44 Normat 55:1, 44–47 (2007)

ocker

Jesp er Bo esen, G

oran Emanuelsson,

Anders Wallby, Karin Wallby

(Redakt

orer):

ara och undervisa i matematik

oteb orgs Universitet

Nationellt Centrum f

Matematikutbildning

ISBN 91-85143-05-7

ara och undervisa i matematik utg

ett urval av till svenska

oversatta ar-

tiklar fr˚an en internationell konferens i

matematik didaktik anordnad av NCM

(Nationellt Centrum f

or Matematikun-

dervisning) sommaren 2003, vars full-

andiga Proceedings publicerades som

’International pespectives on mathema-

tics and learning’. Matematiker av fac-

ket intar vanligen en ganska skeptisk

attityd till matematisk didaktik,

aven

om denna attityd s

allan

oppet artiku-

leras. Ofta v

ander man sig mot den ab-

strakta metaniv˚an som i sitt h

ogtravan-

de spr˚akbruk och brist p˚a konkretisering

uppleves som ’ﬂummigt’. N

ar d

aremot

empiriska unders

okningar noggrant pre-

senteras ﬁnner man dem alltf

or speciﬁ-

ka och saknar generella slutsatser.

Aven

ar man helhj

artat h˚aller med p˚ast˚aen-

den som att s

ag matematik bygger p˚a

b egreppsm

assig f

orst˚aelse kan man inte

annat

an harmas

over den f

ornumstig-

het detta ger uttryck f

or som vore det en

or l

arark˚aren obekant insikt. Det kan

inte f

ornekas att det ligger en hel del

fog i en s˚adan kritisk attityd, och den

skeptiske matematikern kan i samling-

en ﬁnna riklig med bekr

aftelse f

or sina

orutfattade meningar.

Utrymmet till˚ater inte en systema-

tisk genomg˚ang av artiklarna, s˚a l˚at mig

endast g

ora ett antal nedslag. Marja van

den Heuvel-Panhuizen g

or en unders

ok-

ning av genderskillnad i matematisk f

or-

m˚aga mellan ﬂickor och pojkar i Hol-

land, och antyder att det ﬁnns statis-

tiska skillnader mellan de b

agge k

onen.

Hon ﬁnner d

arvid att ﬂickor

ar b

att-

re p˚a problem som kr

aver noggrannhet,

ar problemtexten

ar komplex, eller d

problem kan l

osas med standardproce-

durer, medan pojkar

ar b

attre p˚a pro-

blem som efterfr˚agar vardagskunskaper

om tal och m˚att, eller tal med m˚anga

nollor, eller d

ar ’bakl

angesresonemeng’

b eh

over till

ampas och visar i allm

an-

het en st

orre ﬂexibilitet n

ar det g

al-

ler abstrakta strategier och en djupa-

re matematisk f

orst˚aelse. Slutsatserna

ar givetvis n˚agot sensationella och g˚ar

ars emot den r˚adande politiska kor-

rektheten. Givetsvis kan detta inte un-

derst

odas av fortsatta empiriska studi-

er och visar p˚a den allvarliga sv˚arighe-

ten i beteendevetenskaplig forskning i

allm

anhet och matematikdidaktik i syn-

nerhet.

I ett ﬁlosoﬁskt bidrag talar sig Paul

Ernest varm f

or matematiken som kul-

tur och l˚ater sin stora k

arlek till mate-

matiken komma till uttryck i

Matematiken

ar en skattkammare

som inneh˚aller m˚anga av de djupaste,

mest sp

annande och kraftfulla id´eer som

uppfunnits av m

anskligheten... och er-

Normat 1/2007 B

ocker 45

bjuder den vetenskapliga motsvarighe-

ten till poesi och ger upplyftande och

uppbyggliga erfarenheter som kan m

ata

sig med relig

osa s˚adana, men oberoende

av tro.

Vackra ord som vi matematiker mer

an g

arna inst

ammer i.

Do ck enligt min mening utm

arker sig

ett bidrag

over alla andra. Den ryske

didaktikern Victor Firsov skriver enligt

min mening en ypperlig betraktelse

over

amnet M˚aste man vara intresserad av

matematik?. Utan krusiduller g˚ar han

direkt till didaktikens k

arna och skri-

ver med sunt f

ornuft och befriande re-

alism. Aprop˚a l

arare p˚ap ekar han Att

tro att elevernas inst

allning till ett

am-

ne m˚aste vara detsamma som v˚ar egen

ar ett misstag och att dessa m˚aste re-

sp ektera vissa elevers r

attighet att av-

sky det. Han tar d

od p˚a myten om sm˚a

barns uppfattning om matematik som

ett favorit

amne. Det genuina intresset

or matematik kan vi endast f

orv

anta

oss fr˚an ett f˚atal, och problemet

ar vad

kan vi erbjuda de ointresserade. Han

p˚apekar att framg˚ang i l

arandet leder

till intresse f

or l

arandets resultat (vilken

elev har genuint intresse f

or addition av

br˚ak fr˚agar han sig retoriskt) och be-

tonar att f

or det stora ﬂertalet kan vi

inte b eg

ara mer

an tillfredst

allelsen att

lyckas. Han f

orordar d

armed att kursin-

neh˚allet skall best˚a av en mindre obliga-

torisk del, som skall bem

astras (elevens

ansvar), och en st

orre del som skall er-

bjudas (elevens r

attighet). Det

ar d

ar-

med viktigt att inte f

or h

oga krav st

al-

les p˚a den obligatoriska delen, men att

den erbjudande delen skall till˚ata ele-

ven att v

axa. Intresse blomstrar endast

i frihet och vissnar vid minsta tv˚ang.

Firsovs uppsats

ar v

ard ink

op et av hela

samlingen.

Ulf Persson

oran Friberg

Unexpected Links between Egyptian and

Babylonian Mathematics

World Scientiﬁc Publishing Co. Pte. Ltd.

New Jersey, London, Singapore, Beijing,

Shanghai, Hong Kong, Taipei, Chennai

2005

ISBN 981-256-328-8

Matematikken n˚adde en imponerende

blomstring i det gamle Mesopotamia.

Den er kjent for oss idag gjennom de

tallrike babylonske matematiske leirtav-

lene, med sine tekster skrevet med den

gamle mesop otamske kileskriften. Disse

leirtavlene skriver seg fra ulike epoker i

Mesopotamias historie, over ﬂere tusen

˚ar. Dette tilfanget vokser jevnt og sik-

kert, etter som nye leirtavler blir gravd

ut, funnet bortgjemt i museenes sam-

linger eller dukker opp p˚a det mer eller

mindre illegale markedet. Som forfatte-

ren skriver i sitt forord, nedskrivningen

av mesopotamisk matematikkhistorie er

en dynamisk prosess, som hele tiden ut-

vikler seg og ikke tar slutt.

P˚a den annen side er matematikken

fra det gamle Egypt kjent fra et betyde-

lig mindre antall originale dokumenter.

Disse dokumentene faller i tre grupper.

Den første gruppen best˚ar av tekster fra

første del av den annet ˚artusen f.Kr.

og omfatter de to viktige papyri, nem-

lig den s˚akalte Papyrus Rhind og den

s˚akalte Moskva Papyrusen. Dessuten et

dokument som kalles lærrullen, samt en-

delig diverse interessante papyrusfrag-

menter. Alle disse er skrevet med hie-

ratisk skrift. Den andre gruppen er fra

hellenistisk og romersk tid, og er skrevet

med demotisk skrift. En tredje gruppe

fra en noe senere del av denne epoken er

skrevet p˚a gresk. Noen av disse tekste-

ne viser innﬂytelse av gresk matematikk

og geometri, mens andre ikke viser noen

tegn p˚a en slik sammenheng.

46 B

ocker Normat 1/2007

Forfatteren presenterer i denne boken

observasjoner med utgangspunkt i ba-

bylonske tekster som viser klare paral-

leller med oppgaver en ogs˚a ﬁnner blant

annet p˚a Papyrus Rhind. Som forfatte-

ren skriver er dette en oppfatning som

st˚ar i konﬂikt med det herskende syn,

nemlig at det praktisk talt ikke ﬁnnes

no en slik sammenheng. Hovedhensikten

med denne boken er derfor nettopp ˚a se

p˚a egyptisk matematikk med nye øyne,

i lys av oppdatert informasjon om me-

sop otamisk matematikk.

Resultater er blitt en meget verdifull

kildebok for denne delen av matematik-

kens historie. Den er ikke lettlest, men

de som gir seg i kast med dette stoﬀet

vil bli rikt lønnet. Boken anbefales p˚a

det varmeste til alle som interesserer seg

for matematikkens historie.

Audun Holme

I.B.Cohen:

The Triumph of Numbers

How Counting shaped Modern Life

W.W.Norton

New York, London

ISBN-13 978-0-393-32870-7

I.B. Cohen

ar en renommerad veten-

skapshistoriker k

and bland annat f

Fysikens Banbrytare som utkom p˚a

svenska i Prisma p˚a 60-talet. F

orelig-

gande bok

ar postumt utgiven och be-

handlar statistikens moderna genom-

brott med tonvikt p˚a 1800-talet med f

de ﬂesta matematiker ok

anda statisti-

ker som Quetelet och Florence Nigh-

tingale (!) (den senare dock k

and i and-

ra sammanhang). Boken

ar tunn och

kan d

armed knappast f

orv

antas att g˚a

p˚a djupet, avsedd som den

ar f

or en

bred allm

anhet. Dock den lever knap-

past upp till de f

orv

antningar man trots

allt skulle kunna st

alla p˚a den. Trots

det knappa utrymmet inneh˚aller den

m˚anga irrelevanta och l˚angrandiga ut-

vikningar (som exempelvis den om do-

maren Woolsey och bannlysningen av

James Joyces Ulysses i USA), vidare ger

den m˚anga avsl

ojande tecken p˚a bris-

tande redigering. Boken har ett popu-

listiskt anslag, betydligt mera framtr

dande

an i andra av Cohens b

ocker, och

tenderar att bekr

afta g

angse stereoty-

p er av matematiker som kvantiﬁeran-

de ’number-crunchers’ och matematisk

orm˚aga sammanblandad med r

aknef

or-

m˚aga. Dock som f

orsonande drag skall

det framh˚allas att boken

ar ledigt skri-

ven, att den inneh˚aller en hel del in-

struktiva exempel som befolkningsupp-

skattningar under 1600-talet och Lavoi-

siers f

ors

ok att skatta ytan av den odla-

de marken i Frankrike i slutet av 1700-

talet. S˚asom bredvidl

asningsbok rekom-

menderas den (om

an med tvekan) med

tanke p˚a att det ﬁnns s˚a f˚a popul

art

skriva b

ocker med matematisk anknyt-

ning.

Ulf Persson

Siobhan Roberts:

King of Inﬁnite Space

Donald Coxeter, The Man Who Saved

Geometry

Walker& Company

New York

ISBN-13 978-0-8027-1499-2

Coxeter illustrerar att man kan vara en

stor matematiker

aven med enkla ele-

ment

ara medel. Coxeters geometri

tillg

anglig i ordets b

asta bem

arkelse,

och visar hur man kan n˚a djupa resultat

utan en stor teknisk maskin. Vad som

en g˚ang i tiden b

orjade som en lek med

motsvarigheterna till de Platonska krop-

parna i fyra dimensioner (ett problem

som redan hade l

osts p˚a 1800-talet av

Schl

aﬁ) utvecklades till en matematisk

Normat 1/2007 B

ocker 47

passion som fyllde ett synnerligen l˚angt

liv. Ett l˚angt liv dock ej s˚a rikt p˚a yttre

andelser, vilket kan vara n˚agot frustre-

rande f

or en f

orfattare av en biograﬁ.

De ﬂesta av oss k

anner till Coxe-

ter diagram o ch dess associerade grup-

p er. Enkla men djupsinniga kombina-

toriska utvecklingar av de regelbundna

p olyhedrarna med vilka han

ar s˚a djupt

orknippad, och som od

odligjorts i en

Bourbaki volym, kanske en av de mest

lyckosamma i denna serie. Det ironiska

i detta kan knappast undg˚a m˚anga l

sare, ty Coxeters fokusering p˚a ˚ask˚adlig

klassisk geometri har ofta st

allts i mot-

sats till Bourbakisternas formella ambi-

tioner. Dieudonn’es stridsrop Ned med

Euklides. D

od ˚at trianglar ger en f

ore-

andning att kasta den v

alk

ande bour-

bakisten in i rollen som skurk i denna

b ok, och Coxeters livsg

arning framst

al-

les s˚aledes som att sl˚a vakt om den klas-

siska geometrin och r

adda den fr˚an att

ankas i den abstrakta modernismens

syndaﬂod. En bok beh

over en hj

alte

och f

orfattarinnan skyr inga

overdrif-

ter n

ar det g

aller att exaltera Coxeter

i denna roll. ’Regular Polytopes’ liknas

vid Dawins ’Om arternas uppkomst’ ,

och Coxeter sj

alv j

amf

ores med Einste-

in. Den matematiskt bildade kan le ˚at

detta, den matematiskt oskyldige kan

riskera att f

orvillas. Det

ar dock synd,

Coxeter st˚ar stadigt p˚a sina egna ben.

Coxeter f

oddes i England 1907. Enda

barnet till tv˚a till varanda n˚agot mis-

sanpassade f

aldrar som s˚a sm˚aningom

skulle skiljas, ett steg vilket f

ovrigt

b eredde den unge pojken ett k

anslom

as-

sigt trauma han aldrig helt skulle

over-

vinna. Hans Edwardianska barndom as-

socierar till Lewis Carroll, och avsnit-

tet om hans studietid vid Cambridge

under vilken han minglade med Hardy

och Littlewood och Wittgenstein (

aven

om han fann den senare helt obegrip-

lig) stimulerar likaledes l

asarens nostal-

giska b

ojelser. Ett ’Post-Doc’ vid Prin-

ceton vidgade hans matematiska vyer,

utan att f

or den skull avleda honom fr˚an

hans redan valda huvudf˚ara. Strax d

ar-

efter hade han funnit sig en gem˚al, men

det planerade gifterm˚alet f

oregicks av

tragik i form av faderns ov

antade d

od.

Den naturliga utvecklingen hade v

al va-

rit en ˚aterv

ando till England, men

odet

ville annorlunda. En m

ojlighet

oppnade

sig i Toronto vars matematiska institu-

tion han skulle vara trogen fram till sin

od (2004) n

armare sjuttio ˚ar senare.

Escher och Buckminster Fuller asso-

cieras ofta med Coxeter under dennes

senare ˚ar. Eschers gravyrer utg

or char-

merande illustrationer till den av Coxe-

ter omhuldade geometrin, dock utan att

riktigt n˚a ut

over matematikernas tr

ang-

re krets, medan Fullers geodetiska do-

mer har haft en vida st

orre genomslags-

kraft. Coxeter uppt

ackte och uppmunt-

rade den holl

andske grav

oren, som tyck-

tes ha en helt intuitivt s

att att n

arma

sig och visualisera geometrin, och Coxe-

ter blev sj

alv f

orem˚al f

or Fullers oﬀentli-

ga hyllningar, men relationerna med den

senare f

ors

amrades drastiskt.

orfattarinnan Roberts

ar sj

alv ing-

en matematiker,

aven om hon tillst˚ar en

djup uppskattning av matematiken un-

der sin skoltid, och hon g

or tappra f

or-

ok att f

orklara och propagera f

or den

matematik som naturligt upptr

ader n

man ber

attar om Coxeter. Jag misst

an-

ker dock att huvudsakligen matemati-

ker kommer att lockas av boken, och

detta

ar synd. Som antytts ovan, Coxe-

ter borde utg

ora en tacksam ink

orsport

till matematikens underland f

or mer

en Alice.

Ulf Persson