Normat 55:3, 119–123 (2007) 119
Approximation i endelig dimensionale rum
Eggert Briem
Eggert Briem
Islands Universitet
Eggert.Briem@aaa.is
Et velkendt resultat af Weierstrass siger at en hvilken som helst reel kontinuert
funktion, defineret på et lukket og begrænset interval, kan approximeres ligeligt på
intervallet med et polynomium. Dette resultat blev senere generaliseret af Stone.
Han indså at det som er væsentligt for Weierstrass’s resultat er at polynomier, for-
uden at adskille punkter og indeholde de konstante funktioner, udgør et vektorrum
som er lukket overfor multiplication, er en algebra af funktioner.
Den såkaldte Stone-Weierstrass sætning siger at enhver reel kontinuert funktion,
defineret på en lukket og begræset delmængde Y af R
n
, eller mere generelt på et
kompakt Hausdorffrum Y , kan approximeres ligeligt på Y med funktioner fra en
algebra A af reelle funktioner på Y som adskiller punkter i Y ( hvis y
1
og y
2
er
to forskellige punkter i Y så findes der en funktion a i A hvor a(y
1
) 6= a(y
2
) ) og
indeholder de konstante funktioner. Som et eksempel kan man tage algebraen på
intervallet [0, 1] som består af alle polynomier som enten er konstante eller har grad
mindst 3.
Stone-Weierstrass sætningen, som den står foroven, gælder ikke for funktioner
med komplekse værdier, hvis f.eks. en kontinuert funktion, defineret på den lukkede
enhedsskive i den komplekse plan, kan approximeres ligeligt på skiven med poly-
nomier, så må funktionen være analytisk paa den åbne skive. Hvis man derimod
yderligere forudsætter at A er lukket overfor kompleks konjugering får man den
komplekse udgave af Stone-Weierstrass sætningen.
For lokalkompakte rum Y , såsom lukkede ubegrænsede delmængder af R
n
, gæl-
der Stone-Weierstrass sætningen også, forudsat alle involverede funktioner forsvin-
der i det uendelige på Y .
En algebra A af kontinuerte funktioner er et vektorrum som er lukket m.h.t.
sædvanlig multiplikation af funktioner. Som der vil blive gjort rede for senere,
gælder der at A er lukket m.h.t multiplikation hvis og kun hvis a
2
∈ A for alle
a ∈ A. Hvad nu hvis denne betingelse bliver erstattet med a
n
∈ A for alle a ∈ A,
hvor n er et givet naturligt tal? Eller endnu mere generelt med betingelsen, ϕ◦a ∈ A
for alle a ∈ A, hvor ϕ er en given funktion defineret i den komplekse plan. Her er
den sammensatte funktion ϕ ◦ a defineret på sædvanlig vis (se nedenfor). Hvilke
funktioner kan man da approximere med funktioner fra A? Kan man opnå eksakt
approximering på en given endelig delmængde af Y ? Og hvis dette ikke er muligt,
for hvilke værdier på den endelige delmængde kan man da opnå approximering?
Vi vil i det følgende studere spørgsmål af denne og lignende art.
120 Eggert Briem Normat 3/2007
Diskussion og resultater
Artiklen [BCH] indeholder en tilføjelse til Stone–Weierstrass sætningen om ap-
proximation af kontinuerte funktioner på et lokalkompakt rum Y med funktioner
tilhørende en algebra af kontinuerte funktioner på Y , som er lukket med hensyn
til kompleks konjugering, adskiller punkter i Y og ikke forsvinder i noget punkt.
Forfatterne viser at på enhver endelig delmængde X af Y kan man opnå eksakt
approximering.
En ikke uvæsentlig del af beviset er en hjælpesætning, ([BCH], Lemma 1), som
siger at funktioner i A kan antage vilkårligt givne værdier på X. Dette er i virke-
ligheden et to-punkts ræsonnement. Det er klart tilstrækkeligt at bevise at der for
ethvert punkt x i X findes en funktion i A som antager værdien 1 i x og værdien 0
på resten af X. Eftersom A er lukket med hensyn til multiplikation er det tilstræk-
keligt at vise, at der til et givet par x, y af punkter i X findes en funktion a i A,
således at a(x) = 1 og a(y) = 0. Lad U = { (a(x), a(y)) : a ∈ A }, et underrum af
C
2
. Det er nok at vise at U = C
2
. Hvis U er udspændt af en vektor (s, t) ∈ C
2
, så
må der gælde s 6= 0 og t 6= 0, eftersom A ikke forsvinder i noget punkt. Ligeledes
må der gælde at s 6= t eftersom A adskiller punkter. Da nu A er lukket med hensyn
til multiplikation er (s
2
, t
2
) ∈ U, hvilket medfører at (s
2
, t
2
) = α(s, t) for et kom-
plekst tal α. Men så er α = s og α = t, hvilket er umuligt. Derfor må der gælde
at U er to-dimensionalt dvs. U = C
2
. Vi bemærker at der ikke blev gjort brug af
betingelsen at A er lukket med hensyn til kompleks konjugering (se også, [E]).
I det ovenstående ræsonnement har vi kun arbejdet med indskrænkningen af A
til den endelige mængde X.
Lad X = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} være en endelig mængde og lad A være et lineært rum af
komplekse funktioner på X. Svarende til A er der et underrum V af C
n
givet ved
V = { (a(x
1
), a(x
2
), . . . , a(x
n
)) : a ∈ A }.
En funktion ϕ, defineret i en omegn af 0 in den komplekse plan, siges at operere på
A hvis ϕ◦a ∈ A når a ∈ A og den sammensatte funktion er defineret, dvs. a afbilder
X ind i definitionsmængden for ϕ. Tilsvarende, ϕ opererer på et underrum U af C
n
hvis (ϕ(t
1
), ϕ(t
2
), . . . , ϕ(t
n
)) ∈ U når (t
1
, t
2
, . . . , t
n
) ∈ U og sammensætningen er
defineret. Vi bruger også udtrykket A eller U er invariante med hensyn til ϕ. En
funktion opererer på A hvis og kun hvis den opererer på det tilsvarende underrum
V .
De affine funktioner, ϕ(t) = αt, opererer på et hvilket som helst A eller U eller,
mere generelt, ϕ(t) = αt + β, hvis A indeholder de konstante funktioner.
Ligningen ab = ((a + b)
2
− (a − b)
2
)/2 viser at et lineært rum A er en algebra
hvis a
2
∈ A når a ∈ A, dvs. hvis funktionen ϕ(t) = t
2
opererer på A. Eller, hvilket
er jævngyldigt, ϕ(t) = t
2
opererer på underrummet V of C
n
som svarer til A. Vi
vil i det følgende se på tilfælde hvor andre funktioner opererer.
Lad os kalde en funktion ϕ defineret i en omegn D of 0 additiv hvis ϕ(s + t) =
ϕ(s)+ϕ(t) når s, t og s +t tilhører D. Det er velkendt at en kontinuertreel funktion
ϕ, defineret i en omegn af 0 på den reelle akse, er additiv hvis og kun hvis ϕ(t) = αt.
Derfra slutter man at ϕ, defineret i en omegn af 0 i den komplekse plan, er additiv
hvis og kun hvis ϕ(t) = αξ + βη for t = ξ + iη i en omegn af 0.
Normat 3/2007 Eggert Briem 121
Som vi har set gælder der om en algebra A af funktioner på en endelig mængde X
med n elementer, som adskiller punkter i X og som ikke forsvinder i noget punkt
i X, at det til A svarende underrum V af C
n
er hele C
n
. Her er en generalisering.
Proposition Lad n ≥ 2 være et naturligt tal og lad V være et underrum af C
n
.
Lad os antage at V har en opererende funktion ϕ, defineret i en omegn af 0 i den
komplekse plan, således at ϕ−ϕ(0) ikke er additiv i nogen omegn af 0. Da indeholder
V enhver vektor i C
n
som i et vilkårligt par af sine koordinater stemmer overens
med en vektor i V .
Dette resultat kan omskrives til et resultat om lineære rum af funktioner. Lad ϕ
være en funktion defineret i en omegn af 0 i den komplekse plan, og lad λ være et
komplekst tal, λ 6= 1, |λ| ≤ 1. Funktionen ϕ siges at være λ-affin i en omegn af 0
hvis ϕ(λt) = λϕ(t) for alle t i en omegn af 0.
Korollar. Lad A være et lineært rum af funktioner på en endelig mængde X. Lad
os antage der findes en opererende funktion for A, defineret i en omegn af 0 i
den komplekse plan, således at ϕ − ϕ(0) ikke er additiv i nogen omegn af 0. Da
indeholder A enhver funktion på X som i et vilkårligt par af punkter i X stemmer
overens med en funktion i A.
Hvis tillige ϕ ikke er λ-affin i nogen omegn af 0 og hvis A adskiller punkter i X
og ikke forsvinder i noget punkt i X, da vil A indeholde enhver funktion på X.
Bevis for propositionen. Beviset foregår per induktion efter n. For n = 2 er
der ingenting at bevise. Lad påstanden være sand for et n ≥ 2 og lad V være
et underrum af C
n
med en opererende funktion som i propositionen. Lad os først
antage der er et par i, j, hvor 1 ≤ i, j ≤ n + 1, og α ∈ C således at t
i
= αt
j
når
(t
1
, t
2
, . . . , t
n+1
) ∈ V . Vi kan antage at |α| ≤ 1. Lad
U = { (t
1
, . . . , t
i−1
, t
i+1
, . . . , t
n+1
) : (t
1
, . . . , t
i−1
, αt
j
, t
i+1
, . . . , t
n+1
) ∈ V }.
U er et underrum af C
n
og eftersom |α| ≤ 1 gælder der at ϕ opererer på U. Antag
at (s
1
, s
2
, . . . , s
n+1
) på hvilke som helst to af sine koordinater stemmer overens med
en vektor i V . Da er s
i
= αs
j
og på hvilke som helst to af sine koordinater stemmer
vektoren (s
1
, . . . , s
i−1
, s
i+1
, . . . , s
n+1
) overens med en vektor i U og er derfor i U
ifølge induktionsantagelsen. Vi slutter at (s
1
, . . . , s
i−1
, s, s
i+1
, . . . , s
n+1
) ∈ V for et
s ∈ C. Deraf følger s = αs
j
= s
i
således at (s
1
, s
2
, . . . , s
n+1
) ∈ V og V har derfor
de ønskede egenskaber.
Lad os nu antage at der ikke findes noget par i, j som foroven. Da vil der for
ethvert par i, j gælde at det lineære rum U
i,j
har dimension to, hvor
U
i,j
= { (t
i
, t
j
) : t
i
= s
i
and t
j
= s
j
hvor (s
1
, s
2
, . . . , s
n+1
) ∈ V }.
Lad
U = { (t
1
, t
2
, . . . , t
n
) : (t
1
, . . . , t
n
, t) ∈ V for et t ∈ C }.
For at kunne bruge induktionshypotesen på U må vi vise at en funktion med
de samme egenskaber som ϕ opererer på U. Lad os bevise at restriktionen af
ϕ til en mindre omegn af 0 er en sådan funktion. Hvis (0, . . . , 0, 1) ∈ V vil ϕ
operere på U. Ellers så findes der i det mindste een lineær relation blandt dem
122 Eggert Briem Normat 3/2007
som definerer V hvor t
n+1
indgår, og derfor er der et positivt tal L således at
|t
n+1
| ≤ L max
1≤i≤n
|t
i
| hvis (t
1
, t
2
, . . . , t
n+1
) ∈ V . Dette viser at restriktionen af
ϕ til en eventuelt mindre omegn af 0 opererer på U. Eftersom U
i,j
er to-dimensionelt
for ethvert par i, j, vil enhver vektor i C
n
på et vilkårligt par af sine koordinater
stemme overens med en vektor i U således at U = C
n
ifølge induktionsantagelsen.
Specielt gælder der dimV ≥ n. Hvis dimensionen af V er lig n findes der tal
α
1
, α
2
, . . . , α
n+1
, ikke alle lig 0, således at (t
1
, t
2
, . . . , t
n+1
) ∈ V hvis og kun hvis
α
1
t
1
+α
2
t
2
+· · · +α
n+1
t
n+1
= 0 og, eftersom U = C
n
, gælder der at α
n+1
6= 0. Der
findes også i det mindste et par i, j, 1 ≤ i, j ≤ n, hvor α
i
and α
j
begge er forskellige
fra 0. Ellers ville der gælde for et i ≤ n, at t
n+1
= βt
i
når (t
1
, t
2
, . . . , t
n+1
) ∈ V , et
tilfælde som vi allerede har set på. Vi slutter at (t
1
, t
2
, . . . , t
n+1
) ∈ V hvis t
k
= 0
for k 6∈ {i, j, n + 1} og α
i
t
i
+ α
j
t
j
+ α
n+1
t
n+1
= 0 eller, hvilket er jævngyldigt,
t
n+1
= β
i
t
i
+β
j
t
j
, hvor β
i
= −α
i
/α
n+1
og β
j
= −α
j
/α
n+1
. Ved at ombytte ϕ med
ϕ − ϕ(0) kan vi antage at ϕ(0) = 0. Da får vi
ϕ(β
i
t
i
+ β
j
t
j
) = β
i
ϕ(t
i
) + β
j
ϕ(t
j
)
for t
i
og t
j
i en omegn af 0. Specielt gælder ϕ(β
i
t
i
) = β
i
ϕ(t
i
) og ϕ(β
j
t
j
) = β
j
ϕ(t
j
),
hvoraf det følger at
ϕ(s + t) = ϕ(s) + ϕ(t)
for s og t i en omegn af 0, i modstrid med antagelserne om ϕ. Vi slutter at V = C
n+1
og at V dermed har de fornødne egenskaber. Vi har vist at propositionens påstand
holder for n + 1 hvis den holder for n. Eftersom den holder for n = 2, holder den
for alle naturlige tal n ≥ 2.
Bevis for korollaret Den første påstand følger umiddelbart af definitionen. Hvad
angår den anden påstand så må vi bevise at det lineære rum
W = { (a(x
i
), a(x
j
)) : a ∈ A }
har dimension to. Lad os antage at W er udspændt af een vektor (a
0
(x
i
), a
0
(x
j
)).
Betingelserne på A medfører at a
0
(x
i
) 6= a
0
(x
j
) og at ingen af størrelserne er lig
0. Deraf følger at a(x
i
) = γa(x
j
) for alle a ∈ A, hvor γ = a
0
(x
i
)/a
0
(x
j
). Ved
ombytning af x
i
and x
j
, om nødvendigt, kan vi antage at |γ| ≤ 1. For s ∈ C, hvor
|s| er lille fås ϕ ◦ (sa
0
) ∈ A og derfor gælder der at ϕ(sa
0
(x
i
) = γϕ(sa
0
(x
j
)). Ved
at indsætte γa
0
(x
j
) i stedet for a
0
(x
i
) får vi at ϕ(γt) = γϕ(t) for t i en omegn af
0, i modstrid med antagelserne om ϕ. Deraf følger at W har dimension to, hvilket
medfører at enhver funktion på X, på et vilkårligt par af punkter i X, stemmer
overens med en funktion í A og tilhører dermed A ifølge den første påstand.
Bemærkning Det er ikke tilstrækkeligt i propositionen at antage at ϕ ikke er affin
i nogen omegn af 0. Funktionen ϕ(ξ + iη) = ξ + η, som er additiv og som ikke er
affin i nogen omegn af 0, opererer på underrummet V af C
3
givet ved
V = { (t
1
, t
2
, t
3
) : t
1
= t
2
+ t
3
}.
Åbenbart så stemmer enhver vektor C
3
på et vilkårligt par af sine koordinater
overens med en vektor i V .
Normat 3/2007 Eggert Briem 123
Propositionen holder ikke hvis X er en uendelig mængde, ikke engang selvom X er
tællelig. Som et modeksempel kan vi tage algebraen A af alle polynomier i z and ¯z.
Enhver kontinuert funktion på den lukkede enhedsskive i den komplekse plan kan
approximeres ligeligt med elementer fra A. Men hvis f. eks. X = { 1/n : n ∈ N } og
f er en kontinuert funktion på enhedsskiven som opfylder f(1/n) = 1/n hvis n er
lige og f (1/n) = 0 hvis n er ulige, så findes der ikke noget element i A som stemmer
overens med f på X, eftersom ethvert polynomium som er ikke null-polynomiet
kun har endelig mange nullpunkter.
I [B] kan man læse videre om generaliseringer af Stone–Weierstrass sætningen
og opererende funktioner.
Litteratur
[BCH] S. Boel, T.M. Carlsen and N.R. Hansen, A useful strengthening of the
Stone–Weierstrass theorem, Amer. Math. Monthly, 108:642–643 (2001)
[B] E. Briem, Stone-Weierstrass sætningen og funktioner som opererer på rum
af kontinuerte funktioner, Normat 49:1, 21–30 (2001)
[E] J. R. Stefansson, Editors Endnotes, Amer. Math. Monthly, 109:775–776
(2002)
