124 Normat 55:3, 124–135 (2007)
Komposition av kvadratiska former –
från Gauss till Bhargava
J. Brzeziński
Matematiska Vetenskaper
Göteborgs universitet
412 96 Göteborg
jub@math.chalmers.se
1 Inledning
Manjul Bhargava var 28 år gammal när han år 2002 blev professor i matematik
vid Princeton universitet. Ett år tidigare försvarade han sin doktorsavhandling
som handlar om generaliseringar av Gauss komposition av heltaliga binära kvadra-
tiska former och helt nya liknande teorier som gäller i 12 ytterligare fall. Gauss
teori presenterades år 1801 i ”Disquisitiones Arithmeticae” – ett av Gauss mest
berömda verk. Bhargavas nya tolkning av Gauss resultat öppnade vägen till nya
kompositionsteorier som han tillämpar på algebraiska talkroppar och deras klass-
grupper – objekt av fundamental betydelse i talteorin. Tidigare som student vid
Harvard universitet, generaliserade Bhargava i sitt examensarbete funktionen n!,
vilket ledde till lösningar av några kända och länge öppna problem. Under de senas-
te åren har han lyckats lösa några gamla problem om heltaliga kvadratiska former.
I denna artikel tänker jag berätta om Bhargavas generaliseringar av Gauss idéer.
När denna artikel skrivs har dessa resultat publicerats i fyra arbeten i en av de
mest ansedda matematiska tidskrifterna ”Annals of Mathematics”.
2 Binära kvadratiska former
Mer än hälften av ”Disquisitiones Arithmeticae” ägnar Carl Friedrich Gauss åt
heltaliga binära kvadratiska former dvs funktioner
f(x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
=
1
2
(x, y)
2a b
b 2c
x
y
,
där a, b, c är heltal. Gauss förutsatte oftast att b är ett jämnt heltal, men vi kommer
att tillåta godtyckliga heltaliga koefficienter. Man kallar
M
f
=
2a b
b 2c
Normat 3/2007 J. Brzeziński 125
för formens matris.
Intresset i sådana funktioner har mycket gamla rötter. Den mest berömda av alla
binära kvadratiska former är onekligen summan av två kvadrater x
2
+ y
2
. Frågan
om vilka naturliga tal som kan skrivas som summa av två naturliga kvadrater
undersöktes för länge sedan. Fermats ”Julsats” (annonserad av Fermat i ett brev
till Mersenne från den 25 december 1640) säger att varje primtal p som lämnar
resten 1 vid division med 4 är summa av två naturliga kvadrater p = x
2
+ y
2
,
medan primtal som lämnar resten 3 vid division med 4 kan inte skrivas på denna
form (naturligtvis är det jämna primtalet 2 en summa av två kvadrater). Fermat var
också intresserad av andra kvadratiska former och de tal som dessa kan representera
t ex x
2
+ 2y
2
och x
2
+ 3y
2
. I ett brev till Pascal skrev Fermat att ett udda primtal
p = x
2
+ 2y
2
precis då p ger resten 1 eller 3 vid division med 8, medan p = x
2
+ 3y
2
då och endast då p = 3 eller p ger resten 1 vid division med 3.
Möjligheten att lösa ekvationen n = ax
2
+ bxy + cy
2
i heltal x, y då n är ett
givet heltal (ej nödvändigt ett primtal) beror på formen, men det finns binära
kvadratiska former som representerar exakt samma heltal. Om f(x, y) är en given
form så är
(1) g(x, y) = f (rx + sy, tx + uy),
där r, s, t, u är heltal och
det
r s
t u
= ru − st = 1,
en annan binär kvadratisk form som representerar exakt samma naturliga tal som
f(x, y). Detta är klart: om n = g(x
0
, y
0
) så är n = f(x
1
, y
1
), där x
1
= rx
0
+ sy
0
och y
1
= tx
0
+ uy
0
. Omvänt, om n = f(x
1
, y
1
), så löser man ekvationssystemet
x
1
= rx + sy, y
1
= tx + uy, för att hitta x
0
, y
0
sådana att g(x
0
, y
0
) = f(rx
0
+
sy
0
, tx
0
+ uy
0
) = f (x
1
, y
1
) = n. Ekvationssystemet kan lösas i heltal x
0
, y
0
därför
att dess determinant ru − st = 1.
Två former f och g relaterade av en likhet (1) kallas (Z−)ekvivalenta. Mera
exakt är de ekvivalenta med avseende på verkan (1) av matrisgruppen SL
2
(Z) som
består av alla heltaliga matriser
γ =
r s
t u
med determinant 1. Vi skall beteckna ekvivalensklassen av formen f med [f ]. Ekvi-
valenta binära kvadratiska former representerar exakt samma heltal.
Varje kvadratisk form har en viktig invariant – formens diskriminant
∆ = ∆(f ) = b
2
− 4ac = −det M
f
.
Man inser mycket lätt att alla former g i klassen [f] har samma diskriminant ty
(1) säger att
g(x, y) =
1
2
(x, y)
r t
s u
2a b
b 2c
r s
t u
x
y
126 J. Brzeziński Normat 3/2007
dvs M
g
= γ
t
M
f
γ, där γ är matrisen ovan (i γ
t
betecknar t matristransponering).
Alltså är ∆(g) = −det M
g
= −(det A)
2
det M
f
= −det M
f
= ∆(f). Observera
att diskriminanten ∆ = b
2
−4ac lämnar resten 0 vid division med 4 om b är jämnt,
och resten 1 vid division med 4 då b är udda (dvs ∆ ≡ 0 eller 1 (mod 4)). En
binär form f(x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
är indefinit (antar både positiva och negativa
värden) då och endast då ∆(f ) > 0, och definit (antar endast icke-negativa eller
endast icke-positiva värden) då och endast då ∆(f) < 0. Om formen är definit
kommer vi att förutsätta att dess värden är icke-negativa dvs f(x, y) > 0 om
(x, y) 6= (0, 0). En mycket viktig och gammal sats av Eisenstein och Hermite säger
att antalet klasser av binära kvadratiska former med given diskriminant är ändligt.
Vi skall formulera denna sats endast för positivt definita former dvs för former som
endast antar icke-negativa värden. Sådana former har negativ diskriminant.
Sats 1. Antalet klasser av binära kvadratiska former med given diskriminant är
ändligt. Om diskriminanten är negativ så har varje klass exakt en representant
ax
2
+ bxy + cy
2
vars koefficienter satisfierar
−a < b ≤ a < c eller 0 ≤ b ≤ a = c
En definit binär kvadratisk form vars koefficienter satisfierar olikheterna ovan kallas
reducerad. Den sista delen av satsen ger en möjlighet att bestämma alla klasser med
given negativ diskriminant ∆. I själva verket har vi 4b
2
≤ 4ac = b
2
+ |∆| så att
3b
2
< |∆| (observera att |∆| = −∆). Alltså är |b| ≤
p
|∆|/3 och 4ac = b
2
− ∆,
vilket innebär att det finns ändligt många möjligheter för b och följaktligen ändligt
många möjliga (positiva) delare a, c till b
2
− ∆.
Exempel 1. Om ∆ = −56 så har vi i varje klass exakt en reducerad form. Olik-
heterna ovan ger |b| ≤
p
56/3 < 5 så att |b| ≤ 4. Genom att testa alla b och mot-
svarande a, c med 4ac = b
2
+ 56 får vi fyra reducerade former med diskriminanten
∆ = −56: x
2
+ 14y
2
, 2x
2
+ 7y
2
, 3x
2
− 2xy + 5y
2
, 3x
2
+ 2xy + 5y
2
. 2
3 Komposition
Om man vill karakterisera alla naturliga tal n som är summor av två kvadrater
dvs n = x
2
+ y
2
, så kan man utnyttja identiteten
(x
2
+ y
2
)(z
2
+ t
2
) = (xz + yt)
2
+ (xt − yz)
2
.
Denna identitet (enkel att direkt kontrollera) säger att produkt av två tal som är
summor av två kvadrater också är en summa av två kvadrater. Den ger det enklaste
exemplet på komposition av kvadratiska former (i detta fall x
2
+ y
2
med sig själv).
Denna komposition kan användas till att karakterisera alla naturliga tal n som
kan skrivas som summor av två naturliga kvadrater. Först skriver vi n = md
2
,
där m är kvadratfritt (dvs produkt av olika primtal) och d är ett heltal (sådan
framställning är alltid möjlig). Därefter kan man kontrollera att n är en summa av
två kvadrater precis då m har som primfaktorer 2 eller primtal som lämnar resten
1 vid division med 4. I en riktning visas det lätt med hjälp av identiteten ovan:
Eftersom 2 och alla primtal som lämnar resten 1 vid division med 4 är summor
Normat 3/2007 J. Brzeziński 127
av två kvadrater, så är också deras produkt m en sådan summa. Faktorn d
2
är
”harmlös” eftersom om m = x
2
+ y
2
, så är n = md
2
= (dx)
2
+ (dy)
2
. Bevis i
andra riktningen dvs att förekomsten av en primdelare p till m som lämnar resten
3 vid division med 4 gör att n inte kan skrivas som summa av två kvadrater följer
lätt när man studerar rester vid division med p av vänster- och högerled i likheten
n = md
2
= x
2
+ y
2
(vi utelämnar detta argument som man t ex kan hitta i boken
av Cox [C] på sidan 10).
Formeln för produkt av summor av två kvadrater generaliseras till godtyckliga
binära kvadratiska former, men uttrycken inte längre är så enkla som ovan. Man
har t ex:
(ax
2
+ by
2
)(z
2
+ abt)
2
= a(xz − byt)
2
+ b(axt + yz)
2
(ett exempel som kommer från Gauss verk), men det är ett mycket specifikt fall.
Rent allmänt då man har två helt godtyckliga former blir uttrycken ganska inveck-
lade. Med ganska stor möda definierade Gauss i ”Disquisitiones” komposition av
binära kvadratiska former på ett sådant sätt att formklasser [f] bildar en grupp med
avseende på denna komposition. Frågan är alltså om att definiera produkt av två
godtyckliga klasser [f
1
] och [f
2
] där f
1
, f
2
är binära heltaliga primitiva kvadratiska
former med samma diskriminant ∆, så att resultatet också är en klass av sådana
former. Denna produkt (komposition) skall resultera i en abelsk (dvs kommutativ)
gruppstruktur dvs [f
2
][f
1
] = [f
1
][f
2
], ([f
1
][f
2
])[f
3
] = [f
1
]([f
2
][f
3
]), det skall finnas
en neutral klass [e] (dvs [e][f ] = [f][e] = [f ] for varje klass [f ]) och till varje klass
[f] skall det finna dess invers [g] sådan att [f ][g] = [e]. Gauss definition av kompo-
sitionen [f
1
][f
2
] var ganska komplicerad (rent tekniskt) och det var Dirichlet som
kom på en någorlunda enkel definition. Vi följer just den senare definitionen från
mitten av 1800-talet.
Vi börjar med några enkla egenskaper hos kvadratiska former vars motivering
lämnar vi som övning. Låt f (x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
vara en heltalig primitiv
form. Om n = ax
2
+ bxy + cy
2
för heltal x, y, så säger vi att representationen
av n är primitiv om x, y är relativt prima. T ex har a en primitiv representation
då man väljer (x, y) = (1, 0). Men det är rent allmänt så att de heltal n som
primitivt representeras av former i klassen av f är precis de tal som förekommer
som första koefficienten i någon form g av denna klass. Den andra egenskapen är
möjligheten att hitta ett tal n som representeras av f och som är relativt primt
med ett godtyckligt på förhand givet heltal.
Låt nu [f
1
(x, y)] och [f
2
(x, y)] vara två klasser av primitiva heltaliga kvadratiska
former med samma diskriminant ∆. Låt f
1
(x, y) = a
1
x
2
+b
1
xy + c
1
y
2
. Vi väljer ett
udda heltal a
2
relativt primt med a
1
som representeras av f
2
och därefter väljer vi
f
2
(x, y) = a
2
x
2
+ b
2
xy + c
2
y
2
som representant av klassen. Man observerar att b
1
och b
2
har samma paritet därför att b
2
1
− 4a
1
c
1
= ∆ = b
2
2
− 4a
2
c
2
. Man väljer nu
b så att b
2
− ∆ är delbart med 4a
1
a
2
. Den möjligheten finns därför att man alltid
kan välja b så att b lämnar resten b
1
vid division med 2a
1
och resten b
2
vid division
med a
2
– eftersom 2a
1
och a
2
är relativt prima så är valet av b möjligt tack vare
Kinesiska restsatsen. Vad mera är finns det enbart en sådan rest b vid division med
2a
1
a
2
.
128 J. Brzeziński Normat 3/2007
Alltså delar 4a
1
a
2
skillnaden b
2
− ∆ (ty b
2
− ∆ = b
2
− b
2
1
+ b
2
1
− ∆ och på samma
sätt för b
2
). Nu definierar Dirichlet kompsitionen av [f
1
(x, y)] och [f
2
(x, y)] som
klassen av formen:
f
3
(x, y) = a
1
a
2
x
2
+ bxy + cy
2
, där c =
b
2
− ∆
4a
1
a
2
.
Den neutrala klassen bestäms av en av följande former:
x
2
− ∆y
2
om ∆ ≡ 0 (mod 4)
och
x
2
+ xy +
1 − ∆
4
y
2
om ∆ ≡ 1 (mod 4).
Inversen till klassen av f(x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
definieras mycket enkelt – det är
klassen av g(x, y) = ax
2
−bxy + cy
2
, fast det krävs lite arbete för att visa det. Det
krävs också en arbetsinsats för att kontrollera andra detaljer som behövs för bevis
att klasserna [f ] bildar en grupp med avseende på kompositionen. Vi avstår från
denna kontroll eftersom det finns en mycket naturlig tolkning av kompositionen som
gör dessa egenskaper nästan självklara. Denna tolkning diskuterar vi i sektion 5.
Gaussgruppen av heltaliga primitiva binära kvadratiska former med diskriminanten
∆ kommer vi att beteckna med G(∆).
4 Kvadratiska kroppar och ideal
Låt D 6= 1 beteckna ett kvadratfritt heltal. Då är K = Q(
√
D) en kvadratisk
kroppsutvidgning av de rationella talen Q. Dess element är alla tal a + b
√
D, där
a, b ∈ Q. Vi betecknar med ¯x bilden av x ∈ K i den icke triviala automorfismen av
K dvs om x = a + b
√
D, så ¯x = a − b
√
D. Då är spåret Tr(x) = x + ¯x och normen
Nr(x) = x¯x tal tillhörande Q.
Vi betecknar med R(K) ringen av heltalen i K dvs alla tal x = a + b
√
D för
vilka ekvationen X
2
−Tr(x)X −Nr(x) = X
2
−2aX + (a
2
−Db
2
) = 0 har heltaliga
koefficienter. Det är väl-känt att
R(K) = Z +
∆
K
+
√
∆
K
2
Z,
där ∆
K
= D om D ≡ 1 (mod 4) och ∆
K
= 4D för övriga ∆. ∆
K
kallas diskrimi-
nanten av K. Man visar att en godtycklig delring till R(K) är
R(K)
f
= Z + f
∆
K
+
√
∆
K
2
Z,
där f är ett positivt heltal. Talet ∆
K
f
2
kallas diskriminanten av ringen R(K)
f
.
Låt I = Zα + Zβ vara en godtycklig Z-modul i K, där α, β är linjärt oberoende
över Q . Då
O(I) = {x ∈ K | xI ⊆ I}
Normat 3/2007 J. Brzeziński 129
är en delring till K. Därför, är den en av ringarna R(K)
f
. Om O(I) = R(K)
f
,
så säger vi att I tillhör R(K)
f
. Självklart är då I en modul över R(K)
f
. Alla
R(K)
f
−moduler tillhörande denna ring bildar en grupp med avseende på vanlig
multiplikation av moduler för vilken R(K)
f
är identiteten. I själva verket, om I
tillhör R(K)
f
och
¯
I = {¯x |x ∈ I}, så är också
¯
I ett ideal tillhörande R(K)
f
. Vad
mera är I
¯
I = Nr(I)R(K)
f
för ett entydigt rationellt tal Nr(I) som man kallar för
normen av I. Därför är
1
Nr(I)
¯
I inversen till I. (Observera att normen av I kan också
definieras som den positiva generatorn av det Z−ideal i Q som genereras av alla
normer Nr(x) för x ∈ I. Om I ⊆ R(K)
f
, så är normen av I lika antalet element i
kvotringen R(K)
f
/I). Vi säger att två moduler I och J på K tillhör samma klass
1
om J = αI, där Nr(α) > 0. Vi betecknar med [I] klassen av I.
Alla idealklasser som man får med hjälp av ideal tillhörande R(K)
f
bildar en
abelsk grupp med avssende på multiplikationen: [I][J] = [IJ]. Detta påstående är
mycket lätt att kontrollera därför att vi redan vet att alla ideal tillhörande R(K)
f
bildar en grupp och produkt av klasserna inte beror på valet av dess representanter
dvs om I hör till samma klass som I
0
och J till samma klass som J
0
så är [IJ] =
[I
0
J
0
]. Gruppen av alla idealklasser tillhörande R(K)
f
betecknas med Cl(R(K)
f
).
Ett mycket viktigt resultat om talkroppar säger att denna grupp är ändlig. Den
kallas klassgruppen av R(K)
f
. Om f = 1 har vi R(K)
f
= R(K) och gruppen
kallas ofta klassgruppen av K. Dess ordning kallas klasstalet av K och betecknas
med h
K
. Det är en av de viktigaste invarianterna av talkroppen som är intressant
att beräkna i många olika sammanhang. I nästa sektion visar vi hur en sådan
beräkning kan göras mycket enkelt med hjälp av binära kvadratiska former.
5 Korrespondens mellan ideal och former.
Låt i fortsättningen
√
D beteckna ett en gång för alla fixerat värde av kvadratroten
ur D. Ett talpar (α, β), där α, β ∈ Q(
√
D), α = a + b
√
D, β = c + d
√
D, kallas
positivt orienterat om ad − bc > 0, och negativt orienterat om ad − bc < 0. Notera
att om paret (α, β) är positivt orienterat, så är paret (β, α) negativt orienterat och
omvänt. Därför är det alltid lätt att välja ett positivt orienterat talpar.
Sats 2. Det finns en–entydig korrespondens mellan alla SL
2
−klasser av heltaliga
primitiva binära kvadratiska former med diskriminant ∆ och idealklasser tillhöran-
de den kvadratiska ringen med diskriminanten ∆. Korrespondensen är given på
följande sätt:
Om f (x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
är en form med diskriminanten ∆ = b
2
− 4ac
så är idealklassen som svarar mot klassen av formen f klassen av idealet I =
2aZ + (−b +
√
∆)Z.
Om I = Zα+Zβ är ett ideal tillhörande delringen av Q(
√
D) med diskriminanten
∆ och paret (α, β) är positivt orienterat, så är klassen av binära kvadratiska former
motsvarande klassen av I:
Nr(αx + βy)
Nr(I)
1
Egentligen kallas klasserna definierade på detta sätt för smala klasser, medan med klassen av
I menas alla J = αI, där α är ett godtyckligt nollskilt element i K . Men vi sysslar här endast
med smala klasser.
130 J. Brzeziński Normat 3/2007
Exempel 2. Vi kunde konstatera att det finns 4 klasser med diskriminant ∆ = −56
(se Exempel 1): x
2
+ 14y
2
, 2x
2
+ 7y
2
, 3x
2
+ 2xy + 5y
2
, 3x
2
−2xy + 5y
2
. Alltså finns
det också 4 idealklasser i kroppen Q(
√
−14) tillhörande ringen Z[
√
−14]. Enligt
satsen ovan kan dessa 4 klasser representeras av följande 4 ideal:
I
1
= 2Z +
√
−56Z, I
2
= 4Z +
√
−56Z,
I
3
= 6Z + (−2 +
√
−56)Z, I
4
= 6Z + (2 +
√
−56)Z.
Se vidare Exempel 3. 2
Satsen ovan om korrespondensen mellan klasser av heltaliga primitiva binära
kvadratiska former och idealklasser tillhörande en kvadratisk ring (bägge med sam-
ma diskriminant) förklarar enkelt gruppstrukturen som introducerades av Gauss.
Det är nämligen så att om man har två former f
1
och f
2
så kan man först gå
över till motsvarande ideal I
1
och I
2
, multiplicera dessa och bilda produkten I
1
I
2
.
Därefter kan man gå tillbaka till den form (eller rättare sagt dess klass) som svarar
mot produkten. På det sättet får man precis den form som Gauss definierade som
komposition av f
1
och f
2
. Det är dock klart att det kräver lite arbete att kontrollera
dessa påståenden.
Exempel 3. Vi återkommer till Exempel 2 för att visa hur man komponerar två
formklasser. Betrakta formerna f
2
(x, y) = 2x
2
+7y
2
och f
3
(x, y) = 3x
2
−2xy +5y
2
.
Dessa definierar ideal I
2
= 4Z+
√
−56Z = [4,
√
−56] och I
3
= 6Z+(−2+
√
−56)Z =
[6, −2 +
√
−56] (vi använder en kortare beteckning för ideal för att inte upprepa Z
och lättare multiplicera). Vi har
I
3
I
4
= [6, 2 +
√
−56][6, −2 +
√
−56] = [36, −12 + 6
√
−56, 12 + 6
√
−56, −60] =
= [12, 12
√
−56, 12 + 6
√
−56] = 6[2, 2
√
−56, 2 +
√
−56] =
= 6[2,
√
−56] = 6I
1
ty 12 = 2 · 36 − 60 och (2 +
√
−56) − 2 =
√
−56. Detta visar att [I
2
][I
3
] = [I
1
].
På liknande sätt visar man att t ex [I
2
]
2
= [I
1
], [I
3
]
2
= [I
4
]
2
= [I
2
]. Man inser att
idealklasserna bildar en cyklisk grupp med 4 element. Dessa likheter säger hur man
komponerar motsvarande former. Så t ex är kompositionen av klasserna av f
3
med
f
4
lika med klassen av f
1
. Detta finner uttryck i en ganska lång formel. Vi skriver
i stället en kortare identitet som motsvarar [I
2
]
2
= [I
1
]:
(2x
2
+ 7y
2
)(2z
2
+ 7t
2
) = (2xz + 7yt)
2
+ 14(xt − yz)
2
.
Naturligtvis vet vi utan denna identitet (enbart tack vare Sats 2) att mot [I
2
]
2
svarar formen f
1
, ty denna form svarar mot [I
1
]. 2
Korrespondensen mellan klasser av heltaliga primitiva binära kvadratiska former
och idealklasser tillhörande en kvadratisk ring (bägge med samma diskriminant) är
en mycket kraftfull numerisk metod att bestämma alla idealklasser – det är mycket
lätt att lista ut alla formklasser och på så sätt alla idealklasser. Därför var det
ingen tillfällighet att Bhargavas resultat om nya typer av liknande korrespondenser
presenterades för första gången på en konferens ägnat åt numeriska beräkningar i
talteori som hölls i Sydney år 2002. En översikt av Bhargavas resultat publicerades
därefter i [B1] som en artikel i konferensrapporten.
Normat 3/2007 J. Brzeziński 131
6 Bhargavas komposition
En kvadratisk form f(x, y) = ax
2
+bxy+cy
2
kan ses från ett bredare perspektiv som
en funktion av vektorer (x, y) från V = Z × Z till Z. Denna funktion är besläktad
med en bilinjär funktion
F ((x, y), (z, t)) = f(x + z, y + t) − f(x, y) − f(z, t) = 2axz + bxt + byz + 2cyt
dvs funktionen F är linjär både med avseende på variabeln v = (x, y) och variabeln
w = (z, t). Samtidigt är
f(x, y) =
1
2
F ((x, y), (x, y))
så att f är bestämd av F . Rent allmänt har en bilinjär funktion formen:
F ((x, y), (z, t)) = (ax + by)z + (cx + dy)t = axz + byz + cxt + dyt,
där a, b, c, d är talkoefficienter. Sådan funktion kan beskrivas av en 2 × 2−matris,
eller en ”kvadrat”:
a
b
c
d
Bhargava studerar trelinjära funktioner från V × V × V till Z. Sådana funktioner
kan uttryckas på följande sätt:
F ((x, y), (z, t), (u, v)) = (axz + bxt + cyz + dyt)u + (exz + fxt + gyz + hyt)v.
En sådan funktion kan beskrivas med hjälp av en 2 × 2 × 2−matris, eller en
”kub”:
C :
e
f
a
b
g
h
c
d
Man kan naturligtvis betrakta liknande avbildningar F med större antal variab-
ler och försöka tänka på dessa som flerdimensionella ”kuber” eller ”rätvinkliga
parallelepipeder”. Vi skall begränsa oss till vanliga kuber. En sådan kub har tre
132 J. Brzeziński Normat 3/2007
symmetriplan som delar den i två kvadrater. Man beskriver dessa tre kvadratpar
med hjälp av matriser:
M
1
=
a b
c d
, N
1
=
e f
g h
,
M
1
=
a b
c d
, N
1
=
e f
g h
,
M
1
=
a b
c d
, N
1
=
e f
g h
.
Mot varje par ordnar nu Bhargava en kvadratisk form:
(2) Q
i
(x, y) = −det(M
i
x + N
i
y)
där i = 1, 2, 3. T ex
Q
1
(x, y) = −det
ax + ey bx + fy
cx + gy dx + hy
=
= (bc − ad)x
2
+ (bg + cf − ah − de)xy + (fg − eh)y
2
Diskriminanten av denna form är lika med
∆(q
1
) = (bg + cf − ah − de)
2
− 4(bc − ad)(fg − eh) =
=a
2
h
2
+ b
2
g
2
+ c
2
f
2
+ d
2
e
2
− 2(abgh + cdef + acf h + bdeg + aedh + bfcg)+
+ 4(adfg + bceh).
Det intressanta är att samma diskriminant har formerna Q
2
och Q
3
. Man kallar
denna diskriminant för kubens C diskriminant som skall betecknas ∆(C). Ibland
när man vill understryka att formerna Q
i
kommer från kuben C betecknas dessa
med Q
C
i
.
Exempel 4. De kuber som ger de neutrala formerna: Q
∆
= x
2
−∆y
2
om ∆ ≡ 0
(mod 4) och Q
∆
= x
2
+ xy +
1−∆
4
y
2
om ∆ ≡ 1 (mod 4) är
0 1
0
1
~
~
~
~
~
~
~
~
0
∆
4
1
0
och
1 1
0
1
{
{
{
{
{
{
{
{
{
1
∆+3
4
1
1
}
}
}
}
}
}
}
}
Normat 3/2007 J. Brzeziński 133
2
Nu kan vi definiera Gauss grupp av primitiva formklasser med diskriminant ∆
och Gauss komposition i enlighet med Bhargavas idé. Denna definition är något
abstrakt, men samtidigt mycket elegant. Dessutom kan den ges för flera andra
månglinjära funktioner F .
Man startar med gruppen F(∆) bestående av alla summor
P
n
i
[Q], där n
i
är
heltal och symbolerna [Q] svarar mot alla heltaliga primitiva binära kvadratiska
former med diskriminanten ∆. Vi förutsätter att nästan alla n
i
är lika med 0 dvs
summor är ändliga. Man adderar sådana summor genom att addera koefficienterna
n
i
framför samma [Q]. Det är klart att man får en grupp (den är oändlig). Därefter
bildar vi kvotgruppen av denna grupp genom att kräva två egenskaper:
”Kublagen.” Varje summa [Q
1
] + [Q
2
] + [Q
3
] är lika med 0 om det finns en kub
C sådan att Q
i
= Q
C
i
(dvs de tre formerna kommer från en kub).
”Neutrallagen. Klassen av [Q
∆
] är 0.
Låt oss påminna om att Q
D
definierades i Exempel 4.
Vi betecknar med H(∆) den delgrupp till F(∆) som genereras av alla summor
[Q
C
1
] + [Q
C
2
] + [Q
C
3
] och [Q
∆
]. Den grupp som vi får genom att bilda kvoten B(∆) =
F(∆)/H(∆) kallar vi Bhargavagruppen. Nu kommer överraskningen:
Sats 3. (Bhargava) Gruppen B(∆) är isomorf med Gaussgruppen av formklasser
G(∆) dvs med den idealklassgruppen av den kvadratiska kroppen Q(
√
∆).
Kompositionen av två former Q
1
och Q
2
sker genom övergång till Bhargavas klasser
av dessa former i gruppen B(∆). Därefter adderar man klasserna i denna grupp och
summan visar sig vara klassen av samma form som Gauss ordnar mot formerna
Q
1
och Q
2
då dessa komponeras i enlighet med hans definition. Detta är långt
ifrån självklart och bevisas i [B2]. Bhargavas definition förenklar inte de praktiska
beräkningarna (när de behövs), men den förklarar att Gauss komposition har en
tolkning som är generaliserbar till andra situationer. På så sätt föds nya tankar
och nya möjligheter att hantera andra matematiska problem.
Bhargavs definition är mycket elegant och för direkt tankarna till möjliga genera-
liseringar. Först och främst definierar Bhargava komposition av kuber dvs en grup-
poperation som gör det möjligt att addera två godtyckliga kuber C
1
och C
2
eller sna-
rare deras klasser [C
1
] och [C
2
] under verkan av gruppen SL
2
(Z)×SL
2
(Z)×SL
2
(Z).
För att definiera verkan av denna grupp på kuber betraktar man kuber C som
”vektor av tre kolonnvektorer”:
C =
M
1
N
1
,
M
2
N
2
,
M
3
N
3
.
Man låter en matris γ =
r s
t u
verka på
M
N
genom matrismultiplikation
dvs
γ
M
N
=
rM + sN
tM + uN
.
134 J. Brzeziński Normat 3/2007
Alltså om γ = (γ
1
, γ
2
, γ
3
) ∈ SL
2
(Z) × SL
2
(Z) × SL
2
(Z), så är verkan av γ på en
kub C definierad koordinatvis dvs
M
i
N
i
multipliceras med γ
i
för i = 1, 2, 3.
Nu när klasser av kuber [C] är definierade betraktar Bhargava alla kuber med
samma diskriminant ∆ = ∆(C) som definierar primitiva kvadratiska former (i
enlighet med (2)) – sådana kuber kallar Bhargava för projektiva. Definitionen av
summan av två kuber [C
1
], [C
2
] kräver några tekniska detaljer som leder till att det
finns en kub [C
3
] som på ett naturligt sätt är summan av de två givna: [C
1
] + [C
2
] =
[C
3
]. Därefter är det lätt att kontrollera att denna operation definierar en grupp.
Bhargava beskriver gruppen av kubklasser och uttrycker den genom Gaussgruppen
G(∆) av alla idealklasser i kroppen Q(
√
D) (mera exakt, gruppen av alla kuber är
isomorf med produkten G(∆) × G(∆)).
Med Bhargavas kuber och deras grupp associeras flera andra intressanta ma-
tematiska objekt som ”ärver” gruppstrukturen från kubernas addition. Låt mig
nämna två enklaste exemplen.
Det första är kubiska binära former f(x, y) = px
3
+3qx
2
y +3rxy
2
+sy
3
, p, q, r, s
heltal. Dessa associeras med kuber av formen:
q
r
p
q
r s
q
r
Genom att använda sig av addition av kubklasser får Bhargava en helt ny kompo-
sition (gruppoperation) i mängden av binära kubiska former. En annan ny kompo-
sition får han för par av kvadratiska former (ax
2
+ 2bxy + cy
2
, dx
2
+ 2exy + fy
2
)
som associeras med kuber
d
e
a
b
e
f
b
c
– dvs den första formen i paret svarar mot den främre kvadraten, och den andra
mot den bakre kvadraten.
Bhargava definierar komposition (gruppoperation) för 13 nya objekt (multilinjä-
ra funktioner) som är av intresse i olika sammanhang. Hans nya syn på komposition
Normat 3/2007 J. Brzeziński 135
ger en möjlighet att se struktur (en gruppoperation) i dessa mängder. Den ger en
möjlighet att klassificera dessa objekt. Det gör Bhargava när det gäller kropps-
utvidgningar av grader 2 (detta är klassiska fallet av kvadratiska talkroppar), 3
(kubiska utvidgningar av de rationella talen), 4 (kvartiska utvidgningar) och 5
(kvintiska utvidgningar). Dessa möjligheter att klassificera olika kroppsutvidgniar
leder vidare till satser om viktiga invarianter av sådana kroppar som t ex diskrimi-
nanter och klasstal ([B5]). Precis som i det klassiska fallet av binära kvadratiska
former och kvadratiska kroppar får man kraftfulla metoder att klassificera och
räkna upp antalet objekt med givna egenskaper. Det gäller kubiska, kvartiska och
kvintiska kroppsutvidgningar som behandlas i olika delar av Bhargavas avhandling
(se [B2], [B3], [B4]; det kvintiska fallet väntar fortfarande för publicering).
Referenser
[B1] Bhargava, M.: Gauss Composition and Generalizations, in Algorithmic Num-
ber Theory (Sydney 2002), Lecture Notes in Computational Sciences vol.
2369, 1–8, Springer Verlag, Berlin (2002).
[B2] Bhargava, M.: Higher composition laws I: A new view on Gauss composition,
and quadratic generalizations, Annals of Mathematics 159, 217–250 (2004).
[B3] Bhargava, M.: Higher composition laws II: On cubic analogues of Gauss com-
position, Annals of Mathematics 159, 865–886 (2004).
[B4] Bhargava, M.: Higher composition laws III: The parametrization of quartic
rings, Annals of Mathematics 159, 1329–1360 (2004).
[B5] Bhargava, M.: The density of discriminants of quartic rings and fields, Annals
of Mathematics 162, 1031–1063 (2005).
[C] Cox, M.: Primes of the form x
2
+ny
2
, Fermat, Class Field Theory, and Com-
plex Multiplication, John-Wiley &Sons, Inc., New York 1989.
[G] Gauss, C. F.: Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press i översättning
av A.A. Clarke, 1965, Springer Verlag, 1986.
