116 Normat 54:3, 116–133 (2006)
Ortogonale polynomier og Hilbertmatricen
Christian Berg
Institut for Matematiske Fag
Universitetsparken 5
DK 2100 København Ø
Danmark
berg@math.ku.dk
Resumé
I artiklen gives en kort introduktion til teorien f or ortogonale polyno-
mier og deres forbindelse til Hankelmatricer, dvs. matricer hvor elementet
på i, j’te plads kun afhænger af summen af disse indices. Vigtige eksempler
er Hilbertmatricerne, som indeholder reciprokke naturlige tal, og de analoge
“Filbertmatricer”, hvor elementerne er reciprokke Fibonacci tal.
Som et vigtigt eksempel på ortogonale p olynomier betragtes Legendrepo-
lynomierne. De har heltallige koefficienter, og der vises hvorledes dette kan
bruges til at indse, at de inverse til Hilbertmatricerne har heltallige elementer.
Til sidst nævnes nogle nyere resultater, som forbinder det indeterminerede
moment problem med forskellige områder af matematikken.
1 Indledning
I elementær matrixregning møder man Hilbertmatricen
H
n
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
1
2
...
1
n +1
1
2
1
3
...
1
n +2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
n +1
1
n +2
...
1
2n +1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
, (1)
hvis ij’te element er 1/(i + j + 1), når man nummererer de n +1 rækker og søjler
med tallene 0, 1,...,n. For små værdier af n kan m an let udregne determinanten
og den inverse matrix. For n =1, 2 finder man det(H
1
)=1/12, det(H
2
)=1/2160
og
H
1
1
=
✓
4 6
6 12
◆
,H
1
2
=
0
@
9 36 30
36 192 180
30 180 180
1
A
.
Normat 3/2006 Christian Berg 117
Det overraskende er, at de inverse matricer får heltallige elementer, og at determi-
nanten følgelig bliver en stambrøk, altså e n brøk af formen 1/k for et naturligt tal k.
Hilbertmatricen blev introduceret af Hilbert i [15], hvor der gives en formel for de-
terminanten. Hilbertmatricen og dens uendelig dimensionale variant har en række
interessante egenskaber, som findes behandlet i [12]. Hvis man ønsker at udregne
den inverse matrix på computer og repræsenterer stambrøkerne ved decimalbrøker
opdager man, at der kan ske betydelige afrundingsfejl.
D. Hilbert år 1900
Den kendsgerning, at
1
i + j +1
=
Z
1
0
x
i+j
dx,
som kan udtrykkes, at Hilbertmatricen er Hankelmatricen (s
i+j
) hørende til mo-
menterne s
n
=1/(n + 1) for Lebesguemålet på enhedsintervallet, jfr. detaljerne
nedenfor, fik mig til at spekulere på om ikke egenskaber ved de tilhørende orto-
gonale polynomier, nemlig Legendrepolynomierne, skulle kunne forklare, at de re-
ciprokke Hilbertmatricer er heltallige, og det viste sig at være tilfældet. Dette e r
motiveringen for nærværende arbejde.
I de sidste 20 år har der været stor matematisk aktivitet i området ortogonale
polynomier og specielle funktioner. Der kan fremhæves mange grunde til det og lad
mig nævne fem:
Med de fantastiske beregningsmuligheder som computerne har givet, har der væ-
ret behov for at raffinere de eksisterende teoretiske metoder. De klassiske ortogonale
polynomier har altid spillet en vigtig rolle via Gauss kvadratur.
Computerne har gjort det meget nemme re end tidligere at teste hypoteser om
specielle funktioner.
Teorien for q-serier eller q-specielle funktioner, der går tilbage til Heine, har fået
en renæss ance bl.a. på grund af fysiske teorier om kvantedeformation. Værket [14]
har haft stor betydning og kan opfattes som en statusrapport over vores viden på
området.
Det blev observeret, at adskillige af Ramanujans opdagelser kunne forstås i et
nyt lys ved teorien for ortogonale polynomier. Her skal henvises til R. Askeys vi-
dunderlige artikel [4], hvor han bl. a. påpeger, at flere af Ramanujans b es ynderlige
formler kan fortolkes som løsninger til indeterminerede momentproblemer, som er
118 Christian Berg Normat 3/2006
momentproblemer, hvor der er forskellige sandsynlighedsmål med de samme mo-
menter. Min egen forskning har i en årrække været orienteret mod det indetermi-
nerede momentproblem, se f. eks. [6].
Nyere talteoretiske resultater har kunnet bevises på elegant måde ved ind-
dragelse af polynomial approksimation via ortogonale polynomier. For eksempel
kan Apérys sensationelle resultat om irrationaliteten af værdien af Riemanns zeta-
funktion for x =3
⇣(3) =
1
X
n=1
1
n
3
bevises ved udnyttelse af Legendrepolynomierne for intervallet ]0, 1[, se [5, Afsnit
7.7]. Det er de samme ortogonale polynomier vi skal udnytte i dette arbejde for at
indse, at den inverse matrix til Hilbertmatricen har heltallige indgange.
2 Ortogonale Polynomier
Vi antager, at der er givet et sandsynlighedsmål µ på den reelle tallinje R, og vi
betragter målets momenter
s
n
= s
n
(µ)=
Z
x
n
dµ(x),n=0, 1,..., (2)
som antages at eksistere. Se eksemplerne i skemaet nedenfor. Det er nu muligt at
indføre et skalarprodukt på vektorrummet P af polynomier med reelle koefficienter
ved
hp, qi =
Z
p(x)q(x) dµ(x),p,q2 P. (3)
Med til kravet for et skalarprodukt hører, at kpk =
p
hp, pi =0kun er muligt,
når p er nulpolynomiet. Af
R
p(x)
2
dµ(x)=0skal altså følge, at p er nulpolyno-
miet. Da et egentligt polynomium kun har endeligt mange rødder, må vi kræve,
at sandsynlighedsmålet µ ikke er koncentreret i endeligt mange punkter. Mængden
af sandsynlighedsmål på R med vilkårlige momenter og som ikke er koncentreret i
endeligt mange punkter betegnes M
⇤
.
Lad der nu være givet µ 2M
⇤
. Gennemføres Gram–Schmidt ortonormalisering
af monomierne 1, x, x
2
,... opnås en følge (P
n
)
n0
kaldet de ortonormale polyno-
mier knyttet til µ, og som er entydigt bestemt ved kravene
(i) P
n
er et polynomium af grad n med positiv ledende koefficient,
(ii)
Z
P
n
(x)P
m
(x) dµ(x)=
n,m
=
(
1, for n = m
0, for n 6= m.
Da µ har masse 1 må P
0
(x)=1. Hvis (k
n
)
n0
er en følge af tal så k
0
=1, k
n
6=0
for n 1, så vil polynomierne p
n
= k
n
P
n
i stedet for (ii) opfylde
Z
p
n
(x)p
m
(x) dµ(x)=k
2
n
n,m
.
Normat 3/2006 Christian Berg 119
De ortonormale polynomier P
n
er især nyttige ved teoretiske overvejelser, men
de klassiske ortogonale polynomier er sædvanligvis givet som p
n
= k
n
P
n
med en
passende følge k
n
.
Lad os se på nogle vigtige eksempler i følgende skema:
Sandsynlighedsmål Momentfølge Ortogonale polynomier
e
x
2
p
⇡
dx
⇢
s
2n
=1· 3 ···(2n 1)
s
2n+1
=0
Hermitepolynomier
e
x
1
]0,1[
(x) dx s
n
= n! Laguerrepolynomier
1
]0,1[
(x) dx s
n
=
1
n +1
Legendrepolynomier
e
a
1
X
k=0
a
k
k!
k
s
n
= e
a
1
X
k=0
k
n
a
k
k!
Charlierpolynomier
I dette skema har de tre første mål tætheder med hensyn til Lebesgue målet,
medens det sidste mål er diskret og afhænger af en parameter a>0, idet
k
betegner det sandsynlighedsmål, der har massen 1 koncentreret i tallet k. For et
interval I betegner 1
I
indikatorfunktionen for I givet ved
1
I
(x)=
(
1, for x 2 I
0, for x/2 I.
Det skal bemærkes, at Legendrepolynomierne ofte henføres til intervallet ]1, 1[, og
at der for dette interval betragtes familien af Jacobipolynomier hørende til målet
c(↵, )(1 x)
↵
(1 + x)
1
]1,1[
(x) dx,
idet konstanten c(↵, ) er fastlagt, så målet bliver et s andsynlighedsmål. Konstan-
ten kan udtrykkes ved Eulers betaintegral, se f.eks. [5], og man må kræve ↵, > 1.
Legendrepolynomierne (for ]1, 1[ ) hører til det specielle valg ↵ = =0. Normalt
betragtes også m ere generelle Laguerrepolynomier end ovennævnte, idet man be-
tragter målet
1
(↵ + 1)
x
↵
e
x
1
]0,1[
(x) dx,
hvor ↵>1 er en parameter. Ved at have divideret med Eulers Gammaintegral
fås et sandsynlighedsmål. Laguerrepolynomierne fra skemaet hører til ↵ =0.
Hermite, Laguerre og Jacobipolynomierne kaldes under et de klassiske ortogonale
polynomier. Man kan vise, at der ikke er andre muligheder (bortset fra skalering
af intervallerne), hvis man samtidig ønsker, at polynomierne skal være løsninger til
en differentialligning af anden orden. Dette resultat går tilbage til Bo chner (1929).
120 Christian Berg Normat 3/2006
Der er også en række andre egenskaber, der karakteriserer de klassiske ortogonale
polynomier, se f. eks. [2].
Lad mig nævne nogle vigtige sandsynlighedsmål (også kaldet fordelinger), som
ikke fører til ortogonale polynomier i sædvanlig forstand.
For binomialfordelingen
µ =
N
X
k=0
✓
N
k
◆
r
k
(1 r)
Nk
k
,
hvor 0 <r<1 er en parameter, vil µ ikke tilhøre M
⇤
da kpk =0for p(x)=
x(x 1) ···(x N). Cauchyfordelingen 1/(⇡(1 + x
2
)) dx tilhører heller ikke M
⇤
,
men det er fordi den ikke har momenter af orden 1, idet |x|
↵
er integrabel med
hensyn til Cauchyfordelingen netop når ↵<1.
Vedrørende den generelle teori for ortogonale polynomier henvise s til de klassiske
værker af SzegÆ [22] og Akhiezer [1], til Chiharas bog [11] og til det helt nye
monumentale værk af Ismail [16]. De vigtigste ortogonale polynomier optræder
i det s åkaldte Askey-skema eller dets q -version. Det er de polynomier der kan
fremstilles som hypergeometriske funktioner eller q-hypergeometriske funktioner
op til niveauet
4
F
3
henholdsvis
4
'
3
. Vi henviser også til Kaºsers artikel [17] om de
ortogonale polynomier med hensyn til målet
µ =
1
2 cosh
⇡x
2
dx.
Det er værd at bemærke, at skalarproduktet (3) kun afhænger af momenterne,
for hvis
p(x)=
n
X
k=0
a
k
x
k
,q(x)=
m
X
l=0
b
l
x
l
(4)
så finder vi
hp, qi =
n
X
k=0
m
X
l=0
s
k+l
a
k
b
l
, (5)
som fremhæver betydningen af matricerne
H
n
=
0
B
B
B
@
s
0
s
1
··· s
n
s
1
s
2
··· s
n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n
s
n+1
··· s
2n
1
C
C
C
A
,n=0, 1,...,
kaldet Hankelmatricerne. Læg mærke til at det i, j’te e leme nt i (n + 1) ⇥ (n + 1)
matricen H
n
er s
i+j
, idet der er tradition for at nummerere rækker og søjler fra
0 til n. Matricen H
n
er symmetrisk og den tilhørende kvadratiske form hænger
sammen med skalarproduktet
hp, pi =(a
0
,a
1
,...,a
n
)H
n
(a
0
,a
1
,...,a
n
)
t
,
Normat 3/2006 Christian Berg 121
idet p er som i (4) og (a
0
,a
1
,...,a
n
)
t
er en søjlevektor. Dette udtryk viser også,
at matricen H
n
er positivt definit, og dermed er D
n
:= det H
n
> 0 for hvert n.
1
Det er iøvrigt en simpel øvelse i determinantteori at vise, at P
n
kan udtrykkes
på følgende måde (idet vi sætter D
1
=1)
P
n
(x)=
1
p
D
n1
D
n
s
0
s
1
··· s
n
s
1
s
2
··· s
n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n1
s
n
··· s
2n1
1 x ··· x
n
. (6)
Ved at udvikle determinanten efter sidste række ser man nemlig, at formlen (6)
definerer et polynomium P
n
af n’te grad og den ledende koefficient er
p
D
n1
/D
n
, (7)
så (i) er opfyldt. For at se (ii) udnyttes også udvikling af determinanten efter sidste
række, så for k n er
Z
P
n
(x)x
k
dµ(x)=
1
p
D
n1
D
n
s
0
s
1
··· s
n
s
1
s
2
··· s
n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n1
s
n
··· s
2n1
s
k
s
k+1
··· s
k+n
,
som er 0 for k<nfordi to rækker er ens, og for k = n er udtrykket lig med
D
n
p
D
n1
D
n
=
s
D
n
D
n1
.
Heraf fås altså, at P
n
er ortogonal på alle monomier x
k
med k n 1 og dermed
på alle polynomier af grad n 1. Udnyttes dette kan vi skrive
Z
P
2
n
(x) dµ(x)=
r
D
n1
D
n
Z
P
n
(x)x
n
dµ(x)=1,
og vi har vist, at også (ii) gælder.
3 Christoffel–Darboux’s summationsformel
I teorien for Fourier rækker spiller Dirichlets kerne en vigtig rolle, idet den tillader
beregning af rækkens afsnit. I teorien for ortogonale polynomier spiller kernen
K
n
(x, y)=
n
X
k=0
P
k
(x)P
k
(y) (8)
1
En berømt Sætning af Hamburger fra 1920 karakteriserer momentfølgerne ved disse egenska-
ber: Lad (s
n
) være en reel talfølge med egenskaberne D
n
:= det H
n
> 0 for alle n 0 og antag
s
0
=1. Så er (s
n
) momentfølge for et passende µ 2M
⇤
.
122 Christian Berg Normat 3/2006
en analog rolle. Ortogonaludviklingen for en funktion f med hensyn til (P
n
) er den
uendelige række
1
X
k=0
c
k
P
k
(x), hvor c
k
=
Z
f(x)P
k
(x) dµ(x).
Man ser let, at rækkens afsnit S
n
(x)=
P
n
k=0
c
k
P
k
(x) er bestemt ved formlen
S
n
(x)=
Z
f(y)K
n
(x, y) dµ(y). (9)
Der vides iøvrigt næsten intet om punktvis konvergens af ovenstående ortogonal-
udvikling i det generelle tilfælde.
Som optakt til Christoffel–Darboux’s formel for kernen K
n
(x, y) skal vi først re-
degøre for et andet nøgleresultat om ortogonale polynomier. Ortogonaludviklingen
for xP
n
(x) er den endelige sum
xP
n
(x)=
n+1
X
k=0
c(n, k)P
k
(x), (10)
hvor
c(n, k)=
Z
xP
n
(x)P
k
(x) dµ(x),k=0, 1,...,n+1.
Polynomiet P
n
er ortogonalt på alle polynomier af grad n 1 og specielt på
xP
k
(x) for k n 2. Dette viser, at der er højst 3 led i summen (10). Sættes for
n =0, 1,...
a
n
=
Z
xP
2
n
(x) dµ(x),b
n
=
Z
xP
n
(x)P
n+1
(x) dµ(x), (11)
har vi klart c(n, n)=a
n
, c(n, n + 1) = b
n
men også (for n 1)
c(n, n 1) =
Z
xP
n
(x)P
n1
(x) dµ(x)=b
n1
.
Udnyttes, at den ledende koefficient i P
n
(x) er givet ved (7), så ser man let af (11),
at b
n
er givet ved udtrykket i følgende hovedresultat:
Sætning 3.1 (Treleds-rekursionen) Lad følgerne (a
n
), (b
n
) være defineret ved
(11). Så gælder
xP
n
(x)=b
n
P
n+1
(x)+a
n
P
n
(x)+b
n1
P
n1
(x),n 1,
xP
0
(x)=b
0
P
1
(x)+a
0
P
0
(x).
Videre gælder
b
n
=
p
D
n1
D
n+1
D
n
> 0,n 0.
Normat 3/2006 Christian Berg 123
Ved at definere P
1
=0behøver man ikke huske specialtilfældet n =0i treleds-
rekursionen. Ved at udnytte denne 2 gange finder man ved lidt regning
(x y)P
k
(x)P
k
(y)=
b
k
P
k+1
(x)P
k
(y) P
k
(x)P
k+1
(y)
b
k1
P
k
(x)P
k1
(y) P
k1
(x)P
k
(y)
.
Summeres dette udtryk for k =0, 1,...,n og udnyttes, at højresiden teleskoperer
fås:
Sætning 3.2 (Christoffel–Darboux’s summationsformel)
(x y)K
n
(x, y)=b
n
P
n+1
(x)P
n
(y) P
n
(x)P
n+1
(y)
.
Vi skal nu give et andet udtryk for K
n
(x, y), som er afgørende for de talteoretiske
aspekter af dette arbejde.
Det er uden videre klart, at vi kan skrive
K
n
(x, y)=
n
X
i=0
n
X
j=0
a
(n)
i,j
x
i
y
j
, (12)
hvor tallene a
(n)
i,j
er entydigt bestemt og a
(n)
i,j
= a
(n)
j,i
. Samles disse tal i en (n + 1) ⇥
(n + 1)-matrix A
n
=(a
(n)
i,j
), så er denne matrix den inverse til Hankelmatricen H
n
:
Sætning 3.3 Der gælder
A
n
H
n
= H
n
A
n
= E
n
,
idet E
n
er enhedsmatricen af orden n +1.
Bevis. For 0 k<mer
R
x
k
P
m
(x) dµ(x)=0, så for 0 k n er
Z
x
k
K
n
(x, y) dµ(x)=
k
X
m=0
P
m
(y)
Z
x
k
P
m
(x) dµ(x) (13)
et polynomium i y af grad k. På den anden side har vi
Z
x
k
K
n
(x, y) dµ(x)=
n
X
j=0
⇣
n
X
i=0
s
k+i
a
(n)
i,j
⌘
y
j
,
og derfor er
n
X
i=0
s
k+i
a
(n)
i,j
=0,
når k<j n, og når j = k er summen lig med koefficienten til y
k
i (13), altså
netop lig med
p
D
k1
/D
k
Z
x
k
P
k
(x) dµ(x)=
Z
P
2
k
(x) dµ(x)=1.
124 Christian Berg Normat 3/2006
Da matricen H
n
A
n
er symmetrisk, viser ovenstående, at den er enhedsmatricen.
⇤
Selv om det ikke er relevant for denne frems tilling, er der god grund til at gøre
opmærksom på, at treleds-rekursionen karakteriserer ortogonale polynomier.
Sætning 3.4 (Favards Sætning) Lad (a
n
), (b
n
) være to vilkårlige reelle talfølger
og antag at b
n
> 0 for alle n. Sæt P
1
=0,P
0
=1og definér polynomierne (P
n
)
n1
successivt ved treleds-rekursionen
xP
n
(x)=b
n
P
n+1
(x)+a
n
P
n
(x)+b
n1
P
n1
(x),n 0.
Med disse forudsætninger findes µ 2M
⇤
, så (P
n
) er de ortonormale polynomier
knyttet til µ.
Sætningen blev formuleret og bevist af Favard
2
i 1935, men det e r blevet påpeget,
at resultatet har været kendt før i mindre eksplicit form, se [11, p. 21].
4 Legendrepolynomier
Vi skal nu studere tilfælde III i skemaet fra paragraf 2.
Sætning 4.1 Polynomierne
p
n
(x)=
1
n!
D
n
⇥
x(1 x)
⇤
n
,n 0 (14)
er ortogonale med hensyn til målet µ =1
]0,1[
(x) dx, og de tilhørende ortonormale
polynomier er givet ved
P
n
(x)=(1)
n
p
2n +1p
n
(x). (15)
Polynomierne p
n
har heltallige koefficienter og er givet ved formlen
p
n
(x)=
n
X
k=0
(1)
k
✓
n
k
◆✓
n + k
n
◆
x
k
. (16)
Bevis. Formel (14) kaldes Rodrigues’ formel efter den fransk m atematiker og banki-
er O. Rodrigues, om hvem der for nylig er udkommet en biografi [3].
2
J. Favard(1902-65), fransk matematiker. Han tilbragte en periode omkring 1925 i København
for at studere næste nperiodiske funktioner hos Harald Bohr.
Normat 3/2006 Christian Berg 125
O. Rodrigues (1794-1850)
Ved Leibniz’ formel for den n’te afledede af et produkt af to funktioner følger straks,
at polynomiet p
n
givet ved (14) er af n’te grad og givet e ksplicit ved (16). For en
funktion f :[0, 1] ! R som er n gange kontinuert differentiabel på intervallet [0, 1],
finder man ved gentagen partiel integration
Z
1
0
f(x)p
n
(x) dx =
(1)
n
n!
Z
1
0
⇥
x(1 x)
⇤
n
f
(n)
(x) dx.
Anvendes dette på f(x)=x
k
,k n får vi
Z
1
0
x
k
p
n
(x) dx =0,k<n;
Z
1
0
x
n
p
n
(x) dx =(1)
n
Z
1
0
⇥
x(1 x)
⇤
n
dx,
men det sidste integral er let at regne ud til
Z
1
0
⇥
x(1 x)
⇤
n
dx =
(n!)
2
(2n + 1)!
=
1
(2n + 1)
2n
n
.
Da p
n
har den ledende koefficient (1)
n
2n
n
følger, at de ortonormale polynomier
er givet ved (15).
Bemærk, at p
n
(0) = 1 for alle n. ⇤
Da momentfølgen er s
n
=1/(n + 1) ser vi, at Hankelmatricen H
n
er en matrix
af stambrøker
H
n
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
1
2
...
1
n +1
1
2
1
3
...
1
n +2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
n +1
1
n +2
...
1
2n +1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
,
126 Christian Berg Normat 3/2006
altså Hilbertmatricen fra indledningen. Den e r positivt definit og der gælder
D
n
=
[(1!)(2!) ···(n!)]
4
(1!)(2!) ···(2n + 1)!
. (17)
For at se (17) bemærker vi, at den ledende koefficient til P
n
er
p
D
n1
/D
n
=
p
2n +1
✓
2n
n
◆
ifølge (7), altså
D
n1
D
n
=(2n + 1)
✓
2n
n
◆
2
=
(2n + 1)!(2n)!
(n!)
4
,
og heraf fremgår formel (17), som skyldes Hilbert, se [15]. Det fremgår også, at
1/D
n
er et helt tal. Der gælder imidlertid meget mere som påvist i [12]:
Sætning 4.2 Den inverse matrix til Hilbertmatricen har heltallige indgange.
Bevis. Vi s kal blot vise, at matricen A
n
har heltallige indgange. Af (15) og (16)
fremgår, at
K
n
(x, y)=
n
X
k=0
(2k + 1)p
k
(x)p
k
(y)
har heltallige koefficienter til x
i
y
j
, men det er netop indgangene i matricen A
n
.
⇤
Bemærkning 4.3 I Chois arbejde [12] kan man finde formlen (17), men også en
eksplicit formel for elementerne i A
n
, som klart viser, at de er hele tal:
a
(n)
i,j
=(1)
i+j
(i + j + 1)
✓
n +1+i
n j
◆✓
n +1+j
n i
◆✓
i + j
i
◆
2
. (18)
Choi giver ikke et detaljeret bevis for formlen. Han nøjes med en bemærkning om,
at den kan bevises ved induktion eller alternativt ve d udnyttelse af en determinant
formel, der går tilbage til Cauchy.
Hvis vi indsætter formlen (16) i udtrykket ovenfor for K
n
(x, y) finder vi følgende
udtryk:
a
(n)
i,j
=(1)
i+j
n
X
k=max (i,j)
(2k + 1)
✓
k
i
◆✓
k
j
◆✓
k + i
k
◆✓
k + j
k
◆
. (19)
Den identitet, der fremgår ved at sammenholde (18) og (19), kan vises ved induktion
i n. Kaldes den numeriske værdi af højresiden i (18) for R
n
og leddet i summen
(19) for C
k
, så består induktionsskridtet i formlen R
n+1
R
n
= C
n+1
, hvis bevis
overlades til læseren.
Normat 3/2006 Christian Berg 127
5 Nogle polynomier relateret til Legendrepolynomierne
Målet µ =2x1
]0,1[
(x) dx tilhører M
⇤
og det har momenterne og n’te Hankelmatrix
s
n
(µ)=
2
n +2
,H
n
=
✓
2
i + j +2
◆
0i,jn
,n=0, 1,....
Også i dette tilfælde har den inverse matrix A
n
heltallige indgange, idet de orto-
gonale polynomier kan udtrykkes ved Legendrepolynomierne p
n
på følgende måde:
Sætning 5.1 Polynomierne
r
n
(x)=
p
n
(x) p
n+1
(x)
2x
(20)
er ortogonale med hensyn til målet µ =2x1
]0,1[
(x) dx, og de tilhørende ortonormale
polynomier er givet ved
R
n
(x)=(1)
n
p
n +1r
n
(x). (21)
Polynomierne r
n
har heltallige koefficienter og er givet ved formlen
r
n
(x)=
n
X
k=0
(1)
k
✓
n
k
◆✓
n + k +1
n
◆
x
k
. (22)
Bevis. Da p
n
(0) = 1 for alle n, er r
n
et polynomium af grad n, og det er klart
ortogonalt på polynomier af grad n 1 med hensyn til µ. Da den ledende
koefficient i r
n
er
1
2
(1)
n
✓
2n +2
n +1
◆
=(1)
n
✓
2n +1
n
◆
, (23)
og da
Z
1
0
r
n
(x)x
n
dµ(x)=
Z
1
0
p
n
(x)x
n
dx =
(1)
n
(2n + 1)
2n
n
ifølge paragraf 4, ser man at
Z
1
0
r
n
(x)
2
dµ(x)=
2n+1
n
(2n + 1)
2n
n
=
1
n +1
.
Dette viser, at de tilhørende ortonormale polynomier R
n
er givet ved (21). En lille
regning med binomialkoefficienter leder fra (16) til (22). ⇤
Bemærkning 5.2 Ved at udnytte (7) finder man i analogi med (17), at
det
✓
1
i + j +2
◆
n
0
=
(n + 1)!
2
n+1
(1! 2! ···n!)
4
1! 3! ···(2n + 1)!
2
(24)
128 Christian Berg Normat 3/2006
er en stambrøk, og at den inverse matrix til
1/(i + j + 2)
n
0
har det ij’te element
(1)
i+j
n
X
k=max(i,j)
(2k + 2)
✓
k
i
◆✓
k
j
◆✓
k + i +1
k
◆✓
k + j +1
k
◆
=(1)
i+j
(i + j + 2)
✓
n + i +2
n j
◆✓
n + j +2
n i
◆✓
i + j +1
i
◆✓
i + j +1
j
◆
,
som altid er et lige tal.
Substitutionen x =1 y i integralet
Z
1
0
r
n
(x)r
m
(x)2xdx=
n,m
n +1
viser, at polynomierne q
n
(x)=r
n
(1 x) er ortogonale med hensyn til målet ⌫ =
2(1 x)1
]0,1[
(x) dx 2M
⇤
. Momenterne er
s
n
(⌫)=
Z
1
0
x
n
2(1 x) dx =
1
n+2
2
,
og de tilhørende ortonormale polynomier Q
n
(x) er givet ved
Q
n
(x)=
p
n +1q
n
(x). (25)
Sætning 3.3 giver derfor i dette tilfælde, at Hankelmatricen af stambrøker
H
n
=
1
i+j+2
2
!
0i,jn
har en invers med heltallige indgange. Dette resultat er også inkluderet i [20].
Ovenstående metode kan bruges til at udregne den inverse matrix til
⇣
1
↵ + i + j
⌘
0i,jn
,↵>0,
og som før ser man, at den har heltallige indgange for ↵ =1, 2,.... Vi henviser til
[7] for detaljer.
6 Mere om momentfølger
En følge (s
n
) kaldes en Stieltjes- resp. Hausdorff-momentfølge, hvis den er mo-
mentfølge for et mål koncentreret på intervallet [0, 1[ resp. intervallet [0, 1]. De
tre sidste momentfølger i skemaet i paragraf 2 er alle Stieltjes-mom entfølger, og af
dem er kun følgen
1/(n + 1)
en Hausdorff-momentfølge. Stieltjes karakteriserede
Normat 3/2006 Christian Berg 129
Stieltjes-momentfølgerne i et berømt arbejde [21], som først udkom efter hans alt
for tidlige død i 1894. Stieltjes karakterisering kan formuleres således: En følge (s
n
)
er en momentfølge for et mål µ 2M
⇤
, som er koncentreret på [0, 1[, hvis og kun
hvis s
0
=1og der for alle n =0, 1,... gælder
det(s
i+j
)
0i,jn
> 0, det(s
i+j+1
)
0i,jn
> 0.
Det er værd at be mæ rke, at Stieltjes arbejde udkom 25 år før Hamburgers. Hvis
man ønsker at læse om Stieltjes korte liv og karriere, og om hvorfor han forlod
Holland og emigrerede til Frankrig, kan jeg anbefale [13].
Hausdorffs karakterisering af mome ntfølgerne for mål på intervallet [0, 1] udkom
i 1923. Vi henviser til [1] for en formulering af og et bevis for Hausdorffs resultat.
Inspireret af arbejder om matematisk finansiering fandt Durán og forfatteren
nogle nye metoder til at konstruere momentfølger udfra eksisterende Hausdorff-
momentfølger.
Sætning 6.1 Lad (a
n
) være en Hausdorff-momentfølge så a
0
=1og a
n
> 0 for
alle n. Så er
s
n
=
1
a
0
a
1
···a
n
,n 0, (26)
en Stieltjes-momentfølge, og
t
n
=
1
a
0
+ a
1
+ ···+ a
n
,n 0, (27)
er en Hausdorff-momentfølge.
Beviserne findes in [8] og [9]. Lad mig nævne, at starter man med Hausdorff-
momentfølgen s
n
=1/(n + 1), så giver det første resultat, at s
n
=(n + 1)! er en
Stieltjes-momentfølge, hvilket ikke er overraskende, jfr. Laguerrepolynomierne. Det
andet resultat giver, at
t
n
=
1+
1
2
+ ···+
1
n+1
1
(28)
er en Hausdorff-momentfølge. Idet afsnittene i den harmoniske række kaldes de
harmoniske tal H
n
, har vi altså at t
n
=1/H
n+1
er en Hausdorff-momentfølge. I [9]
har vi bestemt det tilhørende sandsynlighedsmål på intervallet [0, 1].
Konstruktionen i (27) kan itereres, og udføres iterationen ved, at man starter
med følgen
1/(n + 1)
, kan man vise, at iterationen konvergerer og man får et
fikspunkt, som er en Hausdorff-momentfølge (m
n
) karakteriseret ved den rekursive
ligning
m
0
=1, (1 + m
1
+ ···+ m
n
)m
n
=1. (29)
Man finder
m
1
=
1+
p
5
2
,m
2
=
p
22 + 2
p
5
p
5 1
4
,....
130 Christian Berg Normat 3/2006
I manuskriptet [10] har vi bestemt det tilhørende sandsynlighedsmål µ på intervallet
[0, 1], og det er mere kompliceret end man umiddelbart skulle tro. Det involverer
således en del kompleks analyse. Funktionen
F (x)=
Z
1
0
t
x
dµ(t), 1 <x<1
viser sig at være entydigt bestemt ved betingelserne
(i) F (0) = 1.
(ii) log F (x) er konveks.
(iii) Der gælder funktionalligningen
1
F (x)
=
1
F (x + 1)
F (x + 1), 1 <x<1,
hvilket er en formel analogi med Bohr–Mollerups karakterisering af Gammafunk-
tionen.
I [8] gives en række eksempler på konstruktionen (26). Lad mig her blot næv-
ne, at for givet 0 <q<1 er a
n
= q
n
en Hausdorff-momentfølge svarende til
sandsynlighedsmålet
q
, og man finder så at
s
n
=(q · q
2
···q
n
)
1
= q
(
n+1
2
)
(30)
er en Stieltjes-mom entfølge. Denne følge er faktisk indetermineret—der er uendelig
mange forskellige mål i M
⇤
, som har denne momentfølge. Et af dem er tæt forbun-
det med den logaritmisk normale fordeling i statistik, idet man ved lidt regning
kan vise, at
q
1
8
p
2⇡ log(1/q)
Z
1
0
x
n
x
1
2
exp
⇣
(log x)
2
2 log(1/q)
⌘
dx = q
(
n+1
2
)
.
Det diskrete sandsynlighedsmål
1
c(q)
1
X
k=1
q
(
k+1
2
)
q
k
har også momentfølgen (30). Konstanten c(q) er bestemt ved formlen
c(q)=
1
X
k=1
q
(
k+1
2
)
.
Jacobis berømte triple produkt identitet giver værdien for c(q), s e [14].
Normat 3/2006 Christian Berg 131
I arbejdet [20] har Richardson observeret, at matricen
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
F
1
1
F
2
···
1
F
n+1
1
F
2
1
F
3
···
1
F
n+2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
F
n+1
1
F
n+2
···
1
F
2n+1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
, (31)
som indeholder reciprokke Fibonaccital, har en invers matrix med heltallige ind-
gange. I analogi med (1) kalder Richardson (31) for Filbertmatricen. Fibonacci-
tallene er givet som F
0
=0, F
1
=1, F
2
=1,..., idet de følgende er fastlagt ved
rekursionsformlen
F
n+1
= F
n
+ F
n1
,n 1.
Vi henviser til [19] for udførlig information om Fibonaccitallene. Richardson angi-
ver en formel for indgangene i den inverse matrix, og beviset for formlen udføres
med computeralgebra. Formlen er iøvrigt helt analog med Chois formel (18), men
binomialkoefficienterne erstattes af, hvad man kalder fibonomialkoefficienter
✓
n
k
◆
F
:=
F
n
F
n1
···F
nk+1
F
1
F
2
···F
k
, 0 k n,
idet tomme produkter sættes til 1. Der gælder følgende variant af Pascals trekant
✓
n
k
◆
F
= F
k1
✓
n 1
k
◆
F
+ F
nk+1
✓
n 1
k 1
◆
F
,n>k 1,
som viser, at fibonomialkoefficienterne er hele tal. Fibonomialkoefficienterne omta-
les i [18].
Det fik mig til at tænke på, om ovenstående matrix faktisk er en Hankelmatrix
hørende til et momentproblem, og om man kan bestemme de tilhørende ortogonale
polynomier og opnå Richardsons resultat ved hjælp af Sætning 3.3. Det viser sig
at være tilfældet, og de ortogonale polynomier er et specialtilfælde af de såkaldte
“Little q-Jacobi polynomials”, som tilhører q-versionen af Askey skemaet, men det
vil føre for vidt at gå i detaljer med det i nærværende arbejde. Læseren henvises
til manuskriptet [7]. Det skal dog nævnes, at matricen (31) ikke er positivt definit
for alle n. Det viser sig, at matricerne
1/F
↵+i+j
0i,jn
(32)
er ikke-singulære uanset ↵ =1, 2,..., og de inverse matricer har heltallige elemen-
ter. Matricerne (32) er kun positivt definite for alle n, når ↵ er et lige tal, og i dette
tilfælde er talfølgen (F
↵
/F
↵+n
) en momentfølge for sandsynlighedsmålet
µ
↵
=(1 q
↵
)
1
X
k=0
q
↵k
q
k
/
, (33)
132 Christian Berg Normat 3/2006
hvor
=
1+
p
5
2
,q=
1
p
5
1+
p
5
. (34)
Tallet kaldes det gyldne snit.
Hvis derimod ↵ er ulige, er (F
↵
/F
↵+n
) ikke en momentfølge i den forstand vi
har diskuteret det her, men den er dog stadig momentfølge for udtrykket (33), som
i dette tilfælde er et reelt mål med total masse 1.
Litteratur
[1] N. I. Akhiezer, The classical moment problem. Oliver and Boyd, Edinburgh, 1965.
[2] W. A. Al-Salam, Characterization theorems for orthogonal polynomials, 1–24. In:
Orthogonal Polynomials: Theory and Practice. Ed. P. Nevai and M.E.H. Ismail.
Nato ASI Series C, Volume 294. Kluwer, Dordrecht 1990.
[3] S. Altmann, E.L. Ortiz, Editors, Mathematics and social utopias in France. Olinde
Rodrigues and His Times. History of Mathematics 28, American Mathematical
Society 2005.
[4] R. Askey, Ramanujan’s extension of the gamma and beta functions, Amer. Math.
Monthly 87 (1980), 346–359.
[5] G.E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special functions. Cambridge University
Press, Cambridge 1999.
[6] C. Berg, Indeterminate moment problems and the theory of entire functions, J.
Comput. Appl. Math. 65 (1995), 27–55.
[7] C. Berg, Fibonacci numbers and orthogonal polynomials. Udkommer i J. Comput.
Appl. Math.
[8] C. Berg, A. J. Durán, A transformation from Hausdorff to Stieltjes moment
sequences, Ark. Mat. 42 (2004), 239–257.
[9] C. Berg, A. J. Durán, Some transformations for Hausdorff moment sequences and
harmonic numbers, Canad. J. Math. 57 (2005), 941–960.
[10] C. Berg, A. J. Durán, The fix-point for a transformation of Hausdorff moment
sequences and iteration of a rational function. Manuskript.
[11] T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New
York-London-Paris, 1978.
[12] Man-Duen Choi, Tricks or Treats with the Hilbert Matrix, Amer. Math. Monthly 90
(1983), 301–312.
[13] G. van Dºk, Thomas Joannes Stieltjes: Honorary Doctor of Leiden University, The
Mathematical Intelligencer 16 no.1 (1994), Springer Verlag, New York.
[14] G. Gasper and M. Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University
Press, Cambridge 1990, second edition 2004.
[15] D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math. 18
(1894), 155–159. (367–370 in “Gesammelte Abhandlungen II”, Berlin 1933.)
[16] M. E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable,
Cambridge University Press, Cambridge 2005.
[17] S. Kaºser, Några “nya” ortogonala polynom, Normat 47 (1999), 156–165.
[18] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Vol. 1, 2nd Ed., Addison-Wesley,
1973
Normat 3/2006 Christian Berg 133
[19] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers With Applications, John Wiley, New York,
2001.
[20] T. M. Richardson, The Filbert matrix, Fibonacci Quart. 39 no. 3 (2001), 268–275.
[21] T. J. Stieltjes, Recherches sur les fractions continues. Annales de la Faculté des
Sciences de Toulouse 8 (1894), 1–122, 9 (1895), 5–47.
[22] G. SzegÆ, Orthogonal Polynomials, fourth edition. American Mathematical Society,
Providence, 1975.
2000 Mathematics Subject Classification: primary 33C45; secondary 42C05.
Keywords: Orthogonal polynomials, Legendre polynomials.
Portrettene er hentet fra www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians
