Normat 55:2, 53–58 (2007) 53
Selmergrupper
– et historisk tilbakeblikk –
Loren D. Olson
Department of Mathematics and Statistics,
University of Tromsø,
N-9037 Tromsø, Norway
loren@math.uit.no
For ca. 60 år siden begynte Selmer på et omfattende prosjekt for å studere løsninger
over Q til ligninger på formen ax
3
+by
3
+cz
3
= 0. Han oppdaget mye underveis som
senere har hatt stor betydning for utviklingen i tallteori og aritmetisk algebraisk
geometri.
1 Hasseprinsippet eller det lokale-globale prinsippet
Det har i lang tid vært en ledetråd i algebraisk tallteori, diofantiske ligninger og
aritmetisk algebraisk geometri at man ønsker å studere et objekt globalt ved å
studere det lokalt overalt. Dette kommer ofte til uttrykk når vi snakker om Hasse-
prinsippet eller det lokale-globale prinsippet som grovt sett er: En ligning over Q
har en løsning i Q ⇐⇒ den har en reell løsning og løsninger over alle p-adiske
kropper Q
p
, dvs. løsninger lokalt overalt.
Opphavet til dette er Hasse-Minkowski teoremet som sier at dette gjelder for
kvadratiske former (over Q ved Minkowski (1890) og over en tallkropp ved Hasse
(1924)). Har vi en ligning/varietet eller en klasse av ligninger/varieteter kan vi
spørre om Hasseprinsippet gjelder for slike, eller ikke.
I 1951 publiserte Selmer en svær artikkel på 160 sider i Acta Mathematica der
han ga mange eksempler på at Hasseprinsippet ikke gjaldt for kubiske former. Det
enkleste er kanskje
3X
3
+ 4Y
3
+ 5Z
3
= 0
Dette eksempelet trekkes i dag fram nesten hver gang man skal diskutere Hasse-
prinsippet.
54 Loren D. Olson Normat 2/2007
2 Tre artikler av Selmer
Selmer publiserte tre artikler som er relevante for dette foredraget. De er:
1. The diophantine equation ax
3
+ by
3
+ cz
3
= 0. Acta Math. 85 (1951), s.
203-362.
2. The diophantine equation ax
3
+by
3
+cz
3
= 0. Completion of the tables. Acta
Math. 92 (1954), s. 191-197.
3. A conjecture concerning rational points on cubic curves. Math. Scand. 2
(1954), s. 49-54.
Utgangspunktet er kubiske ligninger på formen ax
3
+ by
3
+ cz
3
= 0 med a, b og
c kubefrie heltall som er parvis innbyrdes prime der A = abc er positivt. Slike
definerer ikke-singulære plankurver D av genus 1. I tilknytning til disse studerer
han inngående ligningen
(2.1) X
3
+ Y
3
= AZ
3
for A ∈ Z, 1 ≤ A ≤ 500.
Vi merker oss også at den første artikkelen ikke gjør bruk av datamaskiner i det
hele tatt. Noen av løsningene som står i tabellene er derfor ganske imponerende.
Som et eksempel, la A = 284. Selmer finner da for hånd følgende løsning:
x = 111035496427236122887
y = −43257922194314055637
z = 16751541717010945845
I den andre artikkelen brukte han i 1952 en datamaskin på Princeton til å kom-
plettere tabellene.
3 Elliptiske kurver og Mordell-Weil gruppa
La k være en kropp.
Definisjon 3.1. En elliptisk kurve E definert over en kropp k er en ikke-singulær
kurve av genus 1 samt et k-rasjonalt punkt e på E.
Bemerkning 3.2. Fram til ca. 1966 var eksistensen av et k-rasjonalt punkt ikke med
i definisjonen av elliptisk kurve.
La E(k) være mengden av alle k-rasjonale punkter på E. E(k) har en gruppe-
struktur med e som identitetselement. E(k) kalles for Mordell-Weil gruppa til E.
Teorem 3.3. Mordel l-Weil. La k være en algebraisk tallkropp. E(k) er endelig
generert.
Skriv E(k)
∼
=
E(k)
tors
⊕ Z
r
der r er rangen til E(k). E(k)
tors
er grei å beregne.
Verre er det å beregne r og et sett generatorer for E(k). Det var nok dette Selmer
hadde som mål for de kurvene han undersøkte.
For n > 1 har vi E(k)/nE(k)
∼
=
E(k)
tors
/nE(k)
tors
⊕ (Z/nZ)
r
. Det er viktig å
få kjennskap til E(k)/nE(k).
Normat 2/2007 Loren D. Olson 55
4 Weil-Châtelet og Tate-Šafarevič grupper
Kurven D definert ovenfor ved ax
3
+ by
3
+ cz
3
har Jacobivarietet E gitt ved X
3
+
Y
3
= AZ
3
der A = abc. D har ikke nødvendigvis et k-rasjonalt punkt, men det
har E. E er da en elliptisk kurve.
Tar vi utgangspunkt i en gitt elliptisk kurve E kan vi studere ikke-singulære
kurver D av genus 1 som har E som Jacobivarietet. Slike har følgende struktur:
(1.) µ : D × E −→ D over k slik at µ(y, e) = y og µ(µ(y, x
1
), x
2
) = µ(y, x
1
+ x
2
) og
(2.) ν : D × D −→ E over k slik at µ(y
1
, x) = y
2
⇐⇒ ν(y
2
, y
1
) = x.
D kalles for et prinsipalt homogent rom over (E, e). Vi kan innføre en ekviva-
lensrelasjon på disse. Weil (1955) definerte en gruppestruktur på disse ekvivalens-
klassene og vi får W C(E, k), Weil-Châtelet gruppa. Det er viktig å legge merke til
at en ekvivalensklasse i W C(E, k) er 0 ⇐⇒ kurvene D som representerer klassen
har et k-rasjonalt punkt.
Merk at dette var etter at Selmer hadde gjort sitt arbeid.
Dersom K/k er en kroppsutvidelse, så har vi en homomorfi
W C(E, k) −→ W C(E, K). Spesielt for k en algebraisk tallkropp og k
v
en komplet-
tering mht. en tallverdi v, har vi W C(E, k) −→ W C(E, k
v
).
Definisjon 4.1. La (E, e) være en elliptisk kurve over en algebraisk tallkropp k.
X = X(E) = ∩
v
ker(W C(E, k) −→ W C(E, k
v
)) kalles for Tate-Šafarevič gruppa
til E.
Selmers kurve 3X
3
+ 4Y
3
+ 5Z
3
er (dvs. representerer) et ikke-trivielt element
i X(E) der E er den elliptiske kurven gitt ved X
3
+ Y
3
= 60Z
3
.
Bemerkning 4.2. Vi bruker følgende notasjon: Gitt en abelsk gruppe G og et heltall
n > 1, la G[n] = {x ∈ G|nx = 0}, n-torsjonsdelen til G.
X(E)[n] er endelig for alle n > 1.
Formodning 4.3. X(E) er endelig for alle elliptiske kurver E over en algebraisk
tallkropp k.
I 1987 fant Karl Rubin de første eksemplene av elliptiske kurver E der man
kunne bevise at X(E) var endelig.
Vi har nå to grupper som er vanskelige å beregne: E(k) og X(E), alternativt:
E(k)/nE(k) og X(E)[n]. Det vil være kjekt å ha en gruppe som gir en viss kontroll
over disse to og som samtidig er litt medgjørelig beregningsmessig.
5 Selmergrupper
For alle n > 1, så skulle vi ønske at det eksisterte en endelig abelsk gruppe S
n
slik at
0 −→ E(k)/nE(k) −→ S
n
−→ X(E)[n] −→ 0
er eksakt med S
n
er effektivt beregnbar.
56 Loren D. Olson Normat 2/2007
For å definere Selmergrupper er det mest hensiktsmessig å bruke Galoiskohomo-
logi.
Notasjon. La E = E(
¯
k), E
v
= E(
¯
k
v
), G = Gal(
¯
k/k), G
v
= Gal(
¯
k
v
/k
v
),
H
i
(–) = H
i
(G,–), og H
i
v
(–) = H
i
(G
v
,–).
Vi har H
0
(E) = E(k) og H
1
(E) = W C(E, k).
Vi har en kort eksakt sekvens
0
//
E[n]
//
E
n
//
E
//
0
Vi får
0
//
H
0
(E[n])
//
H
0
(E)
n
//
H
0
(E)
//
H
1
(E[n])
//
H
1
(E)
n
//
H
1
(E)
og dermed
0
//
E(k)/nE(k)
//
H
1
(E[n])
n
//
H
1
(E)[n]
//
0
eller
0
//
E(k)/nE(k)
//
H
1
(E[n])
n
//
W C(E, k)[n]
//
0
Vi har tilsvarende sekvenser for kroppene k
v
. Vi kan da lage
0
//
E(k)/nE(k)
//
H
1
(E[n])
n
//
W C(E, k)[n]
//
0
0
//
Q
v
E(k
v
)/nE(k
v
)
//
Q
v
H
1
v
(E
v
[n])
n
//
Q
v
W C(E, k
v
)[n]
//
0
Definisjon 5.1. Selmergruppa er S
n
= {c ∈ H
1
(E[n])|
c er med i bildet av
Q
v
E(k
v
)/nE(k
v
) i
Q
v
H
1
v
(E
v
[n])}.
Ved å gjennomløpe diagrammet får vi nå den eksakte sekvensen
0 −→ E(k)/nE(k) −→ S
n
−→ X(E)[n] −→ 0
Sitat. “We shall call it a Selmer group because Selmer initiated the present work."
J. W. S. Cassels på s. 262 i: Arithmetic on curves of
genus 1. III. The Tate-Šafarevič and Selmer groups.
Proc. London Math. Soc. (3) 12 (1962), s. 259-296.
Normat 2/2007 Loren D. Olson 57
S
n
er effektivt beregnbar.
Sitat. “Effectively computable” is not the same as “easy”.
Karl Rubin, sagt om Selmergrupper i foredraget “Rational
points on abelian varieties” på MSRI den 17. januar 2006.
Definisjonen av S
n
som en undergruppe i H
1
(G, E[n]) er ganske abstrakt. Hvordan
kan vi tolke S
n
mer konkret? Hvordan kan vi regne med elementene i S
n
?
6 Descent
Prossessen med å beregne Selmergruppa S
n
og å bruke den til å begrense E(k)/nE(k)
kalles for n-descent eller å utføre en n-descent. Det var nettop dette Selmer gjorde
i artiklene sine. Arbeidet med n-descenter vokser raskt med n. n = 2 er desidert
det mest vanlige, men n = 3 og n = 4 forekommer også.
Bemerkning 6.1. Et helt spesielt tilfelle av det han gjorde går tilbake til Fermat.
Fermat innførte “uendelig descent” som en bevismetode i tallteori rundt år 1640.
Det går ut på å ta en gitt (eller tenkt) positiv løsning til en ligning og utlede en
ny positiv løsning med mindre tallverdi.
Elementene i S
n
kan tolkes på forskjellig vis. Blant tolkningene finner vi:
1.) n-overdekninger. Vi tar en ikke-singulær kurve D av genus 1 samt en rasjonal
avbildning π : D −→ E over k og en isomorfi φ : D −→ E over
¯
k slik at følgende
diagram kommuterer:
D
π
φ
~~
~
~
~
~
~
~
~
E
n
//
E
Isomorfien φ innebærer at D er et prinsipalt homogent rom over E. Dette er den
klassiske tolkning og tilsvarer Selmers arbeid.
2.) avbildninger til P
n−1
.
3.) theta grupper
4.) via etale algebraer
Det foregår for tiden svært mye arbeid med å utvikle disse forskjellige tolknin-
gene.
7 Anvendelser av S
n
Vi så at S
n
var strategisk plassert midt i sekvensen
0 −→ E(k)/nE(k) −→ S
n
−→ X(E)[n] −→ 0
Selmer brukte S
n
til å beregne E(k). Men den er også viktig når man ser på X(E).
58 Loren D. Olson Normat 2/2007
Poenget er å finne hvilke elementer i S
n
som kommer fra E(k)/nE(k) og hvilke
som går til ikke-trivielle elementer i X(E). Hva gjør vi dersom vi ikke klarer å
avgjøre dette for nok elementer i S
n
? I så fall, kan vi fortsette med S
mn
(vanligvis
S
n
2
). Selmer brukte S
4
i tillegg til S
2
av og til. Slikt kalles for den andre descent.
Alternativt kan man bytte n.
8 Selmergrupper og Fermats siste teorem
Den grunnleggende filosofien som ligger bak Selmergruppa kan anvendes i mye mer
generaliserte former. Wiles artikkel med beviset for Fermats siste teorem har fem
kapitler. Den tredje heter “Estimates for the Selmer group”. Det var nettopp Sel-
mergruppa som skapte mest bry for Wiles.
Sitat. “. . . the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group . . . is
not yet complete as it stands.”
Andrew Wiles, 4/12/1993
