Normat 55:2, 93 (2007) 93
Fibonacciserien i Z
p
Ulf Persson
Chalmers Tekniska Högskola
Matematiska Institutionen
SE–412 96 Göteborg
ulfp@math.chalmers.se
Som i Dan Laksovs artikel tidigare i detta nummer kan man betrakta Fibonnaci
serien i en primkropp Z
p
eller ekvivalent reducera den vanliga serien över heltalen
över godtyckliga primtal p. I sambandet kan det vara naturligt att även utvidga
definitionen av F
n
att även inbegripa negativa tal. Detta göres på ett entydigt sätt
och man finner att F
−n
= (−1)
n+1
F
n
. En sådan serie reducerat till ett primtal
blir uppenbarligen periodisk med perioden P ≤ p
2
, ty det finns endast p
2
olika par
(a, b). Eftersom vi betraktar serien indicerad över alla heltal är det lätt att se att
det första konsekutiva par som upprepar sig när man startar säg vid (0, 1) är just
(0, 1). Vi kan även fråga oss om perioden o för återkomsten av 0 ty även denna
kommer att återkomma periodiskt, vilket inte är lika uppenbart. Men säg att nästa
återkomst av 0 är av typ α, 0, α, vi ser då att nästa del av serien är den föregående
multiplicerad med α. Vi erhåller då att P = ok där k är ordningen av α, speciellt
att k|p −1. Det kan vara underhållande att göra en datorundersökning där vi listar
p(o) och [k]
2 (3) [1] 3 (4) [2] 5 (5) [4] 7 (8) [2] 11 (10) [1] 13 (7) [4]
17 (9) [4] 19 (18) [1] 23 (24) [2] 29 (14) [1] 31 (30) [1] 37 (19) [4]
41 (20) [2] 43 (44) [2] 47 (16) [2] 53 (27) [4] 59 (58) [1] 61 (15) [4]
67 (68) [2] 71 (70) [1] 73 (37) [4] 79 (78) [1] 83 (84) [2] 89 (11) [4]
97 (49) [4] 101 (50) [1] 103 (104) [2] 107 (36) [2] 109 (27) [4] 113 (19) [4]
127 (128) [2] 131 (130) [1] 137 (69) [4] 139 (46) [1] 149 (37) [4] 151 (50) [1]
157 (79) [4] 163 (164) [2] 167 (168) [2] 173 (87) [4] 179 (178) [1] 181 (90) [1]
Vi ser här att värdena på k begränsas till 1, 2, 4, samt att perioden o antingen delar
p − 1 eller p + 1 med ett uppenbart undantag p = 5. Speciellt är perioden P av
storlek p och inte p
2
. Är detta bara en tillfällighet, eller kan vi formulera en allmän
lag? Utrymmet av en sida tillåter ingen längre utläggning, men vi kan i alla fall
göra en ansats. Vi har F
o−1
= α som ovan. Gående baklänges får vi F
o−k
= F
−k
α
speciellt 1 = F
o−(o−1)
= F
o−1
α = (−1)
o
F
2
o−1
. Men k är ordningen av α = F
o−1
så om o är jämn är k antingen 1, 2 och om o är udda har vi k = 4, vilket lätt kan
verifieras ovan i tabellen. För att bevisa det andra påståendet påminner vi om den
explicita formeln F
n
= Aα
n
+ Bβ
n
där α, β är rötter till ekvationen x
2
+ x − 1
och A, B lämpligt valda konstanter
1
. Vidare eftersom αβ = −1 reduceras vi till att
betrakta när α
2n
+ (−1)
n+1
= 0. Läsaren inbjudes nu till att ge detaljerna.
1
A + B = 0 och således A( α − β) = 1 genom att betrakta fallen n = 0, 1
