

løsninger på problemerne. I stedet vælges løsninger, som allerede er udviklede og

afprøvede. Der er en lang række faktorer, som vi mener, understøtter dette.

En meget væsentlig faktor er, at matematik udviklet til lejligheden og imple-

menteret i teknologi introducerer en række usikkerhedsmomenter. Der er for det

første usikkerheden om, hvornår arbejdet gøres færdigt. Matematisk grundforsk-

ning er besværligt at passe ind under fastlagte deadlines, fordi det ofte er svært

at vurdere, hvor lang tid det tager at løse et givet problem. For et sted som JPL,

hvor deadlines er så vigtige og opsendelsesvinduerne for missionerne så små, kan

forsinkelser ikke tolereres. Et andet usikkerhedsmoment har at gøre med afprøv-

ning. Selvom man afprøver et nyt stykke teknologi med dertil indlejret matematik

inden missionens opsendelsesfase, så ved man ikke, om alting fungerer korrekt, før

missionen er i gang. Matematik og teknologi, som har været om bord på en tidligere

mission, er ikke nær så usikker og er derfor et mere attraktivt valg.

En anden væsentlig faktor er økonomien. »Low-cost« missionerne er nødt til at

genbruge fra mission til mission, for som Folkner udtrykker det:

Everything is a cost-beneﬁt analysis. The whole space system is a cost-

beneﬁt analysis. [1]

En tredje faktor er et mere menneskeligt aspekt. De personer, der kommer til JPL,

kommer der for at gennemføre rummissioner og ikke for at udvikle ny matematik.

Motivationen bag det daglige arbejde er altså ikke at bedrive matematisk grund-

forskning. Dertil kommer krav om at vælge sikre, billige løsninger. Vi mener, at

disse faktorer er med til at forstærke billedet af JPL som en matem atik-forbruger

frem for en matematik-udvikler.

Vi har i det foregående nævnt nogle konkrete matematiske problemstillinger, som

optræder i MER-missionen. Disse problemstillinger mener vi ligeledes understøtter

ovenstående pointe. Både Kalmanﬁlteret og Lost in Space problemet har været

kendt og behandlet siden 1960’erne. At konstruere software, som implementerer

Kalmanﬁlteret, og få den software til at fungere om bord på e t rumfartøj er en

kæmpe ingeniørmæssig udfordring, men det er ikke en matematisk udfordring. Det

samme gælder for Lost in Space problemet.

Kontrolteorien i miss ionen er endnu et af de eksempler, som vi har nævnt. Vores

samtaler med Jacob Matºevic og William Folkner antyder, at der ikke er udviklet

noget kontrolteori sp e cie lt til MER-missionen. William Folkner antyder endda (se

citatet på side 111), at kontrolteorien snarere er på vej ud af m issionen end ind i

den.

114 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist Normat 3/2006

Hohmann-banekurven har været kendt siden 1925 og er den banekurve, der altid

benyttes til Mars-missionerne. Banekurven er et godt eksempel på matematik, som

bare skal pilles ned fra hylden, når der er brug for den. At de behov, der er for

matematik i missionerne, i en vis grad allerede er dækket, betyder naturligvis også,

at der ikke foretages nyudvikling. Som følgende kommentar fra Folkner illustrerer,

har rover-missionernes matematiske behov i øvrigt ikke ændret sig særligt meget:

It is very similar. In terms of design of the trajectory, doing the com-

putations for ﬁnding out what time of day it is and where to steer the

antenna, which direction to put the arm in, it’s very sim ilar. I don’t

think the mathematics has changed very much. [1]

Umiddelbart ser det altså ikke ud til, at der er meget at komme efter med hensyn

til matematik udviklet speciﬁkt til MER. Der er heller ikke noget, der tyder på, at

genbrugen af matematikken skulle være speciel for MER, men nærmere typisk for

de nyere rummissioner. Vi spurgte Folkner, om det forhold, at roverne om bord på

MER (og Pathﬁnder i 1996) var mobile enheder, havde introduceret ny matematik

i missionerne:

I don’t consider that a big mathematical diﬀerence. It is a huge tech-

nological diﬀerence, but not a big mathematical – I don’t think there

is a diﬀerent class of mathematics invented to make it happen. [1]

Afrunding og konklusion

Vores undersøgelse peger på, at MER-missionen og andre aktuelle Mars-missioner

i høj grad er forbrugere af matematik, men at missionerne giver meget lidt tilbage i

form af grundforskning til matematiske teorier. Der er ﬂere årsager til dette forhold.

For det første er Mars-missionerne prestigeprojekter med dertil hørende b evå-

genhed fra alle kanter, hvilket udmønter sig i en modvilje mod at introducere

usikkerhedsmomenter i form af nyudviklet matematik. For det andet er de aktuelle

Mars-missioner såkaldte »low-cost« missioner, som er nødt til at genbruge allerede

eksisterende løsninger på de problemer, der altid skal løses, eksempelvis beregning

af banekurver. Matematikken synes altså at være noget, der tages ned fra hyl-

den efter behov og er i øvrigt til dels skjult for JPLs ansatte. Vores vurdering af

de aktuelle Mars-missioner og af institutionen JPL er, at bidraget til matematisk

grundforskning er yderst begrænset.

Det billede af Mars-missionen, som vi står tilbage med nu efter vores undersøgel-

se, er markant forskelligt fra vores oprindelige forestillinger. Vi havde regnet med,

at missionernes ekstreme natur ville stille ekstreme krav til matematikken, og at

den matematiske udvikling fra mission til mission derfor ville være langt større, end

det synes at være tilfældet. De ekstreme krav, der stilles, synes for matematikkens

vedkommende i højere grad at dreje sig om ekstrem pålidelighed. JPL beskæftiger

en masse mennesker med helt konkrete, fastlagte arbejdsopgaver, som skal udføres

efter et nøje fastlagt skema. Få mennesker er på JPL for at bedrive grundforskning.

Krav om pålidelighed og rettidighed af det arbejde, der udføres, er naturligvis en

væsentlig grund til dette.

Normat 3/2006 Bjørn Toldbod & Uﬀe Thomas Jankvist 115

Vores beskrivelse af arbejdets mere eller mindre fastlåste natur skal ikke opfattes

som et udtryk for, at arbejdet på JPL er kedeligt og rutinepræget. Vores indtryk

af arbejdet var nærmest det modsatte. Den fastlåste natur betyder blot, at mu-

ligheden for at bedrive matematisk grundforskning er yderst begrænset, ligesom

tilstrømningen af nye matematiske ideer må formodes kun at foregå i ringe grad.

Denne beretning skal ikke opfattes som en kritik af NASAs Jet Propulsion La-

boratory. Institutionen udfylder nemlig en anden særdeles vigtig rolle for matema-

tikken – aftagerens rolle.

Litteratur

[1] William Folkner, Interview med doktor William Folkner den 17. marts 2005, 2005,

Foretaget på JPL, Pasadena.

[2] Jon Hamkins, Interview med doktor Jon Hamkins den 14. marts 2005, 2005,

Foretaget på JPL, Pasadena.

[3] Uﬀe Thomas Jankvist and Bjørn Toldbod, Matematikken bag Mars-missionen – En

empirisk undersøgelse af matematikken i MER med fokus på kildekodning og

kanalkodning, Master’s thesis, Oktober 2005, Tekster fra IMFUFA, nr. 449a.

[4] , Matematikken bag Mars-missionen – Indførelse i den grundlæggende teori

for kildekodning og kanalkodning i MER, Master’s thesis, Oktober 2005, Tekster fra

IMFUFA, nr. 449b.

[5] , Matematikken bag Mars-missionen – Transskriberede interviews fra DTU,

Brown University, MIT og JPL, Master’s thesis, Oktober 2005, Tekster fra

IMFUFA, nr. 449c.

[6] JPL, Mars Exploration Rover (MER) Project Mission Plan, April 2002.

[7] Aaron Kiely, Interview med doktor Aaron Kiely den 14. marts 2005, 2005,

Foretaget på JPL, Pasadena.

[8] Matthew Klimesh, Interview med doktor Matthew Klimesh den 14. marts 2005,

2005, Foretaget på JPL, Pasadena.

[9] Mark W. Maimone, Interview med doktor Mark W. Maimone den 17. marts 2005,

2005, Foretaget på JPL, Pasadena.

[10] Jacob Matºevic, Interview med doktor Jacob Matºe vic den 14. marts 2005, 2005,

Foretaget på JPL, Pasadena.

[11] Miguel san Martin and William Folkner, Interview med doktor Miguel san Martin

& doktor William Folkner den 14. marts 2005, 2005, Foretaget på JPL, Pasadena.