94 Normat 55:1, 94–95 (2007)

ocker

Daniel W. Stroock: An Introduction to

Markov Pro cesses.

Springer 2005.

ISBN 3-540-23499-3.

Fagomr˚adet stokastiske prosesser byg-

ger opp en matematisk teori for mer

eller mindre kompliserte prosesser som

utvikler seg tilfeldig over tid. Sammen-

hengen mellom prosessenes tilstand i et

bestemt øyeblikk og sannsynlighetsfor-

delingen for tilstander i fremtiden spiller

en vesentlig rolle. En viktig type stokas-

tiske prosesser er Markovprosessene, der

en grovt sagt kan se p˚a den tilfeldige ut-

viklingen videre inn i fremtiden ved bare

˚a ta utgangspunkt i hvor vi st˚ar akkurat

i øyeblikket, slik at mulig kjennskap til

prosessen i fortiden kan ignoreres. Teori-

en for slike prosesser ﬁnner stadig nye

anvendelsesomr˚ader. Som universitets-

lærere opplever vi mange ganger at stu-

denter i andre fag viser generell interes-

se for kurs i emnet uten at de egentlig

vet hvordan prosessteorien skal komme

til nytte innenfor eget fagfelt. Dessverre

viser det seg ofte at de vanlige innfø-

ringskursene i stokastiske prosesser ikke

er tilpasset de reelle behovene hos slike

studenter. Da oppst˚ar det gjerne disku-

sjon om hva slags prosesser som virkelig

er interessante i de aktuelle fagene, og

hvor mye av stoﬀet som burde knyttes

til eksempler og konkrete anvendelser.

Det er heller ikke gitt hvilket matema-

tisk niv˚a fremstillingen bør ligge p˚a. I

stor utstrekning er dette et spørsm˚al om

˚a ﬁnne passende lærebok, noe som ikke

er helt enkelt for grunnkursene i stokas-

tiske prosesser.

Det er derfor med visse forventninger

n˚ar en som underviser i et slikt kurs,

˚apner den foreliggende nye læreboken

av Daniel W. Stroock. Forfatteren ar-

beider ved den kjente lærestedet Mas-

sachusetts Institute of Technology, og

man kunne gjerne tenke seg at teorien

var spesielt innrettet mot teknologiske

anvendelser. For en som selv er orien-

tert mot anvendelsene, blir det imidler-

tid straks tydelig at fremstillingen pri-

mært er tilpasset matematikkstudenter.

Det gjelder b˚ade notasjonen og m˚aten

stoﬀet blir presentert p˚a. Likevel tar bo-

ken stort sett opp emner som henger

sterkt sammen med pensum i vanlige

grunnleggende kurs i Markovprosesser.

Forklaringen blir ˚apenbar n˚ar man leser

forordet nøyere, for boken er tydeligvis

blitt til som en reaksjon p˚a de velkjen-

te bøkene skrevet av Samuel Karlin og

Howard Taylor, som har vært anvendt

i undervisningen ved mange institusjo-

ner, ogs˚a i Norge. Det er lett ˚a være

enig med Stroock i at Karlin og Taylors

bøker inneholder et overveldende antall

eksempler og øvelser, men det kan virke

som om forfatteren av den aktuelle bo-

ken har overreagert og g˚att svært langt

i motsatt retning.

Resultatet er i alle fall en lære-

bok som utmerker seg ved knapphet

og oversiktlighet. Første kapittel moti-

verer grunnleggende ideer ved hjelp av

Normat 1/2007 B

ocker 95

teori spesialisert til modeller for tilfel-

dig gang. Andre kapittel gir et inter-

essant forsøk p˚a ˚a etablere konvergens

mot en stasjonærfordeling i positivre-

kurrente Markovkjeder ved ˚a legge inn

en spesiell innskrenkende forutsetning.

Det antas at hopp til en bestemt til-

stand skal skje med minst en fast, posi-

tiv sannsynlighet fra alle andre tilstan-

der. Dette kalles for Doeblins betingel-

se, som gjør det mye enklere ˚a behand-

le konvergensen. I tredje kapittel blir li-

kevel den ordinære, adskillig mer kom-

pliserte generelle behandlingen gitt for

slik konvergens. Fjerde kapittel tar opp

Markovprosesser med kontinuerlig tid

og diskret tilstandsrom. Et eget fem-

te kapittel behandler reversible proses-

ser, b˚ade i diskret og kontinuerlig tid.

Endelig gis det i siste kapittel en egen

rask innføring i m˚alteori, spesielt tilpas-

set sannsynlighetsmodellen som ligger

bak beskrivelsen av Markovprosessene.

Fremstillingen i de fem første kapitlene

bygger imidlertid ikke p˚a m˚alteori. Det

blir ikke gitt eksempler med anvendel-

ser noe sted, selv om et eget avsnitt tar

opp et tema som “simulated annealing” i

sammenheng med den generelle teorien.

Boken virker lite aktuell som lære-

verk i vanlig forstand i kurs vi er vant

til, men det er naturlig ˚a tenke seg at

den kan gjøre nytte som støttelitteratur

for spesielt interesserte studenter i kurs

i stokastiske prosesser. Boken tar utvil-

somt opp temaer som ellers m˚a behand-

les svært overﬂadisk, der studentene lett

f˚ar en følelse av at det oppst˚ar vesentlige

mangler i fremstillingen. Det gjelder f.

eks. konvergensen mot stasjonærforde-

lingene eller et emne som mulig eksplo-

sjon av tidskontinuerlige prosesser. Det

er imidlertid et stort spørsm˚al om det i

det hele ﬁnnes noen studenter i de aktu-

elle kursene i v˚are dager med interesse

for slik tilleggslitteratur. For studenter

p˚a et mer avansert niv˚a vil det uansett

være mer aktuelt enten med en matema-

tisk fremstilling som bygger p˚a m˚alteori,

eller med et supplement med omfatten-

de illustrasjoner av aktuelle anvendel-

ser.

I grunnen er det beklagelig at dagens

kursopplegg ikke ˚apner for mer bruk

av slik støttelitteratur, for selve frem-

stillingen av stoﬀet i denne boken vir-

ker svært systematisk. Dersom det kun-

ne oppmuntres til større interesse blant

studentene for sammenhenger av ulike

slag mellom de grunnleggende resulta-

tene i teorien, vil det ogs˚a føre til bedre

forst˚aelse av de konkrete anvendelsene.

I s˚a fall kunne bøker av denne sorten gi

et nyttig bidrag. Lignende vurderinger

kan selvsagt gjøres p˚a mange andre ma-

tematiske omr˚ader, men det som sær-

preger stokastiske prosesser er den sto-

re bredden i teori og mulige anvendel-

ser. Det skulle være interessant ˚a vite

om Stroocks bok etter noen ˚ar vil opp-

n˚a en stor utbredelse i USA eller andre

land som har undervisningsopplegg som

skiller seg vesentlig fra de skandinaviske.

Dessverre tror jeg ikke at det kommer til

˚a g˚a slik.

Ivar Heuch