Normat 55:3, 137–138 (2007) 137
SO(4) och S
3
Ulf Persson
Chalmers Tekniska Högskola
Matematiska Institutionen
SE–412 96 Göteborg
ulfp@math.chalmers.se
En given punkt på den 3-dimensionella sfären i R
4
given av x
2
+ y
2
+ z
2
+ w
2
= 1
kan skrivas under formen (r cos θ, r sin θ, s cos ψ, s sin ψ) där r, s ≥ 0 och r
2
+s
2
= 1.
Fixerar vi r (och därmed även s) erhåller vi en platt torus, den direkta produkten
av cirklarna x
2
+ y
2
= r
2
i (x, y) planet och z
2
+ w
2
= s
2
i (z, w)-planet. Dessa
torusar utgör en fibration över intervallet 0 ≤ r ≤ 1 (alternativt över 0 ≤ s ≤ 1)
med två degenerade fibrer, bestående av cirklarna korresponderande mot r = 0, 1.
Denna fibration utgör analogin av cirkelfibrationen över [−1, 1] på den välbekan-
ta 2-dimensionella sfären S
2
given av latituderna korresponderande till en given ro-
tationsaxel. Denna fibration gör det möjligt att elegant beräkna ytan av S
2
. En lati-
tud korresponderande mot −1 ≤ r ≤ 1 har radien
√
1 −r
2
, och en enhetsnormal till
cirkel på sfären projiceras på rotationsaxeln med längden
√
1 −r
2
. Arean av inversa
bilden av ett intervall I ges således av
R
I
2π
√
1 −r
2
1
√
1−r
2
dr = 2π
R
I
dr = 2πµ(I)
där µ(I) ger längden av intervallet. Speciellt erhåller vi arean 4π för sfären. Det-
ta upptäcktes redan av Arkimedes, och kan tas som utgångspunkt för en enkel
areabevarande kartprojektion genom att projicera sfären på en omskriven cylider.
I fallet S
3
noterar vi att arean hos torusarna givna av r, s är (2πr)(2πs) =
4π
2
rs = 4πr
√
1 −r
2
. En projektion av en enhetsnormal ger samma skalning som
tidigare, därmed kan vi beräkna volymen av den inversa bilden av en skiva (säg
från projektionen till (z, w) planet) såsom given av integralen 4π
2
R
R
0
rdr. Sättes
R = 1 erhåller vi formeln för den 3-dimensionella volymen av S
3
som 2π
2
, och
sätter vi R =
1
√
2
erhåller vi en solid torus av volymen π
2
. Komplementet till denna
solida torus är givet av inversa bilden av x
2
+ y
2
≤
1
2
i (x, y)-planet (S =
1
√
2
). Vi
kan således framställa S
3
som unionen av två solida torusar fastklistrade via sina
begränsningsytor.
Låter man projicera sfären stereografiskt ner på R
3
från punkten
(0, 0, 0, 1) kan man visualisera denna fibrering i rummet. En av
de degenerade fibrerna avbildas på enhetscirkeln i (x, y)-planet,
och den andra som z-axeln. Vi norterar således att dessa två
cirklar är länkade. Torusarna kommer att uppstå som rotationer
av cirklar i x, z-planet med radien
s
r
centrerade med avstånd
1
r
från z-axeln.
Cirkelfibrationerna på S
2
är fibervis invarianta under rotationsgrupp S
1
med den
givna rotationsaxeln, och omvänt finns det en 1-1 korrespondens mellan 1-parameter
138 Ulf Persson Normat 3/2007
delgrupperna S
1
av SO(3) och dessa fibrationer. I fallet med SO(4) har vi istället
en verkan av en 2-dimensionell tourus på torusfibrationerna via (α, β) verkar på
(r cos θ, r sin θ, s cos ψ, s sin ψ) via (r cos(θ+α), r sin(θ+α), s cos(ψ+β), s sin(ψ+β)).
Ett elegantare sätt att presentera detta är att betrakta R
4
som C
2
via de kom-
plexa variablerna ζ
1
= x + iy, ζ
2
= z + iw. Verkan gives då av att (λ
1
, λ
2
) (med
|λ
1
| = |λ
2
| = 1) opererar komponentvis på (ζ
1
, ζ
2
).
I allmänhet bestämmer ett element i SO(4) två ortogonala invarianta plan, pre-
cis som varje icke-trivial rotation i R
3
bestämmer en unik rotationsaxel. Dessa
ortogonala plan bestämmer en komplex struktur för vilken skalärprodukten blir
den hermitiska formen z
1
¯w
1
+ z
2
¯w
2
och avbildningen ett element i motsvarande
U(2) (komplex linjära avbildningar som bevarar en given postivt definit hermitisk
form). Genom att betrakta alla avbildningar i SO(4) som låter dessa plan vara
invarianta, erhåller vi en torus-verkan enligt ovan.
De flesta elementen i SO(4) ligger i en unik torus, vilkoret varandes att λ
1
6= λ
2
.
I det fall vi har λ
1
= λ
2
= λ kommer varje plan, som samtidigt är en komplex linje,
att vara invariant. Dessa linjer är parametriserade av CP
1
∼ S
2
(Riemann-sfären)
och snittet med S
3
utgöres av cirklar av radien 1 vilka utgöres av fibrerna till en
avbildning S
3
→ S
2
. Som bekant talar vi nu om Hopf-fibrationen. Det finns givetvis
många Hopf-fibrationer på S
3
var och en bestämd av en komplex struktur på R
4
. I
termer av de inledande torus-fibrationerna utgöres Hopf-fibrerna av kurvor på dessa
fibrer av typ (1, 1). D.v.s. kurvor av typ (r cos(θ + α), r sin(θ + α), s cos(θ), s sin(θ))
för fixt α. Det är lätt att inse att alla dessa kurvor har
samma längd
√
r
2
+ s
2
= 1. På varje torus parameti-
seras dessa kurvor av S
1
som degenerarar till en punkt
för de degenerade fibrerna. På detta sätt erhåller vi la-
titud fibrationen av S
2
. Det är naturligt att referera
till dessa element som Hopf-rotationer.
Dimensionen av SO(4) är sex, vilket ses av anta-
let skev-symmetriska 4 × 4 matriser. Alternativt : de
2-dimensionella delrummen till R
4
är parametriserade av Plückerkvadriken av sig-
natur (3, 3) i PR
5
, således ett 4-dimensionellt rum. Låt oss nu identifiera det
euklidiska R
4
med kvaternionerna H och dess positiva definita form z¯z. Notera att
varje icke reellt element λ ∈ H genererar en delalgebra isomorf med C, och därmed
en komplex struktur på H antingen genom höger eller vänster multiplikation. Spe-
ciellt noterar man att avbildnigen x 7→ ax bevarar alla högerinducerade komplexa
strukturer, samt är även komplex linjär m.a.p. på den av delalgebran < 1, a >
vänsterinducerade. Med avseende på den senare utgör den en Hopf-rotation ifall
|a| = 1. Motsvarande gäller för avbildningarna x 7→ xb. Kompositionen av de bägge
, nämligen avbildningarna x 7→ axb är komplex linjära med avseende på lämpliga
komplexa strukturer (a inducerad vänster och b-inducerad höger) samt i det fall
|a| = |b| = 1 bevarar den även den hermitiska formen, och utgör således ett ele-
ment i U (2) (för fixt a eller b). Tillsammans utgör de en grupp isomorf med S
3
×S
3
modulo antipod-avbildningen (a, b) 7→ (−a, −b) och därmed en delgrupp av SO(4)
av samma dimension. Eftersom den senare är sammanhängande finner vi att de är
isomorfa.
