8 Normat 55:1, 8–14 (2007)
Noen aritmetiske relasjoner i Leibniz talltrekant.
Ragnar Solvang
Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling
Universitetet i Oslo
Postboks 1099
Blindern
NO-0316 OSLO
ragnar.solvang@ils.uio.no
Innledning
En rekke såkalte talltrekanter er kjent fra matematikken. Den meste kjente er trolig
Pascals talltrekant hvor alle elementene eller leddene er binomialkoeffisienter.
Langt mindre kjent er Leibniz’ talltrekant hvor alle le ddene har binomialkoeffi-
sienter i nevnerne. Men denne og andre talltrekanter som Leibniz studerte var med
og dannet bakgrunn og inspirasjon da han utviklet sin geniale notasjon for integral-
og differensialregningen. Leibniz’ talltrekant har mange interessante egenskaper.
Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646–1716.
Akkurat som man i Pascals talltrekant har funnet interessante summer (for eksem-
pel summen av leddene i hver horisontalrad) og tallfølger (for eksempel fibonacci-
tallene) skal vi i denne artikkelen se litt på summer av leddene i horisontalradene
og i vertikalradene i Leibniz’ talltrekant.
Normat 1/2007 Ragnar Solvang 9
Oppbyggingen av Leibniz’ talltrekant
Men først litt om oppbyggingen av Leibniz’ talltrekant. Den likner en del på Pascals
talltrekant ved at hvert element inneholder den inverse binomialkoeffisient multipli-
sert med (n + 1). Lar vi L(m, p) betegne det p-te element i den m-te horisontalrad,
så skal vi ha at
(1) L(m, p) =
1
(m + 1)
m
p
der m > 0 (som for binomialkoeffisientene) og dessuten at 0 < p < m. Dette gir
oss en talltrekant som begynner slik:
1
1
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
For ordens skyld minner vi om at spissen på trekanten som utgjøres av elementet
1
1
, er 0-te, nullte horisontalrad i vår fremstilling. Man verifiserer lett at hvert ledd i
Leibniz’ talltrekant er lik summen av tallene like til venstre og like til høyre i raden
like under. Dette betyr at vi har at
(2) L(m, p) = L(m + 1, p) + L(m + 1, p + 1)
La oss med S(m) betegne summen av leddene i m-te horisontalrad. I følge talltre-
kante n er S(0) = 1.
Vi skal bruke (2) til å utlede en sammenheng mellom S(n + 1) og S(n). Vi har
at
S(m) =
m
X
p=0
L(m, p) =
m
X
p=0
L(m + 1, p) +
m
X
p=0
L(m + 1, p + 1)
= L(m + 1, 0) + L(m + 1, 1) + . . . + L(m + 1, m)
+ L(m + 1, 1) + . . . + L(m + 1, m) + L(m + 1, m + 1)
= 2 S(m + 1) − L(m + 1, 0) −L(m + 1, m + 1)
Av definisjonen i 1 finer vi at L(m + 1, 0) =
1
m+2
og L(m + 1, m + 1) =
1
m+2
. Altså
har vi at
S(m + 1) =
1
2
S(m) +
1
m + 2
.
Det vil si at vi har fått følgende sammenheng mellom summen av leddene i to på
hverandre følgende horisontalrader:
(3) S(m) =
1
2
S(m − 1) +
1
m + 1
, S(0) = 1
10 Ragnar Solvang Normat 1/2007
Av denne relasjonen kan man greit bestemme verdien av S(n). Vi får resultatet
S(m) =
m+1
X
p=1
2
p−m−1
p
som kan sees på som en omforming av den summen vi begynte med.
Summer og integraler
Vi skal nå se på summen av leddene på vertiklradene og vi begynner med «midt-
stolpen», altså den som består av leddene
(4)
1
1
,
1
6
,
1
30
, . . . ,
1
(2n + 1)
2n
n
. . .
Vi kaller summen av disse leddene for V
1
. Vi får
V
1
=
1
1
·
1
1
+
1
2
·
1
3
+
1
5
·
1
6
+ ··· +
1
(2n + 1)
1
2n
n
+ ···
(5)
=
∞
X
n=0
1
(2n + 1)
1
2n
n
=
∞
X
n=0
n!n!
(2n + 1)!
At denne rekken konvergerer vises enkelt ved forholdskriteriet. For å komme videre
får vi bruk for Eulers betafunksjon:
(6) B(p, q) =
Z
1
0
t
p−1
(1 − t)
q−1
dt
I vår sammenheng er både p og q naturlige tall større eller lik 1. Da kan integralet
ovenfor bestemm es ved delvis integrasjonet passende antall ganger og vi får at
(7)
Z
1
0
t
p−1
(1 − t)
q−1
dt =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
der Γ(n) = (n − 1)! Av 5 og 7 får vi
V
1
=
∞
X
n=0
n!n!
(2n + 1)!
=
∞
X
n=0
Γ(n + 1)Γ(n + 1)
Γ(2n + 2)
=
∞
X
n=0
Z
1
0
t
n
(1 − t)
n
dt =
Z
1
0
∞
X
n=0
t
n
(1 − t)
n
dt =
Z
1
0
1
1 − t(1 − t)
dt
(8)
=
Z
1
0
1
1 − t + t
2
dt =
Z
1
0
4dt
4 − 4t + 4t
2
=
Z
1
0
4dt
3 − (2t − 1)
2
=
4
3
Z
1
0
dt
1 + (
2t−1
√
3
)
2
Normat 1/2007 Ragnar Solvang 11
Integrasjonsinte rvallet ligger innenfor rekkens konvergensområde. Ved substitusjo-
nen
2t−1
√
3
= x, får vi etter litt regning at
(9) V
1
=
4
√
3
Arctan
1
√
3
=
2π
3
√
3
På liknende måte kan vi bestemme de andre vertikalsummene i Leibniz’ talltrekant.
Men før vi gjør dette, vil vi b e merke at hele Leibniz’ talltrekant er symmetrisk
om «midtstolpen» og det betyr at vi kan nøye oss med å studere vertikalradene til
venstre for midtstolpen. Summen av leddene i hver av disse vertikalradene betegnes
med V
2
, V
3
, V
4
, . . . , V
n
, . . .. Vi skal nå bestemme V
2
. Denne kan vi bestemme direkte
ut fra Leibniz’ talltrekant. Vi gjentar nedenfor talltrekanten og viser med piler
hvordan hvert ledd på midtstolpen dannes av leddene i den nærmeste vertikalrad
på hver side:
1
1
% -
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
% -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Da s er vi umiddelbart at
(10) V
1
= 2V
2
dvs. V
2
=
1
2
V
1
Vi kan også finne dette direkte ut fra rekken for V
2
. Vi får at
V
2
=
∞
X
n=0
1
(2n + 2)
2n+1
n
==
∞
X
n=0
1
(2n + 2) ·
(2n+1)!
(n+1)!n!
=
∞
X
n=0
(n + 1)!n!
(2n + 2)!
=
∞
X
n=0
(n + 1)n! · n!
(2n + 2)(2n + 1)!
=
1
2
∞
X
n=0
n!n!
(2n + 1)!
=
1
2
V
1
Altså har vi at
V
2
=
1
2
V
1
Vi skal s å bestemme V
3
. Denne kan vi bestemme direkte ut fra Leibniz’ talltrekant
og V
1
og V
2
:
12 Ragnar Solvang Normat 1/2007
1
1
1
2
1
2
% -
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
% -
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vi har med piler antydet hvordan leddene i V
2
kan uttrykkes ved leddene umid-
delbart nedenfor til høyre og til venstre, dvs. på første og tredje vertikalrad. Vi
antyder tankegangen ved å skrive opp noen av de første leddene:
V
2
=
1
2
+
1
12
+
1
60
+ ··· =
1
3
+
1
6
+
1
20
+
1
30
+ ···
=
1
3
+
1
20
+ ···
+
1
6
+
1
30
+ ···
= V
3
+ V
1
− 1
Dette betyr at vi får:
(11) V
3
= V
2
− V
1
+ 1
Da V
2
=
1
2
V
1
får vi
(12) V
3
= 1 −
1
2
V
1
Relasjonen i 11 kan lett generaliseres. Det kan gjøres ved samme resonnement som
det vi førte ovenfor for å bestemme V
3
, nemm eligen
(13) V
p
= V
p+1
+ V
p−1
−
1
p − 1
Vi skal velge en annen vei her, fordi vi da kan få bestemt et eksplisitt uttrykk for
V
p
. Vi skal altså finne summen
V
p
=
1
p
·
1
p−1
0
+
1
p + 2
·
1
p+1
1
+
1
p + 4
·
1
p+3
2
+ ···
+
1
p + 2n
·
1
p+2n−1
n
+ ···
=
∞
X
n=0
1
(p + 2n)
·
1
p+2n−1
n
Konvergens vises ved forholdskriteriet. Vi omformer det generelle leddet i summen:
1
(p + 2n)
·
1
p+2n−1
n
=
1
(p + 2n)
·
(p + n − 1)!n!
(p + 2n − 1)!
=
Γ(p + n) · Γ(n + 1)
Γ(p + 2n + 1)
=
Z
1
0
t
n
(1 − t)
p+n−1
dt
Normat 1/2007 Ragnar Solvang 13
Dette innsatt i summen for V
p
ovenfor, gir:
V
p
=
∞
X
n=0
Z
1
0
t
n
(1 − t)
p+n−1
dt =
Z
1
0
∞
X
n=0
t
n
(1 − t)
p+n−1
dt
=
Z
1
0
(1 − t)
p−1
1 − t(1 − t)
dt =
Z
1
0
(1 − t)
p−1
1 − t + t
2
dt
Substituerer vi 1 − t → t, får vi
(14) V
p
=
Z
1
0
t
p−1
1 − t + t
2
dt
Dermed er summen av den p-te vertikalrad bestemt ved et bestemt integral. La oss
nå bruke dette integralet i følgende uttrykk:
V
p
− V
p−1
+ V
p−2
=
Z
1
0
t
p−1
dt
1 − t + t
2
−
Z
1
0
t
p−2
dt
1 − t + t
2
+
Z
1
0
t
p−3
dt
1 − t + t
2
=
Z
1
0
t
p−1
− t
p−2
+ t
p−3
1 − t + t
2
dt =
Z
1
0
t
p−3
dt =
1
p − 2
Altså har vi at
(15) V
p
− V
p−1
+ V
p−2
=
1
p − 2
Eller
(16) V
p
= V
p−1
− V
p−2
+
1
p − 2
, V
2
=
1
2
V
1
og V
1
=
2π
3
√
3
Som er den relasjonen vi skulle frem til (13). For p = 3, får vi resultatet i (11).
Vi har ovenfor bestemt V -summene som bestemte integraler. Men kan vi si noe
om de numeriske verdiene til disse summene? Av (16) kan vi se at alle V
p
, p ≥ 3,
kan uttrykkes ved verdien av V
1
. Regner vi ut noen verdier av V
p
, for eksempel
p = 4, 5 og 6, ser vi at alle resultatene er av formen
(17) V
p
= f(p) + α(p)V
1
Her e r
V
1
= f(1) + α(1)V
1
dvs. at f(1) = 0 og α(1) = 1
V
2
= f(2)α(2)V
1
=
1
2
V
1
, dvs. at f (2) = 0 og α(2) =
1
2
Setter vi (17) inn i (16) får vi:
V
p
= V
p−1
− V
p−2
+
1
p − 2
=
f(p − 1) − f (p − 2) +
1
p − 2
+ (α(p − 1) − α(p − 2))V
1
= f(p) + α(p)V
1
14 Ragnar Solvang Normat 1/2007
Dermed har vi fått at de to funksjonene f og α er bestemt av differenslikningene
f(p) = f (p − 1) − f (p − 2) +
1
p − 2
, p ≥ 3, f (1) = 0, f(2) = 0(18)
α(p) = α(p − 1) − α(p − 2), p ≥ 3, α(1) = 1, α(2) =
1
2
(19)
Her legger vi merke til at differenslikningen i (18) er den sammen som i (16) men
med andre startverdier. Videre vil alle f (p) bestå av addisjoner/subtraksjoner av
stambrøker.
Differenslikningen i (19) er homogen og kan løses med de oppgitte startverdiene
etter vanlig teori for slike likninger. Vi skal imidlertid slå inn på en annen vei for
å få frem en interessant egenskap ved α-funksjonen. Vi har nemlig at
α(p) = α(p − 1) − α(p − 2)
α(p − 1) = α(p − 2) − α(p − 3)
Summerer vi disse to likningene, får vi
α(p) = −α(p − 3)
Herav får vi umiddelbart at
(20) α(p) = α(p − 6)
Som viser at α-funksjonen er periodisk med periode 6. Dette kan også vises ved
å løse differenslikningen i (19), men det «koster» en del regnearbeid. Differenslik-
ningen i (19) gir oss mulighet til å stille opp i en tabell de s eks mulige verdien for
α(p). Vi får tabellen
P 1 2 3 4 5 6 7 . . . . . . . . .
α(p) 1
1
2
−
1
2
−1 −
1
2
1
2
