Normat 55:1, 15 (2007) 15
Mercatorprojektionen
Ulf Persson
Chalmers Tekniska Högskola
Matematiska Institutionen
SE–412 96 Göteborg
ulfp@math.chalmers.se
Mercatorprojektionen är väl den kartprojektion som de flesta är bekanta med. I
sin naturliga version, avbildar den jordens gradnät av longituder och latituder
på räta linjer sinsemellan vinkelräta. Alla latituder är av samma längd, nämligen
ekvatorns, detta betyder att skalan inte är konstant
1
. Det finns många kartpro-
jektioner som har denna egenskap,de brukar refereras till som de cylindriska.
Matematiskt ger de en 1:1 avbildning av jorden minus polerna in i en öppen
rektangel i planet. Vi kan ange dem alla med en enkel formel (θ, ψ) 7→ (θ, R(ψ))
Där θ, ψ anger latitud och longitud respektive, och R är en monoton funktion.
Mercator projektionen skiljer sig härvidlag från de övriga i och med att den
är konform, d.v.s. den bevarar vinklar, eller ekvivalent skalan i varje punkt är
oberoende av riktning. Sådana kartor är speciellt intressanta för sjöfart.
Det är nu lätt att inse att skalan längs latituderna förstoras ju närmare
polerna vi kommer, och skalningsfaktorn utgöres av
1
cos ψ
. För att få samma
skalningsfaktor i longitudled måste vi nu lösa ekva tionen
R
0
(ψ) =
1
cos ψ
Detta är knappast helt trivialt och gjorde som bekant första gången av
holländaren Mercator på 1500-talet. I vilken mening han integrerade denna
funktion är inte helt klart. Faktum är dock att den något förvånande har en
explicit lösning, nämligen
R(ψ) =
1
2
ln(
1 + sin ψ
1 − sin ψ
)
vilket är betydligt lättare att verifiera än att komma på.
Ur denna ser vi att jorden avbildas på en oändlig strimla, med de bägge
polerna oändligt långt borta. Dock den gängse presentationen av världskartan är
trunkerad. Den bild vi ser på vänster sida brukar aldrig återfinnas i någon atlas.
Om vi låter skalan vid ekvatorn vara 1 : 2 × 10
9
, d.v.s. strimlan är 2 cm bred,
hur högt skall vi gå innan skalan blir 1:1? Något förvånande inte så speciellt
högt. I bilden är faktiskt skalan 1:1 vid rektangelns topp och botten, så den
oändliga rektangeln avbildar hela jorden sånär som på två små femtioöringar
vid polerna!
Matematiskt är det hela elementärt. Låt ψ =
π
2
− ζ. Eftersom 2 × 10
9
=
1
cos ψ
=
1
sin ζ
∼
1
ζ
erhåller vi ζ ∼
1
2
10
−9
varvid vi finner att
R(ψ) =
1
2
ln(
1 + sin ψ
1 − sin ψ
) =
1
2
ln(
1 + cos ζ
1 − cos ζ
) ∼
1
2
ln(
2
ζ
2
2
) ∼
1
2
(2 ln(4) + 18 ln(10)) ∼ 22.11..
Höjden på rektangeln blir således
1
2π
44.22 ∼ 7.04 gånger basen.
1
som bekant kan ingen avbildning från sfären till planet ha konstant skala oavsett hur liten
region vi tar. Detta är in nebörden i en icke trivial gaussisk krökning
