Normat 55:1, 3–7 (2007) 3
Bøker på bøker
En bokorms øvelse i stabling
Ivar Farup
Høgskolen i Gjøvik
Postboks 191
N–2802 Gjøvik
ivar.farup@hig.no
Innledning
For e n tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:
Anta at vi har ubegrenset tilgang til identiske bøker, samt et bord å
stable dem på. Er det mulig, ved ikke å legge b økene nøyaktig oppå
hverandre, å stable bøkene slik at den øverste boken i sin helhet ligger
utenfor bordplaten. Isåfall, hvor mange bøker skal til?
I utgangspunktet antok jeg at dette var en mye benyttet oppgave i matematikk-
undervisningen, og lette dermed litt rundt i både papirbaserte og elektroniske ar-
kiver i håp om å finne svaret. Da dette viste seg fåfengt, bestemte jeg meg for å
gå saken litt nærmere etter i sømmene. Man skulle jo tro dette var noe som enkelt
skulle kunne b e svares vha. elementær matematikk?
Ganske riktig – i det følgende presenteres resultatene av denne lille undersøkel-
sen, angrepe t fra tre litt forskjellige vinkler.
Det opprinnelige problemet
Anta først at identiske bøker er stablet oppå hverandre slik at de akkurat balanse-
rer. Vi nummererer bøkene ovenfra slik at øverste bok er bok 0. Videre innfører vi
koordinatsystemet slik at posisjonen til massesenteret til bok 0 er x
0
= 0. Bøkene
har lengde 1 (skalering). Horisontalkomponenten til massesenteret for bøkene 0 til
n blir da
c
n
=
1
n + 1
n
X
k=0
x
k
,
der x
k
er den horisontale posisjonen til massesenteret til bok k.
4 Ivar Farup Normat 1/2007
Kravet om at bøkene akkurat skal balansere kan formuleres som
(1) x
n
= c
n−1
+
1
2
,
altså at massesenteret til de n øverste bøkene (bok 0 til n − 1) må ligge på kanten
av bok n, som altså er i avstand 1/2 fra bokens massesenter. For n ≥ 2 får vi
dermed
x
n
= c
n−1
+
1
2
=
1
n
n−1
X
k=0
x
k
+
1
2
=
n − 1
n
1
n − 1
n−2
X
k=0
x
k
+
1
2
!
+
1
n
x
n−1
−
n − 1
2n
+
1
2
=
n − 1
n
c
n−2
+
1
2
+
1
n
x
n−1
+
1
2n
=
n − 1
n
x
n−1
+
1
n
x
n−1
+
1
2n
= x
n−1
+
1
2n
.
At denne resultatet også gjelder for n = 1 (selv om utledningen over ikke gjør det)
sees umiddelbart fra ligning (1), så vi har følgende rekursjonsformel for posisjonen
til bok n:
(2) x
n
= x
n−1
+
1
2n
for n ≥ 1, x
0
= 0.
Rekursjonsformelen (2) har løsning
(3) x
n
=
1
2
n
X
k=1
1
k
for n ≥ 1,
hvilket kan bevises vha. matematisk induksjon: For n = 1 gir rekursjonsformelen
x
1
= x
0
+
1
2
=
1
2
,
mens summeformelen gir
x
1
=
1
2
n
X
k=1
1
k
=
1
2
.
Induksjonstrinnet er
x
n+1
= x
n
+
1
2(n + 1)
=
1
2
n
X
k=1
1
k
+
1
2(n + 1)
=
1
2
n+1
X
k=1
1
k
.
Normat 1/2007 Ivar Farup 5
!0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
2
4
6
8
10
x
n
n
!0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x
n
n
Figur 1: Posisjonen x
n
til bok n for henholdsvis 10 og 40 bøker. Grafen er orientert
slik at den samtidig illustrerer bokstabelens form, illustrert med rektangler.
Tabell 1: Antall bøker som trengs for å komme et helt antall boklengder utenfor
kanten av bordet.
Antall boklengder utenfor Antall bøker
1 4
2 31
3 227
4 1 674
5 12 367
6 91 380
7 675 214
8 4 989 191
9 36 865 412
10 272 400 600
Siden rekken (3) ikke konvergerer når n → ∞, er det altså mulig å komme vilkårlig
langt unna bordet bare man har mange nok bøker til rådighet (vi er altså pragma-
tiske nok til å se bort fra inhomogeniteter i gravitasjonsfeltet samt muligheten for
gravitasjonskollaps ved for store bokmasser). Dessverre for bokstableren er diver-
gensen imidlertid så langsom at man trenger uhyre mange bøker om man ønsker å
kunne legge en bok mange boklengder utenfor bordplaten. I figur 1 er x
n
plottet
mot n. Vi ser at det er nok med fire bøker for å få en boklengde utenfor, mens det
trengs hele 31 bøker for å nå to boklengder. Tabell 1 gir oversikt over det videre
forløp e t.
Grensen for veldig tynne bøker
Det er interessant (om ikke nødvendigvis så nyttig) å spørre seg om denne pro-
blemstillingen har en kontinuerlig analogi. Vi kan studere dette ved å se på hva
som skjer i grensen når boktykkelsen går mot null.
6 Ivar Farup Normat 1/2007
!3 !2.5 !2 !1.5 !1 !0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x(y)
y
Figur 2: Posisjonen x(y) til boken i høyde y. Grafen er orientert slik at den samtidig
illustrerer bok kontinuets form. De stiplede linjene illustrerer stabelens ytterside.
Vi lar x-aksen være som før, og innfører en y-akse som vokser nedover. Vi er altså
ute etter funksjonen x(y). Vi lar nå ∆y betegne boktykkelsen. Da er sammenhengen
mellom bok nummer n og avstand y fra toppen av stabelen gitt som
y = n∆y.
Rekursjonsformelen (2) kan da skrives
x(y) = x(y − ∆y) +
∆y
2y
⇒
x(y) − x(y − ∆y)
∆y
=
1
2y
.
Om vi nå tar grensen ∆y → 0, får vi
x
0
(y) =
1
2y
,
som kan integreres for y > 0:
x(y) =
1
2
ln y + C .
Konstanten C tilsvarer en horisontal forskyvning av stabelen, og kan dermed velges
fritt. Vi kan f.eks. velge C = 0 som gir x(1) = 0:
x(y) =
1
2
ln y.
Vi kan imidlertid ikke velge C slik at x(0) = 0, slik vi kunne i det diskrete tilfellet,
siden ln y ikke er definert for y = 0. Den «kontinuerlige stabelen» er vist i figur 2.
Normat 1/2007 Ivar Farup 7
Et såvidt balanserende kontinuerlig legeme
Resultatet over kan vi også komme frem til ved å resonnere kontinuerlig fra begyn-
nelsen av. En problemstilling vil f.eks. kunne være:
Finnes det et todimensjonalt kontinuerlig legeme som «akkurat balan-
serer» i den forstand at den bærer all vekt på den ene siden? Isåfall
vil man kunne kan dele dette legemet horisontalt i en vilkårlig høyde,
og den øverste delen vil da akkurat balansere på ytterkanten av den
nederste.
Om vi innfører koordinatsystem som over, er vi igjen ute etter funksjonen x(y).
Massesenteret for den øverste delen av legemet (y > 0) blir nå et integral:
c(y) =
1
y
Z
y
0
x(τ) dτ,
og betingelsen om balanse blir som før:
x(y) = c(y) +
1
2
.
Vi får dermed følgende integralligning for x(y):
x(y) =
1
y
Z
y
0
x(τ) dτ +
1
2
.
Multiplikasjon med y, derivasjon, noe bearbeidelse og integrasjon gir
yx(y) −
Z
y
0
x(τ) dτ −
y
2
= 0
⇒ x(y) + yx
0
(y) − x(y) −
1
2
= 0
⇒ x
0
(y) =
1
2y
⇒ x(y) =
1
2
ln y + C .
Som over kan vi velge C = 0, og er dermed tilbake til samme resultat igjen:
x(y) =
1
2
ln y.
Konklusjon
Problemet med bokstabelen lot seg altså løse med relativt enkle matem atiske hjel-
pemidler og på forskjellige måter. Oppgaven er fengende og lar seg også studere i
praksis, og er således godt egnet som et lite matematikkprosjekt for dyktige sis-
teårselever i den videregående skole, eventuelt for førsteårsstudenter i tekniske og
naturvitenskape lige fag.
