Normat 55:1, 37–39 (2007) 37
Uppgifter
482. Låt x
1
, x
2
, . . . , x
2007
vara icke-negativa, ree lla tal sådana att
(i) x
1
+ x
2
+ ··· + x
2007
= 2 ,
(ii) x
1
· x
2
+ x
2
· x
3
+ ··· + x
2006
· x
2007
+ x
2007
· x
1
= 1 .
Bestäm det minsta och det största möjliga värdet av
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
2007
483. Låt ABC vara en godtycklig triangel och låt P vara en inre punkt till ABC.
Visa att minst av vinklarna P AB, P BC och P CA är mindre eller lika med 30
◦
.
(IMO 1991)
484. Ett flygbolag har upprättat flyglinjer mellan svenska och norska städer. Från
varje svensk stad kan man flyga till exakt en av de norska städerna och från varje
norsk stad kan man flyga till exakt en av de svenska städerna, men det är inte
nödvändigtvis möjligt att ta flyget tillbaka samma väg. Vidare vet man att det
finns minst en svensk stad till vilken man inte kan flyga direkt från någon norsk
stad. Visa att man kan hitta en mängd av svenska städer, S, sådan att det till
svenska städer som inte tillhör S bara ankommer flyg från just de norska städer
som inte tar emot plan från städer tillhörande S.
485. Visa att för varje positivt, ree llt tal a det gäller att
lim
n→∞
n
Z
1
0
x
n
1
a
+ x
n
dx = ln(1 + a).
486. La fjerdegradsligningen Q(x) = x
4
+ bx
2
+ d = 0 väre gitt med heltallskoeffi-
sienter med Galois-gruppe G , og la Q(x) väre irredusibel.
a) Vis at hvis d er et kvadrattall, så er G = Z
2
× Z
2
, og omvendt.
b) Vis at hvis d < 0 så er G = D
4
.
c) Forklar hvorfor vi nå kan anta at b > 0, d > 0 og d ikke er et kvadrattall når
vi skal bestemme G . Vis da at hvis gcd(b, d) = 1, så er G = D
4
også.
d) Når er G en syklisk gruppe?
(insänt av Kent Holing)
Holings kommentar: Jeg hadde i 2003 en elementär artikkel i Normat om hvordan en kan
bestemme Galois-gruppen til irredusible fjerdegradsligninger, som jeg tror kan väre nyttig
bakgrunnsstoff (og lett tilgjengelig for leserne) for å löse oppgaven ovenfor. Artikkelen er
När har fjerdegradsligningen konstruerbare rötter? (side 15 i hefte 1, Normat 2003 med
et tillegg i hefte 2 side 80).
38 Uppgifter Normat 1/2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING
Finaltävling i Luleå den 25 novembe r 2006
1. Antag att de positiva heltalen a och b har 99 respektive 101 olika positiva
delare (1 och talet självt inräknade). Kan produkten ab ha 150 olika positiva
delare?
2. I triangeln ABC skär bisektriserna varandra i punkten P . Låt A
0
, B
0
och C
0
vara de vinkelräta projektionerna av P på sidorna BC, AC och AB respek-
tive. Visa att vinkeln B
0
A
0
C
0
är spetsig.
3. Ett tredjegradspolynom f har tre olika reella nollställen a, b och c. Koeffici-
enten för x
3
är positiv. Visa att
f
0
(a) + f
0
(b) + f
0
(c) > 0.
4. Saskia och hennes systrar har fått ett stort antal pärlor som gåva. Pärlorna
är vita, svarta och röda i varierande antal. De vita är värda 5 dukater, de
svarta 7 dukater och de röda 12 dukater stycket. Totala värdet av pärlorna
är 2107 dukater. Saskia och hennes systrar delar upp pärlorna så att alla
får lika många och till samma värde, men färgfördelningen varierar mellan
andelarna. Intressant nog är värdet av varje andel, uttryckt i antalet dukater,
lika med antalet pärlor som s ystrarna totalt ska dela på. Saskia är speciellt
förtjust i de röda pärlorna och ser till att hennes andel innehåller maximalt
antal av dessa. Hur många vita, svarta och röda pärlor får Saskia?
5. En rektangel delas in i m gånger n rutor. I varje ruta sätter man ett kryss
eller en ring. Låt f (m, n) vara antalet sådana arrangemang som innehåller en
rad eller kolumn med enbart ringar. Låt g(m, n) vara antalet arrangemang
som innehåller antingen en rad med enbart ringar eller en kolumn med enbart
kryss. Vilket tal är störst, f (m, n) eller g(m, n)?
6. Bestäm alla positiva heltal a, b, c sådana att
a
(b
c
)
= (b
a
)
c
.
Normat 1/2007 Uppgifter 39
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING
Kvalificeringstävling den 3 oktober 2006
1. Linjerna DE och F G är båda parallella med linjen AB. De tre områdena
CDE, DF GE och F ABG har lika stora areor.
Normat 55:1, 37–39 (2007) 37
Uppgifter
A B
C
D E
F G
Bestäm förhållandet
CD
F A
.
2. Bestäm x
2
+ y
2
+ z
2
om x, y, z är heltal som uppfyller
x + y + z = 60
(x − 4y)
2
+ (y − 2z)
2
= 2
3. Heltalet x uppfyller ekvationen x
2
= a + x. Här är a ett heltal större än 2006.
Bestäm det minsta möjliga värdet på a samt lös ekvationen för detta värde.
4. De tre räta linjerna l, m, n är parallella. Avståndet mellan l och m är 4,
avståndet mellan m och n är 3 och m ligger mellan l och n. En kvadrat, som
ligger i området mellan l och n, har tre av sina hörn på var sin linje. Finn
kvadratens sidlängd.
5. Visa att e kvationssystem et
y =
p
x +
√
1 − x
x =
p
y −
√
1 + y
saknar reella lösningar.
6. På ett bräde med m rader och n kolumner målar man varje ruta svart eller
vit. Detta görs så att de m raderna innehåller olika antal (alla positiva) svarta
rutor, medan antalet svarta rutor i var och en av de n kolumnerna är konstant.
För vilka m och n är detta möjligt?
